18.4 频数分布表与直方图 课件（共44张PPT）

(共44张PPT)
18.4频数分布表与直方图
第十八章 数据的收集与整理
冀教版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
课时导入
我们学习了条形图、折线图、扇形图等描
述数据的方法，下面介绍另一种常用来描述数
据的统计图——直方图.
知识点
频数与频率及相关概念
知1－讲
感悟新知
1
相关概念：
(1)组距：把所有数据分成若干组，每组两个端点之
间的距离称为组距．
(2)组数：把数据分成若干组，分成组的个数叫组数．
(3)频数：各组中数据的个数叫做频数．
(4)频率：频数与数据总个数的比值叫做频率．
知1－讲
感悟新知
特别提醒：
1. 各小组的频数之和等于总数；
2. 组距可以相同，也可以不同.为研究方便，本节中我们作等距分组.
知1－讲
感悟新知
例 1
有60个数据，其中最大的数据是187，最小的数
据是140，如果分组时的组距为6，那么这组数据应分为(　　)
A．7组　　B． 组　 C．8组　 　D．10组
因为这组数据的最大值是187，最小值是140，最大值与最小值的差是47，且 ，所以应分为8组. 答案：C
导引：
C
知1－讲
归 纳
感悟新知
确定组数的方法：若最大值与最小值的差除
以组距所得的商是整数，则这个商即为组数；若
最大值与最小值的差除以组距所得的商是小数，
则这个商的整数部分＋1即为组数．
感悟新知
1.
2.
一个样本有50个数据(均为整数)，其中最大值为208，最小值为169，最大值与最小值的差是________；如果取组距为5，那么这组数据应分成________组，第一组的起点为__________，第二组与第一组的分点为________．　
一个容量为80的样本，最大数据为148，最小数据为50，取组距为10，则可分成(　　)
A．10组 B．9组 C．8组 D．7组
39
8
168.5
173.5
A
知1－练
感悟新知
3.
已知10个数据如下：63，65，67，69，66，64，66，64，65，68，对这些数据编制频数分布表，其中64.5～66.5这一组的频率是(　　)
A．0.4 B．0.5
C．4 D．5
A
知1－练
感悟新知
4.
【中考·苏州】一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频率是(　　)
A．0.1 B．0.2
C．0.3 D．0.4
A
知1－练
感悟新知
5.
学校为了解七年级学生参加课外兴趣小组活动情况，随机调查了40名学生，其中，参加书法兴趣小组的有8人，文学兴趣小组的有11人，舞蹈兴趣小组的有9人，其余参加绘画兴趣小组(每人参加且只参加一个兴趣小组)，则参加绘画兴趣小组的频率是(　　)
A．0.1 B．0.15 C．0.25 D．0.3
D
感悟新知
知识点
频数分布表与直方图
2
知2－讲
频数(频率)分布表：
在表格中用画“正”字的方式统计各组的频
数，计算相应的频率，就得到频数分布表．
感悟新知
知2－讲
频数分布表制作步骤：
①算：计算该组数据中最大值与最小值的差，得到这组数据的变化范围；
②定：根据数据的个数与数据的变化范围，确定组距、组数；
③画：利用画“正”字的方法累计落在各组内的数据个数，得到各组的频数，计算相应的频率．
④列：根据上述过程列频数(频率)分布表．频数(频率)分布表一般由三(四)部分组成．即：频数分布表：
知2－讲
感悟新知
特别提醒：
1.数据所分组数没有明确要求，一般根据数据的多少，常分成5 ～10 组；
2. 为了使数据“不重不漏”，分组时常采用“上
限不在内”的原则.如：149 ～152 包含149，但不包含152.
感悟新知
知2－讲
频数直方图定义：
用长方形的长和宽来表示频数分布的统计图；它
由横轴、纵轴、条形图三部分组成：
(1)横轴：直方图的横轴表示分组的情况；
(2)纵轴：直方图的纵轴表示频数与组距的比值；
(3)条形图：直方图的主体部分是条形图，每一条是
立于横轴之上的一个长方形．
感悟新知
知2－讲
频数分布直方图：
根据频数分布表，用横轴表示各分组数据，纵
轴表示频数，用小长方形的高表示各组的频数，绘
制图形，直观表示频数的分布情况．这样的图形叫
做频数分布直方图．
感悟新知
知2－讲
频数分布直方图的特点：
(1)能够显示数据的分布情况；
(2)易于显示各组之间的频数的差别．
画频数分布直方图的步骤：
(1)确定数据的最大值与最小值；
(2)确定数据分组的组数与组距；
(3)列频数(频率)分布表；
(4)画频数分布直方图．
知2－讲
感悟新知
特别解读：
画等距分组的频数分布直方图时，为画图与看图方便，通常直接用小长方形的高表示频数.
（1）直方图中的各小长方形之间没有空隙；
（2）一般情况下，相邻各分点的规定：“上限不在内”.
感悟新知
例2
知2－讲
某中学部分同学参加全国初中数学竞赛，取得了优异的成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都是整数，试题满分120分)，并且绘制了如图所示的频数分布直方图(每组中含最低分数，但不含最高分数)，请回答：
(1)该中学参加本次数学竞
赛的共有多少人？
(2)如果成绩在90分以上(含
90分)的同学获奖，那么
该中学参赛同学的获奖率是多少？
感悟新知
知2－讲
(1)由频数分布直方图知，从左到右各分数段的人
数分别为4人、6人、8人、7人、5人、2人，
所以该中学参加本次数学竞赛的共有
4＋6＋8＋7＋5＋2＝32(人)．
(2)90分以上(含90分)的同学有7＋5＋2＝14(人)，
所以该中学参赛同学的获奖率是
×100%＝43.75%.
解：
感悟新知
知2－讲
该中学参赛同学的成绩均不低于60分；成绩
在100分以上(含100分)的同学有7人．(答案
不唯一，合理即可)
解：
(3)图中还提供了其他信息，例如该中学没有获得
满分的同学等，请再写出两条信息．
知2－讲
归 纳
感悟新知
根据频数分布直方图获取信息时，要注意三点：
(1)理解横轴、纵轴分别表示的意义；
(2)注意题目中的关键词语，如“每组中含最低分
数，但不含最高分数”等；
(3)在累计总数时不要出现遗漏或重复等错误．
知2－讲
感悟新知
特别提醒：
1. 适用条件：必须在同一个三角形中.
2. 作用：是证明角相等的常用方法，应用它证角相
等时可省去三角形全等的证明，因而更简便.
感悟新知
知2－讲
例 3
为了解某地区八年级学生的身高情况，随机抽取了60名学生，测得他们的身高(单位：cm)分别是：
156　162　163　172　160　141　152　173　180　174
157　174　145　160　153　165　156　167　161　172
178　156　166　155　140　157　167　156　168　150
164　163　155　162　160　168　147　161　157　162
165　160　166　164　154　161　158　164　151　169
169　162　158　163　159　164　162　148　170　161
(1)将数据适当分组，并绘制相应的频数分布直方图；
(2)如果身高在155 cm～170 cm(含155 cm，不含170 cm)
的学生为正常，试求身高正常的学生的百分比．
感悟新知
知2－讲
知识点
先确定最大值与最小值的差为180－140＝40(cm)，故
可将数据按组距为5进行分组，可分40÷5＝8(组)．
(1)计算这组数据的最大值与最小值的差为180－140＝
40(cm)．
确定组数与组距，将数据按组距为5进行分组，可分
为40÷5＝8(组)，即每个小组的范围分别是140≤x＜
145，145≤x＜150，150≤x＜155，155≤x＜160，160≤
x＜165，165≤x＜170，170≤x＜175，175≤x≤180.
其中x为学生身高．
导引：
解：
知2－讲
感悟新知
知识点
列频数分布表如下：
身高/cm 画“正”字计数 频数
140≤x＜145 2
145≤x＜150 3
150≤x＜155 正 5
155≤x＜160 正正 12
160≤x＜165 正正正正 20
165≤x＜170 正正 10
170≤x＜175 正一 6
175≤x≤180 2
合计 60
知2－讲
感悟新知
画频数分布直方图如图所示．
(2)由图可知，身高在正常范围内的学生人数为
12＋20＋10＝42(人)，
其所占的百分比是 ×100%＝70%.
知2－讲
归 纳
感悟新知
制作频数分布直方图要按步骤进行操作，关
键是列频数分布表；频数分布表和频数分布直方
图都表示数据落在各小组的个数；绘制频数分布
直方图是为了把表中的结果直观地表示出来，它
们是频数分布的“数”与“形”的两种不同形式，
互相补充．
知识点1 频数与频率
1.[2024唐山遵化二中期中]在一个样本中，40个数据分别落在5个小组内，
第1，2，3，5小组的频数分别是2，8，15，5，则第4小组的频数是( )
B
A.5 B.10 C.15 D.20
【解析】 第4小组的频数是 .
2.[2024石家庄二十七中期中]一名射击运动员，射靶10次，射击成绩分别
为（单位：环） ，10，8，7，7，8，9，10，9，8，则他射中9环及9环
以上的频率为( )
C
A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6
【解析】 这名射击运动员，射靶10次，其中射中9环及9环以上的有5次，
所以他射中9环及9环以上的频率为 .
变式 [2024石家庄四十八中期末]某校对1 200名女生的身高进行了测量，
身高在（单位：）这一小组的频率为 ，则该组的人数为
_____.
300
【解析】 由题意，得该组的人数为 .
频数与频率问题中，首先明确总数量与所求频数或频率的关系.通过
频率乘以总数量得到频数，或频数除以总数量得到频率.注意四舍五入取
整以符合实际情况.
知识点2 频数分布表
3.[2023唐山期中]一组数据有90个，其中最大值为141，最小值为40，取组
距为10，则可以分成( )
C
A.9组 B.10组 C.11组 D.12组
【解析】 在样本数据中最大值为141，最小值为40，它们的差是
，因为组距为10，所以 ，故可以分成11组．
4.自北京市实施垃圾分类以来，为了调动居民参与垃圾分类的积极性，某
社区实行垃圾分类积分兑换奖品活动.随机抽取了若干户家庭5月份的积分
情况，并对抽取的样本进行了整理，得到下列不完整的统计表：
积分 分
频数 4 8 16
频率
根据以上信息可得( )
B
A.， B.，
C.， D.，
【解析】 根据题意，得抽取的总户数为 ，则
， .
知识点3 频数分布直方图
第5题图
5.[2023温州中考]某校学生“亚运知识”竞赛成绩的频
数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一
个边界值）如图所示，其中成绩在80分及以上的学
生有_____人．
140
【解析】 由题图可知，成绩在80分及以上的学生
有 （人）．
6.[2024广州中考]为了解公园用地面积 （单位：公顷）的基本情况，某地
随机调查了本地50个公园的用地面积，按照， ，
，， 的分组绘制了如图所示的频数分
布直方图，下列说法正确的是( )
B
第6题图
A. 的值为20
B.用地面积在 这一组的公园个数最多
C.用地面积在 这一组的公园个数最少
D.这50个公园中有一半以上的公园用地面积超过12公顷
【解析】 由题意可得 ，故A说法错误；用
地面积在 这一组的公园个数为16，数量最多，故B说法正确；
用地面积在 这一组的公园个数最少，故C说法错误；这50个公园
中有20个公园用地面积超过12公顷，不到一半，故D说法错误.
7.教材P26T2变式[2023邢台三中期末]某中学举办了文化知识大赛
（全体同学都参与），赛后抽取部分参赛选手的答题成绩进行了相关统计，
整理并绘制成如下不完整的频数分布表和如图所示不完整的频数分布直方
图．
组别 分数段 频数 百分比
1 30
2
3 90
4
5 15
（1）被抽取选手的总人数为_____，____， ___；
300
45
5
【解析】 ， ，
．
（2）补全频数分布直方图；
解： ，
补全的频数分布直方图如图所示：
（3）若参赛成绩不低于80分即可获奖，求获奖人数所占的比例．
由题意可得，获奖人数所占的比例为 ．
课堂小结
频数分布表与
直方图
一、画频数分布直方图的方法步骤
1 ．计算最大值与最小值的差
2． 决定组距和组数
3. 列频数分布表
4. 画频数分布直方图和折线图
二、根据频数直方图解决实际问题
谢谢观看！