(共23张PPT)
18.2.1 勾股定理的逆定理
第18章 勾股定理
沪科版数学八年级下册（示范课课件）
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1. 通过具体情景（古埃及人的绳子上所打的结）向学生介绍了一些特殊的三角形，这类三角形的各边长都满足a2+b2=c2.
2.通过对这类三角形的观察让学生猜想勾股定理的成立.
（一）导入新课（5 分钟）
展示图片：呈现一些含有直角三角形的建筑、图案等，如埃及金字塔的侧面图。
提出问题：在这些直角三角形中，三条边的长度之间是否存在某种特定的关系呢？
引发思考：让学生观察自己准备的直角三角形纸片，测量三条边的长度，并尝试找出它们之间可能的规律。
（二）讲授新课（25 分钟）
探索勾股定理
让学生在方格纸上画出直角边分别为 3cm 和 4cm 的直角三角形，然后测量斜边的长度，并计算三边长度的平方。
再画出直角边分别为 5cm 和 12cm 的直角三角形，重复上述操作。
引导学生观察计算结果，猜想直角三角形三边长度的平方之间的关系。
给出多个不同边长的直角三角形，让学生分组计算三边平方并讨论规律。
请各小组代表发言，分享小组讨论发现的规律。
教师总结学生的发现，给出勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为\(a\)，\(b\)，斜边长为\(c\)，那么\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\) 。
勾股定理的证明
介绍常见的勾股定理证明方法，如赵爽弦图法、毕达哥拉斯证法等。
详细讲解赵爽弦图的构造：以直角三角形的斜边为边长构造一个大正方形，在大正方形中包含四个全等的直角三角形和一个小正方形。
逐步推导证明思路：大正方形的面积可以表示为\(c^{2}\)，也可以表示为四
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
思考
据说，几千年前的古埃及人就已经知道，在一根绳子上连续打上等距离的13个结，然后，用钉子将第1个结与第13个结钉在一起，拉紧绳子，再在第4个和第8个结处各钉上一个钉子，如图.这样围成的三角形中，最长边所对的角就是直角.
按照这种做法真的能得到一个直角三角形吗？
操作
请你动手画一画吧.用圆规、直尺作△ABC，使得AB=5，AC=4，BC=3，如图，量一量∠C，它是90°吗？
(1)画射线AM，然后以点A为圆心，AB长为半径画弧，交射线AM于点B;
(2)分别以点A，B为圆心，线段AC、BC长为半径画弧，两弧相交于点C；
A
M
B
(3)分别连接AC、BC，得△ ABC.
C
∠C 90°
猜想：
探究
为什么用上面三条线段围成的三角形，就一定是直角三角形呢？它们的三边有怎样的数量关系？
AB=5，AC=4，BC=3
3 + 4 = 5
如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
证明猜想
A
B
C
a
b
c
已知：如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a2+b2=c2.
求证：△ABC是直角三角形.
构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′
△ABC是直角三角形
∠C是直角
△ABC ≌ △A′B′C′
∠C=∠C ′=90°
证明猜想
已知：如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a2+b2=c2.
求证：△ABC是直角三角形.
A
B
C
a
b
c
如图，作△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，A'C'=b.
由勾股定理可得A'B'2=a2+b2.
∵a2+b2=c2，∴A'B'2=c2，A'B'=c.
在△ABC和△A'B'C'中，
∵AB=A'B'=c，BC=B'C'=a，AC=A'C'=b.
∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).
∴∠C'=∠C=90°(全等三角形的对应角相等).
即△ABC是直角三角形.
证明：
A'
B'
C'
a
b
c
归纳
勾股定理的逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，
文字语言：
那么这个三角形是直角三角形.
符号语言：
A
B
C
a
b
c
在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若a +b
=c ，则△ABC是直角三角形，∠C=90°.
典型例题
【例1】根据下列三角形的三边a，b，c的值，判断△ABC是不是直角三角形.如果是，指出哪条边所对的角是直角.
(1) a=7，b=24，c=25； (2) a=7，b=8，c=11.
解：
(1)
∵最大边是c=25， c =625，a +b =7 +24 =625，
∴a +b =c .
∴ △ABC是直角三角形，最大边c所对的角是直角.
(2)
∵最大边是c=11， c =121，a +b =7 +8 =113，
∴a +b ≠c .
∴ △ABC不是直角三角形.
运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的一般步骤：
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
应用新知
归纳
①找：确定三角形的最长边;
②算：分别计算出最长边的平方与另两边的平方和;
③比：通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等;
④判：作出结论，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，否则不是直角三角形.
典型例题
【例2】已知：在△ABC中，三条边长分别为a=n 1，b=2n，c=n +1(n＞1).求证：△ABC为直角三角形.
证明：
∵a +b =(n 1) +(2n)
=n4 2n +1+4n
∴ △ABC是直角三角形.(勾股定理的逆定理)
=n4 +2n +1
=(n +1)
=c
已知：三边长度
证明：a +b =c
知识点1 勾股定理的逆定理
1.若三角形的三边长分别为，， ，且满足
，则这个三角形的形状是
( )
B
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断
返回
2.[2024成都期末] 当满足下列条件时， 不是直角三角
形的是( )
C
A.
B.
C.
D.，，
【点拨】A.， ，
.
. 是直角三角形.故A不符合题意.
B. ，
设，则， .
，
，
.
是直角三角形.故B不符合题意.
C.， ，
.
不是直角三角形.故C符合题意.
D.， ，
.
是直角三角形.故D不符合题意.
返回
3.[2024台州校考期中] 在如图所示的 的正方形网格中，
点和点均为图中格点.点也在格点上，若为以
为斜边的直角三角形.则这样的点 有( )
D
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
返回
4.[2024南京玄武区校级模拟] 对于平面直角坐标系内的任意
两点， ，定义它们之间的一种“距离”为
.已知不同的三点，， 满足
，则下列四个结论中，不正确的是( )
A
A.，， 三点可能构成锐角三角形
B.，， 三点可能构成直角三角形
C.，， 三点可能构成钝角三角形
D.，， 三点可能构成等腰三角形
【点拨】不妨设，，，则 ，
， ，
由，可知 ，
即 .
当，时，成立，此时
为直角三角形，故B正确；
当，时， 为等腰三角形，故D正确；
当 时，无解，故A不正确；
当时，为钝角，且 成立，故C
正确.
返回
课堂小结
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
运用勾股定理的逆定理判断直角三角形步骤：
①找 ；②算； ③比； ④判.
勾股定理与其逆定理的关系
勾股定理与其逆定理是互逆定理.
直角三角形
勾股定理
a +b =c
勾股定理的逆定理
A
B
C
a
b
c
完成教材上的课后习题
课堂作业
谢谢观看！(共19张PPT)
18.2.2 勾股定理的逆定理
第18章 勾股定理
沪科版数学八年级下册（示范课课件）
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.掌握勾股定理的逆定理，并能利用其判定一个三角形是不是直角三角形；
2.灵活应用勾股定理的逆定理解决实际问题；
（一）导入新课（5 分钟）
展示图片：呈现一些含有直角三角形的建筑、图案等，如埃及金字塔的侧面图。
提出问题：在这些直角三角形中，三条边的长度之间是否存在某种特定的关系呢？
引发思考：让学生观察自己准备的直角三角形纸片，测量三条边的长度，并尝试找出它们之间可能的规律。
（二）讲授新课（25 分钟）
探索勾股定理
让学生在方格纸上画出直角边分别为 3cm 和 4cm 的直角三角形，然后测量斜边的长度，并计算三边长度的平方。
再画出直角边分别为 5cm 和 12cm 的直角三角形，重复上述操作。
引导学生观察计算结果，猜想直角三角形三边长度的平方之间的关系。
给出多个不同边长的直角三角形，让学生分组计算三边平方并讨论规律。
请各小组代表发言，分享小组讨论发现的规律。
教师总结学生的发现，给出勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为\(a\)，\(b\)，斜边长为\(c\)，那么\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\) 。
勾股定理的证明
介绍常见的勾股定理证明方法，如赵爽弦图法、毕达哥拉斯证法等。
详细讲解赵爽弦图的构造：以直角三角形的斜边为边长构造一个大正方形，在大正方形中包含四个全等的直角三角形和一个小正方形。
逐步推导证明思路：大正方形的面积可以表示为\(c^{2}\)，也可以表示为四
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
2
1
如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
探究
E
P
N
R
Q
解：由题意得：
PQ 16 1.5 24，PR 12 1.5 18，QR 30
∵242 182 302，即PQ2 PR2 QR2
∴ QPR 90°
由“远航”号沿东北方向航行可知 1 45°
∴ 2 45°
即“海天”号沿西北方向航行.
除了航海领域，勾股定理的逆定理在实际生活中还有哪些应用呢？
归纳
解决实际问题的步骤：
1.标注有用信息，明确已知和所求；
2.构建几何模型——从整体到局部；
3.应用数学知识求解.
例1 工厂生产一批零件，如图所示，当 BAD、 BDC均为直角时才合格，经测量AD 3，AB 4，BD 5，DC 12，BC 13，这批零件是否合格？
典型例题
解：∵AD 3，AB 4，BD 5
易得AD2 AB2 BD2
∴由勾股定理的逆定理得，△ABD是直角三角形 BAD 90°.
又∵BD 5，DC 12，BC 13
可得BD2 DC2 BC2
∴△BCD为直角三角形， BDC 90°.
∴这批零件合格.
A
B
C
D
应用1 勾股定理及其逆定理在几何中的应用
1.在中，，若 ，则
( )
B
A. B. C. D.
返回
2.如图，已知在中，的垂直平分线交于点，
的垂直平分线交于点，点，为垂足，若 ，
，，则 ( )
D
A. B. C. D.
【点拨】连接， .
，， .
的垂直平分线交于点D， 的
垂直平分线交于点，， .
又， .
是直角三角形，且 .
.
返回
应用2 勾股定理及其逆定理在实际中的应用
（第3题）
3.[2024郑州期中] 放学后，彬彬先
去同学晓华家写了一个小时的作业，
然后才回到家里.已知学校 ，晓华
家，彬彬家 两两之间的距离如图
所示，且晓华家在学校 的正东方
向，则彬彬家在学校 的( )
D
A.正南方向 B.正东方向 C.正西方向 D.正北方向
返回
（第4题）
4.[2024安庆期中] 如图，学校在校园围墙边
缘开垦了一块四边形菜地 ，测得
，， ，
，且 ，则这块菜地
的面积是( )
B
A. B. C. D.
（第4题）
【点拨】连接 .
在中， ，
， ，
.
又 在中，， ，
易得 .
是直角三角形，且 .
.
这块菜地的面积是 .
（第4题）
返回
（第5题）
5.如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜
靠在左墙时,梯子底端到左墙的距离为 ,
梯子顶端距离地面 .若保持梯子底端位
置不动,将梯子斜靠在右墙时,梯子顶端距离
地面 ,则小巷的宽度为( )
D
A. B. C. D.
返回
6. 图①是儿童玩具超市购物车，图②为其侧面
简化示意图，测得支架， ，两轮中心
的距离，则点到 的距离为________.
（第6题）
（第6题）
【点拨】过点作于点 ，
则的长即为点到 的距离.
在中， ，
， ，
易知 .
为直角三角形，且 .
，
课堂小结
勾股定理的逆定理
解决实际问题的步骤
1.标注有用信息，明确已知和所求；
2.构建几何模型——从整体到局部；
3.应用数学知识求解.
勾股定理逆定理的实际应用
测量
… …
航海
完成教材上的课后习题
课堂作业
谢谢观看！
