第22章 一元二次方程 学情评估卷(含答案) 华师大版数学九年级上册

第22章 一元二次方程学情评估卷
一、 选择题 (本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．下列方程是一元二次方程的是(　　)
A．x＋＝1 B．x2＋3＝2
C．x2－1＝0 D．x2＝y
2．已知x2－3x＋1＝0，依据下表，它的一个解的范围是(　　)
x 2.5 2.6 2.7 2.8
x2－3x＋1 －0.25 －0.04 0.19 0.44
A.2.5C．2.73．已知x＝2是关于x的方程x2－2a＝0的一个根，则2a－1的值为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
4．对于任意实数x，多项式－x2＋2x－3的值是一个(　　)
A．正数 B．负数
C．非负数 D．不能确定正负的数
5．关于x的一元二次方程(m－1)x2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(　　)
A．m>0且m≠1
B．m>0
C．m≥0且m≠1
D．m≥0
6．我国古代数学著作《增减算法统宗》记载“圆中方形”问题，其大意为：有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好是81平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远，如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是(　　)
A．π2－x2＝81
B．π(x＋6)2－x2＝81
C．π(x＋3)2－x2＝81
D．π2－x2＝81
7．一元二次方程x2－3x＋1＝0的两个根分别为x1，x2，则x12＋3x2＋x1x2－2的值是(　　)
A．10 B．9 C．8 D．7
8．有一个两位数，它的十位上的数字与个位上的数字之和为4.如果把十位上的数字与个位上的数字调换位置后，所得的两位数乘以原来的两位数为403，则原来的两位数是(　　)
A．13 B．22 C．13或31 D．22或13
9．定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果满足a－b＋c＝0，那么我们称这个方程为“美好”方程．若一个一元二次方程2x2＋mx＋n＝0既是“和谐”方程又是“美好”方程，则mn的值为(　　)
A．2 B．0 C．－2 D．3
10．如图①，点F，E同时从矩形ABCD的顶点B出发，以相同速度分别沿BA，BC运动到点A，C.△DEF的面积y与点F运动的路程x之间的函数图象如图②所示，则矩形ABCD的周长为(　　)
A．18 B．20 C．24 D．26
二、 填空题 (本大题共5小题，每小题3分，共15分)11.将方程x(x－1)＝4(x＋1)化为一般形式为______________．
12．已知方程x2＋x－2＝0的两根分别为x1，x2，则＋的值为________．
13．如图，数轴上点A表示的数为3x＋1，点B表示的数为x2＋2x.若AB＝5，且点A在数轴的正半轴上，则x的值为________．
14．小明写了一篇环保倡议书，他将倡议书发表在某平台上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮转发后，共有111人参与了这次倡议书的转发，则n的值为________．
15．等腰三角形ABC中，BC＝8，AB，AC的长是关于x的方程x2－10x＋m＝0的两根，则m的值是________．
三、 解答题 (本大题共8小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(10分)用合适的方法解下列方程：
(1)2x2－7x－4＝0; (2)3x(x－2)＝2x－4.
17．(8分)下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
2x2＋4x－8＝0.
解：二次项系数化为1，得x2＋2x－4＝0. …………………………………第一步
移项，得x2＋2x＝4. …………………………………………………………………第二步
配方，得x2＋2x＋4＝4＋4，即(x＋2)2＝8. …………………………………第三步
两边开平方，得x＋2＝±2.……………………………………………………第四步
∴x1＝－2＋2，x2＝－2－2.…………………………………………………第五步
(1)小明的解题过程中用到的解法是____________，从第________步开始出现错误；
(2)请给出正确的解题过程．
18．(8分)定义新运算“ ”：当a≥b时，a b＝ab－a；当a(1)填空：(－2) ＝________；
(2)若2x (x＋1)＝6，求x的值．
19．(9分)关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－4＝0.
(1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
(2)在Rt△ABC中，斜边c＝2，两直角边的长a，b恰好是该方程的两根，求m的值．
20．(10分)“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的32万人增加到2025年的50万人．
(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率；
(2)为支持健身运动，市政府决定从某公司购买套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1 600元；若超过100套，每增加10套，每套售价可降低40元，但最低售价不少于1 000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
21．(8分)如图，用长为22 m的篱笆和一面墙(墙的可用长度为14 m)，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1 m的两扇小门．设花圃的一边AB长为x m.
(1)请你用含x的代数式表示另一边AD的长为____________m.
(2)若此时花圃的面积刚好为45 m2，求此时花圃的长与宽．
(3)在不增加篱笆总长度的情况下，这个花圃的面积能否达到60 m2？请说明理由．
22．(10分)如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2＋x＝0的两个根是x1＝0，x2＝－1，则方程x2＋x＝0是“邻根方程”．
(1)请你判断：方程x2－9x＋20＝0________(填“是”或“否”)“邻根方程”；
(2)已知关于x的方程x(x＋n)－x－n＝0(n是常数)是“邻根方程”，求n的值；
(3)已知关于x的方程x2＋mx＋12＝0(m是常数)是“邻根方程”，求m的值．
23．(12分)阅读材料：
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似地，求解三元一次方程组，把它转化为二元一次方程组来解．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程及方程组的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，即把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3＋x2－2x＝0，可以通过提公因式把它转化为x(x2＋x－2)＝0，解方程x＝0和x2＋x－2＝0，可得方程x3＋x2－2x＝0的根．
(1)问题：方程x3＋x2－2x＝0的根是x1＝0，x2＝________，x3＝________；
(2)拓展：用“转化”思想求方程 ＝x的根；
(3)应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝8 m，宽AB＝3 m，小华先把一根长为10 m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边缘BA，AD走到点P处，把绳子PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边缘PD，DC走到点C处，把绳子剩下的一段拉直，绳子的另一端恰好落在点C处，求AP的长．
答案
1．C　2.B　3.D　4.B　5.A　6.D　7.D　8.C
9．B　点拨：根据题意得“和谐”方程的一个根为1，“美好”方程的一个根为－1，∴一元二次方程2x2＋mx＋n＝0的根为1和－1，∴－＝1＋(－1)＝0，＝1×(－1)＝－1，∴m＝0，n＝－2，∴mn＝0.
10．C　点拨：由图象可知，当x＝m时，点E与点C重合，则BC＝m；当x＝m＋4时，点F与点A重合，则AB＝m＋4，∴·m·(m＋4)＝16，解得m＝4或m＝－8(舍去)．
∴BC＝4，AB＝8.
∴矩形ABCD的周长为2×(4＋8)＝24.
11．x2－5x－4＝0　12.　13.3
14．10　点拨：由题意得1＋n＋n2＝111，解得n＝10或n＝－11(舍去)．∴n的值为10.
15．25或16　点拨：设方程x2－10x＋m＝0的两根为x1，x2.∵a＝1，b＝－10，c＝m，∴x1＋x2＝－＝10，x1x2＝＝m.①当BC为底，AB，AC为等腰三角形的腰时，有AB＋AC＝x1＋x2＝10且AB＝AC，∴AB＝AC＝5，此时等腰三角形的三边长分别为5，5，8，可以构成三角形，∴m＝x1x2＝AB·AC＝25；②当BC为腰，AB，AC中一个为腰一个为底时，有x1＋x2＝8＋x2＝10，∴x2＝2，此时等腰三角形的三边长分别为2，8，8，可以构成三角形，∴m＝x1x2＝AB·AC＝16.综上所述，m的值为25或16.
16．解：(1)∵a＝2，b＝－7，c＝－4，
∴Δ＝(－7)2－4×2×(－4)＝81＞0，
∴x＝，∴x1＝4，x2＝－.
(2)原方程可化为3x(x－2)－2(x－2)＝0，
方程左边分解因式，得(x－2)(3x－2)＝0，
∴x－2＝0或3x－2＝0，∴x1＝2，x2＝.
17．解：(1)配方法；三
(2)二次项系数化为1，得x2＋2x－4＝0，移项，得x2＋2x＝4，配方，得x2＋2x＋1＝4＋1，即(x＋1)2＝5，两边开平方，得x＋1＝±，∴x1＝－1＋，x2＝－1－.
18．解：(1)
(2)当2x解得x1＝－，x2＝1(舍去)；
当2x≥x＋1，即x≥1时，2x (x＋1)＝2x(x＋1)－2x＝6，整理，得x2＝3，
解得x1＝，x2＝－(舍去)．∴x的值为或－.
19．(1)证明：∵a＝1，b＝－m，c＝2m－4，
∴Δ＝(－m)2－4(2m－4)＝m2－8m＋16＝(m－4)2≥0，
∴无论m为何值，方程总有两个实数根．
(2)解：∵两直角边的长a，b恰好是方程x2－mx＋2m－4＝0的两根，∴a＋b＝m>0，ab＝2m－4>0，∴m>2.
由勾股定理得a2＋b2＝c2，又c＝2，∴(a＋b)2－2ab＝20，∴m2－2(2m－4)＝20，即m2－4m－12＝0，解得m＝6或m＝－2(舍去)，∴m的值为6.
20．解：(1)设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，
由题意得32(1＋x)2＝50，
解得x1＝0.25＝25%，x2＝－2.25(不符合题意，舍去)．
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%.
(2)∵1 600×100＝160 000(元)<240 000元，
∴购买的这种健身器材的套数大于100套．
设购买的这种健身器材的套数为m套，
由题意得m＝240 000，
整理得m2－500m＋60 000＝0，
解得m1＝200，m2＝300，
当m＝300时，售价＝1 600－×40＝800(元)<1 000元，不符合题意，故舍去．
答：购买的这种健身器材的套数为200套．
21．解：(1)(24－3x)
(2)由题意可得(24－3x)x＝45，解得x1＝3，x2＝5，
当AB＝3 m时，AD＝24－3×3＝15(m)>14 m，不符合题意，舍去；当AB＝5 m时，AD＝24－3×5＝9(m)，符合题意．
答：此时花圃的长为9 m，宽为5 m.
(3)不能．理由：当(24－3x)x＝60时，则x2－8x＋20＝0，
∵Δ＝(－8)2－4×1×20＝－16<0，
∴原方程无解，∴这个花圃的面积不能达到60 m2.
22．解：(1)是
(2)∵x(x＋n)－x－n＝0，
∴(x＋n)(x－1)＝0，解得x＝－n或x＝1.
∵方程x(x＋n)－x－n＝0是“邻根方程”，
∴－n＝1＋1或－n＝1－1，∴n＝－2或0.
(3)设方程的根为x1，x2，由根与系数的关系得x1＋x2＝－m，x1·x2＝12，∵x2＋mx＋12＝0是“邻根方程”，
∴不妨设x2＝x1＋1.将x2＝x1＋1代入x1·x2＝12，得
x1(x1＋1)＝12，解得x1＝3或x1＝－4，
当x1＝3时，x2＝4，
∴x1＋x2＝3＋4＝7＝－m，∴m＝－7；
当x1＝－4时，x2＝－3，
∴x1＋x2＝－4－3＝－7＝－m，∴m＝7.
综上，m＝7或－7.
23．解：(1)－2；1
(2)方程两边平方，得2x＋3＝x2，即x2－2x－3＝0，
因式分解，得(x－3)(x＋1)＝0，解得x1＝3，x2＝－1.
当x＝－1时，＝＝1≠－1，故舍去；当x＝3时，＝3，所以方程＝x的根是x＝3.
(3)因为四边形ABCD是矩形，所以∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝3 m.
设AP＝x m，则PD＝(8－x)m，
因为BP＋CP＝10 m，BP＝，
CP＝，
所以＋＝10，
所以＝10－，两边平方，得(8－x)2＋9＝100－20＋9＋x2，
整理，得5＝4x＋9，
两边平方并整理，得x2－8x＋16＝0，即(x－4)2＝0，
解得x1＝x2＝4.经检验，x＝4是方程的根．
所以AP的长为4 m.