2025年中考数学考点专题讲练-方程与不等式（含答案）

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第二块 方程与不等式
专题讲练1 一次方程与一次方程组
考点一 一元一次方程
【典例1】解方程:3(x-1)=2(x+1); 变式.解方程：
考点二 一次方程组
【典例2】解方程组：
变式.解方程组：
考点三 分式方程
【典例 (2)方程 的解为 .
变式1.(2024·眉山)关于x的方程 的解为非负数，则m的取值范围是
变式2.解下列分式方程：
(3)(2024·苏州) (4)(2023·陕西)
专题讲练2 一元二次方程的解法
考点一 一元二次方程的解法
【典例1】解下列一元二次方程：
(1)(2024·安徽)( (2)(2024·常德)1
变式.解下列一元二次方程：
考点二 配方法及应用
【典例2】(教材 P6例)用配方法解一元二次方程 正确的是( )
变式1.用配方法解一元二次方程 配方正确的是( )
变式2.若方程 可以配方成( 则 可以配方成 .
考点三 利用配方法求值
【典例3】若 求 的最小值.
变式.(2024·江汉)已知实数m,n满足 则2m+3n的值为
专题讲练3 一元二次方程根的判别式、根与系数关系(一)
考点一 一元二次方程根的判别式
【典例1】当m为何值时，关于x 的一元二次方程( 有两个不相等的实数根 ( )
A. m<1 B. m<1且m≠-1 C. m>1 D. m<-1
变式1.(课本题变式)已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，求k的值.
变式2.(2024·成都)关于x 的一元二次方程 有实数根，则实数m的取值范围是 .
考点二 利用韦达定理求对称式的值
【典例2】(2023·武汉)已知一元二次方程 的两根分别为m,n,则 mn-m-n的值是( )
A.5 B.3 C.-3 D.-5
变式1.(2023·岳阳)已知关于x的一元二次方程. 有两个不相等的实数根x 、x ,且 则实数m= .
变式2.(2023·湖北)已知关于x的一元二次方程
(1)求证：无论m 取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a,b,若(2a+b)(a+2b)=20,求m的值.
变式3.已知α，β是关于x的方程 两根,α+3β=0,则m= .
专题讲练4 一元二次方程根的判别式、根与系数关系(二)
考点一 韦达定理与方程的根→方程根适合方程
【典例1】(2023·曹县二模)已知a，b是一元二次方程 的两个实数根，则代数式 的值等于( )
A.7 B.8 C.9 D.10
变式.(2023·武汉月考)已知m,n 是方程 的两根，则 等于( )
A.8 B.7 C.9 D.6
考点二 利用韦达定理求非对称式的值
【典例2】(2024·崇川四模)已知a，b 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值是( )
A.-18 B.18 C.22 D.20
变式1.(2024·卓刀泉)已知m,n是方程. 的两根，求 的值.
变式2.(2024·杨春湖)已知m,n是 的两个根，则 的值为( )
A.27 B.28 C.4 D.3
【典例3】(2024·硚口)关于x 的一元二次方程 的两个实根为x ，x ，则 的最大值为 .
变式.已知抛物线 的图象与x轴有两个不同的交点(x ,0),(x ,0),且 则a的值为( )
A. a=0 C. a=1 D. a=0或
专题讲练5 不等式与不等式组
考点一 解一元一次不等式
解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来.
【典例1】(2024·黄冈) 变式.
考点二 解一元一次不等式组
【典例2】(2023·武汉)解不等式组请按下列步骤完成解答：
(I)解不等式①,得 ;
(Ⅱ)解不等式②,得 ;
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(IV)原不等式组的解集为 .
变式.解下列不等式(组)，并把解集在数轴上表示出来.
考点三 不等式的整数解
【典例3】(2024·东营)写出满足不等式组 的一个整数解 .变式.(2024·武汉)求不等式组 的整数解为 .
专题讲练6 二元一次方程(组)的应用——古典问题
考点一 方程的应用
【典例1】(2024·福建)我国古代著作《四元玉鉴》记载"买椽多少"问题："六贯二百一十钱，请人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽."其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽 设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是( )
变式.(2024·黑龙江)某社区为打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A 种图书至少买5本，最多买6本(三种图书都要买)，此次采购的方案有( )
A.5种 B.6种 C.7种 D.8种
考点二 方程组的应用
【典例2】(2024·宁波)《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四足五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何 ”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺.将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现设绳长x尺，木长y尺，则可列二元一次方程组为( )
变式1.我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是："今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何."意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛(斛，是古代的一种容量单位)，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，则可列方程组为 .
变式2.(2024·威海)《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井.若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何 题目大意是：用绳子测量水井的深度.如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺.绳长、井深各是多少尺 若设绳长x尺，井深y尺，则可列方程组为
变式3.(2024·扬州)《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走100米，速度慢的人每分钟走60米，现在速度慢的人先走 100米，速度快的人去追他.则速度快的人追上他需要 分钟.
专题讲练7 一元二次方程的应用
考点一 增长率、传播问题
【典例1】(2024·赤峰)某品牌手机三月份销售400万部，四月份、五月份销售量连续增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率.设月平均增长率为x，根据题意列方程为( )
B.400(1+2x)=900
变式1.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196 万个.设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是( )
C.50+50(1+x)+50(1+x) =196 D.50+50(1+x)+50(1+2x)=196
变式2.有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有100人患了流感，假设每轮传染中，平均一个人传染了x个人，则依题意可列方程为 .
考点二循环问题
【典例2】在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场.设有x个队参赛，根据题意，可列方程为( )
C. x(x-1)=36 D. x(x+1)=36
变式.在一次聚会上，有人提议参与聚会的每名同学都送其他同学一张贺卡，共送出贺卡210张，则参加此次聚会的同学共有 人.
考点三 面积问题
【典例3】如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m 的矩形空地，则原正方形空地的边长是( )
A.7 m B.8 m C.9 m D.10m
变式.武汉云雾山景区有一块 的矩形郁金香园地，现在其中修建一条观花道(阴影部分)供游人赏花，若改造后观花道面积为12m ，求x的值.
第二块 方程与不等式
专题讲练1 一次方程与一次方程组
【典例1】解:x=5 变式.解:x=3.
【典例2】解:(1){x=0,2,(2){x=2}=0
【典例 经检验 是分式方程的解.
(2)x=4
变式1.m≥-5且m≠-3
变式2.解:(1)x=0,经检验x=0是分式方程的解.
(2)x=-2,经检验x=-2是分式方程的解.
经检验 是分式方程的解.
经检验 是分式方程的解.
专题讲练2 一元二次方程的解法
【典例1】解:(
变式.解：(1)x =2,x =-1;(2)x =2,x =4.
【典例2】B 变式1. A
变式
解：
即
【典例3】解:
当a+3最小时，ω有最小值，
又·
a最小为1,ω最小=4.
变式.-1
解：
故只有(
∴m=-2,n=1,
∴2m+3n=-4+3=-1.
专题讲练3 一元二次方程根的判别式、根与系数关系(一)
【典例1】B
解：
∴m<1,又m -1≠0,∴m≠±1.
∴m<1且m≠-1时,符合题意.
变式1.解：
解得k =0(舍去),
∴k 的值为
变式
【典例2】B 变式1.3
变式2.解:(1)△=1>0;
(2)(2a+b)(a+2b)=20,2(a+b) + ab=20,2 n的值为1或-2.
变式3.-2
专题讲练4 一元二次方程根的判别式、根与系数关系(二)
【典例1】A
解：∵a，b是一元二次方程. 的两个实数根，∴a+b=-1,
变式. C
解：∵已知m，n是方程 的两根，
∴m + mn+3n=3m+4+ mn+3n=9.
【典例2】C
解:根据根与系数的关系得到a+b=4, ab=-1,
=5(a+b)+2
=22.
变式1.解:∵m =2m+1, mn=-1,m+n=2,
∴原式=3(2m+1)-2m+4n+1
=4m+4n+4
=4(m+n)+4=12.
变式2. A
解：
又
∴原式=2(11m+6)-18m+(3n+2)+n+1
=4m+4n+15
=12+15=27.
【典例3】-8
解：
又∵△≥0,∴t≥1,
当t=1时,最大值为-8.
变式. B
解：
又∵
专题讲练5 不等式与不等式组
【典例1】解:x≥-3
变式.解:x>3.
【典例2】(Ⅰ)x≥-1;(Ⅱ)x>-3;
(Ⅲ)
(Ⅲ)x≥-1
变式.解:(1)1(2)-1(3)1(4)-1【典例3】-1(答案不唯一)
变式.-1,0,1
专题讲练6 二元一次方程(组)的应用——古典问题
【典例1】A
变式. B
解:若A种买5本,①B种买x本,C种买y本,30×5+25x+20y=500,x=14- y,有3种方案.
A 种买6本时，②也有3种方案.
【典例2】B
变式1 变式 变式3.2.5
专题讲练7 一元二次方程的应用
【典例1】D 变式1. C 变式2.1+x+x(x+1)=100
【典例2】A 变式.15 【典例3】A
变式.解:8×5-(8-x)(5-x)=12,
∵x≤5,∴x=1.