(共34张PPT)
22.6.1 正方形及其性质
第二十二章 四边形
冀教版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
课时导入
鞋匠们钉鞋时常用的铁钉的横截面的形状，不像普通铁钉那样是圆的，而呈正方形，你知道其中的原因吗？
你提的问题十分有趣，为什么是正方形而不是圆形，这是正方形独特的性质所起的作用，我们只要再进一步深入接触正方形就会知道其中的道理.
知识点
正方形的定义
知1－讲
感悟新知
1
做一做：
用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．
问题：什么样的四边形是正方形？
知1－讲
感悟新知
正方形(square)是我们熟悉的几何图形，它的四
条边都相等，四个角都是直角.因此，正方形既是矩形，
又是菱形.它既有矩形的性质，又有菱形的性质.
知1－讲
感悟新知
正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的
平行四边形叫做正方形．
要点精析
(1)正方形的四条边都相等，说明正方形是特殊的菱形；
(2)正方形的四个角都是直角,说明正方形是特殊的矩形.
即：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．
知1－讲
感悟新知
特别提醒：
1.正方形必须具备的两个条件 :
（1） 四条边相等 .
（2） 四个角是直角 .
2.正方形的四条边都相等，说明正方形既是平行四边形，又是菱形；正方形的四个角都是直角，说明正方形是矩形，即正方形不仅是平行四边形，也是矩形和菱形.
知1－讲
感悟新知
例 1
如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，
且EA⊥AF. 求证：DE=BE.
分析：本题要证明两条线段相等，而证明线段相等的方
法有很多，根据题中所给的条件，由正方形ABCD，我们可以得到边相等，角相等，也可以得到平行，所以在可以得到比较多的条件的情况下，一般会想到用全等去解决，而本题中全等的条件也很充足，那么问题即可解决．
知1－讲
感悟新知
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABF=∠BAD=90°．
∴∠BAE+∠EAD=90°．∴EA⊥AF，
∴∠BAE+∠FAB=90°．∴∠EAD=∠FAB．
∴△ABF≌△ADE．
∴DE=BF.
知1－讲
归 纳
感悟新知
知道正方形就说明它的四边都相等，四个
角都是直角.
知1－练
感悟新知
1. 如图，如果正方形ABCD旋转后能与正方形 CFED重合，那么图形所在的平面上可以作为旋 转中心的点共有多少个？请指出它们的位置.
解：共3个．
分别是点D、点C和线段CD的
中点．
知1－练
感悟新知
2.下面四个定义中不正确的是( )
A．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
B．有一组邻边相等的四边形叫做菱形
C．有一组邻边相等，并且有一个角是直角的
平行四边形叫做正方形
D．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
B
感悟新知
知识点
正方形边的性质
2
知2－讲
正方形的性质：具有矩形、菱形、平行四边形的一切
性质，即：
①边：四条边相等，邻边垂直，对边平行；
②角：四个角都是直角.
知2－讲
感悟新知
特别提醒：
正方形的特殊性质：（1） 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；
（2） 周长相等的四边形中，正方形的面积最大.
感悟新知
例2
知2－讲
已知：如图，在正方形ABCD中，对角线的交
点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG
交AO于F，求证：EF∥AB.
导引：要证EF∥AB，由于∠OBA＝45°，
∠EOF＝90°，即需证∠OEF＝45°，
即要证明OE＝OF，而
OE＝OF可通过证明△AEO≌△DFO获得．
感悟新知
知2－讲
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOE＝∠DOF＝90°，AO＝DO，∠OBA＝45°.
又∵DG⊥AE，
∴∠EAO＋∠AEO＝∠EDG＋∠GED＝90°.
∵∠AEO＝∠GED，∴∠EAO＝∠EDG＝∠FDO.
∴△AEO≌△DFO (ASA)．∴OE＝OF.
∴∠OEF＝45°. ∴∠OEF＝∠OBA.
∴EF∥AB.
知2－练
感悟新知
1. 已知：如图，四边形ABCD和BGFE都是正方 形.求证：AE=CG.
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABC＝90°.
∵四边形BGFE是正方形，∴BE＝BG，
∠EBG＝90°. ∴∠ABC－∠EBC＝∠EBG－∠EBC，
即∠ABE＝∠CBG.∴△ABE≌△CBG.
∴AE＝CG.
知2－练
感悟新知
3.【中考·宁波】一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中，若知道九个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n的最
小值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
A
知2－练
感悟新知
5.【中考·毕节】如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH. 若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
B
感悟新知
知识点
正方形角的性质
3
知3－讲
例 3
如图，正方形ABCD的边长为1 cm，AC为对角线，
AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．
感悟新知
知3－讲
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1 cm.
∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.
又∵∠ECF＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形，
∴EF＝FC. ∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，∴△ABE≌△AFE.
∴AB＝AF＝1 cm，BE＝EF，∴FC＝BE.
在Rt△ABC中，AC
∴FC＝AC－AF＝( －1)(cm)，∴BE＝( －1) cm.
知3－练
感悟新知
1. 如图，正方形ABCD的对角线AC为菱形AEFC的一边.求∠FAB的度数.
解：由题意可知∠CAE＝ ∠DAB＝45°.
∵在菱形AEFC中，AF平分∠CAE，
∴∠FAB＝ ∠CAE＝22.5°.
知3－练
感悟新知
3.【中考·河北】如图是边长为10 cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下
四种剪法中，裁剪线长度所标的数
据(单位：cm)不正确的是( )
A
1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
D
A. 四个角都是直角 B. 对角线相等
C. 对角线互相平分 D. 对角线平分一组对角
返回
2. 如图，在正方形外侧作等边三角形，则 的
度数为( )
（第2题）
A
A. B. C. D.
【点拨】 四边形是正方形， ，
是等边三角形， ，
., ，
.
（第2题）
返回
（第3题）
3.如图，四边形为正方形. 为等边
三角形，于点，若，则
___.
2
【点拨】 是等边三角形，
， .
四边形 为正方形，
. .
.
返回
4.如图，四边形是菱形，四边形 是正方形.若
，则 ____.
（第4题）
（第4题）
【点拨】连接，则为正方形
与菱形 的对角线，
，
.
.
易知 ，
.
.
返回
5.已知是正方形的对角线，在线段 上截取
，连接，则的度数为_____ .
22.5
【点拨】如图, 四边形 是正方形，
， .
.
， .
.
返回
（第6题）
6. 如图，在平面直角
坐标系中，正方形 的对角线
，相交于原点.若点 的坐标是
，则点 的坐标是_________.
课堂小结
正方形及其性质
正方形同时具备平行四边形、菱形、矩形的所有性
质，因此，正方形的四个角都是直角，四条边都相
等，对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平
分一组对角，正方形是轴对称图形，有四条对称
轴．这些性质为证明线段相等、垂直，角相等提供
了重要的依据．
谢谢观看！(共32张PPT)
22.6.2 正方形的判定
第二十二章 四边形
冀教版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
知识点
正方形的对称性
知1－讲
感悟新知
1
正方形的对称性：
正方形是中心对称图形，对称中心为点O；
又是轴对称图形，有四条对称轴.
O
A
B
C
D
(A)
(B)
(C)
(D)
知1－讲
感悟新知
例 1
如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC
＝2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别
交BC、DC于点M、N.若正方形ABCD的边长为a，
则重叠部分四边形EMCN的面积为( )
A. a2 B. a2
C. a2 D. a2
D
知1－讲
感悟新知
解：在△EPM和△EQN中，
∴△EPM≌△EQN(ASA)，
∴S△EQN＝S△EPM，∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，∵正方形ABCD的边长为a，∴AC＝ a，
∵EC＝2AE，∴EC＝ a，∴EP＝PC＝ a，
∴正方形PCQE的面积＝ a× a＝ a2，
∴四边形EMCN的面积＝ a2.
知1－讲
归 纳
感悟新知
本例解法在于巧用割补法，将分散的图形拼合在
一起，将不规则的阴影面积集中到一个规则的图形中，
再利用正方形及三角形的性质求出，解答过程体现了
割补法及转化思想．
知1－练
感悟新知
1.
已知：如图，正方形ABCD的两条对角线相交于点O，点M，N分别在OA，OD上，且MN∥AD.请探究线段DM和CN之间的数量关系， 写出结论并给出证明.
知1－练
感悟新知
解：DM＝CN.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OD，AD＝DC，∠DAM＝∠CDN＝45°.
又∵MN∥AD，
∴OM＝ON.∴AM＝DN.
∴△AMD≌△DNC.
∴DM＝CN.
知1－练
感悟新知
3.
【中考·南京】如图，菱形ABCD的面积为120 cm2，正方形AECF的面积为50 cm2，则菱形的边长为________．
13cm
知1－练
感悟新知
4.
【中考·台州】小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了( )
A．1次 B．2次
C．3次 D．4次
B
感悟新知
知识点
正方形的判定
2
知2－讲
思考
正方形有哪些性质？如何判定一个四边形是正方形？
把它们写出来， 并和同学交流一下，然后证明其中的
一些结论.
感悟新知
知2－讲
正方形
矩形
有一组邻边相等
菱形
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一个角是直角
平行四边形
有一个角是直角
有一组邻边相等
知2－讲
归 纳
感悟新知
正方形的判定方法：要判定一个四边形是正方形，最
常用的方法就是先证明它是菱形(或矩形)，再证明这
个菱形(或矩形)有一个角是直角(或有一组邻边相等)，
其实质就是根据正方形的定义来判定，当然也可以先
证四边形是平行四边形，再证有一组邻边相等且有一
个角是直角，或证这个平行四边形的对角线相等并且
互相垂直．
感悟新知
例2
知2－讲
[中考·铁岭]如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE.
(1)求证：四边形AEBD是矩形．
(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形？并说明理由．
感悟新知
知2－讲
(1)证明：∵点O为AB的中点，OE＝OD，
∴四边形AEBD是平行四边形．
∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.
∴平行四边形AEBD是矩形．
感悟新知
知2－讲
(2)解：当∠BAC＝90°时，矩形AEBD是正方形．
理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC
的角平分线，∴AD＝BD＝CD.
∵由(1)得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形．
感悟新知
知2－讲
例 3
如图，已知在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E
是BD的延长线上的点，且EA＝EC.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若∠DAC＝∠EAD＋∠AED，
求证：四边形ABCD是正方形．
感悟新知
知2－讲
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，∵EA＝EC，∴EO⊥AC，即BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形．
(2)∵∠ADO＝∠EAD＋∠AED，
∠DAC＝∠EAD＋∠AED，
∴∠ADO＝∠DAC，∴AO＝DO，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝2AO，BD＝2DO，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是正方形.
知2－讲
归 纳
感悟新知
证明条件中含对角线的四边形是正方形的方法：
(1)证：“四边形＋对角线互相垂直、平分且相等”；
(2)证：“平行四边形＋对角线互相垂直且相等”；
(3)证：“矩形＋对角线互相垂直”；
(4)证：“菱形＋对角线相等”．
知2－练
感悟新知
1. 如图，把一张矩形纸片折叠，把重叠部分剪下来，展开后可以得到一个怎样的四边形？为什么？
解：正方形．因为有三个角是直角，
所以是矩形，由折叠可知一组邻边相等，所以是正方形．
知2－练
感悟新知
2.【中考·黑龙江】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件___________________________，使四边形ABCD是正方形．
∠BAD＝90°(答案不唯一)
1. [2024承德期末] 四条边都相等，且对角线也相等的四边形
是( )
D
A. 平行四边形 B. 矩形
C. 菱形 D. 正方形
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2. 小荣在复习几种特殊四边形的关
系时，整理出如图所示的转换图，
①②③④处需要添加条件，则下列
条件添加错误的是( )
C
A. ①处可填 B. ②处可填
C. ③处可填 D. ④处可填
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3. 已知菱形的对角线，相交于点 ，则下列条件
中，能够判定菱形 为正方形的是( )
B
A. B.
C. D.
【点拨】A.由不能判定菱形 是正方形，故A选
项不符合题意.
B. 四边形是菱形， ，
， ，
菱形 为正方形.故B选项符合
题意.
C.由不能判定菱形 是正方形，故C选项不符合
题意.
D.由不能判定菱形 是正方形.故D选项不符合题
意.故选B.
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（第4题）
4.如图，将矩形纸片折叠，使点
落在上的点 处，再将其展开，得到
折痕，若沿 剪下，则折叠部分是一
个正方形，其数学原理是_____________
_________________.
有一组邻边相等的矩形是正方形
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（第5题）
5.如图，在矩形 中，有以下结论:
是等腰三角形；
； ；
；⑤当 时，矩形
①②③⑤
是正方形.其中正确的结论是__________.（填序号）
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课堂小结
正方形的判定
1. 判定方法：
(1)从四边形出发：①有四条边相等，四个角都是直角
的四边形是正方形；②对角线互相平分、垂直且相
等的四边形是正方形；
(2)从平行四边形出发：①有一组邻边相等并且有一个
角是直角的平行四边形是正方形；②对角线互相垂
直且相等的平行四边形是正方形；
课堂小结
正方形的判定
(3)从矩形出发：①有一组邻边相等的矩形是正方形；
②对角线互相垂直的矩形是正方形；
(4)从菱形出发：①有一个角是直角的菱形是正方形；
②对角线相等的菱形是正方形．
2. 四边形间的关系：
(1)平行四边形、矩形、菱形、
正方形间的包含关系如图.
课堂小结
正方形的判定
(2)四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形间的转
化关系如图：
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