22.7 多边形的内角和与外角和 课件（共45张PPT）

(共45张PPT)
22.7 多边形的内角和
与外角和
第二十二章 四边形
冀教版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
课时导入
知识点
多边形
知1－讲
感悟新知
1
如图，观察这些图形，它们都是平而上由线段首
尾顺次相接所组成的.
知1－讲
感悟新知
平面上，由不在同一条直线上的线段首尾顺次相
接组成的图形，叫做多边形 .
连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的
对角线.多边形有几条边就叫做几边形.三边形就是我
们通常所说的三角形.
下图所示的五边形，我们把它记作五边形ABCDE.
用类似的方法可以记其他多边形.
多边形的边、顶点、内角、外角
的意义和三角形相同.
知1－讲
感悟新知
特别提醒：
多边形的三个必要条件：（1）线段在“同一个平面内”；（2）线段“不在同一条直线上”且条数不少于 3；（3）首尾顺次相接 . n 边形有 n 条边，n 个顶点，n个内角 .
知1－讲
感悟新知
例 1
下列说法中，正确的有(　　)
(1)三角形是边数最少的多边形；
(2)由n条线段连接起来组成的图形叫多边形；
(3)n边形有n条边、n个顶点、2n个内角和外角；
(4)多边形分为凹多边形和凸多边形．
A．1个　 　　B．2个　　　
C．3个　 　　D．4个
B
知1－讲
归 纳
感悟新知
(1)理解多边形的定义，要 从多边形的几个条件入手.
(2)一个n边形，它的顶点数、内角的个数都是n个，
只有外 角有2n个．
知1－练
感悟新知
1.
下列图形中，不是多边形的是(　　)
从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形，则m、n的值分别为(　　)　
A．4、3 B．3、3
C．3、4 D．4、4
C
C
2.
感悟新知
知识点
多边形的内角和
2
知2－讲
在纸上任意画一个四边形，剪下它的四个角，
把它们拼在起(四个角的顶点里合).你发现了什么？
其他同学与你的发现相同吗？你能把你的发现概括
成 一个命题吗？你能证明这个命题吗？
感悟新知
知2－讲
四边形有以下的定理：四边形的内角和等于360°.
已知：四边形ABCD.
求证： ∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
证明：如图，连接BD.
∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°，
∠C+∠CBD+∠CDB=180°.
∴∠A+∠ABD+∠ADB+ ∠C+∠CBD+∠CDB
=180°+180°=360°，
即∠A+∠ABC+∠C+∠CDA=360°.
感悟新知
知2－讲
图形 从某顶点出发的对角线条数 划分成的三角形个数 多边形的内角和
3 0 1 1×180°
4 1 2 2×180°
5
6
… … … … …
n
知2－讲
归 纳
感悟新知
对于n边形，从某一个顶点出发的(n-3)条对角线
把n边形划分成 (n-2)个三角形，所以n边形的内角和
就等于这(n-2)个三角形的所有内角之和.于是就有下
面的定理：
n边形的内角和为(n-2)×180°(n≥3).
知2－讲
感悟新知
特别提醒：
1. 由 n 边形的内角和公式（ n-2） × 180 °可 知， n边 形 的 内 角 和 一 定 是180°的整数倍；
2.多边形的内角和随边数的变化而变化，边数每增加1，内角和就增加 180°.
感悟新知
例2
知2－讲
一个六边形如图1.已知AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF.求∠A+∠C+∠E的值.
分析：因为两条平行线被一条直线所截.有许多等角关系，所以我们不妨连结AD试试看，如图2.不难发现，∠1=∠3，∠2=∠4.由此可得本题解法.
图1
图2
感悟新知
知2－讲
解：如图2，连结AD.
∵AB∥DE，CD∥AF(已知)，
∴∠1=∠3，∠2=∠4.
∴∠1+∠2=∠3+∠4.即∠FAB=∠CDE.
同理，∠B=∠E，∠C=∠F.
∵∠FAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F
=(6-2)×180°=720°.
∴∠FAB+∠C+∠E= ×720°=360°.
图2
知2－讲
归 纳
感悟新知
把多边形的内角和的问题转化为四边形内角和、
三角形内角和问题是常用的解题思路.
知2－练
感悟新知
在540°，720°，960°中，哪个角度不可能是多边形的内角和？
在四边形ABCD中，如果∠A+∠C+∠D=280°，那么∠B的度数是多少？
解： 960°不可能是多边形的内角和．
解： ∠B＝360°－(∠A＋∠C＋∠D)
＝360°－280°＝80°.
知2－练
感悟新知
一个五边形有三个内角是直角，另两个内角都等于n°.求n的值.
过某个多边形一个顶点的对角线有10条.求这个多边形的内角和.
解：由题意可知90°×3＋2n°＝(5－2)×180°.
解得n＝135.
解：设这个多边形的边数为n，则n－3＝10，
∴n＝13.∴内角和为(13－2)×180°＝1 980°.
知2－讲
归 纳
感悟新知
已知多边形的内角和求边数n的方法：根据多边
形内角和公式：(n－2)×180°＝内角和列方程，解
方程求出n的值，即得多边形的边数．
知2－练
感悟新知
1 一个多边形的内角和等于1 080°，这个多边形的边数是多少？
解：设这个多边形的边数为n.
则(n－2)×180°＝1 080°. 解得n＝8.
∴这个多边形的边数为8.
知2－练
感悟新知
3.【中考·北京】内角和为540°的多边形是(　　)
C
感悟新知
知识点
多边形的外角和
3
知3－讲
由于每一个外角与和它相邻的内角互补，所以n
边形的外角和(每一个顶点只取一个外角)为
n×180°-(n-2)×180°= 360°.
任何多边形的外角和为360°.
知3－讲
感悟新知
定理：多边形的外角和等于360°.
要点精析
(1)多边形的外角和与多边形的边数无关，它始终
为360°；
(2)若n边形的每个内角相等，则每一个外角的度数
为 (n≥3)．
知3－讲
感悟新知
例4
已知一个多边形的每个外角都等于40°，则这个多边形是(　　)
A．五边形　　　　　B．九边形　　　　　
C．七边形　　　　　D．八边形
导引：
根据多边形外角和等于360°，直接可求出多边
形的边数.
B
知3－讲
归 纳
感悟新知
用多边形外角和定理求多边形内(外)角的度数或
求多边形的边数的方法：一般可利用方程思想通过
列方程解决，本例根据边数× 多边形每个外角的度
数＝360°，即可求出．
知3－练
感悟新知
1 如图所示的模板，规定：AB，CD的延长线应相 交成80°的角.因交点不在板上，不便测量，工人 师傅测得∠BAE=122°，∠OCF=155°.此时AB，CD的延长线相交所成的角是否符合规定 为什么
解：不符合规定．理由：因为五边形
AEFCG的内角和为(5－2)×180°
＝540°.所以∠AGC＝540°－(∠E
＋∠F＋∠BAE＋∠DCF)＝540°
－457°＝83°≠80°.所以不符合规定．
知3－练
感悟新知
3.
【中考·十堰】如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°……照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，一共走的路程是(　　)
A．140米 B．150米
C．160米 D．240米
B
感悟新知
知识点
多边形的外角和
4
知4－讲
例 5
[中考·资阳]一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是________．
导引：设这个多边形的边数为n，
∵多边形的外角和为360°，
∴(n－2)×180°＝3×360°.
解得：n＝8.
8
知4－练
感悟新知
内角和等于外角和的2倍的多边形是几边形？
一个n边形的外角和与内角和的度数之比为2:7.
求n的值.
解：设这个多边形的边数为n，则(n－2)·180°＝2×360°.解得n＝6.所以这个多边形是六边形．
解：由题意可知 ，
所以n＝9.
知4－练
感悟新知
3 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC. BE与DF有怎样的位置关系？为什么？
知4－练
感悟新知
解：BE∥DF.理由：∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠ADC＋∠ABC＝360°－(∠A＋∠C)＝180°.
∵BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC，
∴∠ABE＝ ∠ABC，∠ADF＝ ∠ADC.
∴∠ABE＋∠ADF＝ ∠ABC＋ ∠ADC
＝ ×180°＝90°.
又易知∠ABE＋∠AEB＝90°，
∴∠AEB＝∠ADF.∴BE∥DF.
1. 下列图形不是凸多边形的是( )
C
A. B. C. D.
2. [2024乐山] 下列多边形中，内角和最小的是( )
A
A. B. C. D.
返回
3. 一个边形的每个外角都是 ，则这个 边形的内角和是
( )
B
A. B. C. D.
返回
4. 如图①所示的是一把木工台锯时使用的六
角尺，它能提供常用的几种测量角度.在图②的六角尺示意图
中， 的值为( )
C
A. 135 B. 120 C. 112.5 D. 112
返回
（第5题）
5. [2024保定模拟] 如图，将五边形 沿虚
线裁去一个角，得到六边形 ，则下列说
法正确的是( )
D
A. 外角和减少 B. 外角和增加
C. 内角和减少 D. 内角和增加
（第5题）
【点拨】将五边形 沿虚线裁去一个
角，得到六边形.五边形 的
内角和为 ，六边形
的内角和为
，
， 内角和增加 .
五边形、六边形的外角和都是 ，
将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形 ，
外角和不变.故选D.
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6.从五边形的一个顶点出发可以引出___条对角线.
7. 若边形内角和是外角和的3倍，则
___.
2
8
返回
8. 如图，小荣从点出发，沿直线前进
后左转 ，再沿直线前进后又左转 ， ，照这样走
下去，他第一次回到出发地点时，一共走的路程是____ .
（第8题）
96
【点拨】 多边形的外角和为 ，而每一个外角为
， 多边形的边数为 .
小荣一共走的路程是 .
（第8题）
返回
9.如图，五边形 的两个外角的平分
线交于点.若 ，求
的和.
【解】在中， ，
.
五边形的两个外角的平分线交于点 ，
.
，
.
返回
课堂小结
多边形的内角和
与外角和
定义：平面上，由不在同一条直线上的线段首尾顺次
相接组成的图形叫做多边形。
n边形的内角和为(n-2)×180°(n≥3).
n边形一个顶点出发可引(n-3)条对角线.
则n个顶点的n边形共有 条对角线.
多边形的外角和等于360°.
谢谢观看！