2015-2016学年人教A版必修一数学3.1.1 方程的根与函数的零点 课件 （共23张PPT）

课件23张PPT。第三章函数的应用 3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点【学习目标】1.结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.2.掌握零点存在的判定定理.1.函数的零点零点实数根横坐标(1)对于函数 y＝f(x)，使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的________.交点零点 (2)函数 y＝f(x)的零点就是方程 f(x)＝0 的________，也就是
函数 y＝f(x)的图象与 x 轴的交点的________.
(3) 方程 f(x) ＝0 有实数根? 函数 y ＝f(x) 的图象与 x 轴有
________?函数 y＝f(x)有________.练习 1：函数 f(x)＝x2－1 的零点为________.±12.函数零点的存在性定理＜＝0 如果函数 y＝f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，
并且有 f(a)·f(b)______0，那么 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即
存在 c∈(a，b)，使得 f(c)______，c 也就是方程 f(x)＝0 的根.练习2：函数 y＝3x－2 在下列哪个区间内有零点()B.(0,1)
D.(2,3)A.(－1,0)
C.(1,2)B【问题探究】函数 y＝f(x)的零点、方程 f(x)＝0 的实数根和函数 y＝f(x)的图象与 x 轴的交点情况，三者有什么关系？答案：函数 y＝f(x)有零点?方程 f(x)＝0 有实数根?函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点．题型 1 求函数的零点【例 1】 求下列函数的零点：(1)y＝－x2－x＋20；
(2)y＝(x2－2)(x2－3x＋2)；
(3)y＝2x－1；
(4)f(x)＝(x2－x)2－(x2－x)－2.思维突破：将函数解析式转化为方程，通过方程求函数的零点.一般可以借助求根公式、因式分解或换元等方法求出方程的根，从而得到函数的零点.(4)令f(x)＝0，t＝x2－x，则t2－t－2＝0，
∴(t－2)(t＋1)＝0.解得t1＝2或t2＝－1.
若t1＝2，即x2－x－2＝0，∴x＝2或x＝－1.
若t2＝－1，即x2－x＋1＝0.
∵Δ＝(－1)2－4＝－3<0，∴此方程无实数根．
综上所述，所求函数的零点为2，－1.【变式与拓展】
1.若 f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点是 3，则函数 g(x)＝bx2＋3ax 的零点是____________.0，－12 －2,3 解析：由f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点是3，得3a－b＝0，即3a＝b.又g(x)＝bx2＋3ax＝x(bx＋3a)＝x(bx＋b)，令g(x)＝0，解得x1＝0，x2＝－1.2.(1)函数f(x)＝x2－x－6的零点为__________；
(2)函数f(x)＝2x－4的零点为____________；
(3)函数f(x)＝log4x＋1的零点为________. 题型 2 判断零点所在的大致区间
【例 2】 (1)函数 f(x) ＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是()A.(－2，－1)
C.(0,1)B.(－1,0)
D.(1,2)答案：B(2)(2013年天津)函数f(x)＝2－x|log0.5x|－1的零点个数为( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个解析：函数f(x)＝2－x|log0.5x|－1，如图D24.
①当x>1时，函数化为f(x)＝2－xlog2x－1，
令2－xlog2x－1＝0，可得2x＝log2x，方程没有解．
②当0令2－xlog0.5x－1＝0，可得2x＝log0.5x，方程有一个解，
所以函数f(x)＝2－x|log0.5x|－1的零点个数有1个．
故选A.图 D24答案：A 判断函数 y＝f(x)在某个区间上是否存在零点，
常用以下三种方法：①当对应方程易解时，可通过解方程，看
方程是否有根落在给定区间上；②利用函数零点的存在性定理
进行判断；③通过函数图象，观察图象与 x 轴在给定区间上是
否有交点进行判断. 【变式与拓展】
3.(2011 年广东汕头测试)根据表格中的数据，可以判定函数
f(x)＝ex－x－2 的一个零点所在的区间为(k，k＋1)(k∈Z)，则 k的值为()CA.－1B.0C.1D.2解析：由表，可知：当 k＝1 时，f(1)·f(2)<0，∴零点在(1,2)内．题型 3 根据二次函数零点的分布来确定参数范围【例 3】已知函数f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2的一个零点比1 大，另一个零点比 1 小，求实数 a 的取值范围.思维突破：函数的零点即方程的根，利用韦达定理或数形结合求解. 解：方法一：令f(x)＝0，则x2＋(a2－1)x＋a－2＝0.
∵Δ＝(a2－1)2－4(a－2)＝a4－2a2－4a＋9
＝(a2－2)2＋2(a－1)2＋3>0，
∴此方程有两个不相等的实数根，设两实数根分别为x1，x2(x1＜x2).由函数的零点一个比1大，另一个比1小，
可得x1＜1＜x2，
故(x1－1)(x2－1)＜0，即x1x2－(x1＋x2)＋1＜0.
由韦达定理，
得(a－2)＋(a2－1)＋1＜0，
即a2＋a－2＜0，解得－2＜a＜1.图3-1-1 用方程的实根的分布情况求函数中的参数范
围时，要注意以下几个方面：①判别式；②韦达定理；③对称
轴；④函数值的大小；⑤开口方向. 方法二：函数f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2
的简图如图3-1-1.
根据题意，得f(1)＜0，
即12＋(a2－1)·1＋a－2＜0，
∴a2＋a－2＜0，解得－2＜a＜1. 【变式与拓展】0的实数根，求实数 a 的取值范围.
【例 4】 已知 mx2＋x＋1＝0 有且只有一个根在区间(0,1)内，求实数 m 的取值范围.易错分析：当方程 f(x)＝0 在区间(a，b)内有且只有一个根时，则有可能是 f(a)·f(b)<0，也有可能是 f(a)·f(b)≤0.[方法·规律·小结]1.准确理解函数的零点. (1)函数的零点是一个实数，当自变量取该实数时，其函数
值等于零；函数的零点不是点，它是函数 y＝f(x)与 x 轴交点的
横坐标，是方程 f(x)＝0 的根. (2)根据函数零点的定义，可知：函数 f(x)的零点就是方程
f(x)＝0 的根，因此判断一个函数是否有零点，或有几个零点，
就是判断方程 f(x)＝0 是否有实根，或有几个实根. (3)函数零点的存在性定理的条件是充分条件，即若 f(a)·f(b)
＜0 不成立，函数 y＝f(x)在区间(a，b)内亦可能存在零点.2.函数的零点、方程的根和函数图象与 x 轴交点坐标的关系.
三者之间是互相等价的关系.因此，求 y＝f(x)的零点：
①从数的角度分析就是求 f(x)＝0 的根； ②从形的角度分析就是求 y＝f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标.
3.使用根的存在性定理要注意以下三点：①函数 y＝f(x)在
区间[a，b]上连续；②满足 f(a)·f(b)<0；③该定理只能求变号零
点，对非变号零点不适用，因此只是零点存在的一个充分条件.