(共30张PPT)
19.2.1 平面直角坐标系
第十九 章平面直角坐标系
冀教版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
课时导入
如何确定直线上点的位置？
0
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
-6
7
A
B
1米
数轴上的点可以用一个数来表示，这个数叫做这个点在数轴上的坐标． 例如点A在数轴上的坐标为－3，点B在数轴上的坐标为2.反过来，知道数轴上一个点的坐标，这个的点在数轴上的位置也就确定了.
知识点
平面直角坐标系
知1－讲
感悟新知
1
如何确定平面上点的位置呢？
知1－讲
感悟新知
平面直角坐标系：平面上互相垂直且有公共原点的
两条数轴构成平面直角坐标系，
简称为直角坐标系.
-5
5
5
1
2
3
4
1
2
3
4
-2
-3
-4
x
-4
-3
-2
-1
-1
O
y
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
坐标原点
注意:
坐标轴上的点不属于任何象限．
知1－讲
感悟新知
相关概念：
水平的数轴叫做x轴或横轴，习惯上取向右为正方
向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；
x轴和y轴统称坐标轴，它们的公共原点O称为平面
直角坐标系的原点．
知1－讲
感悟新知
例 1
下列语句不正确的是( )
A．平面直角坐标系中，两条互相垂直的数轴的垂
足是原点
B．平面直角坐标系所在的平面叫做坐标平面
C．平面直角坐标系中，x轴、y轴把坐标平面分成
四部分
D．凡是两条互相垂直的直线都能组成平面直角坐
标系
D
导引：本题主要考查平面直角坐标系的概念．根据平面直角坐标系的概念可知A，B，C项正确．D项不正确，因为坐标系必须由数轴构成，且构成平面直角坐标系的两条数轴互相垂直、原点重合，故选D.
知1－讲
归 纳
感悟新知
本题应用定义法，要正确理解平面直角坐标
系的概念．理解并认识平面直角坐标系必须明确：
(1)建立直角坐标系的平面叫做坐标平面；
(2)平面直角坐标系必须具备：
①由两条数轴组成，
②这两条数轴有公共原点且互相垂直.
知1－练
感悟新知
1.
下列说法错误的是( )
A．平面内两条互相垂直的数轴就构成了平面直
角坐标系
B．平面直角坐标系中两条数轴是互相垂直的
C．坐标平面被两条坐标轴分成了四个部分，每
个部分称为象限
D．坐标轴上的点不属于任何象限
A
知1－练
感悟新知
2.
下列选项中，平面直角坐标系的画法正确的
是( )
B
感悟新知
知识点
平面上的点与直角坐标系中坐标的关系
2
知2－讲
坐标：
在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置；反之，任意一点的位置都可以用一对有序实数来表示. 这样的有序实数对叫做点的坐标.
感悟新知
知2－讲
由坐标找点
x
O
1
2
3
-1
-2
-3
1
2
-1
-2
-3
y
A
在平面直角坐标系中找到表示A(3,-2)的点.
由坐标找点的方法：
先找到表示横坐标与纵坐标的点，
然后过这两点分别作x轴与y轴的垂线，
垂线的交点就是该坐标对应的点.
感悟新知
知2－讲
平面直角坐标系中的点与有序实数对的关系：
在直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有
唯一的一个有序实数对（即点的坐标）与它对应；反
过来，对于任意一个有序实数对，都有平面上唯一的
一点与它对应.
感悟新知
例2
知2－讲
如图，在平面直角坐标系中，描出点A(0，4)，B(4，2)，C(2，－3)，D(－2，－3)，E(－4，2)，并依次连接ABCDEA.
2
4
2
4
-2
-3
-4
x
-2
y
感悟新知
知2－讲
在y轴上描出表示4的点，即得A(0，4).
分别过x轴上表示4的点和y轴
上表示2的点，作x轴和y轴的
垂线，两条垂线的交点就是
(4，2).
同理，可以描出C，D，E三点.
依次连接ABCDEA，
得到图中所示的图形.
解：
2
4
2
4
-2
-4
-4
x
-2
y
A
B
C
D
E
知2－讲
归 纳
感悟新知
根据点的坐标在平面直角坐标系中描点的方法：
假设点P的坐标为(a，b)，先在x轴上找到坐标为
a的点A，在y轴上找到坐标为b的点B，再分别过点A、
点B作x轴、y轴的垂线，两垂线的交点就是所要描出
的点P.通过平面直角坐标系，把平面中的点和坐标结
合起来，运用了数形结合思想
知2－练
感悟新知
1.
某市植物园各主要景点位置如图所示. 以南门为坐标原点，向东方向为正的直线做横轴，向北方向为正的直线做纵
轴，一小格的边长
为单位长度，建立
直角坐标系. 分别
写出东门及各景点
的坐标.
知2－练
感悟新知
如图所示，建立直角坐标系，东门及各景点的坐标分别为：东门(8，4)，喷泉(0，2)，百花坛(0，3)，盆景园(－3，5)，热带植物园(5，8)，月季园(－1.5，9.5)，小瀑布(3，11)．
解：
知识点1 平面直角坐标系的有关概念
1.下列选项中，是平面直角坐标系的是( )
B
A. B. C. D.
【解析】 A选项中，两数轴不垂直；C选项中， 轴的正方向不符合要求；
D选项中，轴和 轴均缺少正方向，所以A，C，D选项都不正确.
知识点2 用坐标表示点
2.教材P35做一做变式如图，点 的坐标是( )
D
第2题图
A. B. C. D.
写点的坐标的步骤
确定点的坐标时,①过该点向 轴作垂线,垂足对应的点表示的实数为点
的横坐标;②过该点向 轴作垂线，垂足对应的点表示的实数为点的纵坐标;③
把横坐标写在纵坐标的前面，中间用“，”分开，并把它们用小括号括起来.
第3题图
3.新趋势·传统文化[2023台州中考]如图是中国象
棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标
系，已知“車”所在位置的坐标为 ，则“炮”所
在位置的坐标为( )
A
A. B. C. D.
4.教材P38T1变式[2024邢台期中]在如图所示的网格中，每个小正方形的
边长都是.同学上学时从家中出发，先向东走，再向北走
就到达学校.
（1）以学校为坐标原点，向东为轴正方向，向北为 轴正方向，在图中
建立平面直角坐标系;
解：建立平面直角坐标系，如图所示：
（2） 同学家的坐标是___________；
（3）若同学家在同学家南偏西 方向，距同学家 处，求
同学家所在位置的坐标.
如图，将同学家看作点,过点作
轴于点，再过点作 ，交 轴
于点,则点即 同学家所在位置.
由题意可知， ，易得
,
则 ,
故同学家所在位置的坐标为 .
知识点3 根据坐标描点
5.如图，在平面直角坐标系中描出下列各点： ，
，， ,则描错的点的个数是( )
B
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】 题图中点的坐标是 ．
6.教材P54T2变式[2023庆阳期末]如图，在所给的平面直角坐标系中描出
下列各点： ，，，，， ， ，
.依次连接各点，观察所得到的图形，你觉得它像什么？
解：如图，描点，并依次连线，得到
的图形像箭头．
课堂小结
平面直角坐标系
1.平面直角坐标系的三要素：
(1)两条数轴；(2)互相垂直；(3)公共原点．
2.平面直角坐标系中两条数轴的特征：
(1)互相垂直；(2)原点重合；
(3)通常取向上、向右为正方向；
(4)单位长度一般取相同的．在有些实际问题中，
两条数轴上的单位长度可以不同．
谢谢观看！(共37张PPT)
19.2.2平面直角坐标系
点的坐标特征
第十九 章平面直角坐标系
冀教版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
课时导入
复
习
回
顾
1.什么是平面直角坐标系？
2.你能在平面直角坐标系中描出下列各点吗？
A (4,2) B(3,3) C(0,5) D(－3,－3)
3.(－5,5)和(5,－5)表示同一个点吗？
知识点
各象限内点的坐标特征
知1－讲
感悟新知
1
1、直角坐标系的横轴和纵轴将平面分成 ____ 部分，
从右上方的部分说起，按逆时针方向，各部分
依次是__________、 _________ 、 _________
和__________.
2、坐标轴上的点属于哪一象限？
四
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
知1－讲
感悟新知
各象限的坐标符号特征：
-5
5
5
1
2
3
4
1
2
3
4
-2
-3
-4
x
-4
-3
-2
-1
-1
O
y
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
（+，+）
（-，+）
（-，-）
（+，-）
原点的坐标为(0，0)
知1－讲
感悟新知
1、点P（x，y）在第一象限 x＞0，y＞0.
2、点P（x，y）在第二象限 x＜0，y＞0.
3、点P（x，y）在第三象限 x＜0，y＜0.
4、点P（x，y）在第四象限 x＞0，y＜0.
知1－讲
感悟新知
例 1
[中考·湛江]在平面直角坐标系中，点A(2，－3)在第( )象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
D
导引：
根据平面直角坐标系中四个象限内的点的坐标特征，即可确定点的位置. 答案：D
知1－讲
归 纳
感悟新知
由点的坐标(a，b)确定点的位置的方法：
方法一：由点的坐标的符号确定点的位置，即(＋，＋)的点在第一象限，(－，＋)的点在第二象限，(－，－)的点在第三象限，(＋，－)的点在第四象限；
方法二：分别过x轴上表示a的点和y轴上表示b的点，作x轴和y轴的垂线，这两条垂线的交点位置即为该点的位置.
知1－练
感悟新知
1.
点A(－3，4)在_______象限，到x轴的距离为________，到y轴的距离为______，到原点的
距离为_______.
二
4
3
5
知1－练
感悟新知
2.
下列说法错误的是( )
A．象限内的点的坐标可用一个有序数对来表示
B．坐标轴上的点的坐标可用一个有序数对来表
示
C．过点P向x轴作垂线，点P与垂足之间的线段
长是点P的纵坐标
D．过点P向y轴作垂线，点P与垂足之间的线段
长不一定是点P的横坐标
C
感悟新知
知识点
坐标轴上点的坐标特征
2
知2－讲
坐标轴上的点的坐标：
点M(x，y)所处的位置 坐标特征
在x轴正半轴上：M(正，0)
在x轴负半轴上：M(负，0)
在y轴正半轴上：M(0，正)
在y轴负半轴上：M(0，负)
点M在x轴上
点M在y轴上
感悟新知
知2－讲
拓展：
平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等；
平行于y轴的直线上的点的横坐标相等．
感悟新知
例2
知2－讲
已知点P(x＋6，x－4)在y轴上，则点P
的坐标是__________．
导引：根据y轴上点的坐标的特征可得x＋6＝
0，得x＝－6，所以x－4＝－10.故点P
的坐标是(0，－10)．
(0，－10)
知2－练
感悟新知
1.
下列坐标平面内的各点中，在坐标轴上的是( )
A．(3，3) B．(－3，0)
C．(－1，2) D．(－2，－3)
B
知2－练
感悟新知
2.
如果点A(a＋3，a)在y轴上，那么点A的坐标是( )
A．(0，3) B．(0，－3)
C．(3，0) D．(－3，0)
B
感悟新知
知识点
关于x轴、y轴和原点对称的点的坐标特征
3
知3－讲
关于x轴对称的点，横坐标相等，纵坐标互为相反数；
关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等．
关于原点对称的点，横坐标和纵坐标都互为相反数．
感悟新知
知3－讲
例 3
已知点A(a，－5)，B(8，b)，根据下列要求，确定a，b的值．
(1)A，B两点关于y轴对称；
(2)A，B两点关于原点对称；
(3)AB∥x轴；
(4)A，B两点在第一、三象限的角平分线上．
感悟新知
知3－讲
(1)当点A(a，－5)，B(8，b)关于y轴对称时，
有a＝－8，b＝－5.
(2)当点A(a，－5)，B(8，b)关于原点对称时，
有a＝－8，b＝5.
(3)当AB∥x轴时，有a≠8，b＝－5.
(4)当A，B两点位于第一、三象限的角平分线
上时，有a＝－5，b＝8.
解：
知3－练
感悟新知
1.
点B(3，－5)在第_____象限，其关于x轴的对称点的坐标为________，关于y轴的对称点的坐标为____________，关于原点的对称点的坐标为________.
四
(3，5)
(－3，－5)
(－3，5)
知3－练
感悟新知
2.
在直角坐标系中，点A的坐标为(4，2).
(1)分别画出点A关于x轴，y轴，和原点的对称点
B，C，D. 并分别写出点B，C，D的坐标.
(2)四边形ABDC是轴对称图形吗？如果是轴对
称图形，请画出它的对称轴.
(1)如图．B(4，－2)，
C(－4，2)，D(－4，－2)．
(2)是．对称轴l1，l2如图所示．
解：
知识点1 各象限内点的坐标特征
1.[2024邢台期中]下列点在第三象限的是( )
C
A. B. C. D.
变式 [2023丽水中考]在平面直角坐标系中，点 位于( )
B
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】 ， 点 在第二象限．
第2题图
2.[2024邢台襄都区月考]如图，在平面直角坐标系
中，由点向轴作垂线，垂足表示的数为 ，
向轴作垂线，垂足表示的数为，则 的值为
( )
D
A. B. C.7 D.1
【解析】 在轴和 轴上的垂足表示的数分别是点A的横坐标和纵坐标，
，， .
. .
第3题图
3.教材P40A组 变式[2024衡水枣强二中月考]如图，在平
面直角坐标系中，，两点的坐标分别为， ，
则点 在此坐标系中的第____象限.
四
【解析】 结合题图可知，，， ，
， 点 在坐标系中的第四象限.
4.教材P57B组变式在平面直角坐标系中，已知点 在第
四象限．
（1）若点到轴的距离与到轴的距离相等，求 的值；
解：因为点 在第四象限，
所以，且，解得 .
因为点到轴的距离与到 轴的距离相等，
所以，解得 .
（2）若点到轴的距离小于到轴的距离，求 的取值范围．
因为点到轴的距离小于到 轴的距离，
所以,解得 ,
所以的取值范围为 ．
知识点2 坐标轴上点的坐标特征
5.已知平面直角坐标系中的点，，，， ，
，其中不属于任何象限的点有( )
C
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】 易知其中不属于任何象限的点有，， ,共3个.
6.已知点在轴上，且距离原点5个单位长度，则点 的坐标是( )
D
A. B. C.或 D.或
【解析】 因为点C在 轴上，所以点C的横坐标为0，又因为点C距离原点
5个单位长度，所以满足题意的点C的坐标有2个，分别是， .
7.若点在轴的正半轴上，则点 的坐标为_____________．
或
【解析】 点在轴的正半轴上， ，解得
或1，或4， 点的坐标为或 ．
知识点3 平面直角坐标系中对称点的坐标特征
8.[2024石家庄期末]在平面直角坐标系中，点关于 轴对称的点在
( )
C
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】 在平面直角坐标系中.点关于 轴对称的点的坐标是
， 点关于 轴对称的点在第三象限.
9.[2024沧州期末]已知点和关于 轴对称，则
的值为____.
【解析】 点和关于 轴对称，
，，解得， ，则
.
10.在平面直角坐标系中,已知点与点关于原点对称,则点 的坐标
为________；点 到原点的距离是___.
5
【解析】 关于原点对称的点的横、纵坐标分别互为相反数,所以点 的坐
标为，所以点到轴的距离为3，到轴的距离为4，故点 到原点
的距离为 .
. .
知识点4 象限角平分线和平行于坐标轴的直线上点的坐标特征
11.教材P40B组变式在平面直角坐标系中，已知点，线段 与
轴平行，则点 的坐标可能是_____________________.（写出一个即可）
（答案不唯一）
【解析】 若线段与轴平行，则点的横坐标与点 的横坐标相同.
如果一直线平行于 轴,那么该直线上的所有点的纵坐标都相同;如果一直
线平行于 轴,那么该直线上的所有点的横坐标都相同.
12.若点在第一、三象限的角平分线上，且点到轴的距离为2，则点
的坐标是________________.
或
【解析】 由于点在第一、三象限的角平分线上，所以点 的横、纵坐标
相同，又因为点到轴的距离为2，所以点的坐标为或 .
课堂小结
平面直角坐标系
点的坐标特征
1. 第一、二、三、四象限内点的坐标的符号依次
为(＋，＋)，(－，＋)，(－，－)，(＋，－)．
2．x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0.
课堂小结
平面直角坐标系
点的坐标特征
3．纵坐标相同的点的连线平行于x轴(或与x轴重合)；
横坐标相同的点的连线平行于y轴(或与y轴重合)．
4．关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；
关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等；
关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数.
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