2024-2025学年高一数学人教A版（2019）下学期期中考试模拟卷A卷（含解析）

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2024-2025学年高一数学人教A版（2019）下学期期中考试模拟卷A卷
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知平面向量,,则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
2．在中,设,,若,则( )
A. B.
C. D.
3．已知向量,满足,则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4．已知点P是边长为1的正方体表面上的动点,若直线与平面所成的角大小为,则点P的轨迹长度为( )
A. B. C. D.
5．已知非零向量,满足,且向量在向量上的投影向量是,则与的夹角是( )
A. B. C. D.
6．已知i是虚数单位，复数z满足，那么z的虚部是( )
A. B. C. D.
7．已知，则( )
A.1 B. C.2 D.4
8．复数的虚部为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．在复数范围内，方程的两个根分别为，，则( )
A. B. C. D.
10．在正方体中，下列四个选项中正确的有( )
A.直线平面
B.每条棱所在直线与平面所成的角都相等
C.平面平面
D.直线平面
11．如图，在平行六面体中，底面为正方形，平面平面，是边长为2的等边三角形，M，N分别是线段，的中点，则( )
A. B.平面
C.与所成角的余弦值为 D.与平面所成角的正弦值为
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．在复数范围内,方程的解集为________.
13．已知是关于x的方程（其中p、q为实数）的一个根,则的值为________.
14．已知复数，则________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,的面积为S,已知.
(1)求角C;
(2)若,求的取值范围.
16．在三棱锥中，E，H分别是线段，的中点，F，G分别是线段，上的点，且.求证:
（1）四边形是梯形；
（2），，三条直线相交于同一点.
17．如图,在中,是边上的高,以为折痕,将折至的位置,使得.
(1)证明：平面;
(2)若,,求二面角的正弦值.
18．复数除了代数形式之外,还有两种形式,分别是三角形式和指数形式,著名的欧拉公式体现了两种形式之间的联系.利用复数的三角形式进行乘法运算,我们可以定义旋转变换.
根据,我们定义：在直角坐标系内,将任一点绕原点逆时针方向旋转的变换称为旋转角是的旋转变换.设点经过旋转角是的旋转变换下得到的点为,且旋转变换的表达式为曲线的旋转变换也如此,比如将“对勾”函数图象上每一点绕原点逆时针旋转后就得到双曲线：.
（1）求点在旋转角是的旋转变化下得到的点的坐标;
（2）求曲线在旋转角是的旋转变化下所得到的曲线方程;
（3）等边中,,A,C在曲线上,求的面积.
19．已知,是夹角为的两个单位向量,,.
(1)求;
(2)求证：.
参考答案
1．答案：D
解析：因为,
所以,,
所以在上的投影向量为,
故选:D.
2．答案：D
解析：在中,;①
在中,;②
①+②,得
因为,所以,
即
故选：D.
3．答案：A
解析：由题意,,
所以在上的投影向量为,
故选：A.
4．答案：D
解析：若点P在正方形内,过点P作平面于,连接,.
则为直线与平面所成的角,则,
又,则,得,
则点P的轨迹为以为圆心半径为1的圆（落在正方形内的部分）,
若点P在正方形内或内,轨迹分别为线段和,
因为点P不可能落在其他三个正方形内,所以点P的轨迹如图所示:
故点P的轨迹长度为.
故选:D
5．答案：A
解析：因为,
所以,
所以,
因为向量在向量上的投影向量是,
所以,
即,所以,
又因为,
所以与的夹角是.
故选:A.
6．答案：A
解析：，
故z的虚部是.
故选：A
7．答案：A
解析：，
所以，.
故选：A
8．答案：B
解析：因为
，
所以复数z的虚部为.
故选：B.
9．答案：BCD
解析：对A，根据韦达定理知，故A错误；
对B，根据韦达定理知，故B正确；
对C，解出两根分别为，显然两根互为共轭复数，则，故C正确；
对D，因为，则，故D正确.
故选：BCD.
10．答案：ABD
解析：设正方体的棱长为1，
如图，因为平面，又平面，直线，
所以直线平面，故A正确；
在三棱锥中，，，
所以三棱锥为正三棱锥，
故，，与平面所成的角均相等，
又正方体的其他棱均与，，中的一条棱平行，
所以每条棱所在直线与平面所成的角都相等，故B正确；
连接交于点E，连接，，
因为，均为等边三角形，所以，，
所以为二面角的平面角，
又，，
所以，所以C错误；
由，，，平面，
得平面，因为平面，所以，
同理，，平面，
所以直线平面，故D正确.
故选：ABD.
11．答案：ABD
解析：如图，取中点O，中点H，连接，，
因为是边长为2的等边三角形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，所以平面，
易知，故可建立如图所示的空间直角坐系，
又棱长均为2，，
则，，，，，
所以，又，所以，
对于选项A，因为，，得，
所以，即有，故选项A正确，
对于选项B，因为N是线段的中点，又M是与的交点，则M为的中点，
所以，又面，面，所以平面，故选项B正确，
对于选项C，因为，，
设与所成的角为，则，
故选项C错误，
对于选项D，易知平面的一个法向量为，又，
设与平面所成的角为，
则，故选项D正确，
故选：ABD.
12．答案：
解析：由,得,得或,则或.
故答案为:.
13．答案：
解析：方法一:由已知可得,即,
所以,解得,所以.
方法二:因为是关于x的方程（其中p、q为实数）的一个根,
所以也是该方程的一个根,
由韦达定理得,解得,所以.
故答案为:.
14．答案：
解析：因为，
所以，所以；
故答案为：
15．答案：(1)
(2)
解析：(1) ,,
,
在中,由余弦定理得,
,
,
,
(2)由正弦定理得
所以
因为,所以,
所以,即的取值范围为.
16．答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
解析：（1）E，H分别是边，的中点，，，
由得：，且，
且，四边形是梯形.
（2）由（1）知：，相交，设，
，平面，平面，同理可得：平面，
又平面平面，，和的交点在直线上，
，，三条直线相交于同一点.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明： 是边上的高,
,,
,,平面,
平面,
平面,
,
又,,平面,,
平面;
(2)以D为坐标原点,DA所在直线为x轴,DB所在直线为y轴,垂直ADB平面为z轴,
建立空间直角坐标系,
,,
则,,,
,,
设平面与平面的一个法向量分别为,,
故,解得：,令,得：,
则,
,解得：,令,则,
故,
设二面角平面角为,显然为锐角,
,
.
18．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）由题可设所求点的坐标为,由
得所求点的坐标为.
（2）设曲线上任意一点在旋转角是的旋转变换下所得点坐标为.
则即
得,
所求曲线方程为.
（3）由题点在旋转角是的旋转变换下所得的点为.
设A,C在旋转角是的旋转变换下所得的点分别为和.
设曲线在旋转角是的旋转变换下所得曲线为,则方程为.
则是曲线的下顶点.
由题,为等边三角形,的面积即为的面积.
设的边长为,由双曲线的对称性：
当和同在曲线的下支时,则,
代入的方程得t无解.
当和同在曲线的上支时,则,
代入的方程得,的面积为.
综上所述,的面积为.
19．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)由题意可得,,,
.
(2)证明：,,
,
.
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