2025 届高三湖北省十一校第二次联考数学试题参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B C A D B D C D BCD BCD AD
1．B【详解】因为对数函数 y log 1 x是 0, 上的减函数，
2
x 1
1
所以由 ，得 log 1 x log 1 1，则 A y y 12 ；因为指数函数 y 2
x是R 上的增函数，
2 2 2
所以由 x 0，得0 2x 1，则 B y 0 y 1 ，由此， A B y 0 y 1 .故选：B.
2 2 1 i
2．C【详解】因为 z 1 i，所以 z 1 i 2 2z 2i，所以 1 i，故选：C.
z 1 i 1 i
3．A【详解】因为函数 f x 为定义在R 上的奇函数，当 x 0时， f x log3(2x 1)，
则 f 4 log3 9 2，故 f 4 f 4 2 .故选：A.
4．D【详解】设首项为a1，因为 a3,a5 1,2a6成等比数列，
所以 (a5 1)
2 a3 2a6，则 (a1 5)
2 (a1 2) 2(a1 5)，
解得 a1 1或a1 5，当 a1 5时， a6 0，此时与 a3,a5 1,2a6成等比数列矛盾，故排除，
当 d 1时， an 1 n 1 n，此时令bn ( 1)
n 1a ( 1)n 1n n，
而其前2025项和为1 2025，
(1 ) ( ) (202 ) 2025 1012 1 2025 1013，故 D正确.故选：D
ur r r r ur r r 2 ur r ur r5．B【详解】由题意可知： p 2 ，因为 p q q p q q 2，即 p q 1 2，可得 p q 1，
ur r
p q ur 1 urq 1 1 所以 在 p上的投影向量为 ur 2 p p , p 2
.故选：B.
2 2
6．D【详解】因为 f (x) sin x cos x 2 sin( x ) .
4
因为函数 f x 2π的最小正周期为 π，且 0，所以 π 2，故 A错误；
f (x) 2 sin 2x π f π π π 因为 ，所以4 8
2sin 2 8 4
2，
π
所以 x 是函数 f x π ,0 的一条对称轴， 不是函数 f x 的对称中心.故 B错误；8 8
将函数 f (x)
π π
的图象向右平移 个单位长度，得到的函数 y 2 sin 2x ，不是奇函数，故 C错误；4 4
当 x
π π
, 2x π 0, π π π π 时， ，因为 y sin x在 0, 递增，由复合函数单调性法则知 f (x)在区间 , 8 8 4 2 2 8 8
上单调递增，故 D正确.故选：D
7．C 3【详解】设球体O0的半径为 r1，Oi i 1,2, ,8 半径为 r2，所以 2r1 2r2 3，即得 r1 r2 ，2
3 3
又0 r
1 3 1 1 2 3
2 ，所以 ， y r2 r1 1
r2 r1 r1 r1 r1 开口向下，对称轴为 r ，2 2 1 2 2 4
3 1 3
所以 y r 21 3r1 ，该 9部分的体积和为4 16
V 4 πr3 41 πr
3 4 π r r r 2 2 2 3 2 1 3
3 3 2 3 1 2 1 r2 r1r2 π3 r1 r2 3r1r2 2 3π r1r2 3 . 4 2
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故选：C.
8．D【详解】由题设 f x (ax 2)(ln x b) 0在 (0, )上恒成立，易知 a 0，此时
x
y ax 2， y ln x b在 (0, )上都单调递增，所以，只需 y ax 2， y ln x b在 (0, )上的零点相同，即
2 eb a(b 1) 2(b 1) g(x) 2(x 1) 2x ，所以 b ，令 ，则 g (x) ，a e ex ex
当 x 0时， g (x) 0，即 g (x)在 ( , 0)上单调递增，当 x 0时， g (x) 0，即 g (x)在 (0, )上单调递减，
所以 g(x)max g(0) 2，即 a(b 1)的取值范围是 ( ,2] .故选：D
9．BCD【详解】对于 A，因为 0.85 x 1 2.3 0.85x 2.3 0.85，
所以当解释变量 x每增加 1时，响应变量 y平均减少 0.85，故 A错误；
对于 B选项，若A、 B互斥，则 AB ，P AB 0．
若A、 B相互独立，则P AB P A P B 0（因为P A 0，P B 0）．
所以事件A、 B相互独立与A、 B互斥不可能同时成立，B选项正确；
对于 C：这 20
12 75 8 70
名同学物理成绩的平均数为： 73，
20
12 89
所以这 20名同学物理成绩的方差为： 75 73
2 8 23 70 73
2 33 ，故 C正确；
20 3 20
D项，对于独立性检验，随机变量 2的观测值越小，
判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，故 D项正确．
10．BCD【详解】∵以 AF 为直径的圆与 y轴正半轴交于点D，AB x轴，且BD⊥y轴，所以 B a,b 又 AD DF ，
2 AB
2 OD 2
由射影定理得 OD OA OF 所以 1 ,A错误；
OA OF OA OF
由 OD 2 OA OF 得b2 5 1 ac c2 a2，故 c2 ac a2 0，即 e2 e 1 0，解得 e ，D正确.
2
DF 2 OF 2 c2 c2 c OD
2
b21 ac c又
OD 2
2 2 B正确，又 2 2 ，C正确；故选：BCDOD b ac a AO a a2 a
11.AD【详解】由题意 L(1, x) L(x,1) ln x，所以 L(x,1) ln x，
当u 1时， L(u,v) L(1,v) L(1,u) ln v ln u；
当 v 1时， L(u,v) L(u,1) L(v,1) L(1,v) L(1,u) ln v ln u；
当u 1 v时， L(u,v) L(u,1) L(1,v) L(1,v) L(1,u) ln v ln u；
当v 1或u 1时， L(u,v) ln v ln u也成立；综上所述： L(u,v) ln v ln u .
对于选项 A： L 1,6 ln 6 ln 2 ln3 L 1,2 L 1,3 ，故 A正确；
2
S S L(u,v) ln v ln u 1 (v u)(1 1) 1 v u
2 1 v u
对于选项 B：如图，因为 阴影 梯形，所以 ，2 v u 2 uv 2 u v
v u
即 2L u,v ，故 B错误.
u v
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对于选项 C，取u 1,v 2，则 L uu , vu L(1, 2) ln 2 2 1 1，故 C错误；
1 1
对于选项 D：因为阴影部分的面积小于上底长为 f (u h) ，下底长为 f (u) ，高为 h的
u h u
L u,u h 1 ( 1 1 ) h 1 ( 1 1) h h直角梯形的面积，所以 ，
2 u u h 2 u u u
1
又阴影部分面积大于长为 h，宽为 f (u h) 的矩形的面积，
u h
所以L u,u h 1 h h h ，综上故有对正数u， h有 L u,u h h ，故 D正确.
u h u h u h u
二、填空题
sin2 2sin cos 4tan
12．1【详解】由题意可得： π 1
2 1
sin
cos
π
(cos sin ) 2 (1 tan ) .
4 4 2
13．-10 5【详解】由题意， x [ x 1 1]5 a0 a1 x 1 a (x 1) 2 32 a3 (x 1) a4 (x 1) 4 a5 (x 1) 5 ，
则a2 C
3
5( 1)
3 10.
3 1 x2 x2
14. 2， 2【详解】由题意知，1 4a，所以 a ，所以抛物线 C： x2 4y，设M x , 1 ,N x , 2 ，
4 4 1 4 2 4
y x
2 x x x
因为 ，则 y ，故 k 1 2TA ， kTB ，
4 2 2 2
x x 2 x x 2 2
直线TA : y 1 (x x ) 1 1 x 11 ，直线TB : y
x
2 x x 2 ，
2 4 2 4 2 4
x
y 0 A 1 , 0 B x2 ,0 令 ，有 ，2
，
2
x x2y 1 x 1 x x1 x
2
2 4 2 T x1 x2 , x1x2 由 ，可得 ，故 ，
y x
2
2 x x 2 y
x
1
x2 2 4
2 4 4
x x
所以 1 2
x x
1 2 2， 即 x1x2 2 x1 x2 8．4 2
AB x1 x2 1 x x 2 4x x 1 x x 2 8 x x 32
2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2
1
x 21 x2 2 4 16，
所以当 x1 x2 4时， AB 的最小值为 2；
x x x
由题意可知 C的焦点F 0,1 ，故 TA 2 , 1 2 ， FA
x
1 , 1
，
2 4 2
x x x x TA FA 1 2 1 2 0，同理 TB FB 0， 故TA FA，TB FB，4 4
所以T , A,F ,B四点共圆，则 TAB的外接圆的直径为TF，
TF | 0 1 2 | 3即为 F 到直线 x y 2 0min 的距离，此距离为 22 ，2
3
即 TAB的外接圆的半径的最小值为 2 .
4
三、解答题
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A π15.【答案】(1) (2) 2 3,3 3 3
【详解】（1）选①，∵ 2b c cos A a cosC 0，
由正弦定理可得 2sin B sinC cos A sin AcosC 0， -------------------------------2 分
∴2sinBcosA sinA cosC sinC cosA sinB， -------------------------------4 分
∵B 0, π ，∴sinB 0，∴ cos A 1 ，又 A 0, π π，∴ A -------------------------------6 分
2 3
1
选②，由 3AB AC 2S ABC可得： 3cbcos A 2 bcsin A bcsin A，------------------------3 分2
故有 tan A
sin A π
3，又∵ A 0, π ，∴ A ；------------------------6 分
cos A 3
（2）由余弦定理得a2 c2 b2 2bccos A b c 2 3bc --------------------8 分
b c 2 2 1
∵bc ，∴3 b c 3bc b c
2
．
4 4
∴b c 2 3，当且仅当b c 3时取等号-------------------11分
又有b c a 3 ----------------------------------------------12分
∴C ABC a b c 2 3,3 3 ．-------------------13分
16.【答案】(1) 15证明见解析(2)
5
【详解】（1）连接 BD交 AC于点O，连接 PO，因为 ABCD是菱形，所以 BD AC，
又因为O为 BD的中点， PD PB所以 PO BD -----------------------3 分
又 AC,PO 面 APC，且 AC PO = O，所以 BD 平面 APC -----------------------4 分
又 BD 平面 ABCD，所以平面 PAC 平面 ABCD -----------------------5分
(2)过 P作 PH AC交 AC于点 H ，面 APC 面 ABCD,PH AC ，
面 APC 面 ABCD AC， PH 面 APC，所以 PH 面 ABCD，
因为 AB PD, AB PH, PH, PD 面 PHD,PH PD P ，所以 AB 面 PHD，
又DH 面 PHD，所以 AB DH，
所以H为DH ,AO的交点，△ABD为等边三角形，所以 H为△ABD的重心，设 DH与 AB交点为M，
连接 PM，则 PMH为二面角 P AB D的平面角，-----------------------7 分
因为OH
1 MH 1 tan PMH PH ， ，在△PMH 中 2，解得 PH 1，
2 2 MH
因为 , PC 4PQ HC 4HO ,所以OQ∥PH ,所以OQ 平面ABCD -----------------------9 分
以O为原点，OB,OC,OQ所在直线为 x, y, z轴建立如图坐标系，
则 3 3 C 0, 3 1
3
A 0, ,0 ,B ,0,0 , ,0 ,P 0, ,1
,Q
0,0,
3
, AB ,
3 ,0 ,AQ 0, 3 , 3 ，
2 2
2 2 4 2 2 2 4
设平面 ABQ的法向量为m x, y, z ，
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3 3 AB m 0 x y 0
则
2 2
，即 ，令 y=1，可得： x 3, z 2 ----------------------13分
AQ m 0 3 y 3 z 0 2 4
即m 3,1, 2 ，又CP 0, 2,1
ABQ CP sin cos m,CP 10 cos 15设平面 和直线 所成的角为 ，则 ，所以 ---------------------15分
5 5
1 1 1 1
17.（1） y x ;(2)增区间 , ln ，减区间 ln
2 2a 2 2a
,
；（3） 2
【详解】（ 1）函数 f x 的定义域为 R, f 0 1 2e2x |x 0 1 ，则曲线 f x 在点 0, f 0 处的切线为
y 0 1 (x 0)，即 y x。---------------------------------3 分
2 f x 1 2ae2x（ ）因为 ，--------------------------------------------4 分
f x 0 x 1 a 0时，由 ，得 ln 1 ，令 f x 0，得 x
1
ln 1
2 2a
，
2 2a
f x 1 1 1 1 所以 在 , ln 上单调递增，在 ln , 上单调递减.
2 2a 2 2a
1
综上所述， f x 的单调递增区间为 , ln
1
2
2a
，
1 1
单调递减区间为 ln , .-------------------------------7分
2 2a
（3）依题知， f x a 2 ex 0 ae2x x 1 a 2 ex恒成立，即 0恒成立，
设 h x x ae2x a 2 ex 1, x R ，
则h x 1 2ae2x a 2 ex aex 1 2ex 1 ，---------------------------9 分
当 a 0时，由 h x 0 1 1 ，得 x ln ，由 h x 0，得 x ln ，
a a
h x , ln 1 1 所以 在
上单调递增，在 ln , 上单调递减，----------------11分
a a
h x h ln 1 ln 1 1
2 1
则
a
a 2
1 0 恒成立，-------------------12分
a a a a
ln 1 1 1 1整理得 0
1 1 1 x
.设m x ln
a a
,x 0 ，则m x 2 2 0恒成立，所以m x 在 , 0 上 x x x x x
1 1 1 1
单 调 递 增 ， 又 a Z ， 且 m 1 0 1 1 0,m 2 ln ln 02 2 2 ，e
----------------------------------------------14分
故整数 a的最大值为 2 .-------------------------------------------------------------------------------------15分
n 1 n 1
7 5 1 5 2 5
18．（1） ， ；（2） ；（3）9 10 ( )
9 2 (2)9
18 18 3 6 3 6 3
2 1 1 4 7
【详解】（1）记在模型一下，取到红球的概率为 P1，则 P1 ; --------------2 分3 3 3 8 18
P P 2 1 1 1 5记在模型二下，取到红球的概率为 2，则 2 ．--------------------------------4 分3 3 3 6 18
（2）①若第 k次是第一次取到红球，第 n次是第二次取到红球，
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2 k 1 1 5 n k 1P 1则
．-----------------------------------------------------------7 分
3 3 6 6
所以第n次抽到第二个红球的概率为：
2 0 1 5 n 2 1 2 1 1 5 n 3 1 2 2 n 4 n 2P 1 5 1 2 1 1 3 3 6
-------------------------8 分
6 3 3 6 6 3 3 6 6 3 3 6
利用等比数列求和公式即可得：
1 1 2 0 5 n 2 2 1 5 n 3 2 2 5 n 4 2 n 2 0P [ 5
3 6 3 6 3
]
6 3 6 3 6
5 n 2 2 6 n 1
6
1 3 5
n 2 n 1
1 1 5 n 2 n 1
5 4 1 5 5 4
2 6 1
3 6 6
1 5
3 6 18 6 5 1
3 5
1 5 n 1 4 n 1 1 1
5 n 1 2 n 1
------------------------------------------------10分3 6 5 3 6 3
②由题可知， X 的取值依次为 2，3....，9,10，
当 X 10时， P(X 10) 1 [P(X 2) P(X 3) P(X 9)] --------------------------------------------12分
则
E(X ) 2 P(X 2) 3 P(X 3) 9 P(X 9)] 10 {1 [P(X 2) P(X 3) P(X 9)]}
10 [8 P(X 2) 7 P(X 3) 1 P(X 9)]
10 1 [8 5 ( )1 5 5 1 2 2 2 7 ( )2 1 ( )8 ] [8 ( )1 7 ( )2 1 ( )8 ]
3 6 6 6 3 3 3 3
10 [5 10 (5 )9 ] [4 2 (2 )9 ] 9 10 (5 )9 2 (2 )9---------------------------------------------------------17分
6 3 6 3
x2 y2 119.（1） =1；（2）① ,1
；② y 2 2x 2 2．4 3 3
c 2
【详解】（1）令M 2,0 c 2，由阿波罗尼斯圆的定义知 ，且 a 2c，解得c2 1
a 2 a 2
2 x
2 y2
∴a 4，b2 a2 c2 3，椭圆C的方程为 =1------------------------------------------------4 分4 3
1
S SB SF sin BSF SB BF
（2）①由 SBF
S
2 ，又 SBF
S 1
，
SDF SD SF sin DSF SD S SDF DF
2
BS BF
∴ （或由角平分线定理得）------------------------------5 分
DS DF
BF
令 ，设 l : x ty 1， B x1, y1 ,D x2 , y DF 2
x ty 1
联立 x2 y2 ，解得 3t 2 4 y2 6ty 9 0
1 4 3
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y 6t 9则 1 y2 2 , y1y2 2 ----------------------------7 分3t 4 3t 4
BS y
1 y y 1 2 y1 y2
2 4t 2
所以 ， ，∴
DS y 1 2 2 y1y2 3t
2 4
4t 2 4 4
22 4 0,
1 4t 10 1
又 3t 4 3 ，所以 2 2 2， ，解得 ，3 -----------------------9 分3 2 3t 4 3 3t
6t y
又 y1 y2 2 0
1
，所以 1，综上
1
1 ，
y -----------------------10分3t 4 2 3
SB TB BF
②由①知， ，由阿波罗尼斯圆定义知，
SD TD DF
S，T ，F 在以 B，D为定点得阿波罗尼斯圆上，设该圆圆心为C1，半径为 r，与直线 l的另一个交点为 N，
BF NB BF 2r BF r 1
则有 ，即 ，解得： 1 1 ．----------------------13分DF ND DF 2r DF BF DF
9 1 1 2
又C C 2 r 9 r 1 ，故 ，∴2 BF DF 9
又 BF 1 t2 y , DF 1 t21 y2 ，
1 1 1 1 1 1 1
∴ BF DF 1 t 2 y 21 1 t y 1 t 2 y1 y2 2
1 y1 y2 1 6t 2 t
2 y 2 2 ，----------------------15分1 t 1y2 1 t 9 3 1 t
2 1 1 2 t 2
∴ , t 9 BF DF 3 4 ----------------------16分1 t2
∴ k 1 2 2，∴直线 l的方程为 y 2 2x 2 2．--------------------17分
t
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第7/7页鄂南高中黄冈中学黄石二中荆州中学龙泉中学
武汉二中孝感高中襄阳四中襄阳五中宜昌一中夷陵中学
2025届高三湖北省十一校第二次联考
数学试题
(考试时间：120分钟
试卷满分：150分)
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考
证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写
在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区域均无效。武汉乐学教育
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的
A.{yy<1}
B.{yl0C.{y0D.{yy>1}
2.
设复数2=1+1(1为虚数单位)，2的共轭复数是，则2-2三=（)
A.-1+i
B.-1-i
C.1+i
D.1-i
3.
函数∫(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=l1og3(2x+),则∫(-4)的值为（)
A.-2
B.
c
D.2
4.
已知等差数列{an}的公差d=1,且a,4+1,2a6成等比数列，则数列{(-1)"an}的前2025项和
为()
A.-1013
B.-505
C.505
D.1013
5.
已知向量户，9满足：p=(1-1),=1,(p-)9=-2,则9在p上的投影向量为()
A.（V2,-2)
c（
D.(1,-1)
2025届高三湖北省十一校第二次联考数学试题第1页（共4页)
6.已知函数f(x)=sin @x+cos@x(o>O)的最小正周期为π，则下列说法正确的是()
A.0=1
B.f(x)关于点（匹，0）对称
C.将函数(x)的图象向右平移”个单位长度，得到的函数图象恰好关于原点对称
1
D.f(x)在区间
88
上单调递增
7.如图，在棱长为1的正方体内部，有8个以正方体顶点为球心且半径相等的部分球体
O,(i=1,2,…,8),有1个以正方体体心为球心的球体O。,O。与O,(i=1,2,…,8)均相切，则该9部
分的体积和的最大值为()
A.3n
B.(25-3π
c（-到
D.3r
8
8.函数f()=a1nx-2hx+20-ab,若/≥0恒成立，则ab+D的取值范围是（)
A.(-o,e]
B.(0,2e]
C.[2,+o∞)
D.(-0,2]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得部分分。
9.下列命题正确的是()
A.在经验回归方程夕=-0.85x+2.3中，当解释变量x每增加1时，响应变量y平均增加2.3
B.若P(A)>O,P(B)>O,则事件A、B相互独立与A、B互斥不可能同时成立武汉乐学教育
C.在对高三某班学生物理成绩的比例分配的分层随机抽样调查中，抽取男生12人，其平均
数为75，方差为号：抽取女生8人，其平均数为70，方差为23，则这20名学生物理成绩
89
的方差为33
D.对于独立性检验，随机变量X的观测值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
10已知0为坐标原点双曲线C:-=](Q>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,以4B
为直径的圆与y轴正半轴交于点D,过D且垂直于y轴的直线与C的某条渐近线交于点B,
且AB与x轴垂直，则下列式子中与C的离心率相等的有()
4BP
OD
A.
C.
OA-JOF
D.5+1
lODP
LAOP
2
2025届高三湖北省十一校第二次联考数学试题第2页（共4页
