中小学教育资源及组卷应用平台
7.3离散型随机变量及其分布列的数字特征---自检定时练--详解版
单选题
1．在规定时间内，甲、乙、丙能完成某项学习任务的概率分别为0.5，0.6，0.5，且这三人是否能按时完成任务相互独立．记甲、乙、丙三人中能按时完成这项学习任务的人数为，则（ ）
A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．2.0
【答案】A
【分析】由独立事件概率乘法公式及互斥事件概率加法公式，求得取每一个值得概率，进而可求解；
【详解】由题意可知的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
所以
所以，
故选：A
2.已知随机变量的分布列如下:
0 1
设，则的数学期望的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据期望公式求出，再根据期望的性质即可得到正确答案.
【详解】，
所以.
故选：B.
3.随机变量的概率分布为，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据题意求，再结合方差的性质运算求解.
【详解】由题意可得：，
，
所以.
故选：D.
4.已知随机变量均服从两点分布，且，则下列结论正确的是（ ）
1 0
1 0
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用期望、方差公式求出，再比较大小即得.
【详解】依题意，，而，则；
，同理，
，
因此.
故选：C
5.随机变量的分布列如表所示，则的最大值是（ ）
0
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据分布列的性质可得，，进而，进而可得.
【详解】由题意，，得到，，
根据随机变量均值公式，得
，
当时，取得最大值，经检验符合题意．
故选：B．
6.设，随机变量X的分布列是
X 0 1
P b
则当a在内增大时，（ ）
A．增大 B．减小
C．先增大再减小 D．先减小再增大
【答案】C
【分析】根据分布列求解b的值，然后根据分布列计算随机变量的均值和方差，结合二次函数性质即可求解.
【详解】因为，所以．
因为，
所以，
所以当时，a增大增大，
当时，a增大减小．
故选：C.
多选题
7.盒中有 3 个球， 其中 1 个红球， 2 个黄球.从盒中随机取球， 每次取 1 个， 不放回， 直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为 分别为随机变量 的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据概率乘法公式可得的分布列，即可求解,进而判断AB,利用方差和期望的性质即可求解CD.
【详解】 表示停止取球时没有取到黄球，所以 ，故 A 正确;
又随机变量 的所有可能取值为0，1，2，则 ，
，
故的分布列为
0 1 2
所以 ，故 B 正确;
由 ，故 C 错误;
，故 D 正确.
故选：ABD
8.已知随机变量的分布列如下，则正确的是（ ）
X 1 2
P m n
A． B．
C．若，，则 D．
【答案】ABD
【分析】对于A，由概率和为1分析判断，对于B，根据分布列利用对立事件的概率公式分析判断，对于C，求出，再由求解判断，对于D，求出的分布列，从而可求出，进而利用方差公式求出判断.
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，因为，所以，
所以，
所以，故C错误；
对于D，，
则的分布列如下：
X 1 4
P
所以，则，故D正确.
故选：ABD
填空题
9.已知随机变量的分布列如下：
1 2 3
0.3 0.3
若 ， 则 .
【答案】5
【分析】利用期望公式求解即可.
【详解】由题可得：，，
所以，
故答案为：5
10.已知随机变量的分布列为，，若，且，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据概率和为1可得，进而可得，再根据数学期望与方差的公式，结合二次函数的范围求解即可.
【详解】由题可得，因为，所以，
因为，即，化简得，
则
，
当时，此时有最小值为1（舍去），
即的取值范围为．
故答案为：
解答题
11.已知甲袋中有3个白球和4个黑球，乙袋中有5个白球和4个黑球，现在从两个袋中各取2个球，试求：
(1)取得的4个球均是白球的概率；
(2)取得白球个数的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）利用古典概率公式和组合数表示计算即得；
（2）利用古典概率公式求分布列，根据期望公式计算即得.
【详解】（1）取得的4个球均是白球的概率：.
（2）取得白球个数的可能值为，
则，
，
，
，
，
故分布列为：
0 1 2 3 4
故数学期望为．
12.某校举行党史知识竞答积分活动，每次回答一题，该题答对积2分，部分答对积1分，有错积0分，当累计积分不少于4分时，停止答题.设每道题甲答对的概率均为，答错的概率均为.
(1)甲回答2道题后的积分记为，求的分布列和数学期望；
(2)求甲只答了3道题的概率.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）由题意可得的值为0，1，2，3，4，求得对应概率，利用期望的意义可求期望；
（2）进行3次答题后甲停止答题，则甲累计积4分或5分，分两种情况求得对应概率，可求得甲只答了3道题的概率.
【详解】（1）因为每道题甲答对的概率为，答错的概率为，
所以每道题甲部分答对的概率为.
的取值为
且，
，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3 4
故；
（2）进行3次答题后甲停止答题，则甲累计积4分或5分.
①若累计积4分，有两种情形：
（i）甲答对1题，部分答对2题，其概率为.
（ii）甲答错1题，答对2题，且答对第3题，其概率为.
②若累计积5分，则甲部分答对1题，答对2题，且第3题答对，此时概率为，
所以甲只答了3道题的概率是.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
7.3离散型随机变量及其分布列的数字特征---自检定时练--学生版
【1】知识清单
1．离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D(X)＝为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，并称其算术平方根为随机变量X的标准差．
2．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b．
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)
【2】微型自检报告
完成时间 不会解答的题号 解答错误的题号 需要重点研究的题目
分钟
【3】自检定时练(建议30分钟)
单选题
1．在规定时间内，甲、乙、丙能完成某项学习任务的概率分别为0.5，0.6，0.5，且这三人是否能按时完成任务相互独立．记甲、乙、丙三人中能按时完成这项学习任务的人数为，则（ ）
A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．2.0
2.已知随机变量的分布列如下:
0 1
设，则的数学期望的值是（ ）
A． B． C． D．
3.随机变量的概率分布为，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4.已知随机变量均服从两点分布，且，则下列结论正确的是（ ）
1 0
1 0
A．
B．
C．
D．
5.随机变量的分布列如表所示，则的最大值是（ ）
0
A． B． C． D．
6.设，随机变量X的分布列是
X 0 1
P b
则当a在内增大时，（ ）
A．增大 B．减小
C．先增大再减小 D．先减小再增大
多选题
7.盒中有 3 个球， 其中 1 个红球， 2 个黄球.从盒中随机取球， 每次取 1 个， 不放回， 直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为 分别为随机变量 的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8.已知随机变量的分布列如下，则正确的是（ ）
X 1 2
P m n
A． B．
C．若，，则 D．
填空题
9.已知随机变量的分布列如下：
1 2 3
0.3 0.3
若 ， 则 .
10.已知随机变量的分布列为，，若，且，则的取值范围为 ．
解答题
11.已知甲袋中有3个白球和4个黑球，乙袋中有5个白球和4个黑球，现在从两个袋中各取2个球，试求：
(1)取得的4个球均是白球的概率；
(2)取得白球个数的分布列及数学期望．
12.某校举行党史知识竞答积分活动，每次回答一题，该题答对积2分，部分答对积1分，有错积0分，当累计积分不少于4分时，停止答题.设每道题甲答对的概率均为，答错的概率均为.
(1)甲回答2道题后的积分记为，求的分布列和数学期望；
(2)求甲只答了3道题的概率.
【4】核对简略答案,详解请看解析版！
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D C B C ABD ABD
9.【答案】5
10.【答案】
11.【答案】(1) (2)分布列见解析，
12.【答案】(1)分布列见解析， (2)
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
