第21章 二次根式 学情评估卷(含答案) 华师大版数学九年级上册

第21章 二次根式学情评估卷
一、 选择题 (本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．下列各式是二次根式的是(　　)
A. B. C. D.
2．代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为(　　)
3．下列运算结果正确的是(　　)
A．5－2＝3 B．2＋＝2
C.×＝5 D.÷＝7
4．关于二次根式和，下列说法错误的是(　　)
A．其中的a≥0 B.≥0，≥0
C.≥ D．它们都是最简二次根式
5．计算2 0242 025的结果为(　　)
A．3 B.＋3 C．－3－ D．－3
6．已知x是整数，·是整数，则x的最小值为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．18
7．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简－－的结果是(　　)
A．－2a B．－2b C．2b－2a D．0
8．若与|b＋|互为相反数，则a＋b的绝对值为(　　)
A．1－ B.－1 C.＋1 D.
9．如图，数轴上A，B两点所表示的数是－4 和，点C是线段AB的中点，则点C所表示的数是(　　)
A．－3 B．3 C．－ D．－2
10．如图，一个长方形被分割成四部分，其中图形①，②，③都是正方形，且正方形①，③的面积分别为16和3，则图中阴影部分的面积为(　　)
A．4 B．4＋3 C．4－6 D．4＋6
二、 填空题 (本大题共5小题，每小题3分，共15分)
11．若与最简二次根式可以合并，则a＝________．
12．化简|a－3|＋2的结果为________．
13．从－，，中任意选择两个数，分别填在算式(□＋○)2÷的“□”与“○”中，计算该算式的结果是________．(只需写出一种结果)
14．若6－的整数部分为x，小数部分为y，则(2x＋)y的值是________．
15．若等腰三角形的两条边长a，b满足2＋3＝b－，则等腰三角形的周长为______________．
三、 解答题 (本大题共8小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(10分)计算：
(1)÷＋×－； (2)－2.
17．(8分)已知x＝，y＝，求代数式x2＋3xy＋y2的值．
18．(8分)著名的数学家斐波那契曾研究一列数，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列的一列数称为数列)，这个数列的第n个数为(n为正整数)，例如这个数列的第8个数表示为.根据以上材料，写出并计算：
(1)这个数列的第1个数；
(2)这个数列的第2个数．
19．(9分)已知△ABC的周长为＋，其中AC＝＋，BC＝－.
(1)求AB的长度；
(2)判断△ABC是否为直角三角形，并说明理由；
(3)求边AB上的高．
20．(8分)如图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，以字母T表示周期(单位：s)，l表示摆长(单位：m)，则计算公式为T＝2π，其中g取9.8 m/s2.
(1)若一个座钟的摆长为0.49 m，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声，则该座钟1 min至少发出多少次“滴答”声？
(2)为使摆针摆动一个来回所需的时间恰好为1 s，座钟的摆长应设计为多长？(≈2.24，π取3，结果保留小数点后两位)
21．(10分)定义：若两个二次根式a，b满足a·b＝c，且c为有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
(1)与是关于________的共轭二次根式；
(2)若m与2－3是关于2的共轭二次根式，则m＝________；
(3)若3＋与6＋n是关于12的共轭二次根式，求n的值．
22．(10分)在学习二次根式计算时，思思同学进行了如下思考：
∵2>0，∴－2＋>0，
∴＋>2.
(1)填空：6＋3________2，7＋7________2；
(2)试猜想a＋b与2的大小，并说明理由；
(3)请利用上述结论解决下面问题：如图，某同学做一个面积为1 800 cm2，对角线相互垂直的四边形风筝，求用来做对角线的竹条至少要多少厘米．
23．(12分)阅读下面材料：
将边长分别为a，a＋，a＋2，a＋3的正方形面积记为S1，S2，S3，S4，则S2－S1＝(a＋)2－a2＝·＝(2a＋)·＝b＋2a.
例如：当a＝1，b＝3时，S2－S1＝3＋2.
根据以上材料解答下列问题：
(1)当a＝1，b＝3时，S3－S2＝________，S4－S3＝________；
(2)当a＝1，b＝3时，把边长为a＋n的正方形面积记作Sn＋1，其中n是正整数，从(1)中的计算结果，你能猜出Sn＋1－Sn等于多少吗？请写出并证明你的猜想；
(3)当a＝1，b＝3时，令t1＝S2－S1，t2＝S3－S2，t3＝S4－S3，…，tn＝Sn＋1－Sn，且T＝t1＋t2＋t3＋…＋t50，求T的值．
答案
1．B　2.D　3.C　4.D　5.B
6．A　点拨：∵·＝是整数，且x是整数，
∴的值为9或1，∴x的值为2或18，∴x的最小值为2.
7．B　8.B　9.C
10．C　点拨：∵正方形①，③的面积分别为16和3，∴正方形①的边长是＝4，正方形③的边长是，∴正方形②的边长是4－，∴阴影部分的宽是4－－＝4－2，∴阴影部分的面积是×(4－2)＝4－6.
11．2　12.4－2a　13.－2(答案不唯一)　14.3
15．4＋或2＋2　点拨：由题意得3a－6≥0，2－a≥0，∴a＝2，将a＝2代入原式，得b＝.当腰长为2时，2＋2>，符合三角形三边关系，∴等腰三角形的周长为4＋；当腰长为时，＋2>，符合三角形三边关系，∴等腰三角形的周长为2＋2.综上，等腰三角形的周长为4＋或2＋2.
16．解：(1)÷＋×－＝4÷＋－2＝4－.
(2)(2－3)(2＋3)－(－1)2＝20－9－(5－2＋1)＝11－6＋2＝5＋2.
17．解：∵x＝，y＝，∴x＋y＝＋＝，xy＝×＝＝1，
∴x2＋3xy＋y2＝(x＋y)2＋xy＝()2＋1＝5＋1＝6.
18．解：(1)根据题意，这个数列的第1个数表示为
，
则＝(－)＝×＝1.
(2)根据题意，这个数列的第2个数表示为
，
则＝(－)·＝××1＝1.
19．解：(1)∵△ABC的周长为＋，AC＝＋，BC＝－，∴AB＝＋－(＋)－(－)＝2.
(2)△ABC是直角三角形，理由如下：
∵AB2＝(2)2＝24，BC2＋AC2＝(－)2＋(＋)2＝24，∴AB2＝BC2＋AC2，
∴△ABC是直角三角形．
(3)由(2)知△ABC是直角三角形且∠C＝90°，
∴S△ABC＝＝＝4，
∴边AB上的高为＝.
20．解：(1)将l＝0.49代入，得T＝2π＝2π×＝π，∴该座钟1 min发出“滴答”声的次数为＝60×＝≈＝44.8，
∴该座钟1 min至少发出44次“滴答”声．
(2)∵T＝2π＝1，
∴l≈0.27，
即座钟的摆长应设计约为0.27 m.
21．解：(1)1
(2)2＋3　　点拨：∵m与2－3是关于2的共轭二次根式，∴(2－3)m＝2，∴m＝＝＝2＋3.
(3)∵3＋与6＋n是关于12的共轭二次根式，
∴(3＋)(6＋n)＝12，
∴6＋n＝＝＝2(3－)＝6－2，∴n＝－2.
22．解：(1)>；＝
(2)猜想：a＋b≥2(a≥0，b≥0)．理由：∵a≥0，b≥0，
∴a＋b－2＝()2－2·＋()2＝(－)2≥0，∴a＋b≥2.
(3)设AC＝a cm，BD＝b cm，
∵AC⊥BD，
∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△CBD＝BD·AO＋BD·OC＝BD(AO＋OC)＝BD·AC＝ab cm2，
∴ab＝1 800，∴ab＝3 600.
∵a＋b≥2，∴a＋b≥2，∴a＋b≥120，
∴用来做对角线的竹条至少要120 cm.
23．解：(1)9＋2；15＋2
(2)猜想：Sn＋1－Sn＝6n－3＋2.
证明：Sn＋1－Sn＝(1＋n)2－[1＋(n－1)]2
＝[2＋(2n－1)]×
＝3(2n－1)＋2＝6n－3＋2.
(3)T＝t1＋t2＋t3＋…＋t50＝S2－S1＋S3－S2＋S4－S3＋…＋S51－S50＝S51－S1＝(1＋50)2－1＝7 500＋100.