浙江省杭州市联谊学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（含答案）

1
高一年级数学试题
考生须知：
1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级 姓名 考场号 座位号及准考证号.
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题卷.
选择题部分
一 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选 多选 错选均不得分.）
1. 已知是虚数单位，复数对应的点的坐标是，则（）
A. B.
C. D.
2. 在下列各组向量中，可以作为基底的是（）
A. B.
C. D.
3. 已知正三角形的边长为1，则的值为（）
A. B. 1 C. D. 2
4. 在中，，则的面积为（）
A. B. C. D.
5. 已知，则在上的投影向量为（）
A. B. C. D.
6. 已知平面向量满足，则的最大值为（）
A. B. C. D.
7. 是斜边上一点，若，则的值（）
A. B. C. D.
8. 在中，内角所对的边分别为，已知，依次是边的四等分点（靠近点），记，则（）
A. B.
C. D.
二 多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选，错选得0分.）
9. 已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足，则下列正确的是（）
A. 的虚部为
B.
C. 是纯虚数
D. 若是方程的一个根，则
10. 已知单位向量的夹角为，若平面向量，有序实数对称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记，则下列命题正确的是（）
A. 已知，则
B. 已知，则线段的长度为1
C. 已知，则
D. 已知，则的最大值为
11. 已知锐角，角所对应的边分别为，下列命题正确的是（）
A. “”是“”的必要不充分条件
B. 若，则等腰三角形
C. 若，则取值范围
D. 若，则的取值范围
非选择题部分
三 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知向量，若，则__________.
13. 瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式求的最大值为__________.
14. 已知为单位向量，设向量，向量夹角为，若，求的取值范围__________.
四 解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足
（1）求的值；
（2）在复平面内，若对应的点在第三象限，求实数的取值范围.
16. 已知的内角所对应的边分别为是外一点，若，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求四边形面积的最大值.
17. 在中，为线段上的点，分别为的中点.
（1）若，求的值；
（2）若，求长度；
（3）若，求值.
18. 杭州最高的建筑是杭州世纪中心，也被形象地称为“杭州之门”，作为杭州的新地标，它不仅是城市的一道亮丽风景线，更是杭州发展的重要见证，也是旅游打卡的胜地.某校高一研究性学习小组在老师带领下去测量“杭州之门”的高度，该小组同学在该建筑底部的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在两处测得该建筑顶部的仰角分别为.（已知）
（1）请计算“杭州之门”的高度（保留整数部分）；
（2）为庆祝某重大节日，在“杭州之门”上到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，高直接取（1）的整数结果，市民在底部的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大？（结果保留根式）
19. 如图，已知是边长为1的等边三角形，点是内一点.过点的直线与线段交于点，与线段交于点.设，且.
（1）若，求的面积；
（2）求的最小值；
（3）若，设的周长为.
（i）求的值；
高一年级数学试题
一 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选 多选 错选均不得分.）
1.
【答案】A
2.
【答案】C
3.
【答案】C
4.
【答案】D
5.
【答案】A
6.
【答案】B
7.
【答案】D
8.
【答案】C
二 多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选，错选得0分.）
9.
【答案】BC
10.
【答案】ABD
11.
【答案】BCD
非选择题部分
三 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.
【答案】
13.
【答案】2
14.
【答案】
四 解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15.
【解析】
【分析】（1）令且，根据已知等量关系得，进而求复数模；
（2）由已知有，结合其所在象限列不等式组求参数范围.
【小问1详解】
令且，则，
所以，则，可得，
所以，则；
【小问2详解】
由，
故对应点在第三象限，则，
所以，即.
16.
【解析】
【分析】（1）应用正弦边角关系及和角正弦公式得，再由三角形内角性质及已知，即可确定角大小；
（2）由（1）为等边三角形，令，建立直角坐标系并确定相关点坐标，由及三角形面积公式、辅助角公式、正弦型函数的性质求范围.
【小问1详解】
由题设，即，
所以，而，故，
又，则，故.
【小问2详解】
由（1）易知为等边三角形，令，建立如下图的直角坐标系，
则，，，故，
所以
，当时取最大值为.
17.
【解析】
【分析】（1）令得到，结合已知即可求参数值；
（2）由已知得，，，结合已知有，再应用余弦定理求边长；
（3）根据已知有均为等腰三角形，结合向量数量积的定义及几何意义，将条件化为，结合已知求.
【小问1详解】
令，则，
而，即；
【小问2详解】
由题意，在、中为斜边上的中点，
所以，，故，，
所以，
由，
所以，
故；
【小问3详解】
由（2）易知，则，
所以，
同理，
所以，即，
显然，则.
18.
【答案】（1）300米；
（2）为米时，欣赏“灯光秀”的视角最大.
【解析】
【分析】（1）根据已知有，即可求的高度；
（2）由，根据已知及差角正切公式、基本不等式求的最值，确定取值条件即可得结论.
【小问1详解】
由题设，
所以米；
【小问2详解】
设米，则，，
由，则
，
当且仅当时，欣赏“灯光秀”的视角最大.
19.
【解析】
【分析】（1）连接AG并延长交BC于点F，设，则，结合三点共线可得，，进而求得，，即可得出结果.
（2）取的中点，利用中点向量及数量积的定义、运算律，结合二次函数求出最小值.
（3）（i）根据给定条件，结合中点向量及共线向量定理的推论求解即得；（ii）求出，由余弦定理求得，结合（i）的结论求出，利用的范围及二次函数的性质求解即可得出的值域.
【小问1详解】
连接AG并延长，交BC于点F，设，则，
由B，F，C三点共线，得，解得，
因此，即，则，
由是边长为1的等边三角形，得的面积
由，得，由，得，
则，所以的面积.
【小问2详解】
取的中点，连接，则，，
，
当且仅当点是的中点时取等号，
所以的最小值为.
【小问3详解】
（i）由，得为的重心，
连接AG并延长交BC于点，则为BC中点，，
因此
由D，G，E三点共线，得，所以.
（ii）由正△ABC的边长为1，得，，，
在△ADE中，，
则，
由，得，即，
因此，
又，则，
由，，得，，又，则有，
而，于是，
由，得，则的最小值为，最大值为，
即，在上单调递增，则，
所以的值域为.
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