22.3 三角形的中位线 课件（共36张PPT）

(共36张PPT)
22.3 三角形的中位线
第二十二章 四边形
冀教版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
课时导入
1. 在△ABC中，AD=BD，
线段CD是△ABC的中线.
2. 在△ABC中，AE=EC，
线段BE是△ABC的中线.
如果连结DE，
那么DE是否是△ABC的中线？
A
D
C
B
E
知识点
三角形的中位线性质
知1－讲
感悟新知
1
什么叫三角形的中位线？
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线.
如图：点 D、E分别是AB、AC边的中点，线段DE就
是△ABC的中位线。
一个三角形共有几条中位线？
答：三条
课时导入
思考：三角形的中位线与三角形的
中线有什么区别与联系？
区别：中位线：中点--------中点
中线：顶点--------中点
联系：一个三角形有三条中线，三条中位线，它们都
在三角形的内部且都是线段.
D
C
B
E
A
F
知1－讲
感悟新知
1. 如图，在△ABC中，画出它的三条中位线DE，DF，
EF. 沿中位线剪出四个小三角形，将它们叠合在一
起，它们能完全重合吗？你发现三角形的中位线DE
与BC具有怎样的位置关系和数量关系？
知1－讲
感悟新知
2. 如图，DE是△ABC的中位线，将△ADE以点E为中
心顺时针旋转180°，使点A和点C重合.四边形
DBCF是平行四边形吗？由此发现DE与BC的位置关
系和数量关系与上面的发现是否相同？
知1－讲
感悟新知
通过探究，我们发现：三角形的中位线平行于第三边，
且等于第三边的一半.
现在，我们来证明这个结论.
已知：如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点.
求证：DE∥BC，且DE= BC.
知1－讲
感悟新知
证明：延长DE到点F，使EF=DE.连接CF.
在△ADE和△CFE中，
∵ AE=CE，∠AED=∠CEF，DE=FE，
∴ △ADE≌△CFE.
∴AD=CF，∠A=∠ECF.∴AD∥CF，即BD∥CF.
又∵BD=AD=CF，∴四边形DBCF是平行四边形.
∴DE∥BC，且DF=BC.
∴DE= DF= BC.
知1－讲
归 纳
感悟新知
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边
的一半.
知1－讲
感悟新知
例 1
已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，P为对角线BD的中点，M为DC的中点，N为AB的中点.
求证：△PMN是等腰三角形.
知1－讲
感悟新知
证明：在△ABD中，
∵N，P分别为AB，BD的中点，
∴PN= AD.
同理PM= BC.
又∵AD=BC，
∴PN=PM.∴ △PMN是等腰三角形.
知1－讲
归 纳
感悟新知
证明线段倍分关系的方法：由于三角形的中位线
等于三角形第三边的一半，因此当需要证明某一线段
是另一线段的一半或两倍，且题中出现中点时，常考
虑用三角形中位线定理．
知1－练
感悟新知
5. 【中考·宜昌】如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED.现测得AC＝30 m，BC＝40 m，DE＝24 m，则AB＝(　　)
A．50 m
B．48 m
C．45 m
D．35 m
B
知1－练
感悟新知
6. 【中考·梧州】如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝2，D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，连接DF，FE，则四边形DBEF的周长是(　　)
A．5 B．7
C．9 D．11
B
知1－练
感悟新知
7. 【中考·遵义】如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是(　　)
A．4.5 B．5
C．5.5 D．6
A
知1－练
感悟新知
8.【中考·营口】如图，在△ABC中，AB＝AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD＝∠CAB＝45°，则下列结论不正确的是(　　)
A．∠ECD＝112.5°
B．DE平分∠FDC
C．∠DEC＝30°
D．AB＝ CD
C
感悟新知
知识点
三角形中位线在四边形中的应用
2
知2－讲
例2
如图，在 ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，
连接AF，DF分别交BE，CE于点M，N，连接MN.
求证：MN BC.
∥
＝
感悟新知
知2－讲
导引：欲证MN BC，只需证明MN
是△EBC的中位线即可．而要证得M，N分别为
BE，CE的中点，则可利用E，F分别为AD，BC
的中点证四边形ABFE和四边形EFCD为平行四边
形得到．
∥
＝
感悟新知
知2－讲
证明：如图，连接EF.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD BC.
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE＝ AD，BF＝ BC，∴AE BF.
∴四边形ABFE是平行四边形，∴MB＝ME.
同理，四边形EFCD是平行四边形，∴NC＝NE.
∴MN是△EBC的中位线．∴MN BC.
∥
＝
∥
＝
∥
＝
知2－讲
归 纳
感悟新知
(1)证明两直线平行的常用方法：
①利用同平行(垂直)于第三条直线；②利用同位角、
内错角相等，同旁内角互补；③利用平行四边形
的性质；④利用三角形的中位线定理．
知2－讲
归 纳
感悟新知
(2)证明一条线段是另一条线段的2倍的常用方法：
①利用含30°角的直角三角形；②利用平行四边
形的对角线；③利用三角形的中位线定理．
知2－练
感悟新知
1. 如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离.测量员在岸边选一点C，连接AC，BC，并分别找到AC和BC的中点M，N.由MN的长度即可知道A，B两点间的距离.
(1)说出上述测量方法中的道理.
(2)若测得MN=20m，求A，B两
点间的距离.
知2－练
感悟新知
解：
(1)道理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
(2)在△ABC中，
∵M，N分别是AC，BC的中点，且MN＝20 m，
∴A，B两点间的距离为20×2＝40(m)．
知2－练
感悟新知
6.【中考·广州】如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3 ，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为________．
3
（第1题）
1. 如图，在中，点， 分别是
，的中点，连接， .下列线
段中，是 的中位线的是( )
A
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2. [2024广安] 如图，在 中，点
，分别是， 的中点，若
， ，则 的度
数为( )
D
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3. 如图，用两个图钉将一个橡皮筋的两
个端点， 固定在桌面上，拉动橡皮筋
构成，点，分别为， 的
中点，拉动点至的过程中， 的长
度( )
C
A. 变长 B. 变短
C. 不变 D. 先变长后变短
返回
（第4题）
4.[2024长沙] 如图，在中，点，
分别是，的中点，连接 .若
，则 的长为____.
24
返回
5. 在周长为 的三角形地块中修建如图
所示的三条水渠，则水渠的总长为_____ .
300
返回
（第6题）
6.如图，，，分别为， 的
中点，若 ，则 ____.
返回
7.如图， ， ，于点 ，
，若，分别为，的中点，则 的长为____.
（第7题）
（第7题）
【点拨】 ， ，
.
， ，
，
，即
，.， 分别为
，的中点， .
返回
课堂小结
三角形的中位线
三角形的中位线平行于三角形的
第三边，且等于第三边的一半．
几何语言(如图)：
∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC．DE= BC．
课堂小结
三角形的中位线
注意：(1)位置关系：平行于第三边，
(2)数量关系：等于第三边的一半
拓展：(1)在三角形中位线定理中要特别注意，三角形的
中位线平行的是三角形的“第三边”，而不是“底
边”，在三角形中，只有等腰三角形有底边．而一般
的三角形并没有底边．
(2)三角形的中位线定理可以证明线段相等或倍分关系；
可以证明两直线平行.
谢谢观看！