华师大版七下（2024版）6.4　实践与探索——学案

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第6章 二元一次方程
6.4　实践与探索
学习目标与重难点
学习目标：1.掌握如何利用方程解决实际问题，理解几何图形的拼合原理，学会分析古代数学问题。
2.通过动手操作和小组讨论，培养学生的合作能力和探究精神。
3.体会古代数学的智慧，增强文化自信，欣赏数学文化。
学习重点： 如何将实际问题转化为数学问题；建立方程并求解；培养数学建模能力
学习难点： 将实际问题转化为数学模型；理解古代数学问题的解法。
预习自测
一、知识链接
1.
①什么叫二元一次方程 并举例说明.
②什么叫三元一次方程 并举例说明.
③以上两种方程都有什么解法？
自学自测
2.加工某种产品须经两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1200件. 现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、二道工序所完成的件数相等 请列出符合题意的二元一次方程组.
3.下列方程组不是三元一次方程组的是 ( )
A.
教学过程
一、创设情境、导入新课
教材第45页
问题 1
要用 20 张白卡纸做长方体的包装盒,准备把这些白卡纸分成两部分, 一部分做侧面, 另一部分做底面. 已知每张白卡纸可以做 2 个侧面, 或者做 3 个底面. 如果 1 个侧面和 2 个底面可以做成一个包装盒, 那么如何分才能使做成的侧面和底面正好配套
请你设计一种分法.
想一想, 如果可以将一张白卡纸裁出一个侧面和一个底面, 那么, 该如何分这些白卡纸, 才既能使做出的侧面和底面配套, 又能充分利用白卡纸
二、合作交流、新知探究
探究一： 思考与探索
问题 2
小明在拼图时, 发现 8 个大小一样的长方形, 恰好可以拼成如图 6.4.1 所示的一个大长方形.
小红看见了, 说: “我来试一试.” 结果小红七拼八凑, 拼成如图 6.4.2 所示的正方形. 咳,怎么中间还留下了一个洞,恰好是边长为 的小正方形!
你能求出这些长方形的长和宽吗
图6.4.1
图6.4.2
【做一做】
从 5.3 节提出的问题中选出一个, 用本章的方法来处理, 并比较一下两种方法, 谈谈你的感受.
探究二：阅读
教材第47页
鸡兔同笼
今有雉兔同笼,上有三十五头,
下有九十四足, 问雉兔各几何
这是出自我国《孙子算经》中著名的 “雉 (鸡) 兔同笼” 问题, 可以认为是我国鸡兔同笼问题的始祖. 对这一问题, 《孙子算经》给出了简捷而又巧妙的解法: “上置头,下置足. 半其足,以头除足,以足除头,即得. ”(此处“除”意为“减”)
即先设金鸡独立,玉兔双足 (即 “半其足”),这时共有足数为: .
在这 47 只足中, 每数一只足应该有一只鸡, 而每数两只足才有一只兔, 也就是说, 鸡的头、足数相等, 而每只兔的头数却比足数少一, 所以兔数为
鸡数为
一般情况下,如果设 为鸡数, 为兔数, 为鸡和兔的总只数, 为鸡和兔的总足数, 则
解得
这就是说, 兔数恰好为足数的二分之一(半其足) 与总头数之差 (以头除足).
在古代朱世杰(生卒年不详)的《算学启蒙》(1299 年)、《永乐大典》中的《丁巨算法》、严恭(生卒年不详)的《通原算法》中,也有鸡兔同笼问题的记载. 朱世杰的解法与《孙子算经》不同, 而与现在算术解法则几乎完全一样.
三、课堂练习
【必做题】
1．下列方程组中，不是三元一次方程组的是( )
A. B.
C. D.
2.小明和小丽同时到一家水果店买水果，小明买 1kg荔枝和5kg 西瓜，共花了30元；小丽买2kg荔枝和3kg 西瓜，共花了46元.设荔枝每千克x元，西瓜每千克y元，根据题意可列出方程组为
3．解方程组：
(1)
(2)
【选做题】
4．[台湾中考]桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内原本均装有一些水．先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的 3倍少180毫升．若过程中水没有溢出，则原本甲、乙两杯内的水量相差多少毫
升( )
A．80 B．110 C．140 D．220
5.用 代 入 法 解 方 程 组 使得代入后化简比较容易的变形是 ( )
A. 由①得
B. 由①得
C. 由②得y=7-5x
D. 由②得
【综合拓展作业】
6．有一场足球比赛，共有九支球队参加，采取单循环赛，其记分和奖励方案如表：
标准 胜一场 平一场 负一场
积分 3 1 0
奖励(元/人) 2 000 800 0
甲队参加完了全部8场比赛，共得积分16分．
(1)求甲队胜负的所有可能情况；
(2)若每一场比赛，每一个参赛队员均可得出场费500元，求甲队参加了所有8场比赛的队员的个人总收入(奖金加上出场费)．
总结反思、拓展升华
1. 包装盒设计问题：涉及数学运算和逻辑推理，需要将实际问题转化为数学问题，理解长方体体积和表面积的计算。
2. 长方形拼图问题：涉及方程的建立和求解，需要理解方程在解决实际问题中的应用，掌握如何通过拼图问题建立方程。
3. 鸡兔同笼问题：了解古代数学问题的解法及其背后的数学原理，感受古代数学的智慧，掌握设未知数和建立方程的方法。
五、【作业布置】
【知识技能类作业】 必做题
1.把某一段公路的一侧全部栽上银杏树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等.如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔 6 米栽 1 棵，则树苗正好用完.设原有树苗x棵，公路长为y米.根据题意，下面所列方程组中正确的是 ( )
2.将三元一次方程组 经过①－③和③×4＋②消去未知数z后，得到的二元一次方程组是( )
A. B.
C. D.
3．已知某速食店贩售的套餐内容为一片鸡排和一杯可乐，且一份套餐的价钱比单点一片鸡排再单点一杯可乐的总价钱便宜40元，小梁打算到该速食店买两份套餐，若他发现店内有单点一片鸡排就再送一片鸡排的促销活动，且单点一片鸡排再单点两杯可乐的总价钱，比两份套餐的总价钱便宜10元，则根据题意可得到的结论是( )
A．一份套餐的价钱必为140元
B．一份套餐的价钱必为120元
C．单点一片鸡排的价钱必为90元
D．单点一片鸡排的价钱必为70元
【综合拓展类作业】选做题
4.学校八年级师生共406 人准备到某教育实践基地参加研学旅行，现已预备了49 座和37 座两种客车共10辆，刚好坐满.设49座客车x辆，37 座客车y辆，根据题意可列出方程组( )
5.在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，欲从商场购进一批免洗手消毒液和84 消毒液.如果购买 40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元；如果购买 60瓶免洗手消毒液和120 瓶 84 消毒液，共需花费 1860元.
(1)每瓶免洗手消毒液和每瓶84 消毒液的价格分别是多少元
(2)若商场有两种促销方案：方案一，所有购买商品均打九折；方案二，购买 5 瓶免洗手消毒液送2瓶 84 消毒液.学校打算购进免洗手消毒液 100 瓶、84 消毒液60瓶，请问学校选用哪种方案更节约钱 节约多少钱
答案
①什么叫二元一次方程 并举例说明.
二元一次方程是指含有两个未知数，并且未知数的次数都是1的整式方程。
举例：方程 2x+3y=8 就是一个二元一次方程，其中 x 和 y 是两个未知数，且它们的次数都是1。
②什么叫三元一次方程 并举例说明.
三元一次方程是指含有三个未知数，并且未知数的次数都是1的整式方程。
举例：方程 x+2y+3z=10 就是一个三元一次方程，其中 x,y,z 是三个未知数，且它们的次数都是1。
③以上两种方程都有什么解法？
2.900x=1200
yx+y=7
3. D
课堂练习
1． D
2.
3．
解：(1)
把①代入②，得5x＋6x－21＋2z＝2，
即11x＋2z＝23，④
④×2＋③，得25x＝50，解得x＝2，
把x＝2代入①，得y＝－3，
把x＝2代入③，得z＝.
所以方程组的解为
(2)
②＋③，得5x＝10，
解得x＝2，
把x＝2代入①，得y＝1，
把x＝2，y＝1代入②，得2×2＋5×1－2z＝11，
解得z＝－1，
所以原方程组的解为
4． B
5.C
6．
解：(1)设甲队胜x场，平y场，负z场．
根据题意，得
解得
得整数解或
即甲队胜负的所有可能情况有：“4胜4平”或者“5胜1平2负”．
(2)若是4胜4平，甲队参加了所有8场比赛的队员的个人总收入为
2 000×4＋800×4＋500×8＝15 200(元)，
若是5胜1平2负，甲队参加了所有8场比赛的队员的个人总收入为
2 000×5＋800＋500×8＝14 800(元)．
答：若是4胜4平，个人总收入为15 200元；若是5胜1平2负，个人总收入为14 800元．
作业
1.A
2. A
3．C
4.B
5.
解：
（1） 解答过程： 设免洗手消毒液每瓶价格为 x 元，84消毒液每瓶价格为 y 元
根据题意列方程组：
解得：每瓶免洗手消毒液 15元，每瓶84消毒液 8元。
（2）原价总费用： 100×15+60×8=1980元
方案一（打九折）： 1980×0.9=1782元
方案二（买5送2）：
每买5瓶免洗手消毒液送2瓶84消毒液。
购买100瓶免洗手消毒液，可分成 100÷5=20 组，赠送 20×2=40 瓶84消毒液。
实际需额外购买84消毒液：60 40=20 瓶。
费用：100×15+20×8=1660元
比较与节省金额： 1782 1660=122元
答：选择 方案二 更节约，节省 122元。
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