2025年中考数学考点专题讲练-第三节 直线与圆的位置关系（含答案）

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第三节 直线与圆的位置关系
专题讲练1 圆与切线(一)——切线证明(1) 扫码查看
考点一 知公共点，证垂直
【典例1】如图,AB 是⊙O的直径,点C,F 在⊙O上,连接AC,AF,AC平分∠FAB,过点C作CD⊥AF 交AF 的延长线于点D,垂足为点 D.求证:CD 是⊙O的切线.
变式1.如图,已知⊙O是△ABC 的外接圆,且AB=BC=CD,AB∥CD,连接BD.求证:BD 是⊙O的切线.
变式2.如图,AB 是⊙O 的直径, E是OB 的中点,连接CE 并延长到点F,使EF=CE,求证:直线BF 是⊙O的切线.
考点二 不知公共点，证d=r
【典例2】如图，点O为正方形ABCD 的对角线AC上一点，以O为圆心，OA 长为半径的⊙O与BC 相切于M 点,求证:CD 是⊙O的切线.
变式1.如图,△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,以D为圆心的圆与AB相切于点E,求证:AC 与⊙O 相切.
变式2.如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC,AB⊥BC,⊙O分别与边AB,AD,DC 相切,切点分别为E,G,F,其中E 为边AB 的中点.求证:BC与⊙O 相切.
C
专题讲练2 圆与切线(二)——切线证明(2)
考点一 连切点，算圆心角分解图形的面积
【典例】(2023·十堰)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,点O在AB上,以O为圆心,OA 为半径的半圆分别交AC,BC,AB 于点D,E,F,且点E 是弧DF 的中点.
(1)求证:BC 是⊙O的切线;
(2)若 求图中阴影部分的面积(结果保留π).
变式1.如图,AE为⊙O的直径,PA 为⊙O 切线,A 为切点,点B 为⊙O上一点,PO⊥AB 于C.
(1)求证:PB 是⊙O 的切线;
(2)延长PB 交直线AE 于F,若PA=2AC,AO=2,求图中阴影部分面积.
考点二 将阴影部分面积分解为扇形面积与三角形面积
变式2.如图,AB 为⊙O 的直径,点C 为⊙O上一点,CD⊥AD,AD 交⊙O 于E,AC 平分∠BAD.
(1)求证:CD 是⊙O的切线;
(2)连CE,CE∥AB,AB=4,求图中阴影部分的面积.
变式3.如图,⊙O为△ABC的内切圆,AB=8,AC=5,∠A=60°,则图中阴影部分的面积为( )
C.5-π
专题讲练3 圆与切线(三)——四边形与切线
考点一 与四边形两边相切
【典例】(2024·江岸)<教材P91T17改编>如图，在足球比赛中，运动员甲从本方后场D 处沿着垂直于对方球门线PQ 的方向带球前进，DC⊥PQ，垂足为C，若PQ=8米，PC=2米，若仅从射门角度大小考虑(射门角度越大越容易进球)，则甲位于最佳射门位置时离点C 的距离为( )
A.4米 B.2 米 C.2 D.5米
考点二 与四边形一边相切，连切点，运用垂径定理
变式1.如图,⊙O过正方形ABCD的顶点A,B,且与CD边相切,若AB=2,求⊙O的半径R的长.
变式2.如图，在正方形ABCD 中，以BC为直径作半圆，边长为4，AM 为⊙O 的切线，M为切点,AM 的延长线交直线DC 于N 点,求CN 的长.
考点三 知切线，连切点得矩形，用勾股
变式3.(教材P98例1变式)如图,PA,PB为⊙O切线,A,B,C三点在⊙O上,且 ⊙O的半径为5,BC=8,求 PA 的长.
专题讲练4 圆与切线(四)——等腰三角形与切线
考点一 由等角寻等腰用勾股
【典例1】如图,AB 与⊙O 相切于点B,BC 为⊙O 的弦,OC⊥OA,OA 与BC 相交于点P.
(1)求证:AP=AB;
(2)若 求AB 的长.
变式.(2024·武汉模拟)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AB 是直径,OD⊥OC,连接AD,∠ADO=∠BOC,AC与OD 相交于点E.
(1)求证:AD 是⊙O的切线;
(2)若 求⊙O 的半径.
考点二 知切线连切点证等角用双勾股
【典例2】如图,已知直线l与⊙O 相离,OA⊥l 于点A,交⊙O于点P,OA=5,AB 与⊙O 相切于点 B，BP 的延长线交直线l于点C.
(1)求证:AB=AC;
(2)若 求⊙O的半径.
变式.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在AC上,以OA 为半径的⊙O交AB 于点D,交AC 于点E,过点 D 作⊙O的切线DF,交 BC 于点 F.
(1)求证:BF=DF;
(2)若CE=CF=1,BF=3,求AB的长.
专题讲练5 圆与切线(五)——矩形与切线
考点· 知切线连切点——勾股列方程
【典例1】(2024·武汉)如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC 的中点,腰AC 与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F 两点.
(1)求证:AB与半圆O相切;
(2)连接OA.若CD=4,CF=2,求 sin∠OAC 的值.
变式.如图，在⊙O中，AB 为直径， 弦CF 与OB 交于点E,过F,A 分别作⊙O的切线交于H,HF与AB 的延长线交于点D.若OA=2OE=4,求AH 的长.
考点二 矩形大法用勾股，注意结合相似
【典例2】如图，以矩形ABCD 对角线BD 上一点O为圆心，OA 为半径作⊙O 并与CD 切于E点.若CD=3,BC=5,求⊙O 的半径.
变式.(2024·江汉)木匠师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，有如下两种方案：
方案一：直接锯一个半径最大的圆；
方案二：沿对角线AC将矩形锯成两个三三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆.
则方案二比方案一的半径大( )
B. C. D.
专题讲练6 圆与切线(六)——切线与勾股计算
考点一 知切线连切点构全等
【典例】(2022·衡阳改)如图，AB 为⊙O的直径，过圆上一点D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点C,过点 B 作AB 的垂线交直线CD 于点E.若CA=2,CD=4,则DE 的长为
变式1.(2023·武汉模拟)如图,AB 为⊙O 的直径,CB 是⊙O 的切线,D 为⊙O 外一点,AD交⊙O于E点,AB=AD,DC⊥CB,垂足为C.
(1)求证:DC=DE;
(2)若DE=2,BC=6,求AB的长.
考点二 知切线连切点
变式2.如图1,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别与边BC 和AC 相交于点E和点F,过E 作⊙O 的切线交边AC于H.
(1)求证:CH=FH;
(2)如图2,连OH,若( ，求⊙O的半径.
专题讲练7 圆与切线(七)——切线与勾股定理<四边形>
考点一 运用切线性质构直角三角形、勾股
【典例】(2024·南开)如图,四边形ABCD 内接于⊙O,对角线AC与BD 相交于点E,直线AF与⊙O相切于点A,交CB 的延长线于点F,且BD∥AF.
(1)如图1,若∠F=50°,AC 为⊙O的直径,求∠ACD 与∠ACB 的大小;
(2)如图2,若AB=5,BD=8,求⊙O 的半径长.
变式1.如图，⊙O经过矩形ABCD 的顶点A，D，与BC相切于点F，与CD 相交于另一点G，若 则 的值为 .
考点二 双切线问题，注意运用切线长定理
变式2.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC 分别与⊙O 相切于E,F,G三点,过D 作⊙O的切线交BC 于点M,切点为 N,求 DM 的长.
第三节 直线与圆的位置关系
专题讲练1 圆与切线(一)——切线证明(1)
【典例1】解:略.
变式1.解:作直径BE,交⊙O于E,可证四边形ABDC 为平行四边形，
可证BE⊥AC,∴BE⊥BD.
变式2.解:连接OC.证△OCE≌△BFE,
∴∠OBF=∠COE=90°,
∴直线 BF 是⊙O 的切线.
【典例2】解:连OM,过O作ON⊥CD 于N,再证OM=ON即可.
变式1.解:连DE,作DF⊥AC于F,证明DE=DF 即可.
变式2.解:连OE,OG,过O作OH⊥BC于H,则∠BHO=90°,
易证四边形EBHO为矩形,故OH=OG,∴BC与⊙O 相切.
专题讲练2 圆与切线(二)——切线证明(2)
【典例】(1)证明:连接OE,OD,DF,∴OE⊥DF OE∥AC ∠OEB=90°,∴BC 为⊙O 的切线.
(2)解:过点O 作OM⊥AC 于点M,可得
变式1.解:(1)连接OB,BE,则 PO∥BE,证△PAO≌△PBO,
∴∠PBO=90°,∴PB 是⊙O的切线;
(2)易知∠PAB=60°,
∴∠BOE=60°,
变式2.解:(1)略;
变式3. A
解:过点B 作BE⊥AC于点E,过点O作OF⊥BC于点F,则
易得
专题讲练3 圆与切线(三)——四边形与切线
【典例】B
变式1.解:设切点为E,连接OE 交AB 于点F,连接OA,在Rt△AOF 中,
变式2.解:设CN=x,则MN=CN=x,∴AN=x+4.在Rt△AND中, =1,∴CN=1.
变式3.解:连接AO 并延长交BC 于D,连接OC,过 P 作PQ⊥BC 于Q,所以OD⊥BC,CD=BD=4,AD=8,
在Rt△PBQ 中,设. ∴x=10,PA=10.
专题讲练4 圆与切线(四)——等腰三角形与切线
【典例1】解:(1)∠ABP+∠OBC=90°,∴∠OCB+∠CPO=90°,
∵∠APB=∠CPO,∴∠APB=∠ABP,∴AP=AB;
(2)OP=4,CP=4 ,设AB=AP=x,则x +8 =(x+4) ,x=6,∴AB=6.
变式.(1)证明:∵∠AOD+∠ADO=∠BOC+∠AOD=90°,
∴AD为⊙O的切线;
(2)解:易证DA=DE=3,
设⊙O半径为R，
在△AOD 中,
【典例2】解:(1)证∠ACB=∠ABC.
(2)连接OB,设⊙O的半径为R,.
R=3.
变式.解:(1)连接OD,则OD⊥DF,∴∠ADO+∠BDF=90°,又∠A+∠B=90°,且∠A=∠ADO,∴∠B=∠BDF,∴BF=DF;
(2)连接OF,设半径为r,则 3 ,
专题讲练5 圆与切线(五)——矩形与切线
【典例1】(1)证明:连接OD,OA,作OH⊥AB 于点 H.
∵△ABC 为等腰三角形,O 是底边 BC 的中点，
∴AO⊥BC,AO平分∠BAC,
∵AC与⊙O 相切于点D,
∴OD⊥AC,而OH⊥AB,
∴OH=OD,∴AB 是⊙O 的切线;
(2)解:由(1)知OD⊥AC,
在Rt△OCD中,CD=4,OC=OF+CF=OD+2,
∴OD=3,∴OC=5,∴cos C=CD/C=
在Rt△OCA 中,
变式.解:连接OC,OF,OE=2,设DF=x,则DE=x,在Rt△OFD中, ∴DF=3,DO=5,又 HA=HF,设AH=t,则HF=t,在Rt△DAH 中, 12,
∴AH=12.
典例2.解:连接AO,OE,作OH⊥AD于H,设⊙O半径为r，则 在Rt△AOH 中,则
变式. D
解：
专题讲练6 圆与切线(六)——切线与勾股计算
【典例】6
解:连接OD,OE,∵CD与⊙O 相切于点 D,∴∠ODE=90°,∵BE⊥AB,∴∠ABE=∠ODE=90°,∵OD=OB,OE=OE,∴△DOE≌△BOE,∴DE=BE,设⊙O的半径为r,则OC=r+2,
在Rt△ODC 中, 2) ,∴r=3,∴AB=2r=6,∴BC=AC+AB=2+6=8,在 Rt△BCE 中, +DE) ,
∴DE=6.
变式1.解:(1)连接BD,BE,∠ADB=∠CDB △BDE≌△BDC DE=DC.
(2)设AB=x,AE=(x-2),
∴x=10,∴AB=10.
变式2.解:(1)连OE,FE,∴OE∥AC,∴EH⊥AC,∵∠B+∠AFE=∠EFC+∠AFE=180°,∴∠B=∠EFC,∵∠B=∠C,∴∠EFC=∠C,∴EF=EC,∴CH=FH;
(2)过O作OD⊥AC于D,∴AF=2AD,设⊙O的半径为r,∴AB=AC=2r,∵CH=FH=1,∴CF=2,又
解得r=2,
∴⊙O 的半径为2.
专题讲练7 圆与切线(七)——切线与勾股定理<四边形>
【典例】解:(1)∵AF∥BD,∴∠CBD=50°,
∴∠ACD=∠ABD=40°,ACB=40°,
∴∠ACD=∠AOB;
(2)连接AO,OB,∵AF∥BD,
∴OA⊥BD 于点M,∴BM=DM=4,
∴AM=3,
设⊙O的半径为R，
变式1.
解:连接FO 并延长交AD 于点E,连接OD,过点O作OH⊥DG于点H,则OE⊥AD,DH=HG=OE,设OE=x,AB=3a,则AD=4a,∴OD=OF=3a-x,ED=2a,在 Rt△OED中,
变式2.解:连接OE,OF,OG,ON,易证AE=AF=FB=BG=OF=2,DE=3=DN,设MN=MG=x,则CM=5-2-x=3-x,
在 Rt△DCM 中有: ,