第24章 解直角三角形 学情评估卷(含答案) 华师大版数学九年级上册
文档属性
| 名称 | 第24章 解直角三角形 学情评估卷(含答案) 华师大版数学九年级上册 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 633.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-26 17:15:48 | ||
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文档简介
第24章 解直角三角形学情评估卷
一、 选择题 (本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是( )
A．sin A＝ B．tan A＝
C．cos B＝ D．tan B＝
2．如图，一个梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是2 m．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离(BC的长)为( )
A．2sin α m B．2cos α m C. m D. m
3．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1∶3，它把物体从地面点A处送到离地面3 m高的B处，则物体从A到B所经过的路程为( )
A．3 m B．2 m C. m D．9 m
4．如图①是第七届国际数学教育大会(ICME－7)的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形ABCD.已知AB＝BC，∠ADB＝α，则tan∠BDC的值是( )
A．tan α B．cos α C．sin α D.
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD＝5，则EF＝( )
A．5 B．10 C．15 D．20
6．如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB＝AC，顶角∠BAC＝120°，跨度BC＝10 m，AD为支柱(即底边BC的中线)，两根支撑架DE⊥AB，DF⊥AC，则DE＋DF等于( )
A．10 m B．5 m C．2.5 m D．9.5 m
7．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝k1x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点B，连结BO.若S△OBC＝2，tan∠BOC＝，则k2＝( )
A．4 B．6 C．8 D．2
8．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且cos α＝，AB＝6，则AD＝( )
A. B．10 C．8 D.
9．如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，若入射角为α，反射角为β(反射角等于入射角)，AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则sin α的值为( )
A. B. C. D.
10．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点O为坐标原点，A，B，C是斜边AB的中点，且DC⊥AB交x轴于点D.将△BCD沿x轴向右平移得到△B′C′D′，当B′C′的中点E恰好落在y轴上时，点D′的坐标为( )
A. B. C. D．(7，0)
二、 填空题 (本大题共5小题，每小题3分，共15分)11.若α为锐角，且sin α＝，则tan α＝________．
12．如图，正方形网格中，A，B，C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则tan∠BAD＝________．
13．如图，已知P是∠AOB的平分线上一点，∠AOP＝15°，CP∥OB交OA于点C，PD⊥OB，垂足为D，且PC＝6，则PD等于________．
14．如图，物理实验室有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从C处测得E，F两点的俯角分别为60°和30°，这时点F相对于点E升高了3 cm.该摆绳CD的长度为________cm.
15．在菱形ABCD中，AB＝10，tan B＝，点M是平面内一点，CM＝4，连结AM，当∠BAM＝90°时，AM的长为________________．
三、 解答题 (本大题共8小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)计算：
(1)； (2)2tan 30°＋tan 45°－4cos 30°.
17．(9分)如图，在△ABC中，cos B＝，sin C＝，AC＝10，求△ABC的周长．
18．(9分)小明的书桌上有一个L形台灯，灯柱AB高40 cm，他发现当灯带BC与水平线BM的夹角为9°时(图①)，灯带的直射宽DE(BD⊥BC，CE⊥BC)为35 cm，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线的夹角为30°时(图②)，直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点C到桌面的距离．(结果保留1位小数)(sin 9°≈0.16，cos 9°≈0.99，tan 9°≈0.16)
19．(9分)如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1.
(1)求BC的长；(2)求sin∠DAE的值．
20．(9分)如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西30°方向上，再沿北偏东60°方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西60°方向上．已知A，C相距30 n mile.求C，D间的距离(结果保留根号)．
21．(10分)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，D为AB边的中点，连结DC，过D作DE⊥DC交AC于点E.
(1)求∠EDA的度数；
(2)如图②，若F为BC边上一点，连结DF，过D作DG⊥DF交AC于点G，请判断线段CF与EG的数量关系，并说明理由．
22．(10分)如图所示，文峰塔是安阳著名古建筑．小明所在的课外活动小组在塔上距地面25 m高的点D处，测得地面上点B的俯角α为30°，点D到塔中心轴AO的距离DE为6.5 m；从地面上的点B沿BO方向走11 m到达点C处，测得塔尖A的仰角β为45°.
(1)请你根据以上数据计算塔高AO；(参考数据：≈1.73，≈1.41，结果精确到0.1 m)
(2)小红查阅资料知文峰塔高约38.6 m，与计算结果稍有出入，请提出一条减少误差的建议．
23．(11分)小明遇到这样一个问题：如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠D＝60°，AB＝3，BC＝2，求AD的长．
小明发现，延长AB与DC相交于点E，通过构造Rt△ADE，经过推理和计算能够使问题得到解决(如图②)．
(1)请用小明的方法直接写出AD的长为________；
(2)小飞采用了另一种方法求AD的长，他过点B作BM⊥AB于B，交CD于M，过M作MN⊥AD于N，请你用他的方法来求AD的长；
(3)参考小明思考问题的方法，解决问题：如图③，在四边形ABCD中，tan A＝，∠B＝∠C＝135°，AB＝8，CD＝2，求AD的长．
答案
1．D 2.A 3.A 4.C 5.A 6.B 7.C 8.C 9.B
10．A 点拨：∵A(0，8)，B(－6，0)，∴OA＝8，OB＝6，∴AB＝＝10，∴cos∠ABO＝＝.∵C是斜边AB的中点，∴BC＝AB＝5.∵DC⊥AB，∴在Rt△DBC中，BD＝＝＝，由平移的性质可得B′D′＝BD＝，B′C′＝BC＝5，∠C′B′D′＝∠CBD.∵点E为B′C′的中点，∴EB′＝B′C′＝，在Rt△EB′O中，B′O＝B′E·cos∠EB′O＝×＝，∴OD′＝B′D′－B′O＝－＝，∴D′.
11．1 12. 13.3 14. (3＋3)
15．6－2或6＋2 点拨：当点M在菱形内部时，延长AM交CD于点E，如图①所示，∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，CD＝AB＝AD＝10，AB∥CD，∴∠BAM＝∠AED＝90°，∵tan B＝，∴tan D＝＝，设AE＝3x，则ED＝4x，在Rt△AED中，AE2＋ED2＝AD2，即(3x)2＋(4x)2＝102，解得x＝2(负值已舍去)，∴AE＝6，ED＝8，∴CE＝CD－ED＝10－8＝2，∴ME＝＝＝2，∴AM＝AE－ME＝6－2；当点M在菱形外部时，如图②所示，易得AM＝6＋2.综上，AM的长为6－2或6＋2.
16．解：(1)原式＝＝＝3＋.
(2)原式＝2×＋1－4×＝＋1－2 ＝1－.
17．解：过点A作AD⊥BC，交BC于点D，在Rt△ACD中，
AD＝sin C·AC＝6，∴CD＝＝8.
∵在Rt△ABD中，cos B＝，
∴∠B＝45°，∴∠BAD＝∠B＝45°，∴BD＝AD＝6，
∴AB＝＝6，
∴△ABC的周长为AB＋AC＋BD＋CD＝6＋10＋6＋8＝24＋6.
18．解：设CE与BM交于点F.由题意可得BM∥AE，
∵BD⊥BC，CE⊥BC，
∴BD∥CE，∴四边形BDEF是平行四边形．
∴在题图①中有BF＝DE＝35 cm，
在题图①的Rt△BFC中，BC＝BF·cos 9°＝35cos 9° cm.
当∠CBM＝30°时，过点C作CN⊥BM于点N，如图所示，
则CN＝BCsin 30°＝35cos 9°·sin 30°≈35×0.99×≈17.3(cm)，∵灯柱AB高40 cm，∴AB＋CN≈40＋17.3＝57.3(cm)．
答：此时台灯最高点C到桌面的距离约为57.3 cm.
19．解：(1)在Rt△ABD中，AB＝10，AD＝6，
∴BD＝＝＝8，
在Rt△ADC中，tan∠ACB＝＝1，
∴DC＝6，∴BC＝BD＋DC＝8＋6＝14.
(2)∵AE是BC边上的中线，∴BE＝BC＝7，
∴DE＝BD－BE＝8－7＝1，
∴AE＝＝＝，
∴sin∠DAE＝＝＝.
20．解：作CE⊥AB于点E，
由题意得∠CAE＝90°－45°＝45°，∠ECB＝30°，∠ECD＝60°，在Rt△ACE中，
∵AC＝30 n mile ，∴CE＝AC·sin 45°＝15 n mile，
∴在Rt△BCE中，BC＝＝10 n mile，
在△BCD中，∠CBD＝30°＋60°＝90°，∠DCB＝∠ECD－∠ECB＝30°，∴在Rt△BCD中，CD＝＝20 n mile，
答：C，D间的距离为20 n mile.
21．解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，∵D为边AB的中点，∴DC＝DA，
∴∠DCA＝∠A＝30°.∵DE⊥DC，∴∠CDE＝90°，
∴∠DEC＝90°－∠DCA＝60°，
∴∠EDA＝∠DEC－∠A＝30°.
(2)CF＝EG.理由如下：
∵DG⊥DF，∴∠FDC＋∠CDG＝90°，∵∠CDE＝90°，
∴∠GDE＋∠CDG＝90°，∴∠FDC＝∠GDE，
∵∠BCD＝∠BCA－∠DCA＝60°，∠DEG＝60°，
∴∠BCD＝∠DEG，∴△DFC∽△DGE，
∴＝＝tan∠DEC＝tan 60°＝，即CF＝EG.
22．解：(1)作DF⊥BO于点F，由题意可得四边形DFOE是矩形．
∴DE∥BC，∴∠B＝∠α＝30°.
在Rt△DFB中，DF＝25 m，∠B＝30°，
∴BF＝＝25×≈43.25(m)．
∵BC＝11 m，OF＝DE＝6.5 m，
∴CO＝BF＋OF－BC≈43.25＋6.5－11≈38.8(m)．
在Rt△AOC中，∠ACO＝∠β＝45°，
∴AO＝CO≈38.8 m.
答：塔高AO约为38.8 m.
(2)多次测量求平均值，可以减少误差．(合理即可)
23．解：(1)7
(2)∵BM⊥AB，MN⊥AD，∠A＝90°，
∴四边形ABMN是矩形，∠MND＝90°，
∴MN＝AB＝3，AN＝BM，AN∥BM，∴∠BMC＝∠D＝60°.
Rt△BMC中，BM＝＝＝4，∴AN＝4.
在Rt△MND中，DN＝＝＝3，
∴AD＝AN＋DN＝7.
(3)如图，延长AB与DC相交于点E.
∵∠ABC＝∠BCD＝135°，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，
∴BE＝CE，∠E＝90°.
设BE＝CE＝x，则BC＝x，AE＝8＋x，DE＝2＋x.
在Rt△ADE中，∵tan A＝，
∴＝，即＝，
∴x＝4.
经检验，x＝4是原分式方程的解，且符合题意，
∴AE＝12，DE＝6，
∴AD＝＝＝6.
一、 选择题 (本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是( )
A．sin A＝ B．tan A＝
C．cos B＝ D．tan B＝
2．如图，一个梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是2 m．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离(BC的长)为( )
A．2sin α m B．2cos α m C. m D. m
3．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1∶3，它把物体从地面点A处送到离地面3 m高的B处，则物体从A到B所经过的路程为( )
A．3 m B．2 m C. m D．9 m
4．如图①是第七届国际数学教育大会(ICME－7)的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形ABCD.已知AB＝BC，∠ADB＝α，则tan∠BDC的值是( )
A．tan α B．cos α C．sin α D.
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD＝5，则EF＝( )
A．5 B．10 C．15 D．20
6．如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB＝AC，顶角∠BAC＝120°，跨度BC＝10 m，AD为支柱(即底边BC的中线)，两根支撑架DE⊥AB，DF⊥AC，则DE＋DF等于( )
A．10 m B．5 m C．2.5 m D．9.5 m
7．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝k1x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点B，连结BO.若S△OBC＝2，tan∠BOC＝，则k2＝( )
A．4 B．6 C．8 D．2
8．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且cos α＝，AB＝6，则AD＝( )
A. B．10 C．8 D.
9．如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，若入射角为α，反射角为β(反射角等于入射角)，AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则sin α的值为( )
A. B. C. D.
10．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点O为坐标原点，A，B，C是斜边AB的中点，且DC⊥AB交x轴于点D.将△BCD沿x轴向右平移得到△B′C′D′，当B′C′的中点E恰好落在y轴上时，点D′的坐标为( )
A. B. C. D．(7，0)
二、 填空题 (本大题共5小题，每小题3分，共15分)11.若α为锐角，且sin α＝，则tan α＝________．
12．如图，正方形网格中，A，B，C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则tan∠BAD＝________．
13．如图，已知P是∠AOB的平分线上一点，∠AOP＝15°，CP∥OB交OA于点C，PD⊥OB，垂足为D，且PC＝6，则PD等于________．
14．如图，物理实验室有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从C处测得E，F两点的俯角分别为60°和30°，这时点F相对于点E升高了3 cm.该摆绳CD的长度为________cm.
15．在菱形ABCD中，AB＝10，tan B＝，点M是平面内一点，CM＝4，连结AM，当∠BAM＝90°时，AM的长为________________．
三、 解答题 (本大题共8小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)计算：
(1)； (2)2tan 30°＋tan 45°－4cos 30°.
17．(9分)如图，在△ABC中，cos B＝，sin C＝，AC＝10，求△ABC的周长．
18．(9分)小明的书桌上有一个L形台灯，灯柱AB高40 cm，他发现当灯带BC与水平线BM的夹角为9°时(图①)，灯带的直射宽DE(BD⊥BC，CE⊥BC)为35 cm，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线的夹角为30°时(图②)，直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点C到桌面的距离．(结果保留1位小数)(sin 9°≈0.16，cos 9°≈0.99，tan 9°≈0.16)
19．(9分)如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1.
(1)求BC的长；(2)求sin∠DAE的值．
20．(9分)如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西30°方向上，再沿北偏东60°方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西60°方向上．已知A，C相距30 n mile.求C，D间的距离(结果保留根号)．
21．(10分)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，D为AB边的中点，连结DC，过D作DE⊥DC交AC于点E.
(1)求∠EDA的度数；
(2)如图②，若F为BC边上一点，连结DF，过D作DG⊥DF交AC于点G，请判断线段CF与EG的数量关系，并说明理由．
22．(10分)如图所示，文峰塔是安阳著名古建筑．小明所在的课外活动小组在塔上距地面25 m高的点D处，测得地面上点B的俯角α为30°，点D到塔中心轴AO的距离DE为6.5 m；从地面上的点B沿BO方向走11 m到达点C处，测得塔尖A的仰角β为45°.
(1)请你根据以上数据计算塔高AO；(参考数据：≈1.73，≈1.41，结果精确到0.1 m)
(2)小红查阅资料知文峰塔高约38.6 m，与计算结果稍有出入，请提出一条减少误差的建议．
23．(11分)小明遇到这样一个问题：如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠D＝60°，AB＝3，BC＝2，求AD的长．
小明发现，延长AB与DC相交于点E，通过构造Rt△ADE，经过推理和计算能够使问题得到解决(如图②)．
(1)请用小明的方法直接写出AD的长为________；
(2)小飞采用了另一种方法求AD的长，他过点B作BM⊥AB于B，交CD于M，过M作MN⊥AD于N，请你用他的方法来求AD的长；
(3)参考小明思考问题的方法，解决问题：如图③，在四边形ABCD中，tan A＝，∠B＝∠C＝135°，AB＝8，CD＝2，求AD的长．
答案
1．D 2.A 3.A 4.C 5.A 6.B 7.C 8.C 9.B
10．A 点拨：∵A(0，8)，B(－6，0)，∴OA＝8，OB＝6，∴AB＝＝10，∴cos∠ABO＝＝.∵C是斜边AB的中点，∴BC＝AB＝5.∵DC⊥AB，∴在Rt△DBC中，BD＝＝＝，由平移的性质可得B′D′＝BD＝，B′C′＝BC＝5，∠C′B′D′＝∠CBD.∵点E为B′C′的中点，∴EB′＝B′C′＝，在Rt△EB′O中，B′O＝B′E·cos∠EB′O＝×＝，∴OD′＝B′D′－B′O＝－＝，∴D′.
11．1 12. 13.3 14. (3＋3)
15．6－2或6＋2 点拨：当点M在菱形内部时，延长AM交CD于点E，如图①所示，∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，CD＝AB＝AD＝10，AB∥CD，∴∠BAM＝∠AED＝90°，∵tan B＝，∴tan D＝＝，设AE＝3x，则ED＝4x，在Rt△AED中，AE2＋ED2＝AD2，即(3x)2＋(4x)2＝102，解得x＝2(负值已舍去)，∴AE＝6，ED＝8，∴CE＝CD－ED＝10－8＝2，∴ME＝＝＝2，∴AM＝AE－ME＝6－2；当点M在菱形外部时，如图②所示，易得AM＝6＋2.综上，AM的长为6－2或6＋2.
16．解：(1)原式＝＝＝3＋.
(2)原式＝2×＋1－4×＝＋1－2 ＝1－.
17．解：过点A作AD⊥BC，交BC于点D，在Rt△ACD中，
AD＝sin C·AC＝6，∴CD＝＝8.
∵在Rt△ABD中，cos B＝，
∴∠B＝45°，∴∠BAD＝∠B＝45°，∴BD＝AD＝6，
∴AB＝＝6，
∴△ABC的周长为AB＋AC＋BD＋CD＝6＋10＋6＋8＝24＋6.
18．解：设CE与BM交于点F.由题意可得BM∥AE，
∵BD⊥BC，CE⊥BC，
∴BD∥CE，∴四边形BDEF是平行四边形．
∴在题图①中有BF＝DE＝35 cm，
在题图①的Rt△BFC中，BC＝BF·cos 9°＝35cos 9° cm.
当∠CBM＝30°时，过点C作CN⊥BM于点N，如图所示，
则CN＝BCsin 30°＝35cos 9°·sin 30°≈35×0.99×≈17.3(cm)，∵灯柱AB高40 cm，∴AB＋CN≈40＋17.3＝57.3(cm)．
答：此时台灯最高点C到桌面的距离约为57.3 cm.
19．解：(1)在Rt△ABD中，AB＝10，AD＝6，
∴BD＝＝＝8，
在Rt△ADC中，tan∠ACB＝＝1，
∴DC＝6，∴BC＝BD＋DC＝8＋6＝14.
(2)∵AE是BC边上的中线，∴BE＝BC＝7，
∴DE＝BD－BE＝8－7＝1，
∴AE＝＝＝，
∴sin∠DAE＝＝＝.
20．解：作CE⊥AB于点E，
由题意得∠CAE＝90°－45°＝45°，∠ECB＝30°，∠ECD＝60°，在Rt△ACE中，
∵AC＝30 n mile ，∴CE＝AC·sin 45°＝15 n mile，
∴在Rt△BCE中，BC＝＝10 n mile，
在△BCD中，∠CBD＝30°＋60°＝90°，∠DCB＝∠ECD－∠ECB＝30°，∴在Rt△BCD中，CD＝＝20 n mile，
答：C，D间的距离为20 n mile.
21．解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，∵D为边AB的中点，∴DC＝DA，
∴∠DCA＝∠A＝30°.∵DE⊥DC，∴∠CDE＝90°，
∴∠DEC＝90°－∠DCA＝60°，
∴∠EDA＝∠DEC－∠A＝30°.
(2)CF＝EG.理由如下：
∵DG⊥DF，∴∠FDC＋∠CDG＝90°，∵∠CDE＝90°，
∴∠GDE＋∠CDG＝90°，∴∠FDC＝∠GDE，
∵∠BCD＝∠BCA－∠DCA＝60°，∠DEG＝60°，
∴∠BCD＝∠DEG，∴△DFC∽△DGE，
∴＝＝tan∠DEC＝tan 60°＝，即CF＝EG.
22．解：(1)作DF⊥BO于点F，由题意可得四边形DFOE是矩形．
∴DE∥BC，∴∠B＝∠α＝30°.
在Rt△DFB中，DF＝25 m，∠B＝30°，
∴BF＝＝25×≈43.25(m)．
∵BC＝11 m，OF＝DE＝6.5 m，
∴CO＝BF＋OF－BC≈43.25＋6.5－11≈38.8(m)．
在Rt△AOC中，∠ACO＝∠β＝45°，
∴AO＝CO≈38.8 m.
答：塔高AO约为38.8 m.
(2)多次测量求平均值，可以减少误差．(合理即可)
23．解：(1)7
(2)∵BM⊥AB，MN⊥AD，∠A＝90°，
∴四边形ABMN是矩形，∠MND＝90°，
∴MN＝AB＝3，AN＝BM，AN∥BM，∴∠BMC＝∠D＝60°.
Rt△BMC中，BM＝＝＝4，∴AN＝4.
在Rt△MND中，DN＝＝＝3，
∴AD＝AN＋DN＝7.
(3)如图，延长AB与DC相交于点E.
∵∠ABC＝∠BCD＝135°，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，
∴BE＝CE，∠E＝90°.
设BE＝CE＝x，则BC＝x，AE＝8＋x，DE＝2＋x.
在Rt△ADE中，∵tan A＝，
∴＝，即＝，
∴x＝4.
经检验，x＝4是原分式方程的解，且符合题意，
∴AE＝12，DE＝6，
∴AD＝＝＝6.