2024-2025学年高一数学人教A版（2019）下学期期中考试模拟卷B卷（含解析）

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2024-2025学年高一数学人教A版（2019）下学期期中考试模拟卷B卷
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知,是复数,满足,,,则( )
A. B.3 C. D.6
2．复数在复平面内对应的点所在的象限为( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3．在四面体中，平面平面，是直角三角形，，，则二面角的正切值为( )
A. B. C.2 D.
4．已知非零向量,满足,且向量在向量上的投影向量是,则与的夹角是( )
A. B. C. D.
5．已知复数,且有,则实数( )
A. B. C. D.
6．记复数z的共轭复数为，若，则( )
A. B. C. D.
7．已知复数z满足，则在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8．已知，则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．如图，，，两两互相垂直，三棱锥是正四面体，则下列结论正确的是( )
A.二面角的大小为
B.
C.若的中心为O，则A，O，E三点共线
D.三棱锥的外接球过点A
10．如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则( )
A.当时，EP//平面
B.当时，取得最小值，其值为
C.的最小值为
D.当平面CEP时，
11．已知复数,,则下列结论正确的是( )
A.方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是圆
B.方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是椭圆
C.方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是双曲线
D.方程表示的z在复平面内対应点的轨迹是直线
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．若复数为纯虚数，其中i为虚数单位，则________.
13．已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为________.
14．已知,在方向上的投影向量的模为1,则坐标可以是_______.（写一个即可）
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图,在四棱锥中,底面ABCD为直角梯形,,平面底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,,,.
（1）求证:平面平面PAD.
（2）若,求二面角的余弦值.
16．已知单位向量与的夹角.
(1)求与;
(2)求与的夹角;
(3)与垂直,求.
17．已知O为坐标原点,,,.
(1)若A,B,C三点共线,求实数m的值;
(2)若点M满足,求的最小值.
18．已知非零向量，满足，且.
(1)求与的夹角；
(2)若，求.
19．在直角梯形中,已知,,,点F是边上的中点,点E是边上一个动点.
(1)若,求的值;
(2)求的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：因为,
且,,
即,
得;
同理因为,且,
即,
得:;
联立可得:,,
.
故选:D.
2．答案：B
解析：复数在复平面内对应的点的坐标为,在第二象限.
故选：B.
3．答案：A
解析：设，的中点分别为E，D，连接，，则，
因为，所以，
又因为平面平面，平面，平面平面，
所以平面，而平面，则，
因为是直角三角形，，所以，
所以，且，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，则，所以为二面角的平面角，
且.
故选：A.
4．答案：A
解析：因为,
所以,
所以,
因为向量在向量上的投影向量是,
所以,
即,所以,
又因为,
所以与的夹角是.
故选:A.
5．答案：A
解析：,
所以,
又,
所以,解得:,
故选:A
6．答案：D
解析：因为，所以，
则.
故选：D.
7．答案：A
解析：因为复数z满足，
所以，
所以，在复平面内对应的点为，位于第一象限.
故选A.
8．答案：A
解析：因为，
所以，
所以.
故选：A
9．答案：BCD
解析：对于A，由已知可得，
，，
而，所以，
取的中点F，连接、，
可得，，
所以为二面角的平面角，
设，则，
，，
在中，
由余弦定理可得
，故A错误；
对于B，由A选项连接，
因为，所以，
因为，，平面，
所以平面，
平面，所以，故B正确；
对于C，由选项A可知三棱锥是正三棱锥，
且平面，
三棱锥也是正三棱锥，
平面，则A，O，E三点共线，故C正确；
对于D，由A选项是棱长为正四面体，
三棱锥是侧棱长为，
底面边长为的正三棱锥，
所以几何体与棱长为正方体有相同的外接球，
故D正确.
故选：BCD.
10．答案：BC
解析：在棱长为2的正方体中，
建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，
，，
，，
则点，
对于A，，，，
而，
显然，
即是平面的一个法向量，
而，
因此不平行于平面，
即直线与平面不平行，A错误；
对于B，，
则
，
因此当时，取得最小值，B正确；
对于C，，
于是
，
当且仅当时取等号，C正确；
对于D，取的中点F，连接，，如图，
因为E为边AD的中点，则，
当平面CEP时，平面，
连接，连接，
连接，显然平面平面，
因此，，平面，
平面，则平面，
即有，而，
所以，D错误.
故选：BC
11．答案：AD
解析：根据复数的几何表示知:
A中方程表示到定点的距离等于2的动点轨迹,即圆,A正确;B中方程表示到定点与距离的和为2的动点轨迹,而与的距离也为2,所以轨迹为线段,B错误;
C中方程表示到定点与距离的差为2的动点轨迹,即双曲线的一支,C错误;
D中方程表示到定点与的距离相等的动点轨迹,即线段的中垂线,D正确.
12．答案：
解析：因为为纯虚数，
所以且，解得.
故答案为：
13．答案：
解析：已知，则.
因为，根据向量垂直的性质可知，即.
将代入上式可得，即，解得.
根据投影向量的计算公式，向量在向量上的投影向量为.
将，，代入可得：
.
故答案为：.
14．答案：
解析：设,则,满足方程的点均可.
15．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）,,Q为AD的中点,
且,则四边形BCDQ为平行四边形,.
,,.
平面底面ABCD,且平面底面,平面PAD.
又平面,平面平面PAD.
（2）由,Q为AD的中点,知
由（1）可知平面PAD,故QA,QB,QP两两垂直,
则分别以QA,QB,QP所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,.
设,则,,
,,,
,.
设平面MQB的法向量为,则
可取.
令平面BQC的法向量为,
设二面角为,.
16．答案：(1),.
(2)
(3)
解析：(1)对于单位向量与,由,.
所以.
.
(2)设与的夹角为,则.
所以,所以.
(3)因为与垂直,所以,
即,所以,解得：.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为,,,
所以,,
又A,B,C三点共线,所以,
所以,解得
(2)因为,,
所以,,
所以,
所以
,
所以当时.
18．答案：(1)
(2).
解析：(1)∵，∴，
∴，
∴，
∵，∴，
∴，
∵，
∴与的夹角为.
(2)∵，∴，
∵，又由(1)知，
∴，∴.
19．答案：(1);
(2).
解析：(1)依题意,,,,
而F是边的中点,,则,
因此,又,,
所以.
(2)由(1)知：令,,则,
,
则有,
当时,,当时,,
所以的取值范围是.
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