(共26张PPT)
20.2.2.1数据的离散程度
第20章 数据的初步分析
沪科版数学八年级下册（示范课课件）
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1. 理解方差的概念与作用.
2. 理解和掌握方差的计算公式，并能灵活运用方差知识解决问题.
3. 会用计算器计算一组数据的方差.
1.理解并掌握菱形的判定定理，能够运用这些定理进行有关的论证和计算。
了解菱形的判定定理与性质定理之间的区别与联系。
过程与方法目标
通过经历菱形判定定理的探究过程，体会类比、转化、归纳等数学思想方法，发展学生的合情推理能力和逻辑思维能力。
通过对菱形判定方法的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力以及应用数学知识的意识。
情感态度与价值观目标
在探究菱形判定定理的过程中，激发学生的学习兴趣，培养学生主动探究的精神。
通过小组合作交流，培养学生的团队协作意识和勇于创新的精神。
二、教学重难点
重点
菱形的判定定理的探究与应用。
难点
菱形判定定理的证明以及灵活运用菱形的判定定理解决实际问题。
三、教学方法
讲授法：通过清晰的讲解，向学生传授菱形判定的相关知识和定理。
讨论法：组织学生小组讨论，让学生在交流中深化对菱形判定的理解。
练习法：通过针对性的练习题，巩固学生对菱形判定定理的掌握和应用能力。
四、教学过程
（一）复习引入（5 分钟）
教师提问：同学们，我们之前学习了菱形的定义和性质，谁能来说一说菱形的定义是什么？
学生回答：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
教师继续提问：那菱形有哪些特殊的性质呢？
学生回答：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角。
教师引导：既然我们知道了菱形的性质，那么如何判定一个四边形是菱形呢？这就是我们今天要学习的内容。
（二）探究菱形的判定定理（20 分钟）
判定定理 1：四条边都相等的四边形是菱形
教师活动：教师拿出事先准备好的四条长度相等的小木棒，将它们首尾顺次连接，组成一个四边形。
提问：同学们，观察这个四边形，它是什么形状？
学生回答：菱形。
教师引导：那我们能不能从数学的角度来证明这个结论呢？
已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = DA。
求证：四边形 ABCD 是菱形。
证明：
因为 AB = CD，AD = BC，
所以四边形 ABCD 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。
又因为 AB = BC，
所以平行四边形 ABCD 是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
教师总结：由此我们得到了菱形的第一个判定定理：四条边都相等的四边形是菱形。
判定定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
教师活动：教师利用几何画板软件，画出一个平行四边形 ABCD，然后通过操作，使对角线 AC⊥BD。
提问：同学们，观察此时的平行四边形 ABCD，它有什么特殊之处？
学生回答：它是菱形。
教师引导：同样，我们来证明这个结论。
已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC⊥BD。
求证：平行四边形 ABCD 是菱形。
证明：
设 AC 与 BD 相交于点 O。
因为四边形 ABCD 是平行四边形，
所以 OA = OC（平行四边形的对角线互相平分）。
又因为 AC⊥BD，
所以 BD 是线段 AC 的垂直平分线。和一个小正方形。
逐步推导证明思路：大正方形的面积可以表示为\(c^{2}\)，也可以表示为四
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
情境引入
两台机床生产的零件都是合
格的，为了评判哪台机床生产的零件
的精度更稳定，从产品中各抽出10个
零件进行测量，结果如下表：
机床A 20.0 19.8 20.1 20.2 19.9 20.0 20.2 19.8 20.2 19.8
机床B 20.0 20.0 19.9 20.0 19.9 20.2 20.0 20.1 20.1 19.8
先分别计算它们的平均数，再比较两个平均数的大小，就能评估出哪台机床生产的零件的精度大了！
用点拨训练 跟错题说再见——《点拨训练》
知识讲解
问题⑥ 两台机床都生产直径为(20±0.2)mm的零件，为了检验产品质量，从产品中各抽出10个进行测量，结果如下(单位：mm)：
机床A 20.0 19.8 20.1 20.2 19.9 20.0 20.2 19.8 20.2 19.8
机床B 20.0 20.0 19.9 20.0 19.9 20.2 20.0 20.1 20.1 19.8
思考
你能根据以上结
果评判哪台机床生
产的零件的精度
更稳定吗？
要比较两组数据的稳定性，首先想到的是求它们的平均值：
平均值一样，这可怎么比较呢？
需要考察数据的离散程度了！
机床A 20.0 19.8 20.1 20.2 19.9 20.0 20.2 19.8 20.2 19.8
机床B 20.0 20.0 19.9 20.0 19.9 20.2 20.0 20.1 20.1 19.8
思考
你能根据以上结
果评判哪台机床生
产的零件的精度
更稳定吗？
要比较两组数据的稳定性，首先想到的是求它们的平均值：
把每组零件的直径分别用点来表示，如下图：
数据序号
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
20.2
20.1
20.0
19.9
19.8
零件直径 / mm
机床 A
数据序号
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
20.2
20.1
20.0
19.9
19.8
零件直径 / mm
机床 B
思考
把每组零件的直径分别用点来表示，如下图：
数据序号
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
20.2
20.1
20.0
19.9
19.8
零件直径 / mm
机床 A
数据序号
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
20.2
20.1
20.0
19.9
19.8
零件直径 / mm
机床 B
平均数
平均数
偏离0.2
偏离0.2
偏离平均数0.2mm的有6个，
偏离平均数0.1mm的有2个，
偏离0.1
偏离0.1
偏离平均数0.2mm的有2个，
偏离平均数0.1mm的有4个，
直观上看，容易看出机床B比机床A生产的零件的精度更稳定.
如何用数量来
刻画一组数据的离散程度呢？
归纳
统计学中常用下面的方法：
设一组数据是
来衡量这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的方差.
你现在知道怎样用数
量来比较两台机床生产的零件哪台更稳定了吗？
注意：一组数据方差越大，说明这组数据的离散程度越大.
机床A 20.0 19.8 20.1 20.2 19.9 20.0 20.2 19.8 20.2 19.8
机床B 20.0 20.0 19.9 20.0 19.9 20.2 20.0 20.1 20.1 19.8
思考
你能根据以上结
果评判哪台机床生
产的零件的精度
更稳定吗？
要比较两组数据的稳定性，首先想到的是求它们的平均值：
下面通过计算方差，来评判哪台机床的精度更稳定：
所以机床A生产的10个零件直径比机床B生产的波动大.
B机床生产的稳定！
思考
如果一组数据 a1，a2，…，an 的平均数为 ，方差为 s2，那么，另一组数据 a1+2，a2+2，…，an+2 的平均数为 ，方差为 .
s2
如果一组数据 b1，b2，…，bn 的平均数为 4，方差为 ，那么另一组数据 的平均数为 ，方差为 .
2
将一组数据中的每一个数据都加上(或减去)同一个常数，所得的一组新数据的方差不变；
归 纳
将一组数据中的每一个数据都变为原来的 k 倍，所得的一组新数据的方差变为原数据方差的 k2 倍.
不变
原方差的平方
典型例题
解：
例1 为了从甲乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测验.两人在相同条件下各射靶10次，命中的环数如下：
甲：7 8 6 8 6 5 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
请你分别计算这两组数据的方差，并判断选谁参加比赛？
典型例题
解：
乙的成绩比较稳定，故选乙参加比赛.
例1 为了从甲乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测验.两人在相同条件下各射靶10次，命中的环数如下：
甲：7 8 6 8 6 5 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
请你分别计算这两组数据的方差，并判断选谁参加比赛？
知识点1 平均数的计算
1.一组数据4,5,6，,的平均数为5，则, 的平均数为( )
B
A.4 B.5 C.8 D.11
返回
2.已知一组数据，，，， 的平均数是4，那么另一
组数据，，，， 的平均
数是( )
C
A.4 B.8 C.5 D.3
【点拨】，，，， 的平均数是4，
，
，
，，，， 的平均数是
，故选C.
返回
知识点2 平均数的应用
3.在一次青年歌手大奖赛上，七位评委为某位歌手打出的分
数如下：，，，，，， ，去掉一个最高
分和一个最低分后，所剩数据的平均数是( )
D
A.9.2 B.9.3 C.9.4 D.9.5
返回
4.小胖参加语文、数学、英语的期中测试，其中数学比三门
功课的平均分高2分，英语比语文高5分，那么三门功课中，
( ) 分数最高.
A
A.数学 B.英语 C.语文 D.无法判断
【点拨】设三门功课的平均分是 分，
则数学成绩是分，三门功课的成绩之和是 分.
所以语文和英语的成绩之和是
（分）.
所以语文成绩是 （分）.
所以英语成绩是 （分）.
因为 ，
所以数学成绩最高.故选A.
返回
5.，，，， 五名学生在一次语文测验中的平均成绩是
80分，而，， 三名学生的平均成绩是78分，那么下列说
法一定正确的是( )
D
A.， 的成绩比其他三个都好
B.， 两人的平均成绩是82分
C.最高分得主不是，，，
D.， 中至少有一人的成绩不少于83分
返回
6.数学老师在黑板上写了“小明五次单元考试的成绩”，同学
们自由提问并解答，三名同学做了如下的解答，并且他们都
答对了.
甲：去掉最高分，其余四次的平均分是85分.
乙：去掉最低分，其余四次的平均分是94分.
丙：把最高分和最低分都去掉，其余三次的平均分是92分.那
么小明五次单元考试成绩的平均分是____分.
88
【点拨】小明五次单元考试成绩的最低分为
（分）,
最高分为 （分）,
所以小明五次单元考试成绩的平均分是
（分）.
返回
7.某人在计算，，， 这四个分数的平均值时，误将其中一
个分数看成了它的倒数，他计算出的平均值与正确的结果最
多相差( )
A
A. B. C. D.
【点拨】易得 与它的倒数的差最大，则他计算出的平均值与
正确的结果最多相差 .
故答案为A.
返回
8.在一次数学考试中八一班平均分是80分，通过计算发现全
体男生的平均分是82分，全体女生的平均分是77分，则八一
班男生、女生人数之比是_____.
【点拨】设男生有人，女生有 人，根据题意，得
，化简，得 ，
.
返回
方
差
方差：
方差的意义：
一般地，在平均数相同的情况下，方差越大，则意味着这组数据对平均数的离散程度也越大；反之，其离散程度就越小.
统计学中常用下面的方法：
设一组数据是
来衡量这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的方差.
完成教材上的课后习题
课堂作业
谢谢观看！(共18张PPT)
20.2.2数据的离散程度
第20章 数据的初步分析
沪科版数学八年级下册（示范课课件）
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1. 理解方差的概念与作用.
2. 理解和掌握方差的计算公式，并能灵活运用方差知识解决问题.
3. 会用计算器计算一组数据的方差.
1.理解并掌握菱形的判定定理，能够运用这些定理进行有关的论证和计算。
了解菱形的判定定理与性质定理之间的区别与联系。
过程与方法目标
通过经历菱形判定定理的探究过程，体会类比、转化、归纳等数学思想方法，发展学生的合情推理能力和逻辑思维能力。
通过对菱形判定方法的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力以及应用数学知识的意识。
情感态度与价值观目标
在探究菱形判定定理的过程中，激发学生的学习兴趣，培养学生主动探究的精神。
通过小组合作交流，培养学生的团队协作意识和勇于创新的精神。
二、教学重难点
重点
菱形的判定定理的探究与应用。
难点
菱形判定定理的证明以及灵活运用菱形的判定定理解决实际问题。
三、教学方法
讲授法：通过清晰的讲解，向学生传授菱形判定的相关知识和定理。
讨论法：组织学生小组讨论，让学生在交流中深化对菱形判定的理解。
练习法：通过针对性的练习题，巩固学生对菱形判定定理的掌握和应用能力。
四、教学过程
（一）复习引入（5 分钟）
教师提问：同学们，我们之前学习了菱形的定义和性质，谁能来说一说菱形的定义是什么？
学生回答：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
教师继续提问：那菱形有哪些特殊的性质呢？
学生回答：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角。
教师引导：既然我们知道了菱形的性质，那么如何判定一个四边形是菱形呢？这就是我们今天要学习的内容。
（二）探究菱形的判定定理（20 分钟）
判定定理 1：四条边都相等的四边形是菱形
教师活动：教师拿出事先准备好的四条长度相等的小木棒，将它们首尾顺次连接，组成一个四边形。
提问：同学们，观察这个四边形，它是什么形状？
学生回答：菱形。
教师引导：那我们能不能从数学的角度来证明这个结论呢？
已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = DA。
求证：四边形 ABCD 是菱形。
证明：
因为 AB = CD，AD = BC，
所以四边形 ABCD 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。
又因为 AB = BC，
所以平行四边形 ABCD 是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
教师总结：由此我们得到了菱形的第一个判定定理：四条边都相等的四边形是菱形。
判定定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
教师活动：教师利用几何画板软件，画出一个平行四边形 ABCD，然后通过操作，使对角线 AC⊥BD。
提问：同学们，观察此时的平行四边形 ABCD，它有什么特殊之处？
学生回答：它是菱形。
教师引导：同样，我们来证明这个结论。
已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC⊥BD。
求证：平行四边形 ABCD 是菱形。
证明：
设 AC 与 BD 相交于点 O。
因为四边形 ABCD 是平行四边形，
所以 OA = OC（平行四边形的对角线互相平分）。
又因为 AC⊥BD，
所以 BD 是线段 AC 的垂直平分线。和一个小正方形。
逐步推导证明思路：大正方形的面积可以表示为\(c^{2}\)，也可以表示为四
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
例题讲解
例 为了比较甲、乙两个新品种水稻的产品质量，收割时各抽取了五块具有相同条件的试验田地，分别称得它们的质量，得其每公顷产量如下表（单位：t）
1 2 3 4 5
甲 12.6 12 12.3 11.7 12.9
乙 12.3 12.3 12.3 11.4 13.2
(1)哪个品种平均每公顷的产量较高？
(2)哪个品种的产量较稳定？
解：甲、乙两个新品种在试验田中的产量各组成一个样本
说明甲、乙两个新品种平均每公顷的产量一样高
下面我们来考虑甲、乙两个新品种的稳定性：
得出 。可知，甲品种每公顷的产量波动比乙品种每公顷的产量波动要小，由此估计甲品种的稳定性好
知识点 加权平均数及应用
1.已知一组数据88，98，90的权数分别是，， ，则这组数
据的加权平均数是_____.
92.2
返回
（第2题）
2.[2024德阳] 某校拟招聘一名优秀的
数学教师，设置了笔试、面试、试讲
三项水平测试，综合成绩按照笔试占
，面试占，试讲占 进行
计算，小徐的三项测试成绩如图所示，
则她的综合成绩为_____分.
85.8
返回
（第3题）
3.某公司从德、能、勤、绩、廉等五
方面按 对员工进行年终考评.
公司某职员在2023年度五个方面得分
如图所示（单位：分），则该职员的
年终考评为____分.
7.6
【点拨】由题意可得，该职员的年终
考评为
（分）.
返回
4.在一次射击训练中，某小组的成绩如下表.已知该小组的平
均成绩为7.9环，那么成绩为8环的人数为( )
环数 7 8 9
人数 2 1
C
A.5 B.6 C.7 D.8
【点拨】设成绩为8环的有 人，根据题意，得
，解得 ，
经检验,是上述方程的解. 成绩为8环的人数为7.
返回
5.[2024保定一模] 某次测试结束，嘉琪随
机抽取了九（1）班学生的成绩进行统计，
并绘制成如图所示的扇形统计图，则该班
学生的平均成绩为( )
A
A.9分 B.8.5分 C.8.3分 D.8分
【点拨】平均成绩为
（分）.
返回
6.在一次捐款活动中，某校500名同学都拿出自己的零花钱，
有捐5元、10元、20元的，还有捐50元和100元的.如图所示的
统计图反映了不同捐款额的人数及其比例，那么根据图中信
息，该校同学平均每人捐款( )
B
A.30元 B.33元 C.36元 D.35元
返回
7.为了解一个路口某时段来往车辆的
车速情况，交警随机统计了该时段部
分来往车辆的车速情况，如图，则该
时段内来往车辆的平均车速为( )
C
A.51.8千米/时 B.52千米/时
C.52.2千米/时 D.52.5千米/时
【点拨】该时段内来往车辆的平均车速为
（千米/时）.
返回
8.10名学生的平均成绩是 分，如果另外5名学生每人得84分，
那么整个组的平均成绩是( )
B
A.分 B. 分
C.分 D. 分
【点拨】15个人的总成绩为
（分），所以整个组的平均成绩为 分.
返回
总结归纳：
运用方差解决实际问题的一般步骤：
1.先计算样本数据平均数；
当两组数据的平均数相等或相近时，再利用样本方差来估计总体数据的波动情况（否则不可以直接用方差来比较离散程度）；
2.在平均数相同或接近时，比较方差；
方差越大，则意味着这组数据对平均数的离散程度越大
基本思想：用样本估计_______是统计的基本思想．在考察总
体方差时，往往总体中包含多个个体，或考察本身带有破坏性，
因此，实际中常用样本方差估计__________．
总体
总体方差
完成教材上的课后习题
课堂作业
谢谢观看！
