(共44张PPT)
22.5.1 菱形及其性质
第二十二章 四边形
冀教版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
课时导入
我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因
此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特
殊性质，同样对于平行四边形来说有特殊情况即特
殊的平行四边形，我们已经研究了一种特殊的平行
四边形——矩形 ；这堂课还要研究另一种特殊的平
行四边形——菱形.
课时导入
两组对边
分别平行
平行
四边形
矩形
菱形
有一个角
是直角
有一组邻
边相等
知识点
菱形及其对称性
知1－讲
感悟新知
1
1. 在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变
边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，
哪些关系没变？哪些关系变了？
平行四边形
邻边相等
菱形
如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这个平行
四边形成为怎样的四边形？
知1－讲
归 纳
感悟新知
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
AB=BC
平行四边形ABCD
四边形ABCD是菱形
知1－讲
感悟新知
1. 如图，将一个菱形纸片ABCD按图示方法折叠后，
再展开：
(1)说明两条折痕的交点O恰为菱形的中心.
(2)菱形ABCD是轴对称图形吗？如果它是轴对称图形，
那么它有几条对称轴，都是那些直线？
知1－讲
归 纳
感悟新知
菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形.
知1－讲
感悟新知
例 1
已知：如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F.四边形DECF是菱形吗？为什么？
导引：因为DE∥FC，DF∥EC，所
以四边形DECF为平行四边
形，再根据有一组邻边相等
的平行四边形是菱形求证即可．
知1－讲
感悟新知
解：四边形DECF是菱形．理由如下：
∵DE∥FC，DF∥EC，
∴四边形DECF为平行四边形．
由AC∥DE，知∠2＝∠3.
∵CD平分∠ACB，
∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DE＝EC，
∴平行四边形DECF为菱形(有一组邻边相等的平
行四边形是菱形)．
知1－练
感悟新知
1.
如图，若要使 ABCD成为菱形，则需要添加的条件是( )
A．AB＝CD
B．AD＝AC
C．AB＝BC
D．AC＝BD
C
知1－练
感悟新知
2.
如图，在△ABC中，AB≠AC，D是BC上一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，要使四边形AEDF是菱形，只需添加的条件是( )
A．AD⊥BC
B．∠BAD＝∠CAD
C．BD＝DC
D．AD＝BD
B
感悟新知
知识点
菱形边的性质
2
知2－讲
菱形具有平行四边形的所有性质．此外，菱形还
具有哪些特殊性质呢 观察图所示，根据菱形的轴对
称性，你发现菱形的四条边具有什么大小关系
知2－讲
归 纳
感悟新知
菱形的四条边都相等.
感悟新知
例2
知2－讲
如图所示，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为( )
A． B． C． D．3
B
分析：在菱形ABCD中，因为∠B＝60°，连接AC，则△ABC是等边三角形，又因为E分别是BC的中点，
所以AE垂直于BC，因此AE＝ ，所以
△AEF的周长为 ，故选B.
知2－讲
归 纳
感悟新知
在菱形中作辅助线经常连接对角线，构造三角形
来做题，能够迎刃而解.
知2－练
感悟新知
1. 菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC= 45°，OC= 求点B的坐标.
解：过点B作BD⊥OA，垂足为D.
由题意可知∠BAD＝∠AOC＝45°，
AB＝OA＝OC＝ ，
所以AD＝BD＝1.
所以B点的坐标为( ＋1，1)．
知2－练
感悟新知
4. 【中考·兰州】如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是( )
A．4
B．3
C．2
D.
B
知2－练
感悟新知
5.【中考·重庆】如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是( )
A．18 －9π
B．18－3π
C．9 －
D．18 －3π
A
感悟新知
知识点
菱形对角线的性质
3
知3－讲
因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的
所有性质.由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行
四边形不具有的一些特殊性质呢？
思考
菱形的两条对角线AC与BD之间具有什么位置关系
知3－讲
归 纳
感悟新知
对于菱形，我们仍然从它的对角线等方面进行研
究.可以发现并证明(请你自己完成证明)，菱形还有以
下性质：
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线
平分一组对角.
感悟新知
知3－讲
例 3
如图，菱形ABCD的周长为16 cm，∠ABC= 120°.求对角线BD和AC的长.
感悟新知
知3－讲
解：∵AB+BC+CD+AD= 16 cm，
∴AB=BC=CD=AD= =4(cm).
∵BD平分∠ABC，∠ABC= 120°，
∴∠ABD=60°.∴△ABD是等边三角形.
∴BD=AB=4 cm.
在Rt△AOB中，OB=2 cm，
知3－练
感悟新知
1. 如图，在菱形ABCD中，AC，BD为对角线，∠BAC=50°.求菱形ABCD各内角的度数.
解：在菱形ABCD中，
∵∠BAC＝50°，
∴∠BAD＝2∠BAC＝100°.
∵AD∥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝80°.∴∠ADC＝80°，∠BCD＝100°.
知3－练
感悟新知
2. 在菱形ABCD中，对角线AC=8，BD=6.
求菱形的周长.
解：由题意易知菱形的边长为 ＝5，
所以周长为4×5＝20.
知3－练
感悟新知
如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小
路AC和BD. 求两条小路的长(结果保留小数点后
两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位).
例4
知3－练
感悟新知
解：∵花坛ABCD的形状是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO = ∠ABC = × 60°= 30°.
在Rt△OAB中，AO = AB = ×20=10，
∴花坛的两条小路长AC = 2AO =20 (m)，
BD = 2BO=20 ≈34. 64 (m).
花坛的面积S四边形ABCD=4×S△OAB
= AC·BD=200 ≈346. 4 (m2).
知3－讲
归 纳
感悟新知
菱形的面积有三种计算方法：
(1)将其看成平行四边形，用底与高的积来求；
(2)对角线分得的四个全等直角三角形面积之和；
(3)两条对角线乘积的一半．
说明：读者可利用(1)(2)两种方法试一试；注意应
用(3)这种方法时不要忽视“一半”．
知3－练
感悟新知
1. 已知菱形的边长和一条对角线的长均为2 cm.
求这个菱形的面积.
解：由题意易知菱形的另一条对角线的长为 cm，所以该菱形的面积为 (cm2)．
知3－练
感悟新知
2. 如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=BC，连接CE.
(1)求证：BD=EC.
(2)求证：S菱形ABCD=S△AEC
知3－练
感悟新知
解： (1)在菱形ABCD中，AB∥CD，
即BE∥CD，BC＝CD，
∵BE＝BC，∴BE＝CD，
∴四边形BECD为平行四边形．∴BD＝EC.
(2)由题意易知S△ADC＝S△ABC＝S△BEC.
∵S菱形ABCD＝S△ADC＋S△ABC，
S△AEC＝S△ABC＋S△BEC，
∴S菱形ABCD＝S△AEC.
知3－练
感悟新知
D
5.【中考·长沙】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为( )
A．5 cm
B．10 cm
C．14 cm
D．20 cm
1. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A
A. 邻边相等 B. 对边相等
C. 对角相等 D. 是中心对称图形
返回
2. 如图，菱形中，连接，，若 ，则
的度数为( )
（第2题）
C
A. B. C. D.
返回
3. 已知菱形的两条对角线长分别为12，10，则菱形的面积为
( )
A
A. 60 B. 80 C. 100 D. 120
返回
4. 如图，在菱形中，， ，则 的
长为( )
（第4题）
D
A. B. 1 C. D.
（第4题）
【点拨】连接交于点， 四边形
是菱形， ，
， ，
.
. .
. .
返回
5. 如图，若菱形的周长为，则菱形 的一边
的中点到对角线交点 的距离为( )
B
A. B.
C. D.
【点拨】 四边形是周长为 的
菱形，
， .
是直角三角形.
又为 的中点，
.
返回
6.[2024南通] 若菱形的周长为，且有一个内角为 ，
则该菱形的高为_ ___ .
返回
（第7题）
7. 如图，在平面
直角坐标系中，四边形 是菱形.若
点的坐标是，则菱形 的周
长为____.
68
【点拨】如图所示，过点作 轴于
点 .
点的坐标是 ，
， .
.
四边形 是菱形，
菱形的周长 .
返回
课堂小结
菱形及其性质
菱形的 两条对角线互相平分
菱形的两组对边平行且相等
边
对角线
角
菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等
菱形的邻角互补
菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
菱形的性质
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22.5.2 菱形的判定
第二十二章 四边形
冀教版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
课时导入
想一想：
1.菱形、矩形的定义？
2.它们分别比平行四边形多了哪些性质？
3.怎样判定一个四边形是矩形？
旧知回顾
课时导入
矩形 菱形
定义
性质
边
角
对角线
判定
有一角是直角的平行四边形叫做矩形.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
平行四边形的性质
四条边都相等
四个角都是直角
相等
互相垂直且平分每一组对角
有一角是直角的平行四边形
对角线相等的平行四边形
三个角都是直角的四边形
知识点
由对角线的位置关系判定菱形
知1－讲
感悟新知
1
1. 用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小
钉子，做成一个可转动的十字架，四周围上一根橡
皮筋，做成一个四边形.
2. 任意转动木条，这个四边形
总有什么特征？你能证明你发现的结论吗？继续转
动木条，观察什么时候橡皮筋周围的四边形变成菱
形？你能证明你的猜想吗？
知1－讲
感悟新知
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3. 这个命题的前提是什么？结论是什么？
用几何语言表示命题如下：
已知：在□ABCD中，对角线AC⊥BD，
求证：□ABCD是菱形.
分析：我们可根据菱形的定义来证明这个平行四边形
是菱形，由平行四边形的性质得到BO=DO，由
∠AOB=∠AOD=90 及AO=AO，得△AOB≌△AOD，
可得到AB=AD (或根据线段垂直平分线性质定理,得到
AB=AD) ，最后证得□ABCD是菱形.
知1－讲
归 纳
感悟新知
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
提示：此方法包括两个条件——
(1)是一个平行四边形；(2)两条对角线互相垂直.
对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.
知1－讲
感悟新知
例 1
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD，BC于点E和点F，连接BE，DF.
求证：四边形BEDF是菱形．
知1－讲
感悟新知
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AD∥BC.
∴∠EDO＝∠FBO，∠OED＝∠OFB.
∴△OED≌△OFB. ∴DE＝BF.
又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形.
∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．
知1－练
感悟新知
1.
已知：如图，在 ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD，BC分别交于点E，F. 求证：四边形AFCE是菱形.
知1－练
感悟新知
证明：∵O为AC的中点，EF⊥AC，∴AE＝EC，AF＝FC，在 ABCD中，∵AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠OCF，
在△AEO与△CFO中，
∴△AEO≌△CFO，
∴AE＝CF.∴AE＝EC＝CF＝FA.
∴四边形AFCE是菱形．
知1－练
感悟新知
2.
【中考·海南】如图，四边形 ABCD 是轴对称图形，且直线 AC 是对称轴，BD与AC交于点O，AB∥CD，则下列结论：
①AC⊥BD；②AD∥ BC；
③四边形 ABCD 是菱形；
④△ABD≌△CDB.
其中正确的是____________(只填写序号).
①②③④
知1－练
感悟新知
3.
【中考·泰安】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：
①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；
③BC＝FB； ④PF＝PC，
其中正确结论的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C
感悟新知
知识点
由边的关系判定菱形
2
知2－讲
如图，画两条等长的线段AB，AD.分别以点B，
D为圆心，AB为半径画弧，两弧相交于点C连接BC，
CD.得到四边形ABCD.
四边形ABCD是菱形吗？
感悟新知
知2－讲
事实上，我们有：四条边相等的四边形是菱形.
现在，我们来证明这个结论.
已知：如图，在四边形ABCD中，
AB=BC=CD=DA.
求证：四边形是菱形.
证明：∵AB=CD.且BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=AD. ∴四边形ABCD是菱形.
知2－讲
归 纳
感悟新知
四条边相等的四边形是菱形.
感悟新知
例2
知2－讲
已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，交AB于点E，DF∥AB，交AC于点F.
求证：四边形AEDF是菱形.
感悟新知
知2－讲
解：∵ DE∥AC， DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形.
∴∠1=∠3.
又∵∠1=∠2，∴∠2=∠3.∴AE=DE.
∴四边形AEDF是菱形.
知2－讲
归 纳
感悟新知
能证明四边形是平行四边形时，可以先证明四边
形是平行四边形，然后证明有一组邻边相等来证明四
边形是菱形 .
知2－练
感悟新知
1. 如图，在△ABC中，AB=AC，画出点A关于BC的对称点A'.请用两种不同的方法证明四边形ABA'C是菱形.
解：略．
知2－练
感悟新知
2.
如图，E是菱形ABCD的边AD的中点，EF⊥ BD于点H，交BC延长线于点F，交DC于点G.求证：DC与EF互相平分.
证明：连接AC，则AC⊥BD，
又因为EF⊥BD，∴AC∥EF.
∵E是AD的中点，∴G是DC中点．
易得△DEG≌△CFG，∴EG＝FG，
∴DC与EF互相平分．
知2－讲
感悟新知
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，
点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中
点．试说明：四边形EFGH是菱形．
例 3
知2－讲
感悟新知
解：∵点E，H分别为AD，AC的中点，
∴EH为△ACD的中位线，∴EH＝ CD.
同理可证：EF＝ AB，FG＝ CD，HG＝ AB.
∵AB＝CD，
∴EH＝EF＝FG＝HG，
∴四边形EFGH是菱形．
知2－讲
归 纳
感悟新知
有较多线段相等的条件时，我们可考虑通过证明
四条边相等来证明这个四边形是菱形．注意：本例也
可以通过先证四边形EFGH是平行四边形，再证一组
邻边相等，只不过步骤复杂一点，读者不妨试一试．
知2－练
感悟新知
1.如图在 ABCD中，∠D=60°，以顶点A为圆心，AB为半径画弧，交BC于点E，交AD于点F.请你指出图中的等腰三角形、平行四边形和菱形.
解：△ABE，△AEF是等腰三角形．
四边形ABCD、四边形ABEF、四边
形CDFE是平行四边形，
四边形ABEF是菱形．
知2－练
感悟新知
2. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，M为AB中点，P为对角线AC上的一个动点，PM+PB的最小值是3. 求AB的长.
知2－练
感悟新知
解：作点M关于AC对称的点M′，则M′在边AD上．
且M′为AD的中点，连接BM′，易得BM′的长为PM＋PB的最小值，∴BM′＝3. 连接BD，
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD为等边三角形．
∴∠ABM′＝30°，∠AM′B＝90°，
∴AM′＝ AB，AB2－AM′2＝BM′2＝9，
∴AB＝2 .
知2－练
感悟新知
5.【中考·河南】如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定 ABCD是菱形的只有( )
A．AC⊥BD
B．AB＝BC
C．AC＝BD
D．∠1＝∠2
C
1. [2024沧州期中] 依据所标的数据，下列平行四边形一定为
菱形的是( )
B
A. B. C. D.
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（第2题）
2. 如图，四边形的两条对角线相交于点 ，
且互相平分，添加下列条件，仍不能判定四边
形 为菱形的是( )
B
A. B.
C. D.
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（第3题）
3. 如图，在四边形 中，
， ，连接 ，
则 ( )
B
A. B. C. D.
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（第4题）
4. 如图，在 中，
，分别是，的中点，过点 作
，交于点.当 满足条件
__________________________时，四边形
是菱形.
（答案不唯一）
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（第5题）
5. 如图，在 中，
是的平分线，交 于点
，交于点，若 ,
则四边形 的周长为_______.
（第5题）
【点拨】， ，
四边形 是平行四边形，
.
是的平分线， .
.
平行四边形 是菱形.
四边形的周长为 .
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6.如图，，分别以， 为圆心，
长为半径画弧，两弧相交于， 两点.
连接，，，，则四边形
的面积为____ .
24
【点拨】如图，连接，交于点 ，由题意
可知 ，
四边形 是菱形.
，
， .
.
.
.
菱形 的面积
.
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7.[2024石家庄期中] 如图，在平行四边形中， 平分
，与相交于点，，与相交于点 .求证：
四边形 是菱形.
【证明】 四边形 是平行四边形，
.
， 四边形 为平行四边形.
平分， .
.
平行四边形 是菱形.
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课堂小结
菱形的判定
一组邻边相等
对角线互相垂直
四条边相等
五种判定方法
四边形
平行四边形
菱形
菱形的判定方法：
谢谢观看！
