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第六章 圆
第24讲 与圆有关的位置关系
点与圆的位置关系
图示 ⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d
点在圆外 d＞r
点在圆上 d＝r
点在圆内 d＜r
直线与圆的位置关系
位置关系 示意图 d与r的关系 公共点个数
相交 d＜r 2个
相切 d＝r 1个
相离 d＞r 0个
切线的性质与判定
定义 直线与圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点
性质定理 切线垂直过切点的半径(或直径)
推论 (1)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点； (2)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心
判定方法 (1)经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线； (2)圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线； (3)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线
切线长和切线长定理
切线长 经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长
切线长 定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
常见结论 如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，AB交PO于点C， 则有如下结论： (1)PA＝PB； (2)∠APO＝∠BPO＝∠OAC＝∠OBC，∠AOP＝∠BOP＝∠CAP＝∠CBP； (3)AB⊥OP且AC＝BC
三角形的内切圆
概念 内心(三角形的内切圆圆心或三角形三条角平分线的交点)
性质 三角形的内心到三角形的三条边的距离相等
角度关系 ∠BOC＝90°＋∠A
【夺分宝典】(1)任意三角形的内切圆(如图1)：
利用等面积法，得r＝.
(2)直角三角形的内切圆(如图2)：
利用等面积法，得r＝；
利用切线长定理，得r＝.
【夺分宝典】
当切点不确定时，常用的方法如下：
(1)当有角平分线时，可利用角平分线的性质，来证明所作垂线等于半径；
(2)当存在线段相等、角相等等条件时，通过构造直角三角形，利用全等三角形的性质，来证明所作垂线等于半径．
考向1 直线与圆的公共点未知
当直线与圆的公共点未知时，常过圆心作直线的垂线段，证明圆心到直线的距离等于半径，简记“作垂直，证半径”．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，以点D为圆心，DC长为半径作⊙D.求证：AB是⊙D的切线．
【自主解答】证明：过点D作DE⊥AB于点E.
∵BD是∠ABC的平分线，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
∴DE是⊙D的半径，
∴AB是⊙D的切线．
【夺分宝典】
当题干中有与“要证的切线垂直”的直线，则连接圆心与切点，证明半径与该直线平行．
求线段长的问题时，因题图中多含直角三角形，因此可以考虑从以下方面来找突破口：(1)勾股定理；(2)锐角三角函数；(3)相似三角形．
若题中含有30°，45°，60°角或三角函数值时，常考虑用三角函数求解；若不含，常考虑用相似三角形求解．
考向2 直线与圆的公共点已知
当直线与圆的公共点已知时，常连接圆心与直线和圆的公共点，证所连半径与直线垂直，简记“连半径，证垂直”．
如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F.求证：EF是⊙O的切线．
【自主解答】证明：连接AD，OD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BC.
∵AB＝AC，
∴BD＝CD.
∵OA＝OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC.
∵EF⊥AC，
∴OD⊥EF.
∵OD是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线．
如图，AB，CD为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，∠ABC＝2∠BCP，E是的中点，弦CE，BD相交于点F.
(1)求∠OCB的度数；
(2)若EF＝3，求⊙O的直径．
【自主解答】解：(1)∵PC与⊙O相切，
∴OC⊥PC，
∴∠OCB＋∠BCP＝90°.
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC.
∵∠ABC＝2∠BCP，
∴∠OCB＝2∠BCP，∴3∠BCP＝90°，
∴∠BCP＝30°，∴∠OCB＝60°.
(2)连接DE.
∵CD是⊙O的直径，∴∠E＝90°.
∵E是的中点，∴＝，
∴∠FDE＝∠ECB＝∠DCE＝∠DCB＝30°.
在Rt△DEF中，DE＝EF＝3.
在Rt△CDE中，CD＝2DE＝6，
∴⊙O的直径为6.
命题点1 切线的判定与性质
1．(2021·荆门)如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝70°，则∠ABO的度数为( B )
A.30°
B．35°
C．45°
D．55°
2．(2018·宜昌)如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB，交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为( D )
A．30° B．35° C．40° D．45°
3．(2022·鄂州)工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图1所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A，B，E三个接触点，则该球的大小就符合要求．图2是过球心及A，B，E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD，BD⊥CD.若CD＝16 cm，AC＝BD＝4 cm，则这种铁球的直径为( C )
A．10 cm B．15 cm
C．20 cm D．24 cm
第3题图
4．(2023·武汉)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以点D为圆心，AD的长为半径的弧恰好与BC相切，切点为E.若＝，则sin C的值是( B )
A． B． C． D．
5．(2021·荆州)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，OD⊥AC于点D，连接OC，过点D作DF∥OC交AB于点F，过点B的切线交AC的延长线于点E.若AD＝4，DF＝，则BE的长为．
6．(2024·武汉)如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点．
(1)求证：AB与半圆O相切；
(2)连接OA，若CD＝4，CF＝2，求sin ∠OAC的值．
(1)证明：连接OD，OA，过点O作OH⊥AB于点H.
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO⊥BC，AO平分∠BAC.
∵AC与半圆O相切于点D，
∴OD⊥AC.
∵OH⊥AB，
∴OH＝OD，
∴AB与半圆O相切．
(2)解：由(1)知OD⊥AC.
在Rt△OCD中，CD＝4，OC＝OF＋CF＝OD＋2，OD2＋CD2＝OC2，
∴OD2＋42＝(OD＋2)2，
∴OD＝3，
∴OC＝5，
∴cos C＝＝.
在Rt△OCA中，cos C＝＝，
∴sin ∠OAC＝＝.
7．(2023·鄂州)如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，C为的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，延长DC，交AB的延长线于点F.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若DE＝1，DC＝2，求⊙O的半径．
(1)证明：连接OC.
∵C为的中点，∴＝，
∴∠EAC＝∠BAC.
∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，
∴∠EAC＝∠OCA，
∴AE∥OC，∴∠ADC＝∠OCF.
∵CD⊥AE，∴∠ADC＝90°，
∴∠OCF＝90°，即OC⊥DF.
又∵OC为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．
(2)解：连接CE，BC.易得CD2＝DE·AD.
∵DE＝1，DC＝2，∴AD＝4.
在Rt△ADC中，AC＝＝＝2.
在Rt△DCE中，CE＝＝＝.
由(1)知＝，∴BC＝EC＝.
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝5，
∴⊙O的半径是AB＝2.5.
8．(2023·黄冈、孝感、咸宁联考)如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE是⊙O的切线，且DE⊥AC于点E，延长CA，交⊙O于点F.
(1)求证：AB＝AC；
(2)若AE＝3，DE＝6，求AF的长．
(1)证明：连接OD.
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE.
∵DE⊥AC，
∴OD∥AC，∴∠C＝∠ODB.
∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，
∴∠B＝∠C，∴AB＝AC.
(2)解：连接DF，DA.∵∠F＝∠B，∠B＝∠C，
∴∠F＝∠C，∴DF＝DC.
∵DE⊥CF，∴EF＝CE.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝90°，∴∠ADE＋∠CDE＝90°.
∵DE⊥AC，∴∠C＋∠CDE＝90°，
∴∠C＝∠ADE.
∵∠AED＝∠DEC＝90°，∴△DAE∽△CDE，
∴＝，即＝，
∴CE＝12，∴EF＝CE＝12，
∴AF＝EF－AE＝12－3＝9.
9．(2023·恩施州)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，O是AB的中点，连接CO，交⊙O于点E，⊙O与AC相切于点D.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)延长CO交⊙O于点G，连接AG交⊙O于点F，若AC＝4，求FG的长．
(1)证明：连接OD，过点O作OM⊥BC于点M.
∵AC＝BC，O是AB的中点，
∴CO平分∠ACB，CO⊥AB.
∵AC切⊙O于点D.
∴OD⊥AC，∴OD＝OM，
∴BC是⊙O的切线．
(2)解：过点O作OH⊥AG 于点H，
∴FG＝2GH.
易得△OAC是等腰直角三角形，
∴OA＝AC＝4.
易得△AOD是等腰直角三角形，
∴OD＝OA＝2，∴OG＝2，
∴AG＝＝2.
∵cos G＝＝，
∴＝，解得GH＝，
∴FG＝.
命题点2 三角形的内切圆
10．(2020·随州)设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h，r，R，则下列结论中不正确的是( C )
A．h＝R＋r B．R＝2r
C．r＝a D．R＝a
11．(2023·仙桃、潜江、天门联考)如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD的度数为35°．
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第六章 圆
第24讲 与圆有关的位置关系
点与圆的位置关系
图示 ⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d
点在圆外 d＞r
点在圆上 d＝r
点在圆内 d＜r
直线与圆的位置关系
位置关系 示意图 d与r的关系 公共点个数
相交 d＜r 2个
相切 d＝r 1个
相离 d＞r 0个
切线的性质与判定
定义 直线与圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点
性质定理 切线垂直过切点的半径(或直径)
推论 (1)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点； (2)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心
判定方法 (1)经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线； (2)圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线； (3)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线
切线长和切线长定理
切线长 经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长
切线长 定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
常见结论 如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，AB交PO于点C， 则有如下结论： (1)PA＝PB； (2)∠APO＝∠BPO＝∠OAC＝∠OBC，∠AOP＝∠BOP＝∠CAP＝∠CBP； (3)AB⊥OP且AC＝BC
三角形的内切圆
概念 内心(三角形的内切圆圆心或三角形三条角平分线的交点)
性质 三角形的内心到三角形的三条边的距离相等
角度关系 ∠BOC＝90°＋∠A
【夺分宝典】(1)任意三角形的内切圆(如图1)：
利用等面积法，得r＝.
(2)直角三角形的内切圆(如图2)：
利用等面积法，得r＝；
利用切线长定理，得r＝.
【夺分宝典】
当切点不确定时，常用的方法如下：
(1)当有角平分线时，可利用角平分线的性质，来证明所作垂线等于半径；
(2)当存在线段相等、角相等等条件时，通过构造直角三角形，利用全等三角形的性质，来证明所作垂线等于半径．
考向1 直线与圆的公共点未知
当直线与圆的公共点未知时，常过圆心作直线的垂线段，证明圆心到直线的距离等于半径，简记“作垂直，证半径”．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，以点D为圆心，DC长为半径作⊙D.求证：AB是⊙D的切线．
【自主解答】证明：过点D作DE⊥AB于点E.
∵BD是∠ABC的平分线，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
∴DE是⊙D的半径，
∴AB是⊙D的切线．
【夺分宝典】
当题干中有与“要证的切线垂直”的直线，则连接圆心与切点，证明半径与该直线平行．
求线段长的问题时，因题图中多含直角三角形，因此可以考虑从以下方面来找突破口：(1)勾股定理；(2)锐角三角函数；(3)相似三角形．
若题中含有30°，45°，60°角或三角函数值时，常考虑用三角函数求解；若不含，常考虑用相似三角形求解．
考向2 直线与圆的公共点已知
当直线与圆的公共点已知时，常连接圆心与直线和圆的公共点，证所连半径与直线垂直，简记“连半径，证垂直”．
如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F.求证：EF是⊙O的切线．
【自主解答】证明：连接AD，OD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BC.
∵AB＝AC，
∴BD＝CD.
∵OA＝OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC.
∵EF⊥AC，
∴OD⊥EF.
∵OD是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线．
如图，AB，CD为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，∠ABC＝2∠BCP，E是的中点，弦CE，BD相交于点F.
(1)求∠OCB的度数；
(2)若EF＝3，求⊙O的直径．
【自主解答】解：(1)∵PC与⊙O相切，
∴OC⊥PC，
∴∠OCB＋∠BCP＝90°.
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC.
∵∠ABC＝2∠BCP，
∴∠OCB＝2∠BCP，∴3∠BCP＝90°，
∴∠BCP＝30°，∴∠OCB＝60°.
(2)连接DE.
∵CD是⊙O的直径，∴∠E＝90°.
∵E是的中点，∴＝，
∴∠FDE＝∠ECB＝∠DCE＝∠DCB＝30°.
在Rt△DEF中，DE＝EF＝3.
在Rt△CDE中，CD＝2DE＝6，
∴⊙O的直径为6.
命题点1 切线的判定与性质
1．(2021·荆门)如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝70°，则∠ABO的度数为( B )
A.30°
B．35°
C．45°
D．55°
2．(2018·宜昌)如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB，交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为( D )
A．30° B．35° C．40° D．45°
3．(2022·鄂州)工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图1所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A，B，E三个接触点，则该球的大小就符合要求．图2是过球心及A，B，E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD，BD⊥CD.若CD＝16 cm，AC＝BD＝4 cm，则这种铁球的直径为( C )
A．10 cm B．15 cm
C．20 cm D．24 cm
第3题图
4．(2023·武汉)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以点D为圆心，AD的长为半径的弧恰好与BC相切，切点为E.若＝，则sin C的值是( B )
A． B． C． D．
5．(2021·荆州)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，OD⊥AC于点D，连接OC，过点D作DF∥OC交AB于点F，过点B的切线交AC的延长线于点E.若AD＝4，DF＝，则BE的长为．
6．(2024·武汉)如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点．
(1)求证：AB与半圆O相切；
(2)连接OA，若CD＝4，CF＝2，求sin ∠OAC的值．
(1)证明：连接OD，OA，过点O作OH⊥AB于点H.
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO⊥BC，AO平分∠BAC.
∵AC与半圆O相切于点D，
∴OD⊥AC.
∵OH⊥AB，
∴OH＝OD，
∴AB与半圆O相切．
(2)解：由(1)知OD⊥AC.
在Rt△OCD中，CD＝4，OC＝OF＋CF＝OD＋2，OD2＋CD2＝OC2，
∴OD2＋42＝(OD＋2)2，
∴OD＝3，
∴OC＝5，
∴cos C＝＝.
在Rt△OCA中，cos C＝＝，
∴sin ∠OAC＝＝.
7．(2023·鄂州)如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，C为的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，延长DC，交AB的延长线于点F.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若DE＝1，DC＝2，求⊙O的半径．
(1)证明：连接OC.
∵C为的中点，∴＝，
∴∠EAC＝∠BAC.
∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，
∴∠EAC＝∠OCA，
∴AE∥OC，∴∠ADC＝∠OCF.
∵CD⊥AE，∴∠ADC＝90°，
∴∠OCF＝90°，即OC⊥DF.
又∵OC为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．
(2)解：连接CE，BC.易得CD2＝DE·AD.
∵DE＝1，DC＝2，∴AD＝4.
在Rt△ADC中，AC＝＝＝2.
在Rt△DCE中，CE＝＝＝.
由(1)知＝，∴BC＝EC＝.
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝5，
∴⊙O的半径是AB＝2.5.
8．(2023·黄冈、孝感、咸宁联考)如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE是⊙O的切线，且DE⊥AC于点E，延长CA，交⊙O于点F.
(1)求证：AB＝AC；
(2)若AE＝3，DE＝6，求AF的长．
(1)证明：连接OD.
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE.
∵DE⊥AC，
∴OD∥AC，∴∠C＝∠ODB.
∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，
∴∠B＝∠C，∴AB＝AC.
(2)解：连接DF，DA.∵∠F＝∠B，∠B＝∠C，
∴∠F＝∠C，∴DF＝DC.
∵DE⊥CF，∴EF＝CE.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝90°，∴∠ADE＋∠CDE＝90°.
∵DE⊥AC，∴∠C＋∠CDE＝90°，
∴∠C＝∠ADE.
∵∠AED＝∠DEC＝90°，∴△DAE∽△CDE，
∴＝，即＝，
∴CE＝12，∴EF＝CE＝12，
∴AF＝EF－AE＝12－3＝9.
9．(2023·恩施州)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，O是AB的中点，连接CO，交⊙O于点E，⊙O与AC相切于点D.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)延长CO交⊙O于点G，连接AG交⊙O于点F，若AC＝4，求FG的长．
(1)证明：连接OD，过点O作OM⊥BC于点M.
∵AC＝BC，O是AB的中点，
∴CO平分∠ACB，CO⊥AB.
∵AC切⊙O于点D.
∴OD⊥AC，∴OD＝OM，
∴BC是⊙O的切线．
(2)解：过点O作OH⊥AG 于点H，
∴FG＝2GH.
易得△OAC是等腰直角三角形，
∴OA＝AC＝4.
易得△AOD是等腰直角三角形，
∴OD＝OA＝2，∴OG＝2，
∴AG＝＝2.
∵cos G＝＝，
∴＝，解得GH＝，
∴FG＝.
命题点2 三角形的内切圆
10．(2020·随州)设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h，r，R，则下列结论中不正确的是( C )
A．h＝R＋r B．R＝2r
C．r＝a D．R＝a
11．(2023·仙桃、潜江、天门联考)如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD的度数为35°．
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中考数学一轮复习课件
人教版
2025年中考数学 一轮复习（回归教材夯实基础）
第24讲 与圆有关的位置关系
考点精讲精练
第六章 圆
知识点1 点与圆的位置关系
＞
＝
＜
知识点2 直线与圆的位置关系
＜
＝
＞
知识点3 切线的性质与判定
定义 直线与圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点
性质定理 切线__________过切点的半径(或直径)
垂直
推论 (1)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；
(2)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心
判定方法 (1)经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
(2)圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；
(3)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线
知识点4 切线长和切线长定理
切线长 经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长
切线长 定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长______，这一点和圆心的连线______两条切线的夹角
垂直
相等
常见结论 如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，AB交PO于点C，
则有如下结论：
(1)PA＝PB；
(2)∠APO＝∠BPO＝∠OAC＝∠OBC，
∠AOP＝∠BOP＝∠CAP＝∠CBP；
(3)AB⊥OP且AC＝BC
知识点5 三角形的内切圆
三条角平分线
突破设问一 切线的判定
突破设问二 切线的性质
B
D
C
B
C
35°
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