华师大版七下（2024版）6.4 实践与探索——教案
文档属性
| 名称 | 华师大版七下（2024版）6.4 实践与探索——教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 180.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-26 11:14:30 | ||
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文档简介
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分课时教学设计
《6.4 实践与探索》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课主要围绕实际问题展开，通过两个具体问题（包装盒的制作和长方形的拼图）引导学生运用数学知识解决实际问题。教学内容涉及方程的应用、几何图形的拼合、以及古代数学问题的解析。通过这些活动，学生能够加深对方程、几何和数学思维的理解，培养解决实际问题的能力。
学习者分析 学生已经掌握了基本的方程解法、几何图形的性质如何列二元一次方程组和三元一次方程组，他们具备一定的逻辑思维能力和动手操作能力，但在将数学知识应用于实际问题时，可能会遇到困难。因此，本节课通过具体的实践活动，帮助学生将理论知识与实际问题相结合，提升他们的应用能力。
教学目标 1.掌握如何利用方程解决实际问题，理解几何图形的拼合原理，学会分析古代数学问题。 2.通过动手操作和小组讨论，培养学生的合作能力和探究精神。 3.体会古代数学的智慧，增强文化自信，欣赏数学文化。
教学重点 如何将实际问题转化为数学问题；建立方程并求解；培养数学建模能力
教学难点 将实际问题转化为数学模型；理解古代数学问题的解法。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动3：教材第45页 问题 1 要用 20 张白卡纸做长方体的包装盒,准备把这些白卡纸分成两部分, 一部分做侧面, 另一部分做底面. 已知每张白卡纸可以做 2 个侧面, 或者做 3 个底面. 如果 1 个侧面和 2 个底面可以做成一个包装盒, 那么如何分才能使做成的侧面和底面正好配套 请你设计一种分法. 想一想, 如果可以将一张白卡纸裁出一个侧面和一个底面, 那么, 该如何分这些白卡纸, 才既能使做出的侧面和底面配套, 又能充分利用白卡纸 参考：不裁切时：无法严格配套，建议用 9 张做侧面、11 张做底面，生产 16 个包装盒。 允许裁切时：用 8 张全做侧面， 11 张全做底面， 1 张裁切，可正好生产 17 个包装盒，无剩余。学生活动1： 学生分组讨论如何分配白卡纸制作包装盒，尝试设计一种分法。活动意图说明：激发学生兴趣，引导学生思考实际问题，培养数学建模能力，为后续学习打下基础。环节二： 新知导入教师活动3：教材第46页 问题 2 小明在拼图时, 发现 8 个大小一样的长方形, 恰好可以拼成如图 6.4.1 所示的一个大长方形. 小红看见了, 说: “我来试一试.” 结果小红七拼八凑, 拼成如图 6.4.2 所示的正方形. 咳,怎么中间还留下了一个洞,恰好是边长为 的小正方形! 你能求出这些长方形的长和宽吗 图6.4.1 图6.4.2 探索 设长方形的长和宽分别为 . 图 6.4.2 给我们提供了一个信息: 即 但这是我们还没有研究过的方程! 你有其他办法来解决这个问题吗 做一做： 从 5.3 节提出的问题中选出一个, 用本章的方法来处理, 并比较一下两种方法, 谈谈你的感受.学生活动： 学生观察拼图，尝试建立方程求解长方形的长和宽。活动意图说明：培养学生观察能力和数学建模能力，理解方程在解决实际问题中的应用。环节三：阅读材料教师活动3：教材第47页 鸡兔同笼 今有雉兔同笼,上有三十五头, 下有九十四足, 问雉兔各几何 这是出自我国《孙子算经》中著名的 “雉 (鸡) 兔同笼” 问题, 可以认为是我国鸡兔同笼问题的始祖. 对这一问题, 《孙子算经》给出了简捷而又巧妙的解法: “上置头,下置足. 半其足,以头除足,以足除头,即得. ”(此处“除”意为“减”) 即先设金鸡独立,玉兔双足 (即 “半其足”),这时共有足数为: . 在这 47 只足中, 每数一只足应该有一只鸡, 而每数两只足才有一只兔, 也就是说, 鸡的头、足数相等, 而每只兔的头数却比足数少一, 所以兔数为 鸡数为 一般情况下,如果设 为鸡数, 为兔数, 为鸡和兔的总只数, 为鸡和兔的总足数, 则 解得 这就是说, 兔数恰好为足数的二分之一(半其足) 与总头数之差 (以头除足). 在古代朱世杰(生卒年不详)的《算学启蒙》(1299 年)、《永乐大典》中的《丁巨算法》、严恭(生卒年不详)的《通原算法》中,也有鸡兔同笼问题的记载. 朱世杰的解法与《孙子算经》不同, 而与现在算术解法则几乎完全一样. 学生活动3： 学生阅读鸡兔同笼问题，尝试理解其解法，并小组讨论。活动意图说明：感受古代数学的智慧，理解数学原理在解决实际问题中的应用，培养团队协作和问题解决能力。
课堂练习 【必做题】 1．下列方程组中，不是三元一次方程组的是( D ) A. B. C. D. 2.小明和小丽同时到一家水果店买水果，小明买 1kg荔枝和5kg 西瓜，共花了30元；小丽买2kg荔枝和3kg 西瓜，共花了46元.设荔枝每千克x元，西瓜每千克y元，根据题意可列出方程组为
3．解方程组： (1) (2) 解：(1) 把①代入②，得5x＋6x－21＋2z＝2， 即11x＋2z＝23，④ ④×2＋③，得25x＝50，解得x＝2， 把x＝2代入①，得y＝－3， 把x＝2代入③，得z＝. 所以方程组的解为 (2) ②＋③，得5x＝10， 解得x＝2， 把x＝2代入①，得y＝1， 把x＝2，y＝1代入②，得2×2＋5×1－2z＝11， 解得z＝－1， 所以原方程组的解为 【选做题】 4．桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内原本均装有一些水．先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的 3倍少180毫升．若过程中水没有溢出，则原本甲、乙两杯内的水量相差多少毫 升( B ) A．80 B．110 C．140 D．220 5.用 代 入 法 解 方 程 组 使得代入后化简比较容易的变形是 ( C ) A. 由①得 B. 由①得 C. 由②得y=7-5x D. 由②得 【综合拓展作业】 6．有一场足球比赛，共有九支球队参加，采取单循环赛，其记分和奖励方案如表： 标准胜一场平一场负一场积分310奖励(元/人)2 0008000
甲队参加完了全部8场比赛，共得积分16分． (1)求甲队胜负的所有可能情况； (2)若每一场比赛，每一个参赛队员均可得出场费500元，求甲队参加了所有8场比赛的队员的个人总收入(奖金加上出场费)． 解：(1)设甲队胜x场，平y场，负z场． 根据题意，得 解得 得整数解或 即甲队胜负的所有可能情况有：“4胜4平”或者“5胜1平2负”． (2)若是4胜4平，甲队参加了所有8场比赛的队员的个人总收入为 2 000×4＋800×4＋500×8＝15 200(元)， 若是5胜1平2负，甲队参加了所有8场比赛的队员的个人总收入为 2 000×5＋800＋500×8＝14 800(元)． 答：若是4胜4平，个人总收入为15 200元；若是5胜1平2负，个人总收入为14 800元．
课堂总结 包装盒设计问题：涉及数学运算和逻辑推理，需要将实际问题转化为数学问题，理解长方体体积和表面积的计算。 长方形拼图问题：涉及方程的建立和求解，需要理解方程在解决实际问题中的应用，掌握如何通过拼图问题建立方程。 鸡兔同笼问题：了解古代数学问题的解法及其背后的数学原理，感受古代数学的智慧，掌握设未知数和建立方程的方法。
作业设计 【知识技能类作业】 1.把某一段公路的一侧全部栽上银杏树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等.如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔 6 米栽 1 棵，则树苗正好用完.设原有树苗x棵，公路长为y米.根据题意，下面所列方程组中正确的是 ( A) 2.将三元一次方程组 经过①－③和③×4＋②消去未知数z后，得到的二元一次方程组是( A ) A. B. C. D. 3．已知某速食店贩售的套餐内容为一片鸡排和一杯可乐，且一份套餐的价钱比单点一片鸡排再单点一杯可乐的总价钱便宜40元，小梁打算到该速食店买两份套餐，若他发现店内有单点一片鸡排就再送一片鸡排的促销活动，且单点一片鸡排再单点两杯可乐的总价钱，比两份套餐的总价钱便宜10元，则根据题意可得到的结论是( C ) A．一份套餐的价钱必为140元 B．一份套餐的价钱必为120元 C．单点一片鸡排的价钱必为90元 D．单点一片鸡排的价钱必为70元 【综合拓展类作业】 4.学校八年级师生共406 人准备到某教育实践基地参加研学旅行，现已预备了49 座和37 座两种客车共10辆，刚好坐满.设49座客车x辆，37 座客车y辆，根据题意可列出方程组( B ) 5.在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，欲从商场购进一批免洗手消毒液和84 消毒液.如果购买 40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元；如果购买 60瓶免洗手消毒液和120 瓶 84 消毒液，共需花费 1860元. (1)每瓶免洗手消毒液和每瓶84 消毒液的价格分别是多少元 (2)若商场有两种促销方案：方案一，所有购买商品均打九折；方案二，购买 5 瓶免洗手消毒液送2瓶 84 消毒液.学校打算购进免洗手消毒液 100 瓶、84 消毒液60瓶，请问学校选用哪种方案更节约钱 节约多少钱 解：
（1） 解答过程： 设免洗手消毒液每瓶价格为 x 元，84消毒液每瓶价格为 y 元 根据题意列方程组： 解得：每瓶免洗手消毒液 15元，每瓶84消毒液 8元。 （2）原价总费用： 100×15+60×8=1980元 方案一（打九折）： 1980×0.9=1782元 方案二（买5送2）： 每买5瓶免洗手消毒液送2瓶84消毒液。 购买100瓶免洗手消毒液，可分成 100÷5=20 组，赠送 20×2=40 瓶84消毒液。 实际需额外购买84消毒液：60 40=20 瓶。 费用：100×15+20×8=1660元 比较与节省金额： 1782 1660=122元 答：选择 方案二 更节约，节省 122元。
教学反思 本节课通过实际问题引入，激发了学生的学习兴趣。在教学过程中，通过小组讨论和合作学习，学生积极参与，课堂氛围活跃。但在解决古代数学问题（如鸡兔同笼）时，部分学生理解起来较为困难，需要在后续教学中加强引导，采用更多直观教学手段。本节课在培养学生将实际问题转化为数学问题的能力方面取得了较好效果，但还需通过更多练习进一步提高学生的数学建模能力和问题解决能力。
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《6.4 实践与探索》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课主要围绕实际问题展开，通过两个具体问题（包装盒的制作和长方形的拼图）引导学生运用数学知识解决实际问题。教学内容涉及方程的应用、几何图形的拼合、以及古代数学问题的解析。通过这些活动，学生能够加深对方程、几何和数学思维的理解，培养解决实际问题的能力。
学习者分析 学生已经掌握了基本的方程解法、几何图形的性质如何列二元一次方程组和三元一次方程组，他们具备一定的逻辑思维能力和动手操作能力，但在将数学知识应用于实际问题时，可能会遇到困难。因此，本节课通过具体的实践活动，帮助学生将理论知识与实际问题相结合，提升他们的应用能力。
教学目标 1.掌握如何利用方程解决实际问题，理解几何图形的拼合原理，学会分析古代数学问题。 2.通过动手操作和小组讨论，培养学生的合作能力和探究精神。 3.体会古代数学的智慧，增强文化自信，欣赏数学文化。
教学重点 如何将实际问题转化为数学问题；建立方程并求解；培养数学建模能力
教学难点 将实际问题转化为数学模型；理解古代数学问题的解法。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动3：教材第45页 问题 1 要用 20 张白卡纸做长方体的包装盒,准备把这些白卡纸分成两部分, 一部分做侧面, 另一部分做底面. 已知每张白卡纸可以做 2 个侧面, 或者做 3 个底面. 如果 1 个侧面和 2 个底面可以做成一个包装盒, 那么如何分才能使做成的侧面和底面正好配套 请你设计一种分法. 想一想, 如果可以将一张白卡纸裁出一个侧面和一个底面, 那么, 该如何分这些白卡纸, 才既能使做出的侧面和底面配套, 又能充分利用白卡纸 参考：不裁切时：无法严格配套，建议用 9 张做侧面、11 张做底面，生产 16 个包装盒。 允许裁切时：用 8 张全做侧面， 11 张全做底面， 1 张裁切，可正好生产 17 个包装盒，无剩余。学生活动1： 学生分组讨论如何分配白卡纸制作包装盒，尝试设计一种分法。活动意图说明：激发学生兴趣，引导学生思考实际问题，培养数学建模能力，为后续学习打下基础。环节二： 新知导入教师活动3：教材第46页 问题 2 小明在拼图时, 发现 8 个大小一样的长方形, 恰好可以拼成如图 6.4.1 所示的一个大长方形. 小红看见了, 说: “我来试一试.” 结果小红七拼八凑, 拼成如图 6.4.2 所示的正方形. 咳,怎么中间还留下了一个洞,恰好是边长为 的小正方形! 你能求出这些长方形的长和宽吗 图6.4.1 图6.4.2 探索 设长方形的长和宽分别为 . 图 6.4.2 给我们提供了一个信息: 即 但这是我们还没有研究过的方程! 你有其他办法来解决这个问题吗 做一做： 从 5.3 节提出的问题中选出一个, 用本章的方法来处理, 并比较一下两种方法, 谈谈你的感受.学生活动： 学生观察拼图，尝试建立方程求解长方形的长和宽。活动意图说明：培养学生观察能力和数学建模能力，理解方程在解决实际问题中的应用。环节三：阅读材料教师活动3：教材第47页 鸡兔同笼 今有雉兔同笼,上有三十五头, 下有九十四足, 问雉兔各几何 这是出自我国《孙子算经》中著名的 “雉 (鸡) 兔同笼” 问题, 可以认为是我国鸡兔同笼问题的始祖. 对这一问题, 《孙子算经》给出了简捷而又巧妙的解法: “上置头,下置足. 半其足,以头除足,以足除头,即得. ”(此处“除”意为“减”) 即先设金鸡独立,玉兔双足 (即 “半其足”),这时共有足数为: . 在这 47 只足中, 每数一只足应该有一只鸡, 而每数两只足才有一只兔, 也就是说, 鸡的头、足数相等, 而每只兔的头数却比足数少一, 所以兔数为 鸡数为 一般情况下,如果设 为鸡数, 为兔数, 为鸡和兔的总只数, 为鸡和兔的总足数, 则 解得 这就是说, 兔数恰好为足数的二分之一(半其足) 与总头数之差 (以头除足). 在古代朱世杰(生卒年不详)的《算学启蒙》(1299 年)、《永乐大典》中的《丁巨算法》、严恭(生卒年不详)的《通原算法》中,也有鸡兔同笼问题的记载. 朱世杰的解法与《孙子算经》不同, 而与现在算术解法则几乎完全一样. 学生活动3： 学生阅读鸡兔同笼问题，尝试理解其解法，并小组讨论。活动意图说明：感受古代数学的智慧，理解数学原理在解决实际问题中的应用，培养团队协作和问题解决能力。
课堂练习 【必做题】 1．下列方程组中，不是三元一次方程组的是( D ) A. B. C. D. 2.小明和小丽同时到一家水果店买水果，小明买 1kg荔枝和5kg 西瓜，共花了30元；小丽买2kg荔枝和3kg 西瓜，共花了46元.设荔枝每千克x元，西瓜每千克y元，根据题意可列出方程组为
3．解方程组： (1) (2) 解：(1) 把①代入②，得5x＋6x－21＋2z＝2， 即11x＋2z＝23，④ ④×2＋③，得25x＝50，解得x＝2， 把x＝2代入①，得y＝－3， 把x＝2代入③，得z＝. 所以方程组的解为 (2) ②＋③，得5x＝10， 解得x＝2， 把x＝2代入①，得y＝1， 把x＝2，y＝1代入②，得2×2＋5×1－2z＝11， 解得z＝－1， 所以原方程组的解为 【选做题】 4．桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内原本均装有一些水．先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的 3倍少180毫升．若过程中水没有溢出，则原本甲、乙两杯内的水量相差多少毫 升( B ) A．80 B．110 C．140 D．220 5.用 代 入 法 解 方 程 组 使得代入后化简比较容易的变形是 ( C ) A. 由①得 B. 由①得 C. 由②得y=7-5x D. 由②得 【综合拓展作业】 6．有一场足球比赛，共有九支球队参加，采取单循环赛，其记分和奖励方案如表： 标准胜一场平一场负一场积分310奖励(元/人)2 0008000
甲队参加完了全部8场比赛，共得积分16分． (1)求甲队胜负的所有可能情况； (2)若每一场比赛，每一个参赛队员均可得出场费500元，求甲队参加了所有8场比赛的队员的个人总收入(奖金加上出场费)． 解：(1)设甲队胜x场，平y场，负z场． 根据题意，得 解得 得整数解或 即甲队胜负的所有可能情况有：“4胜4平”或者“5胜1平2负”． (2)若是4胜4平，甲队参加了所有8场比赛的队员的个人总收入为 2 000×4＋800×4＋500×8＝15 200(元)， 若是5胜1平2负，甲队参加了所有8场比赛的队员的个人总收入为 2 000×5＋800＋500×8＝14 800(元)． 答：若是4胜4平，个人总收入为15 200元；若是5胜1平2负，个人总收入为14 800元．
课堂总结 包装盒设计问题：涉及数学运算和逻辑推理，需要将实际问题转化为数学问题，理解长方体体积和表面积的计算。 长方形拼图问题：涉及方程的建立和求解，需要理解方程在解决实际问题中的应用，掌握如何通过拼图问题建立方程。 鸡兔同笼问题：了解古代数学问题的解法及其背后的数学原理，感受古代数学的智慧，掌握设未知数和建立方程的方法。
作业设计 【知识技能类作业】 1.把某一段公路的一侧全部栽上银杏树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等.如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔 6 米栽 1 棵，则树苗正好用完.设原有树苗x棵，公路长为y米.根据题意，下面所列方程组中正确的是 ( A) 2.将三元一次方程组 经过①－③和③×4＋②消去未知数z后，得到的二元一次方程组是( A ) A. B. C. D. 3．已知某速食店贩售的套餐内容为一片鸡排和一杯可乐，且一份套餐的价钱比单点一片鸡排再单点一杯可乐的总价钱便宜40元，小梁打算到该速食店买两份套餐，若他发现店内有单点一片鸡排就再送一片鸡排的促销活动，且单点一片鸡排再单点两杯可乐的总价钱，比两份套餐的总价钱便宜10元，则根据题意可得到的结论是( C ) A．一份套餐的价钱必为140元 B．一份套餐的价钱必为120元 C．单点一片鸡排的价钱必为90元 D．单点一片鸡排的价钱必为70元 【综合拓展类作业】 4.学校八年级师生共406 人准备到某教育实践基地参加研学旅行，现已预备了49 座和37 座两种客车共10辆，刚好坐满.设49座客车x辆，37 座客车y辆，根据题意可列出方程组( B ) 5.在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，欲从商场购进一批免洗手消毒液和84 消毒液.如果购买 40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元；如果购买 60瓶免洗手消毒液和120 瓶 84 消毒液，共需花费 1860元. (1)每瓶免洗手消毒液和每瓶84 消毒液的价格分别是多少元 (2)若商场有两种促销方案：方案一，所有购买商品均打九折；方案二，购买 5 瓶免洗手消毒液送2瓶 84 消毒液.学校打算购进免洗手消毒液 100 瓶、84 消毒液60瓶，请问学校选用哪种方案更节约钱 节约多少钱 解：
（1） 解答过程： 设免洗手消毒液每瓶价格为 x 元，84消毒液每瓶价格为 y 元 根据题意列方程组： 解得：每瓶免洗手消毒液 15元，每瓶84消毒液 8元。 （2）原价总费用： 100×15+60×8=1980元 方案一（打九折）： 1980×0.9=1782元 方案二（买5送2）： 每买5瓶免洗手消毒液送2瓶84消毒液。 购买100瓶免洗手消毒液，可分成 100÷5=20 组，赠送 20×2=40 瓶84消毒液。 实际需额外购买84消毒液：60 40=20 瓶。 费用：100×15+20×8=1660元 比较与节省金额： 1782 1660=122元 答：选择 方案二 更节约，节省 122元。
教学反思 本节课通过实际问题引入，激发了学生的学习兴趣。在教学过程中，通过小组讨论和合作学习，学生积极参与，课堂氛围活跃。但在解决古代数学问题（如鸡兔同笼）时，部分学生理解起来较为困难，需要在后续教学中加强引导，采用更多直观教学手段。本节课在培养学生将实际问题转化为数学问题的能力方面取得了较好效果，但还需通过更多练习进一步提高学生的数学建模能力和问题解决能力。
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