(共40张PPT)
22.4.1 矩形及其性质
第二十二章 四边形
冀教版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
课时导入
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
A
B
C
D
四边形ABCD
如果
AB∥CD AD∥BC
B
D
ABCD
A
C
平行四边形的性质：
边
平行四边形的对边平行；
平行四边形的对边相等；
角
平行四边形的对角相等；
平行四边形的邻角互补；
对角线
平行四边形的对角线互相平分；
课时导入
我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此
平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性
质，同样对于平行四边形来说有特殊情况即特殊的平
行四边形，也，这堂课我们就来研究一种恃殊的平行
四边形——矩形.
一个角是
直角
两组对边
分别平行
平行
四边形
矩形
知识点
矩形及其对称性
知1－讲
感悟新知
1
1. 如图，剪出一个矩形纸片ABCD ，点O是这个矩形
的中心.请你用折叠的方法，验证它是轴对称图形.
矩形有几条对称轴.它们都经过矩形的中心吗？
知1－讲
感悟新知
2. 四边形具有不稳定性，即当一个四边形的四条边长
保持不变时，它的形状却是可以改变的.如图，使
一个平行四边形保持四条边长不变，而将一个内角
α由钝角先变成直角，再变成锐角.
知1－讲
感悟新知
在这个过程中：
(1)这个四边形总是平行四边形吗？
(2)当α =90°时，其余三个内角各是多少度的角？
(3)当α =90°时，两条对角线的长有什么关系？
知1－讲
归 纳
感悟新知
矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形.
知1－讲
感悟新知
例 1
[一题多解]如图，直线EF过矩形ABCD对角线的交点O，分别交AB、CD于点E、F，若AB＝3，BC＝4，那么阴影部分的面积为________．
导引：由题意易得到△OEB≌△OFD，
将阴影部分的面积转化为规则
的几何图形的面积进行计算．
3
知1－讲
感悟新知
解：方法一：∵四边形ABCD是矩形，
∴由矩形中心对称的性质知S△EBO＝S△FDO，
∴阴影部分的面积为矩形面积的 .
∴S阴影部分＝S△ABO＝ ×3×4＝3.
知1－讲
感悟新知
方法二：在矩形ABCD中，OB＝OD，
∠EBO＝∠FDO.
在△OEB与△OFD中，
∴△OEB≌△OFD.
∴S阴影部分＝S△ABO＝ S矩形ABCD＝ ×3×4＝3.
知1－练
感悟新知
1. 下列说法不正确的是( )
A．矩形是平行四边形
B．矩形不一定是平行四边形
C．有一个角是直角的平行四边形是矩形
D．矩形既是轴对称图形又是中心对称图形
B
知1－练
感悟新知
2. 【中考·菏泽】在 ABCD中，AB＝3，BC＝4，连接AC，BD，当 ABCD的面积最大时，下列结论正确的有( )
①AC＝5；②∠BAD＋∠BCD＝180°；
③AC⊥BD；④AC＝BD.
A．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①③④
B
感悟新知
知识点
矩形的边角性质
2
知2－讲
因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形
的所有性质.由于它有一个角为直角，它是否具有一般
平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
思考
感悟新知
知2－讲
(1)取一张矩形的纸片，分别沿它的两组对边的中点所在
的直线折叠，你发现矩形是轴对称图形吗 如果是，它
有几条对称轴？
(2)利用矩形的轴对称性质，由矩形的一个角是直角，你
发现矩形的另外三个角有什么性质 证明你的结论．
知2－讲
归 纳
感悟新知
矩形的四个角都是直角.
感悟新知
例2
知2－讲
如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，
∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠BAO和
∠EAO的度数．
感悟新知
知2－讲
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，AO＝ AC，BO＝ BD，AC＝BD.
∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.
又∵∠DAE∶∠BAE＝3∶1，
∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.
∵AE⊥BD，
∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°.
∵AO＝BO，∴∠BAO＝∠ABE＝67.5°.
∴∠EAO＝∠BAO－∠BAE＝67.5°－22.5°＝45°.
知2－练
感悟新知
1 已知：如图，E为矩形ABCD的边AD的中点，连接BE，CE. 求证：△EBC是等腰三角形.
解：在矩形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠D＝90°，
∵E为AD的中点，∴AE＝DE，
在△ABE和△DCE中，
∴△ABE≌△DCE.
∴EB＝EC，∴△EBC是等腰三角形．
知2－练
感悟新知
2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，对角线AC与BD相交于点O，EF经过点O且分别与AB，CD相交于点E，F，则图中阴影部分的面积为________．
3
知2－练
感悟新知
【中考·西宁】如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若
OM＝3，BC＝10，则OB的长为( )
A．5 B．4
C. D.
D
知2－练
感悟新知
5. 【中考·安顺】如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝4 cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O. 若AO＝5 cm，则AB的长为( )
A．6 cm
B．7 cm
C．8 cm
D．9 cm
C
感悟新知
知识点
矩形的对角线性质
3
知3－讲
任意画一个矩形，作出它的两条对角线，并比较它们
的长．你有什么发现
已知：如图所示，四边形ABCD是矩形．
求证：AC=DB．
感悟新知
知3－讲
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠DCB=90°(矩形的性质定理1)．
∵AB=CD(平行四边形的对边相等)，BC=CB．
∴△ABC≌△DCB(SAS).
∴AC=DB．
于是，就得到矩形的性质：矩形的对角线相等.
知3－讲
归 纳
感悟新知
矩形的对角线相等.
感悟新知
知2－讲
例 3
如图，矩形ABCD两条对角线相交于点O， ∠AOD=120°，AB=4 cm.求矩形对角线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AO=OC=BO=OD.
∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°.
∴∠AOB是等边三角形.
∴AO=BO=AB=4 cm，AC=AO+OC=AO+OB=8(cm),
即矩形ABCD对角线的长为8 cm.
知3－讲
归 纳
感悟新知
因为矩形的对角线相等且互相平分，所以矩形的
对角线将矩形分成了四个等腰三角形，再由特殊角可
得到特殊的三角形——等边三角形，利用等边三角形
的性质即可求解．
知3－练
感悟新知
1. 矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是__________________________________________________________________________.
①矩形的四个内角都是直角；
②矩形的两条对角线相等
知3－练
感悟新知
2. 如图，四边形ABCD为矩形，指
出图中相等的线段和角.
解：相等的线段：AB＝CD，AD＝BC，
AC＝BD，OA＝OC＝OB＝OD.
相等的角：∠BAD＝∠ADC＝∠BCD＝∠ABC，∠AOB＝∠DOC，∠AOD＝∠BOC，
∠OAB＝∠ABO＝∠ODC＝∠OCD，
∠OAD＝∠ODA＝∠OBC＝∠OCB.
（第1题）
1. [2024成都] 如图，在矩形 中，对角线
与相交于点 ，则下列结论一定正确的
是( )
C
A. B.
C. D.
返回
（第2题）
2. 两个矩形的位置如图所示，若 ,则
的度数为( )
C
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3. 如图，在矩形中，对角线，
相交于点，点，分别是， 的中点，
若，，则 的长度是( )
B
A. 2.4 B. C. D. 5
返回
4.如图，在矩形中，，两条对角线， 所夹
的钝角为 ，则 _____.
（第4题）
返回
5.如图，把一张矩形纸片沿 折叠，
得到，折痕与相交于点 ，
若， ，则
______.
返回
6.[2024陕西] 如图，四边形是矩形，点和点在边
上，且，求证： .
【证明】 四边形 为矩形，
， .
， ，
即 .
在和中，
.
返回
7.[2024淮安校级期中] 如图，在矩形中，， 相交
于点，于点.若 ，求 的度数.
【解】 ， .
四边形 是矩形，
，
.
， ，
.
返回
课堂小结
矩形及其性质
1. 矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有
性质，它的特殊性就是四个角都是直角和对角线相
等．
2. 矩形的两条对角线将矩形分为两对全等的等腰三角
形．在解题的时候常用到等腰三角形的性质．
3. 矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对
称轴．
谢谢观看！(共37张PPT)
22.4.2 矩形的判定
第二十二章 四边形
冀教版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
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课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
课时导入
知识回顾
四边形
平行
四边形
两组对
边平行
一个角
是直角
∟
矩形
平行四边形□
矩形
四边形
课时导入
木工朋友在制作窗框后，需要检测所制作的窗框
是否是矩形，那么他需要测量哪些数据，其根据又是
什么呢？
你现在有方法帮他吗？
探究新知
测量…？
知识点
由直角的个数判定矩形
知1－讲
感悟新知
1
分析矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
由定义识别：
∵□ABCD，∠A=90°.
∴ □ ABCD是矩形.
①
②
A
B
C
D
知1－讲
感悟新知
根据矩形的定义，有一个角是直角的平行四边形是矩
形．如果不通过平行四边形，能根据四边形中直角的
个数，直接由四边形来判定它是矩形吗 有几个角是
直角的四边形是矩形呢
性质：矩形的四个角都是直角
四个角是直角的四边形是矩形
条件
结论
条件
结论
知1－讲
感悟新知
李芳同学用“边——直角、边——直角、边——直角、
边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个
矩形。猜想她判断的依据？
猜想：
有三个角是直角的四边形是矩形
你能证明上述结论吗？
已知：如图所示，在四边形ABCD中，
∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形．
B
C
A
D
知1－讲
感悟新知
证明：∵ ∠A=∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠B=180°， ∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵ ∠A=90°， ∴ □ABCD是矩形.
比较上面两种说法，你认为选择哪种说法作为矩形的
判定定理更为简洁
于是，便得到：有三个角是直角的四边形是矩形.
知1－讲
归 纳
感悟新知
有三个角是直角的四边形是矩形 .
符号表达式：
∵ ∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
知1－讲
感悟新知
例 1
如图， ABCD的四个内角的平分线分别相交于
点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形.
导引：要证明四边形EFGH是矩形，
由于已知ABCD的四个内角
的平分线分别相交于点E，F，
G，H，因此可选用“有三个角是直角的四边形是
矩形”来证明．
知1－讲
感悟新知
证明：∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°
∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD，
∴∠GBC＋∠GCB＝ ∠ABC＋ ∠BCD
＝ ×180°＝90°，
∴∠BGC＝90°. 同理可得∠AFB＝∠AED＝90°.
∴∠GFE＝∠FEH＝∠FGH＝90°.
∴四边形EFGH是矩形．
知1－练
感悟新知
1. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，四边形AEDB为平行四边形.
求证：四边形AECD是矩形.
解：在 AEDB中，AE＝BD，AE∥BD，AB＝DE，
∵D为BC的中点，∴BD＝DC，∴AE＝CD，
又∵AE∥CD，∴四边形AECD是平行四边形．
在△ABC中，AB＝AC，∴AC＝DE，
∴四边形AECD是矩形．
知1－练
感悟新知
2. 已知矩形的对角线长为10 cm，求顺次连接矩形四边中点所得的四边形的周长.
解：如图所示．在矩形ABCD中，
AC，BD的长都为10 cm.
点E，H分别是AD，CD的中点，则EH＝ AC＝5 cm.同理：FE，FG，GH的长均为5 cm.
所以所得到的四边形的周长为5＋5＋5＋5＝20(cm)．
知1－练
感悟新知
3. 下列命题中，假命题是( )
A．有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形
B．有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形
C．有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形
D．有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形
C
感悟新知
知识点
由对角线的关系判定矩形
2
知2－讲
我们知道，矩形的对角线相等. 反过
来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？
工人师傅在做门窗或矩形零件时，不
仅要测量两组对边的长度是否分别相等，
常常还要测量它们的两条对角线是否相等，
以确保图形是矩形.你知道其中的道理吗？
思考
感悟新知
知2－讲
已知：在 ABCD，AC=BD.
求证： ABCD是矩形.
证明：∵ 在 ABCD中，AB=DC，BC=CB，且AC=DB.
∴ △ABC≌ △DCB（SSS）.∴ ∠ABC=∠DCB.
∵ AB//CD，∴ ∠ABC+∠DCB=180°.
∴ ∠ABC=∠DCB=90°.
又∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ABCD是矩形.
A
B
C
D
知2－讲
归 纳
感悟新知
可以发现并证明矩形的一个判定定理：
对角线相等的平行四边形是矩形.
警示：两条对角线相等的四边形不一定是矩形，这个
四边形必须是平行四边形才可以.
感悟新知
例2
知2－讲
已知：如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H 分别
为OA，OB，OC，OD的中点.
求证：四边形EFGH是矩形.
感悟新知
知2－讲
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD.且 OA=OC，OB=OD.
∴OA=OC=OB=OD.
又∵E，F，G，H 分别为OA，OB，OC，OD 的中点，
∴OE=OG=OF=OH.
∴四边形EFGH是平行四边形.
又∵EG=OE+OG=OF+OH= HF，
∴四边形EFGH是矩形.
知2－讲
归 纳
感悟新知
证明一个平行四边形为矩形的两种方法：一是证
明有一个角是直角，另一个是证明两条对角线相等．
知2－练
感悟新知
解： (1)(2)(3)错误，(4)正确．
1. 指出下列说法是否正确.
(1)有一个角为直角的四边形是矩形.
(2)两条对角线相等的四边形是矩形.
(3)两条对角线互相垂直的四边形是矩形.
(4)四个角皆为直角的四边形是矩形.
知2－练
感悟新知
2. 如图，矩形ABCD的两条对角线AC，BD的夹角为60°，AC+AB= 12.求AC和AB的长.
解：因为两条对角线AC，BD的
夹角为60°，AO＝BO，所以∠OAB＝
∠OBA＝∠AOB＝60°，
所以△AOB为等边三角形，AC＝2AB.
所以AC＋AB＝2AB＋AB＝3AB＝12.
所以AB＝4，所以AC＝8.
知2－练
感悟新知
6. 【中考·崇左】如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，点E、F、G、H分别是边DA、AB、BC、CD的中点，连接EG、FH，则图中矩形的个数共有( )
A．5个
B．8个
C．9个
D．11个
C
知2－练
感悟新知
8. 【中考·攀枝花】下列关于矩形的说法中正确的
是( )
A．对角线相等的四边形是矩形
B．矩形的对角线相等且互相平分
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．矩形的对角线互相垂直且平分
B
1. [2024泸州] 已知四边形 是平行四边形，下列条件中，
不能判定 为矩形的是( )
D
A. B.
C. D.
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2. [2024邢台模拟] 如图，有甲、
乙两个四边形，分别标出了部分
数据，则下列判断正确的是
( )
A
A. 甲是矩形 B. 乙是矩形
C. 甲、乙都是矩形 D. 甲、乙都不是矩形
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（第3题）
3.如图，线段，以点为圆心，
长为半径画弧，然后再以点为圆心，
长为半径画弧，两弧交于点 ，则四边形
是矩形，其依据是________________
__________________.
有一个角是直角的平行四边形是矩形
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（第4题）
4. 如图，在
中，,分别是， 的中点，点
，在边上，且 .只需添加
一个条件即可证明四边形 是矩形，
这个条件可以是___________________
_____（写出一个即可）.
（答案不唯一）
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5. 中国古代数学家刘徽在《九章算
术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相
补法.如图，在中，分别取， 的中点
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6.四边形的对角线相交于点 ，且
， ，则 的值为__.
，，连接，过点作，垂足为，将 分
割后可拼接成矩形.若，则 ____.
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7.[2024衡水期中] 如图，在由边长为1的小正方形组成的
的网格中， 的三个顶点均在小正方形的顶点上.
（1）计算：_____， ___，通过计算
可以判断 的形状为____________；
5
直角三角形
（2）已知为的中点，连接 ，并延长
到点，使，连接， ，直
接写出四边形 的形状.
【解】四边形为矩形. 【点拨】
为 的中点，
.
又， 四边形 为平行四
边形.
由（1）易知 ， 四边形
为矩形.
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8.[2024长春] 如图，在四边形中， ，
是边的中点，.求证：四边形 是矩形.
【证明】是边的中点， .
在和中，
， .
， .
.
四边形 是平行四边形.
又 ， 四边形 是矩形.
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9. [2024唐山模拟] 综合实践课上，老师让同学们利用尺规在
直角三角形 的基础上作矩形，如图是甲、乙、丙三名同
学作的矩形，其中正确的是( )
D
A. 甲和丙 B. 乙和丙
C. 甲和乙 D. 都正确
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课堂小结
矩形的判定
矩形的判定方法：
方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
方法2：有三个角是直角的四边形是矩形 .
方法3：对角线相等的平行四边形是矩形.
(对角线互相平分且相等的四边形是矩形.)
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