19.4综合与实践 多边形的镶嵌 课件（共31张PPT）

(共31张PPT)
19.4综合与实践 多边形的镶嵌
第19章 四边形
沪科版数学八年级下册（示范课课件）
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.了解平面图形镶嵌的含义，掌握哪些平面图形可以镶嵌，镶嵌的理由及简单的镶嵌设计.
2.通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌，并能运用这几种图形进行简单的设计.
1.理解并掌握菱形的判定定理，能够运用这些定理进行有关的论证和计算。
了解菱形的判定定理与性质定理之间的区别与联系。
过程与方法目标
通过经历菱形判定定理的探究过程，体会类比、转化、归纳等数学思想方法，发展学生的合情推理能力和逻辑思维能力。
通过对菱形判定方法的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力以及应用数学知识的意识。
情感态度与价值观目标
在探究菱形判定定理的过程中，激发学生的学习兴趣，培养学生主动探究的精神。
通过小组合作交流，培养学生的团队协作意识和勇于创新的精神。
二、教学重难点
重点
菱形的判定定理的探究与应用。
难点
菱形判定定理的证明以及灵活运用菱形的判定定理解决实际问题。
三、教学方法
讲授法：通过清晰的讲解，向学生传授菱形判定的相关知识和定理。
讨论法：组织学生小组讨论，让学生在交流中深化对菱形判定的理解。
练习法：通过针对性的练习题，巩固学生对菱形判定定理的掌握和应用能力。
四、教学过程
（一）复习引入（5 分钟）
教师提问：同学们，我们之前学习了菱形的定义和性质，谁能来说一说菱形的定义是什么？
学生回答：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
教师继续提问：那菱形有哪些特殊的性质呢？
学生回答：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角。
教师引导：既然我们知道了菱形的性质，那么如何判定一个四边形是菱形呢？这就是我们今天要学习的内容。
（二）探究菱形的判定定理（20 分钟）
判定定理 1：四条边都相等的四边形是菱形
教师活动：教师拿出事先准备好的四条长度相等的小木棒，将它们首尾顺次连接，组成一个四边形。
提问：同学们，观察这个四边形，它是什么形状？
学生回答：菱形。
教师引导：那我们能不能从数学的角度来证明这个结论呢？
已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = DA。
求证：四边形 ABCD 是菱形。
证明：
因为 AB = CD，AD = BC，
所以四边形 ABCD 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。
又因为 AB = BC，
所以平行四边形 ABCD 是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
教师总结：由此我们得到了菱形的第一个判定定理：四条边都相等的四边形是菱形。
判定定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
教师活动：教师利用几何画板软件，画出一个平行四边形 ABCD，然后通过操作，使对角线 AC⊥BD。
提问：同学们，观察此时的平行四边形 ABCD，它有什么特殊之处？
学生回答：它是菱形。
教师引导：同样，我们来证明这个结论。
已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC⊥BD。
求证：平行四边形 ABCD 是菱形。
证明：
设 AC 与 BD 相交于点 O。
因为四边形 ABCD 是平行四边形，
所以 OA = OC（平行四边形的对角线互相平分）。
又因为 AC⊥BD，
所以 BD 是线段 AC 的垂直平分线。和一个小正方形。
逐步推导证明思路：大正方形的面积可以表示为\(c^{2}\)，也可以表示为四
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
情境引入
观看视频，感受平面图形在生活中的应用.
想一想
我们常常可以看到用各种形状的地砖（或墙砖）铺砌成的平面图案.这种用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖，在几何里面叫做平面镶嵌.
生活中你还见过类似这样拼接而成的图案吗？
探究
60°
60°
60°
60°
60°
60°
6个正三角形可以镶嵌
某同学家装修地板，在正三角形，正方形，正五边形，正六边形瓷砖中只能选择一种铺砌地面，你认为哪些可以供他选择
探究
某同学家装修地板，在正三角形，正方形，正五边形，正六边形瓷砖中只能选择一种铺砌底面，你认为哪些可以供他选择
4个正方形可以镶嵌
90°
90°
90°
90°
思考
为什么正五边形不能镶嵌，而正三角形、正方形、正六边形都能镶嵌？
正三角形、正方形、正六边形在一个顶点处的几个内角恰好拼成一个周角，这样镶嵌不重叠、无缝隙.而正五边形却不能.
归纳
平面镶嵌的条件：
要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面区域，需使得拼接点处的所有内角之和等于360°．
能单独用来镶嵌平面的正多边形的内角度数一定能整除360°.
思考
还有其它正多边形能镶嵌吗？
整理得：(n 2)(k 2)=4
设在一个顶点周围有 k 个正 n 边形的角，则有
∵ k为正整数， n为大于等于3的正整数
∴解为 或 或 .
在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不能镶嵌．
延伸
一般的三角形和四边形能镶嵌吗？
形状、大小完全相同的任意三角形能镶嵌成平面图形.
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
三角形的内角和是180°， 内角和的整数倍是360°.
延伸
一般的三角形和四边形能镶嵌吗？
形状、大小完全相同的任意四边形能镶嵌成平面图形.
在每个拼接点处有 个角，而这几个角的和恰好是这个四边形的四个内角之 ，即为 .
4
和
360°
归纳
能单独镶嵌平面的正多边形有：正三角形，正方形，正六边形.
能单独镶嵌平面的全等任意多边形有：三角形，四边形.
典型例题
【例】用正三角形和正六边形(边长相同)作平面镶嵌，在一个顶点周围，正三角形与正六边形各需要多少个？
作平面镶嵌需满足在一个顶点处各内角和等于360°.
解：设在一个顶点处有m个正三角形的角，有n个正六边形的角，
则：60m+120n=360
即：m+2n=6
所以，当m=2时，n=2；当m=4时，n=1.
答：需正三角形2个，正六边形2个或正三角形4个，正六边形1个.
分析：
知识点1 用一种多边形作平面镶嵌
1.只用一种正六边形地砖密铺地板，则能围绕在正六边形的
一个顶点处的正六边形地砖有( )
A
A.3块 B.4块 C.5块 D.6块
2. 某商店出售下列四种形状的地砖：①正
三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形.若只选购其中
一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有( )
B
A.4种 B.3种 C.2种 D.1种
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知识点2 用多种正多边形作平面镶嵌
3.如果用边长相同的正三角形和正六边形两种图形铺满平面，
那么一个顶点处需要( )
C
A.三个正三角形、两个正六边形
B.四个正三角形、两个正六边形
C.两个正三角形、两个正六边形
D.三个正三角形、一个正六边形
【点拨】正三角形的每个内角为 ，正六边形的每个内角
为 ，
A.由 知三个正三角形、两
个正六边形不符合题意；
B.由 知四个正三角形、两
个正六边形不符合题意；
C.由 知两个正三角形、两个正六
边形符合题意；
D.由 知三个正三角形、一个
正六边形不符合题意；故选C.
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4.如图是某广场用地砖铺设的部分图案，中央是
一个正六边形的地砖，周围是正三角形和正方
形的地砖.从里向外的第1层包括6个正方形和6个
正三角形地砖，第2层包括6个正方形和18个正
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三角形地砖，依此递推，第9层中含有正三角形地砖的个数
是_____.
【点拨】 第1层包括6个正三角形地砖，
第2层包括18个正三角形地砖， ，
可知每一层比上一层多12个正三角形地砖，
第层中含有 个正三角形地
砖.
当时， 个.
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知识点3 一般图形的平面镶嵌
5.我们知道形状为正五边形的地砖不能铺满
地面，但某公园的一段路面是用型号相同的
特殊的五边形地砖铺成的.如图，是拼铺图案
的一部分，其中每个五边形有3个内角相等，
那么这3个内角都等于_____ .
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【点拨】因为3个内角放在同一顶点处,组成
一个周角,所以每个内角为 .
故这3个内角都等于 .
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6.在生活中我们经常看到一些拼合图案.如图所示，它们或是
用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成，拼成的图
案要求严丝合缝，不留空隙. 从数学角度看，这些工作就是
用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这
类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题.
（1）如果限用一种正多边形来覆盖平面的一部分，正六边
形是否能镶嵌成一个平面图形 请说明理由；
【解】正六边形能镶嵌成一个平面图形，理由如下：
正六边形的内角和为 ，
正六边形的每一个内角为 .
， 正六边形能镶嵌成一个平面图形.
（2）同时用正方形和正八边形是否能镶嵌成一个平面图形
请说明理由；
同时用正方形和正八边形能镶嵌成一个平面图形，
理由如下：
正八边形的内角和为 ，
正八边形的每一个内角为 .
，
同时用1块正方形和2块正八边形能镶嵌成一个平面图形.
（3）请你探索，是否存在同时用三种不同的正多边形组合
（至少包含1块正五边形）镶嵌成的平面图形，写出验证过程.
平面镶嵌的概念：
用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖，在几何里面叫做平面镶嵌.
多边形的镶嵌
要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面区域，需使得拼接点处的所有内角之和等于360°．
平面镶嵌的条件：
课堂小结
完成教材上的课后习题
课堂作业
谢谢观看！