(共39张PPT)
22.2.1 由边的关系判定
平行四边形
第二十二章 四边形
冀教版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
课时导入
平行四边形的性质
平行四边形对边平行且相等；
平行四边形对角相等；
平行四边形对角线互相平分；
课时导入
一装潢店要招聘店员，老板出了这样一道考题：
“一顾客要一张平行四边形的玻璃，你利用工具度
量哪些数据可说明这张玻璃符合顾客要求.”
如何说明下图是平行四边形？
知识点
由两组对边分别平行判定平行四边形
知1－讲
感悟新知
1
平行四边形的定义既是它的一个性质，又是它的一种
判定方法：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴
反过来， ∵ ∴四边形ABCD是平行四边形.
AB∥CD
AD∥BC
AB∥CD
AD∥BC
知1－讲
感悟新知
例 1
如图，在 ABCD中，∠1＝∠2.
求证：四边形BEDF是平行四边形．
导引：要证四边形BEDF是平行四边形，由定义知需证：
DE∥BF及DF∥BE，其中DE∥BF可由 ABCD的
性质得出，而DF∥BE可通过同位角相等推出．
知1－讲
感悟新知
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB(平行四边形的两组对边分别平行)，
∴DE∥BF，∴∠1＝∠DFA.
又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠DFA，∴DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形(两组对边分别平
行的四边形是平行四边形)．
知1－练
感悟新知
1. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形吗？为什么？
解：是；说明理由略．
知1－练
感悟新知
2. 已知：如图，把△ABC绕边BC的中点O旋转180°得到△DCB. 求证：四边形ACDB是平行四边形.
解：由把△ABC绕边BC的中点O
旋转180°得到△DCB可知，
AB＝CD，∠ABC＝∠DCB，由∠ABC＝∠DCB得AB∥CD，所以四边形ACDB是平行四边形．
知1－练
感悟新知
小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，她带了两块碎玻璃，其编号应该是( )
A．①②
B．①④
C．③④
D．②③
D
4.
感悟新知
知识点
由一组对边平行且相等判定平行四边形
2
知2－讲
小明用下列方法得到一个四边形ABCD.
画两条互相平行的直线，在这两条直线上分别截
取线段AB=CD，连接AD，BC，得四边形ABCD.
感悟新知
知2－讲
(1)将线段AB沿BC方向平行移动，线段AB与CD能不能
重合？你认为这样得到的四边形ABCD是不是平行四边形？
(2)由此，你发现了什么结果？与大家交流.
我们发现：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
现在，我们来证明这个结论.
已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
知2－讲
感悟新知
证明：如图，连接BD.
在△ABD和△CDB中，
∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD.
∵AD=CB，BD=DB，∴△ABD≌△CDB.
∴∠ABD=∠CDB. ∴AB∥DC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
知2－讲
感悟新知
平行四边形的判定定理1：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：如图，在四边形ABCD中，
∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
感悟新知
例2
知2－讲
已知：如图，在 ABCD中，E为BA延长线上一点，F为DC延长线上一点，且AE=CF，连接 BF，DE.
求证：四边形BFDE是平行四边形.
感悟新知
知2－讲
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD.
又∵AE=CF，
∴BE=BE+AE=DC+CF=DF.
且BE∥DF.
∴四边形BFDE是平行四边形．
知2－练
感悟新知
1. 将两块全等的含30°角的三角尺按如图的方式摆放在一起，则四边形ABCD是平行四边形吗？请尝试用多种方法说明理由.
解：是；说明理由略．
知2－练
感悟新知
2. 如图，在 ABCD中，延长AB到点E，延长CD到点F，使BE=DF. 猜想线段AC与EF之间的关系，并证明自己的猜想.
知2－练
感悟新知
解： AC与EF互相平分；
证明如下：如图，连接AF，CE.
在 ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，
因为BE＝DF，所以AE＝CF，
又因为AE∥CF，
所以四边形AECF是平行四边形，所以AC与EF互相平分．
感悟新知
知识点
平行线之间的距离
3
知3－讲
距离是几何中的重要度量之一.前面我们已经学习
了点与点之间的距离、点到直线的距离.在此基础上，
我们结合平行四边形的概念和性质，介绍两条平行线
之间的距离.
感悟新知
知3－讲
如图，a∥b，c∥d，c，d与a，b分别相交于A，
B，C，D四点. 由平行四边形的概念和性质可知，四
边形ABDC是平行四边形，AB=CD. 也就是说，两条
平行线之间的任何两条平行线段都相等.
知3－讲
归 纳
感悟新知
从上面的结论可以知道，如果两条直线平行，
那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相
等.两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直
线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.如图，A
是a上的任意一点，AB丄b，B是垂足，
线段AB的长就是a，b之间的距离.
知3－讲
感悟新知
定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一
条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
要点精析
(1)点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线
段的长度；
(2)三种距离之间的区别与联系如下表：
知3－讲
感悟新知
类别 两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线间的距离
区别 连接两点的线段的长度 直线外一点到直线的垂线段的长度 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的垂线段的长度
联系 最后都归结为两点间的线段的长度
感悟新知
知3－讲
例 3
求证：平行线间的距离处处相等.
已知：如图，EF∥MN，A，B为直线EF上任意两点，
AD丄MN，垂足为D，BC丄MN，垂足为C.
求证：AD=BC.
证明：∵ AD丄MN，BC丄MN，
∴AD∥BC.
又∵EF∥MN，∴四边形ADCB为平行四边形.
∴AD=BC.
知3－讲
归 纳
感悟新知
误区1：“距离”是一条线段的长度，而不是一
条线段；误区2：“两点之间的距离”不需要垂直，
而另外两个距离都需要垂直．
知3－练
感悟新知
1.
直线a上有一点A，直线b上有一点B，且a∥b.点P在直线a，b之间，若PA＝3，PB＝4，则直线a，b之间的距离( )
A．等于7 B．小于7
C．不小于7 D．不大于7
D
知3－练
感悟新知
如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，E，G为垂足，则下列说法不正确的是( )
A．AB＝CD
B．EC＝FG
C．A，B两点间的距离
就是线段AB的长度
D．a与b之间的距离就是线段CD的长度
D
2.
1. [2024镇江校级月考] 依据所标数据，下列一定为平行四边
形的是( )
C
A. B. C. D.
返回
2. 如图，在四边形中， ，若添加一个条
件，使四边形 为平行四边形，则下列错误的是( )
（第2题）
A
A. B.
C. D.
返回
3. 把一个平行四边形任意分割成两个梯形，这两个梯形中总
是相等的是( )
A
A. 高 B. 上下两底的和
C. 周长 D. 面积
4.在四边形中，，.当 ___时，四边
形 是平行四边形.
8
返回
5.如图，在中，点，分别在边， 上，且
，若 ，则 的度数是____.
（第5题）
返回
6.如图，在中， ， ， ，
将沿方向向右平移得到 .若平移距离是3，则
四边形 的面积为____.
12
返回
7.如图，在四边形中，， ，垂足分别
为点，,连接, .请你只添加一个条件（不另加辅助
线），使得四边形 为平行四边形，你添加的条件是
________________________.
（答案不唯一）
返回
8.如图，在四边形中，， 为
上一点，且， ，
，求证：四边形 为平行
四边形.
【证明】， .
又， ，
， .
， .
又， 四边形 为平行四边形.
返回
9. 如图，在四边形中， ，
.求证：四边形 是平行四边形.
以下是排乱的证明过程：
A
A. B.
C. D.
，. 四边形 是平行四
边形.③连接，，， .
.证明步骤正确的顺序是( )
返回
课堂小结
平行四边形的判定方法：如图：
(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
几何语言：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
由边的关系判定
平行四边形
课堂小结
由边的关系判定
平行四边形
(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
几何语言(如图)：
∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
谢谢观看！(共42张PPT)
22.2.2 由边、对角线的关系
判定平行四边形
第二十二章 四边形
冀教版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
知识点
由两组对边的关系判定平行四边形
知1－讲
感悟新知
1
如图将两长两短的四根细木条用小钉绞合在一起，
做成一个四边形，使等长的木条成为对边．转动这个
四边形，使它形状改变，在图形变化的过程中，它一
直是一个平行四边形吗？
课时导入
木条在转动过程中，虽然形状发生了变化，但始终是
平行四边形。
由此我们可以猜想：
两组对边分别相等的
四边形是平行四边形。
你能通过几何证明验证你的猜想吗？
B
C
A
D
知1－讲
感悟新知
已知：在四边形ABCD中, AB=CD，AD=BC.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：连结AC，在△ABC和△CDA中
∴△ABC≌△CDA (SSS)
知1－讲
感悟新知
B
D
A
C
2
1
3
4
∴∠1=∠2，∠3=∠4 (全等三角形的对应角相等)
∴ AB∥CD，AD∥BC (内错角相等，两直线平行)
∴四边形ABCD是平行四边形. (平行四边形的定义)
知1－讲
归 纳
感悟新知
通过证明验证了猜想的正确性，因此我们得到平行四
边形的判定定理1：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
数学语言表示：
∵AB＝CD，AD＝BC (已知)
∴四边形ABCD是平行四边形.
(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)
B
D
A
C
知1－讲
感悟新知
例 1
如图，分别以△ABC的三边为一边，在BC的同侧作等边三角形ABD，等边三角形BCE，等边三角形ACF，连接DE，EF.
求证：四边形ADEF是平行
四边形．
知1－讲
感悟新知
证明：∵△ABD、△BCE、△ACF都为等边三角形，
∴DB＝AB＝AD，BE＝BC，AC＝AF，
∠DBA＝60°，∠EBC＝60°.
∴∠DBE＝60°－∠EBA，∠ABC＝60°－∠EBA.
∴∠DBE＝∠ABC.∴△DBE≌△ABC.∴DE＝AC.
又∵AC＝AF，∴AF＝DE.
同理可证△ABC≌△FEC，∴AB＝FE.∴FE＝AD.
∴四边形ADEF是平行四边形．
知1－练
感悟新知
1.已知：如图， AC为 ABCD的对角线，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F.
求证：四边形DEBF是平行四边形
知1－练
感悟新知
证明：在 ABCD中，AD∥BC，AD＝BC.
因为DE⊥AC，BF⊥AC，
所以∠DEA＝∠DEF＝∠BFE＝∠BFC＝90°，
因为AD∥BC，所以∠DAE＝∠BCF，
在△ADE和△CBF中，
所以△ADE≌△CBF，所以DE＝BF，因为∠DEF＝∠BFE＝90°，所以DE∥BF，所以四边形DEBF是平行四边形．
感悟新知
知识点
由对角线互相平分判定平行四边形
2
知2－讲
通过前面的学习，我们知道，平行四边形的对边相
等、对角相等、对角线互相平分.反过来，对边相等，或
对角相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？
也就是说，平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？
下面我们以“对角线互相平分的四边形是平行四边
形”为例，通过三角形 全等进行证明.
思考
感悟新知
知2－讲
如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，
且OA=OC，OB=OD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明： ∵OA=OC，OD=OB,
∠AOD=∠COB，
∴△ AOD≌△COB.
∴∠OAD=∠OCB.
∴AD//BC. 同理 AB//DC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
知2－讲
归 纳
感悟新知
平行四边形的判定定理3：
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．
符号语言：如图，
在四边形ABCD中，
∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
感悟新知
例2
知2－讲
已知：如图， ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为OA，OC的中点.
求证：四边形EBFD是平行四边形.
感悟新知
知2－讲
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD.
∵E，F分别为OA，OC的中点.
∴OE=OF.
∴四边形EBFD是平行四边形．
知2－练
感悟新知
1. 已知：如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O交AD于点E，交BC于点F，G是OA的中点，H是OC的中点.
求证：四边形EGFH是平行四边形.
知2－练
感悟新知
解：在 ABCD中，AD∥BC，OA＝OC，
因为AD∥BC，所以∠EAO＝∠FCO，
在△AEO和△CFO中，
所以△AEO≌△CFO，
所以EO＝FO，因为G是OA的中点，H是OC的中点，
所以OG＝OH＝ OA＝ OC，
所以四边形EGFH是平行四边形．
知2－练
感悟新知
【中考·牡丹江】如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO＝CO，请添加一个条件______________(只添一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．
BO＝DO
2.
知2－练
感悟新知
【中考·昆明】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A．AB∥CD，AD∥BC
B．OA＝OC，OB＝OD
C．AD＝BC，AB∥CD
D．AB＝CD，AD＝BC
C
3.
感悟新知
知识点
平行四边形判定方法的综合应用
3
知3－讲
[中考·仙桃]如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F为对角线AC上两点，连接ED，EB，FD，FB.给出以下条件：①BE∥DF；②BE＝DF；③AE＝CF.请你从中选取一个条件，使∠1＝∠2成立，并给出证明．
例 3
感悟新知
知3－讲
导引：欲证明∠1＝∠2，只需证
得四边形BFDE是平行四边
形或△ABF≌△CDE即可．
感悟新知
知3－讲
解：选取条件①BE∥DF.
证明：如图，∵BE∥DF，
∴∠BEC＝∠DFA.∴∠BEA＝∠DFC.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.
∴∠BAE＝∠DCF.
在△ABE与△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(AAS)．∴BE＝DF.
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知3－讲
又∵BE∥DF，∴四边形BFDE是平行四边形．
∴ED∥BF.∴∠1＝∠2.
选取条件③AE＝CF.
证明：∵AE＝CF，∴AF＝CE.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.
∴∠BAF＝∠DCE. 在△ABF与△CDE中，
∴△ABF≌△CDE(SAS)．∴∠1＝∠2.
知3－讲
归 纳
感悟新知
平行四边形判定方法综合起来有多种，具体选择
哪种方法 判定要取决于题目中给出的条件，最终目
的都是为了简单、方便的判定四边形是平行四边形．
知3－练
感悟新知
1. 已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.仅从下列条件中任意选取两项作为已知条件，能够判定四边形ABCD是平行四边形的有哪些？
①AB∥CD；②BC=AD；
③AB=CD； ④BC∥AD；
⑤OA=OC； ⑥OB=OD.
知3－练
感悟新知
解：①③，①④，①⑤，①⑥，②③，②④，④⑤，④⑥，⑤⑥均能够判定四边形ABCD是平行四边形．
知3－练
感悟新知
4.【中考·湘西州】下列说法错误的是( )
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
D
知3－练
感悟新知
5.在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列4组条件：
①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；
③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC.
其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有( )
A．1组 B．2组
C．3组 D．4组
C
1. 已知 （如图①），按
图②、图③所示的尺规作图痕
迹，不需借助三角形全等就能
B
A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
推出四边形 是平行四边形的依据是( )
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2. [2024乐山] 如图，下列条件中不能判定四边形 为平
行四边形的是( )
（第2题）
D
A. ， B. ，
C. ， D. ，
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3.在四边形中，已知，，当 ___，
____时，四边形 是平行四边形.
8
10
4. 如图，四边形的对角线， 相交于点
， ，请补充一个条件________________________，
使四边形 是平行四边形.
（第4题）
（答案不唯一）
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5.在四边形中，对角线，相交于点 ，
，，，，则四边形
的周长是____.
24
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6.如图，在四边形中，，相交于点，延长 至
点，连接并延长交的延长线于点， ，
.
（1）求证：是线段 的中点；
【证明】， .
又， 四边形 是平行四边形，
是线段 的中点.
（2）连接，，求证:四边形 是平行四边形.
如图.， .
在和 中，
.
.
又， 四边形 是平行四边形.
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7. [2024临沂期末] 已知四边形的四条边长分别为，， ，
，其中， 为一组对边的边长，且满足
，则该四边形一定是( )
B
A. 四条边相等的四边形 B. 平行四边形
C. 对角线相等的四边形 D. 无法确定
课堂小结
平行四边形的判定方法：如图：
(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
几何语言： ∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
由边、对角线的关系
判定平行四边形
课堂小结
(2)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
几何语言： ∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
几何语言： ∵∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
由边、对角线的关系
判定平行四边形
课堂小结
由边、对角线的关系
判定平行四边形
注意： ①当四边形的两组对边分别相等时，连接对角线，
把四边形分成两个三角形，通过证明三角形全等来证明
两组对边平行. ②在已知或易证一组对边相等时，可以
考虑证明另一组对边相等或证明这组对边平行. ③需要
注意的是“平行且相等”指的是同一组对边，不能是一
组对边平行，另一组对变形等. ④从对角线方面判断四
边形的形状要注意是对角线互相平分，即交点既是第一
条对角线的中点，又是第二条对角线的中点.
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