第23章 图形的相似 学情评估卷(含答案) 华师大版数学九年级上册

第23章 图形的相似学情评估卷
一、 选择题 (本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．如图，用放大镜将平遥古城旅游图标放大，则放大前后两个图形之间属于图形的(　　)
A．平移 B．轴对称 C．相似 D．旋转
2．下列四组线段中，是成比例线段的是(　　)
A．4，3，4，5 B．10，16，5，8 C．2，4，6，8 D．9，8，15，10
3．如图，DE∥BC，AD∶BD＝2∶3，BC＝15，则DE的长是(　　)
A．6 B．8 C．12 D．20
4．如图，在平面直角坐标系中，直线l过点A且平行于x轴，交y轴于点(0，1)，△ABC关于直线l对称，点B的坐标为(－1，－1)，则点C的坐标为(　　)
A．(－2，1) B．(－1，3) C．(1，－3) D．(－3，1)
5．如图，点O是等边三角形PQR的中心，P′，Q′，R′分别是OP，OQ，OR的中点，若△P′Q′R′与△PQR是位似三角形，则相似比、位似中心分别是(　　)
A．2，点P B.，点P C．2，点O D.，点O
6．△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，下列阴影三角形与△ABC不相似的是(　　)
7．如图，已知△ABC为等腰三角形，AB＝AC，点D，E，F分别为△ABC各边中点，下列说法错误的是(　　)
A．DE＝DF
B．EF＝BC
C．S△DEF＝S△ABC
D．AD⊥EF
8．如图，在正方形ABCD中，G为CD的中点，连结AG并延长，交BC边的延长线于点E，对角线BD交AG于点F，已知FG＝2，则线段AE的长是(　　)
A．8 B．10 C．12 D．16
9．《九章算术》中记载：今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？译文：如图，一座正方形城池每边的正中各开一道门，从北门点A处往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处，若从西门点C处往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为(　　)
A．360步 B．270步 C．180步 D．90步
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA＝5，OC＝3.若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点C的对应点C1的坐标为(　　)
A. B. C. D.
二、 填空题 (本大题共5小题，每小题3分，共15分)
11．若＝，则的值为________．
12．已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC的周长与△A1B1C1的周长的比值是，BE，B1E1分别是它们对应边上的中线，且BE＝6，则B1E1＝________．
13．如图，△ABC的顶点C的坐标是(－2，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，且AB∶A′B′＝1∶3，若点B′的横坐标是7，则点B的横坐标是________．
14．如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE＝CB，点A，D关于点F对称，过点F作FG∥CD，交AC边于点G，连结GE.若AC＝18，BC＝12，则△CEG的周长为________．
15．如图，等边三角形ABC的边长为10，点D，E分别是BC，AC上的动点，沿DE所在的直线折叠∠C，使点C的对应点C′落在AB边上，若点C′把线段AB分成2∶3的两部分，则线段AE的长为________．
三、 解答题 (本大题共8小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(8分)如图，有一种复印纸，整张称为A1纸，对折裁开成为A2纸，它们都是相似的矩形．
(1)求的值．
(2)若A1纸的周长为286 cm，求A2纸的周长．
17．(8分)如图，点E是边长为4a的正方形ABCD中边BC上一点，CE＝a.
(1)请用直尺与圆规作边CD的垂直平分线，交CD于点F(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)连结AF，EF，求证：△DFA∽△CEF∽△FEA.
18．(9分)春天到了，同学们去公园春游，张明、李华对着景区示意图描述景区中牡丹亭和望春亭的位置(图中小正方形的边长代表100 m)．
张明：“牡丹亭的坐标为(300，300)．”李华：“望春亭约在中心广场南偏西63°方向224 m处．”
实际上，他们所说的位置都是正确的．根据所学的知识解答下列问题：
(1)请指出张明是如何在景区示意图上建立平面直角坐标系的，并在图中画出平面直角坐标系；
(2)请分别用张明、李华的方法，描述出音乐台和游乐园的位置(参考数据：≈2.24)．
19．(9分)如图所示的是边长为1个单位长度的小正方形网格，点A，B，C的坐标分别为(2，3)，(1，1)，(4，1)．
(1)将△ABC向上平移6个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1，并写出C1的坐标．
(2)以点B为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2，并写出A2的坐标．
20．(9分)如图，已知△ABC，AB＝2，BC＝5，∠ABC＝2∠C，为了求边AC的长，小亮想出了一个好办法：将边BC反向延长至点D，使DB＝AB，连结AD，从而小亮发现图中存在一对相似三角形，问题便迎刃而解了！
(1)请你找出这对相似三角形，并进行证明；
(2)求边AC的长．
21．(10分)如图，四边形ABCD为平行四边形，点E和点F分别为边AD，AB的中点，连结EF，CF，EF交对角线AC于点G.
(1)若AC＝8，求AG的长；
(2)如果AB＝AC，求证：△AFG∽△ACF.
22．(10分)数学兴趣小组为了测量校园内灯柱AB的高度，设计了以下三个方案：
方案一：如图①，在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退1 m到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动4 m放在F处，从点F处后退1.8 m到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，眼睛距地面的高度ED，GH为1.5 m．(平面镜厚度忽略不计)
方案二：如图②，利用标杆CD测量灯柱的高度．已知标杆CD高1.5 m，测得DE＝2 m，CE＝2.5 m.
方案三：如图③，将自制直角三角板的一条直角边CE保持水平，并且边CE与点M在同一直线上．已知两条边CE＝0.4 m，EF＝0.2 m，测得边CE离地面的距离DC＝0.3 m.
(1)三种方案中，方案________不可行；
(2)请根据可行的方案求出灯柱的高度．
23．(12分)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥AB，点P为边AB上一个动点，将射线CP绕点C逆时针旋转90°，交射线BD于点Q，连结PQ.
【问题初现】
(1)如图①，若∠A＝45°，则线段AP与BQ的数量关系为________；
【类比探究】
(2)如图②，若∠A＝α，求证：＝；
【拓展应用】
(3)若AC＝3，BC＝4，当四边形CPBQ为轴对称图形时，求线段AP的长．
答案
1．C　2.B　3.A　4.B　5.D　6.B　7.C　8.C
9．A　点拨：设正方形城池的边长为x步，则AE＝CE＝x，∵AE∥CD，∴∠BEA＝∠EDC，∴Rt△BEA∽Rt△EDC，∴＝，即＝，∴x＝360或x＝－360(不符实际，舍去)，∴正方形城池的边长为360步．
10．A　点拨：如图，过点C1作C1N⊥x轴于点N，过点A1作A1M⊥x轴于点M，则∠A1MO＝∠CNO＝90°，C1N∥y轴，∴∠2＝∠3.由旋转可知∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴△A1OM∽△OC1N，∴＝.∵OA1＝OA＝5，A1M＝OC＝3，∴OM＝4，∴＝＝.设NO＝3x，则NC1＝4x，在Rt△OC1N中，∵OC1＝OC＝3，∴(3x)2＋(4x)2＝9，解得x＝(负值舍去)，则NO＝，NC1＝，∴点C的对应点C1的坐标为.
11．2　12.4　13.－5
14．27　点拨：由题意得CE＝CB＝12，AF＝FD，∵FG∥CD，∴＝＝1，即AG＝GC＝AC＝9.∵CE是△ABC的中线，∴EG是△ABC的中位线，∴GE＝BC＝6，
∴△CEG的周长为CE＋GE＋CG＝12＋6＋9＝27.
15.或　点拨：由题意可知AB＝BC＝AC＝10，∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴∠AC′E＋∠AEC′＝120°.由翻折的性质可知∠DC′E＝∠C＝60°，∴∠AC′E＋∠BC′D＝120°，∴∠BC′D＝∠AEC′，∴△BC′D∽△AEC′，∴＝＝.设AE＝x，BD＝y，则EC′＝EC＝10－x，C′D＝DC＝10－y.①当＝时，则AC′＝4，BC′＝6.∴＝＝，解得x＝；②当＝时，则AC′＝6，BC′＝4.∴＝＝，解得x＝.综上，AE的长为或.
16．解：(1)∵A1纸的长为AD，宽为AB，A2纸的长为AB，宽为，A1，A2纸是相似的矩形，∴＝，∴＝.
(2)∵A1纸的周长为286 cm，＝，
∴A2纸的周长为286÷＝143(cm)．
17．解：(1)求作的边CD的垂直平分线如图所示．
(2)由题意得CE＝a，CF＝DF＝2a，AD＝AB＝4a，BE＝3a，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴AF＝＝2a，AE＝＝5a，EF＝＝a，∴AD∶CF∶AF＝DF∶CE∶EF＝AF∶EF∶AE＝2∶1∶，∴△DFA∽△CEF∽△FEA.
18．解：(1)张明是以中心广场为坐标原点，正东方向和正北方向分别为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
(2)用张明的方法：音乐台坐标为(0，400)，游乐园坐标为(200，－400)．
用李华的方法：音乐台在中心广场正北方向400米处，游乐园约在中心广场南偏东27°方向448米处．
19．解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求，C1(9，7)．
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求，A2(3，5)．
20．解：(1)△DBA∽△DAC.
证明：∵DB＝AB，∴∠D＝∠DAB＝∠ABC.
∵∠ABC＝2∠C，∴∠D＝∠DAB＝∠C.
又∵∠D＝∠D，∴△DBA∽△DAC.
(2)∵AB＝2，BC＝5，DB＝AB，
∴DB＝2，∴CD＝BC＋DB＝7.
∵△DBA∽△DAC，∴DB∶DA＝DA∶DC，
即2∶DA＝DA∶7，解得DA＝.
∵∠D＝∠C，∴DA＝AC，∴AC＝.
21．(1)解：如图，连结BD交AC于点O，
∵点E和点F分别为边AD，AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线，AF＝FB，
∴EF∥BD，∴＝＝1，∴AG＝GO.
∵四边形ABCD为平行四边形，AC＝8，∴AO＝OC，
∴AG＝AO＝×AC＝×8＝2，∴AG的长为2.
(2)证明：∵AF＝AB，AB＝AC，∴AF＝AC.
∵AG＝AC，∴＝＝＝，∴＝.
∵∠FAG＝∠CAF，∴△AFG∽△ACF.
22．解：(1)二、三
(2)由(1)知可行方案是方案一，∵易知题图①中
∠ECD＝∠ACB，∠EDC＝∠ABC，
∴△ABC∽△EDC，∴＝，∴AB＝＝1.5BC，同理可得△ABF∽△GHF，∴＝，设BC＝x m，则AB＝1.5x m，BF＝BC＋CF＝(4＋x)m，
又∵GH＝1.5 m，FH＝1.8 m，∴＝，解得x＝5，∴1.5x＝7.5.
答：灯柱的高度为7.5 m.
23．(1)AP＝BQ
(2)证明：∵∠ACB＝∠ABQ＝90°，
∴∠CAB＋∠ABC＝∠CBQ＋∠ABC＝90°，
∴∠CAB＝∠CBQ，
∵∠ACB＝∠PCQ＝90°，∴∠ACB－∠BCP＝∠PCQ－∠BCP，即∠ACP＝∠BCQ，
∴△ACP∽△BCQ，∴＝.
(3)解：如图①，当四边形CPBQ为矩形时，其是轴对称图形，易知CP⊥AB，
∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，
∵∠APC＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，∴△ACP∽△ABC，∴＝，即＝，解得AP＝；
　　
如图②，当四边形CPBQ满足PC＝BP，QC＝QB时，其是轴对称图形，则∠PCB＝∠PBC，
∵∠PCB＋∠ACP＝∠CBP＋∠A＝90°，
∴∠ACP＝∠A，∴PA＝PC＝PB，∴AP＝AB＝.
综上所述，当四边形CPBQ为轴对称图形时，线段AP的长为或.