(共48张PPT)
22.1.1 平行四边形
及其边角性质
第二十二章 四边形
冀教版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
知识点
平行四边形的定义
知1－讲
感悟新知
1
在我们的周围存在着许多四边形.观察下列图片，
从中找出四边形，并就它们的共同特性和不同特性，
和大家交流你的看法.
教室 瓷砖图案 伸缩门 晾衣架
知1－讲
感悟新知
上面图片中的四边形可以归类为以下四种：
我们把两组对边分别平行的四边形叫做平行四边
形(parallelogram).连接平行四边形不相邻的两个顶点
的线段叫做平行四边形的对角线(diagonal). 两条对角
线的交点叫做平行四边形的中心(center).
知1－讲
感悟新知
如图，四边形ABCD是平行四边形，记作
“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.线段AC，
BD为□ABCD的两条对角线，点O为它的中心.
知1－讲
感悟新知
1. 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2. 表示方法：平行四边形用符号“ ”表示，如图，平
行四边形ABCD记作“ ABCD”，
读作“平行四边形 ABCD”．
3. 数学表达： 四边形ABCD是平行四边形.
即：若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行
四边形；若四边形ABCD是平行四边形，则AB∥CD，
AD∥BC.
AB∥CD
AD∥BC
知1－讲
感悟新知
特别提醒：
1.平行四边形的定义有两个要素：
（1）是四边形；
（2）两组对边分别平行.
作为四边形，平行四边形具有一般四边形的一切性质，如有四条边，四个内角，两条对角线，内角和为360°等 . 作为平行四边形，它区别于其他一般四边形的特殊性质为：平行四边形的两组对边分别平行 .
知1－讲
感悟新知
2.平行四边形的定义既是它的一个性质，又是它的一种判定方法：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥ CD，AD ∥ BC，反过来，∵ AB ∥ CD，AD ∥ BC，∴四边形ABCD 是平行四边形.
知1－讲
感悟新知
例 1
如图，在 ABCD中，过点P作直线EF，GH分别平
行于AB，BC，那么图中共有______
个平行四边形．
9
知1－讲
归 纳
感悟新知
平行四边形的定义的功能：平行四边形的定义既
是平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别平
行；又是平行四边形判定的一种方法：两组对边分别
平行的四边形是平行四边形．对于任何一个几何定义，
都具有两种功能，顺用是判定，逆用是性质．
对于几何计数问题，要按照一定的顺序(如从小
到大等)分类计数，做到不重复不遗漏．
知1－练
感悟新知
1. 如图，在 ABCD中，AC平分∠DAB，AB=3.求 ABCD的周长.
解：在 ABCD中，AB＝DC，BC＝AD，AD∥BC，所以∠DAC＝∠BCA.因为AC平分∠DAB，所以∠DAC＝∠BAC.所以∠BAC＝∠BCA.所以AB＝CB.又因为AB＝3，所以AD＝DC＝BC＝AB＝3.所以 ABCD的周长为AD＋DC＋BC＋AB＝3＋3＋3＋3＝12.
知1－练
感悟新知
2. 如图， ABCD中，EF∥GH∥BC，MN∥AB，则图中平行四边形的个数是( )
A．13
B．14
C．15
D．18
D
知1－练
感悟新知
3.【中考·广州】如图，E，F分别是 ABCD的边AD，BC上的点，EF＝6，∠DEF＝60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为( )
A．6
B．12
C．18
D．24
C
感悟新知
知识点
平行四边形的中心对称性
2
知2－讲
1. 如图，在半透明的纸上画一个 ABCD，再复制一个.
将两个图形完全重合，用大头针钉在中心处.使下面
的图形不动，将上面的图形绕中心O旋转180°.这
两个图形能完全重合 平行四边形是不是中心对称
图形？如果是中心对称图形，哪个点是它的对称中
心？被对角线分成的三角形中，关于点O成中心对
称的三角形有几对？
感悟新知
知2－讲
2. 在上面的活动过程中，你发现了 ABCD的对边AD与
CB，AB与CD之间具有怎样的数量关系？对角∠BAD
与∠DCB，∠ABC与∠CDA之间具有怎样的数量关系？
线段OA与OC，OB与OD之间具有怎样的数量关系
3. 把你的发现写出来，说明理由，并将结果与大家交流.
知2－讲
归 纳
感悟新知
平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两
条对角线的交点.
感悟新知
例2
知2－讲
下列所述图形中，是中心对称图形的是( )
A．直角三角形 B．平行四边形
C．正五边形 D．正三角形
B
根据中心对称图形的定义对各选项分析判断即可
得解．A、直角三角形不是中心对称图形，故本选
项错误；B、平行四边形是中心对称图形，故本选
项正确；C、正五边形不是中心对称图形，故本选
项错误；D、正三角形不是中心对称图形，故本选
项错误.故选B．
解析：
知2－讲
归 纳
感悟新知
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形
是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.
感悟新知
知2－讲
在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的三
个顶点坐标分别是A(a，b)，B(4，－2)，C(－a，－b)，则关于点D的说法正确的是( )
甲：点D在第一象限．乙：点D与点A关于原点对称．
丙：点D的坐标是(－4，2)．
丁：点D与原点距离是2 .
A．甲乙 B．丙丁 C．甲丁 D．乙丙
B
感悟新知
知识点
平行四边形的性质——对边相等
3
知3－讲
根据定义画一个平行四边形，观察它，除了
“两组对边分别平行”外，它的边之间还有什么
关系？
通过观察和度量，我们猜想：平行四边形的
对边相等；下面我们对它进行证明.
探究
知3－讲
感悟新知
证明：如图，连接AC.
∵AD//BC，AB//CD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
又AC是△ABC和△CDA的公共边，
∴ △ABC≌△CDA.
∴AD=CD，AB=CD.
知2－讲
归 纳
感悟新知
这样我们证明了平行四边形具有以下性质：
平行四边形的对边相等.
知3－讲
感悟新知
1. 边的性质：平行四边形对边平行；平行四边形对边
相等．
2. 数学表达式：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
AB＝CD，AD＝BC.
感悟新知
知3－讲
例 3
[中考·玉林]如图，在 ABCD中，BM是∠ABC的平分线，交CD于点M，且MC＝2， ABCD的周长是14，则DM等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C
知2－讲
归 纳
感悟新知
当题目中平行线和角平分线同时出现时，极有可
能出现等腰三角形，如本题中由AB∥CD和BM平分
∠ABC就得到△BCM是等腰三角形；在平行四边形
的边的计算中，“平行四边形相邻两边之和等于平行
四边形的周长的一半”会经常用到．
知3－练
感悟新知
1. 在 ABCD 中，已知AB=3，AD=2，求 ABCD的周长.
解：在 ABCD中，因为AB＝CD，AD＝BC，AB＝3，AD＝2，所以CD＝3，BC＝2.
所以 ABCD的周长为
AB＋CD＋AD＋BC＝3＋3＋2＋2＝10.
知3－练
感悟新知
2. 已知：如图，在 ABCD 中，
E为BC的中点，DE与AB的延
长线相交于点F.求证：B为
AF的中点.
知3－练
感悟新知
在 ABCD中，因为AB∥CD，所以∠FBE＝∠DCE.因为E为BC的中点，所以BE＝CE.
在△FBE和△DCE中，
所以△FBE≌△DCE.所以BF＝CD.
又因为AB＝CD，所以BF＝AB，即点B为AF的中点．
证明：
感悟新知
知识点
平行四边形的性质——对角相等
4
知4－讲
探究
根据定义画一个平行四边形，观察它，除了
“两组对边分别平行”外，它的角之间还有什么
关系？度量一下，和你的猜想一致吗？
通过观察和度量，我们猜想：平行四边形的
对角相等；下面我们对它进行证明.
知4－讲
感悟新知
证明：如图，连接AC.
∵AD//BC，AB//CD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
又AC是△ABC和△CDA的公共边，
∴ △ABC≌△CDA.
∴∠B=∠D.
请同学们自己证明∠BAD=∠DCB.
知4－讲
归 纳
感悟新知
这样我们证明了平行四边形具有以下性质：
平行四边形的对角相等.
知4－讲
感悟新知
角的性质：平行四边形对角相等；平行四边形邻角互补．
数学表达式：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°，
∠C＋∠D＝180°，∠A＋∠D＝180°.
知4－讲
感悟新知
例4
如图，在 ABCD中，已知∠A＋∠C＝120°，求平
行四边形各角的度数．
导引：由平行四边形的对角相等，
得∠A＝∠C，结合已知条件
∠A＋∠C＝120°，即可求出∠A和∠C的度数；
再根据平行线的性质，进而求出∠B，∠D的度数．
知4－讲
感悟新知
解： 在 ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D.
∵∠A＋∠C＝120°，∴∠A＝∠C＝60°.
∵∠D＝180°－∠A＝180°－60°＝120°.
∴∠B＝∠D＝120°.
知4－讲
归 纳
感悟新知
平行四边形中求有关角度的基本方法是利用平
行四边形对角相等，邻角互补的性质，并且已知一
个角或已知两邻角的关系可求出其他三个角的度数．
1. 关于平行四边形，下列说法正确的是( )
B
A. 既是中心对称图形，又是轴对称图形
B. 是中心对称图形，但不是轴对称图形
C. 不是中心对称图形，但是轴对称图形
D. 不是中心对称图形，也不是轴对称图形
返回
（第2题）
2. 如图，在中，，，分别是 ，
，上的点，且， ，
，则图中平行四边形共有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
返回
（第3题）
3. [2024石家庄裕华区期中] 如图，
中，平分交于，若 ，
则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
（第3题）
【点拨】 四边形 是平行四边形,
， .
.
平分， .
， .
， 故选B.
返回
4.在中，，，则 的周长
是____ .
22
（第5题）
5.如图，在坐标系中，，， 三点
的坐标分别为，， ，则点
的坐标为________.
返回
（第6题）
6.如图，在中，，
于点，若 ，则____ .
50
返回
7.如图，在中，的平分线交 的延长线于
点，，，则 的长为___.
5
返回
8. 如图，在平行四边形中，， 是对角
线上的两点，且，求证： .
【证明】 四边形 是平行四边形，
，， .
在和中，
， .
返回
（第9题）
9. 如图，将一个平行四边形分成16个全等
的小平行四边形，，，，，， 均在
小平行四边形的顶点上.若和
的面积分别是, ，则( )
C
A. B.
C. D.
返回
10. 在中，， 平分
交于点，平分交于点，且 ，
则 的长为( )
D
A. 4 B. 6 C. 6或8 D. 4或6
课堂小结
平行四边形及其
边角性质
1. 平行四边形的定义既可当性质用，又可当判定
用．平行四边形是中心对称图形，其对称中心是
两对角线的交点．
2. 平行四边形的边、角的性质为证明线段的平行和
相等、角的互补和相等提供了很重要的依据．注
意常和全等三角形一起综合运用．
谢谢观看！(共36张PPT)
22.1.2 平行四边形
及其边角性质
第二十二章 四边形
冀教版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
课时导入
如果从泽当出发，向南行进，以穿越藏南分水岭遇
到的第一个小镇哲古为起点，做一个连线游戏，往西南，
连接洛扎；往东，连接隆子;往东南，连接错那.于是我
们看到，一个标准的平行四边形清晰地镶嵌在山南南端.
你想了解平行四边形
的知识吗？
知识点
平行四边形的性质——对角线互相平分
知1－讲
感悟新知
1
探究
如图 ，在 ABCD 中，连接 AC，
BD，并设它们相交于点O, OA与OC，
OB与OD有什么关系？你能证明发现
的结论吗？
我们猜想，在 ABCD中，OA=OC，OB=OD.
知1－讲
感悟新知
与证明平行四边形的对边相等、对角相等的方
法类似，我们也可以通过三角形全等证明这个猜想.
请你结合图完成证明.
已知：如图，在 ABCD 中，对角线AC，BD相交于点O.
求证： OA=OC，OB=OD.
证明：在△AOB和△COD中，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠BAO=∠DOC.
又∵∠AOB=∠COD.∴△AOB≌ △COD.
∴OA=OC， OB=OD.
知1－讲
归 纳
感悟新知
由此我们又得到平行四边形的一个性质：
平行四边形的对角线互相平分
知1－讲
感悟新知
例 1
已知：如图，O为 ABCD两条对角线的交点，AC= 24 mm，BD=38 mm，BC= 28 mm.求△AOD的周长.
知1－讲
感悟新知
解：在 ABCD 中，
∵ AC= 24 mm，BD=38 mm，
∴
又∵BC=28cm，∴AD=BC=28cm.
∴ △AOD的周长=AO+OD+AD=12+19+28=59(mm).
知1－练
感悟新知
1. 如图，在 ABCD中，AB=5 cm，AC=6 cm，BD=8 cm.求△AOB和△AOD的周长.
知1－练
感悟新知
在 ABCD中，AC与BD互相平分．又因为AC＝6 cm，BD＝8 cm，所以OA＝OC＝ AC＝3 cm，OB＝OD＝ BD＝4 cm.因为AB＝5 cm，且32＋42＝52，即OA2＋OB2＝AB2，所以∠AOB＝90°，所以∠AOD＝90°，所以AD＝ ＝5(cm)．所以△AOB的周长为AB＋OA＋OB＝5＋3＋4＝12(cm)，△AOD的周长为OA＋OD＋AD＝3＋4＋5＝12(cm)．
解：
知1－练
感悟新知
4.【 中考·常州】如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列说法一定正确的是( )
A．AO＝OD
B．AO⊥OD
C．AO＝OC
D．AO⊥AB
C
感悟新知
例2
知1－讲
如图，已知 ABCD与 EBFD的顶点A，E，F，C
在一条直线上，求证：AE＝CF.
感悟新知
知1－讲
证明：如图，连接BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)．
∵四边形EBFD是平行四边形，
∴OE＝OF(平行四边形的对角线互相平分)，
∴OA－OE＝OC－OF，即AE＝CF(等式的性质)．
知1－练
感悟新知
4.【中考·青岛】如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝3，AC＝2，BD＝4，则AE的长为( )
A. B.
C. D.
D
知1－练
感悟新知
5.【中考·眉山】如图，EF过 ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若 ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为( )
A．14
B．13
C．12
D．10
C
感悟新知
知识点
平行四边形的面积
2
知2－讲
在平行四边形中，从一条边上的任意一点，向对
边画垂线，这点与垂足间的距离(或从这点到对边垂线
段的长，或者说这条边和对边的距离)，叫做以这条边
为底的平行四边形的高．这里所说的“底”是相对高
而言的．在平行四边形中，有时高是指垂线段本身，
如作平行四边形的高，就是指作垂线段．所以平行四
边形的高，在作图时一般是指垂线段本身．在进行计
算时，它的意义是距离，即长度．
感悟新知
知2－讲
平行四边形的面积等于它的底和高的积，即
S ABCD ＝a·h．其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离，即对应的高，如图(1)．要避免学生发生如图(2)的错误．为了区别，有时也可以把高记成ha、hAB ，表明它们所对应的底是a或AB．
感悟新知
知2－讲
1. 面积公式：平行四边形的面积＝底×高(底为平行四边
形的任意一条边，高为这条边与其对边间的距离)．
2. 等底等高的平行四边形的面积相等．
要点精析
(1)求面积时，底和高一定要对应，必须是底边上的高；
(2)等底等高的平行四边形与三角形面积间的关系：
三角形面积＝与它等底等高的平行四边形面积的一半.
感悟新知
知2－讲
例 3
已知：如图，在 ABCD中，对角线AC，BD
相交于点O，直线EF过O点，交DA于点E，交BC于点F.
求证：OE=OF，AE=CF，DE=BF.
感悟新知
知2－讲
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，且对角线AC，
BD相交于点O，
∴OA=OC，∠EAO=∠FCO.
又∵∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF.
∴OE=OF，AE=CF.
又∵AD=CB，
∴DE=AD-AE=CB-CF=BF.
知2－练
感悟新知
1. 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F， ABCD的面积为24. 求图中阴影部分的面积.
知2－练
感悟新知
解：在 ABCD中，OD＝OB，AD∥BC.因为AD∥BC，
所以∠EDO＝∠FBO，
在△DOE和△BOF中，
所以△DOE≌△BOF.
所以S△DOE＝S△BOF.所以阴影部分的面积为S△AOE＋S△BOF＋S△DOC＝S△AOE＋S△DOE＋S△DOC＝S△ADC＝
S ABCD＝ ×24＝12.
知2－练
感悟新知
4.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则图中阴影部分的面积为( )
A．3
B．6
C．12
D．24
C
（第1题）
1. 如图，的对角线与 相交
于点 ，则下列结论一定正确的是( )
B
A.
B.
C.
D.
返回
（第2题）
2. 如图，在 中，
，，，则 的周
长是( )
A
A. 21 B. 22 C. 25 D. 32
【点拨】 四边形是平行四边形， ，
，， ，
的周长为 .故选A.
（第2题）
返回
3. [2024西安雁塔区模拟] 如图，平行四边形 的对角线
，交于点，若，， ，则
的长为( )
（第3题）
A
A. B. C. D.
（第3题）
【点拨】 四边形 是平行四边形，
， .
，， ，
， ，
，
.故选A.
返回
4.如图，的对角线，相交于点，过点 的直线
分别交，于点，，若， ，则
____.
（第4题）
24
返回
5.如图，的对角线相交于点 ，
直线经过点与， 分别相交于
点，，于点， 于
点，则与 是否相等？请说明理
由.
【解】 .理由如下：
四边形是平行四边形， .
于点，于点 ，
.
在和中，
， .
返回
（第6题）
6. 如图，在平行四边形 中，对角线
，相交于点，点， 分别是对角
线上的点，且 ，根据以
上条件能判定相等的线段共有( )
D
A. 5对 B. 6对 C. 7对 D. 8对
（第6题）
【点拨】 四边形 为平行四边形，
，， ，
.
在和中，
， ，
. ，， .
相等的线段共有8对，故选D.
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（第7题）
7. 如图，的对角线， 交
于点，平分交于点 ，且
，，连接 ，
下列结论：
； ；
； .
其中成立的个数是( )
C
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
课堂小结
平行四边形的
对角线性质
1. 平行四边形的对角线互相平分.几何语言：如图
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO.
知识解析：(1)对角线互相平分是平行四边形所特有的
性质；(2)在平行四边形中证明线段相等,一般都与边和对角线有关系.而在证明两线段互相平分时，也常常要先证明由这两条对角线所组成的四边形是平行四边形.
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