中考数学“与圆相关的最值问题”题型精练（含解析）

初三数学“与圆相关的最值问题”题型精练
一．选择题（共14小题）
1．如图，AB是O的直径，AB＝8，点M在O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN＝1，则△PMN周长的最小值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．如图，线段AB＝4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为（　　）
A．4 B． C． D．2
3．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（　　）
A． B． C． D．
4．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是以A为圆心，以2为半径为圆上一动点，连接CE，点P为CE的中点，连接BP，若AC＝a，BD＝b，则BP的最大值为（　　）
A．+1 B．+1 C． D．+1
5．如图，边长为4的正方形ABCD内接于点O，点E是上的一动点（不与A，B重合），点F是上的一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，H，且∠EOF＝90°，有以下结论：
①＝；
②△OGH是等腰三角形；
③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；
④△GBH周长的最小值为4+．
其中正确的是（　　）
A．①③④ B．①②③ C．①② D．③④
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，2），⊙O的半径为1，点C为⊙O上一动点，过点B作BP⊥直线AC，垂足为点P，则P点纵坐标的最大值为（　　）
A． B． C．2 D．
7．如图，已知直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是（　　）
A．10+1 B．10 C．10.5 D．11.5
8．如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ的最小值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．2 D．3
9．如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，﹣1），半径为1，E是⊙C上的一动点，则△ABE面积的最大值为（　　）
A．2+ B．3+ C．3+ D．4+
10．如图，是半径为1的圆弧，∠AOC等于45°，D是上的一动点，则四边形AODC的面积s的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
11．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，且与y轴交于点B，过点B作直线BC平行于x轴，点M（a，1）在直线BC上，若在⊙O上存在点N，使得∠OMN＝45°，则a的取值范围是（　　）
A．﹣1≤a≤1 B．﹣ C． D．
12．如图，AB为⊙O的直径，AB＝4，点C为半圆AB上一动点，以BC为边向⊙O外作正△BCD（点D在直线AB的上方），连接OD，则线段OD的长（　　）
A．随点C的运动而变化，最大值为4
B．随点C的运动而变化，最大值为4
C．随点C的运动而变化，最小值为2
D．随点C的运动而变化，但无最值
13．如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为，以AB为直径作⊙M，点C是优弧上的一个动点，连结AC、BC分别交⊙M于点D、E，则线段CD的最大值为（　　）
A． B．2 C． D．
14．如图，正方形ABCD的边长为2cm，以B为圆心，BC长为半径画弧交对角线BD于E点，连接CE，P是CE上任意一点，PM⊥BC，PN⊥BD，垂足分别为M、N，则PM+PN的值为（　　）
A．cm B．1cm C．cm D．2cm
二．填空题（共11小题）
15．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点P在以D（3，3）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则t的最小值是　 　．
16．如图，⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，点P是直线y＝﹣x+4上的一点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为　 　．
17．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y＝kx+3与轴、轴分别交于A、B，∠OAB＝30°，点P在轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是　 　．
18．如图，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝4，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为　 　．
19．如图，正方形ABCD中，AB＝3cm，以B为圆心，1cm长为半径画⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP，并将AP绕点A逆时针旋转90°至AP′，连接BP′．在点P移动的过程中，BP′长度的最小值为　 　cm．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则AD+BD的最小值是　 　．
21．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，M点是BC的中点，A为圆心，AB为半径的圆交AD于点E．点P在上运动，则PM+DP的最小值为　 　．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，2），⊙O的半径为1，点C为⊙O上一动点，过点B作BP⊥直线AC，垂足为点P，则P点纵坐标的最大值为　 　cm．
23．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为　 　．
24．如图，已知⊙O经过点A（2，0）、C（0，2）．直线y＝kx（k≠0）与⊙O分别交于点B、D，则四点A、B、C、D组成的四边形面积的最大值为　 　．
25．如图，正方形ABCD，以B为圆心，BC长为半径画弧，点E在圆弧上，EH⊥BC于点H，P是△EHB的内心，AB＝2，则AP的最小值为　 　．
三．解答题（共1小题）
26．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+的最小值和PD﹣的最大值；
（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为　 　，PD﹣的最大值为　 　．
（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为　 　，PD﹣的最大值为　 　．
答案与解析
一．选择题（共14小题）
1．如图，AB是O的直径，AB＝8，点M在O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN＝1，则△PMN周长的最小值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】如图，作点M关于A的对称点K，连接AK，OK，PK，OM，ON，NK．证明△ONK是等边三角形，再利用两点之间线段最短即可解决问题．
【解答】解：如图，作点M关于A的对称点K，连接AK，OK，PK，OM，ON，NK．
则∠MAB＝∠KAB＝20°，
∵OA＝OM＝OK，
∴∠AMO﹣∠OAM＝∠OAK＝∠OKA＝20°，
∴∠MOB＝∠A+∠OMA＝40°，∠BOK＝∠OAK+∠OKA＝40°，
∵＝，
∴∠MON＝∠NOB＝20°，
∴∠KON＝60°，
∵ON＝OK，
∴△NKO是等边三角形，
∴NK＝ON＝4，
∵M，K关于AB对称，
∴PM＝PK，
∴PM+PM＝PK+PM≥NK＝4，
∴PM+PN的最小值为4，
∴△PMN的周长的最小值＝PM+PN+MN＝5，
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，最短问题，等边三角形的判定，轴对称变换等知识，解题的关键是学会利用轴对称变换解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．
2．如图，线段AB＝4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为（　　）
A．4 B． C． D．2
【分析】分别作∠A与∠B角平分线，交点为P．由三线合一可知AP与BP为CD、CE垂直平分线；再由垂径定理可知圆心O在CD、CE垂直平分线上，则交点P与圆心O重合，即圆心O是一个定点；连OC，若半径OC最短，则OC⊥AB，由△AOB为底边4，底角30°的等腰三角形，可求得OC＝．
【解答】解：如图，分别作∠A与∠B角平分线，交点为P．
∵△ACD和△BCE都是等边三角形，
∴AP与BP为CD、CE垂直平分线．
又∵圆心O在CD、CE垂直平分线上，则交点P与圆心O重合，即圆心O是一个定点．
连接OC．
若半径OC最短，则OC⊥AB．
又∵∠OAC＝∠OBC＝30°，AB＝4，
∴OA＝OB，
∴AC＝BC＝2，
∴在直角△AOC中，OC＝AC tan∠OAC＝2×tan30°＝．
故选：B．
【点评】本题考查了圆的综合题．需要掌握等边三角形的“三线合一”的性质，三角形的外接圆圆心为三角形的垂心，点到直线的距离垂线段最短以及解直角三角形等知识点．难度不大，注意数形结合数学思想的应用．
3．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（　　）
A． B． C． D．
【分析】连接AC，AG，由OG垂直于AB，利用垂径定理得到O为AB的中点，由G的坐标确定出OG的长，在直角三角形AOG中，由AG与OG的长，利用勾股定理求出AO的长，进而确定出AB的长，由CG+GO求出OC的长，在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出AC的长，由CF垂直于AE，得到三角形ACF始终为直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半径，如图中红线所示，当E位于点B时，CO⊥AE，此时F与O重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，可得出当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，在直角三角形ACO中，利用锐角三角函数定义求出∠ACO的度数，进而确定出所对圆心角的度数，再由AC的长求出半径，利用弧长公式即可求出的长．
【解答】解：连接AC，AG，
∵GO⊥AB，
∴O为AB的中点，即AO＝BO＝AB，
∵G（0，1），即OG＝1，
∴在Rt△AOG中，根据勾股定理得：AO＝＝，
∴AB＝2AO＝2，
又CO＝CG+GO＝2+1＝3，
∴在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC＝＝2，
∵CF⊥AE，
∴△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，
当E位于点B时，CO⊥AE，此时F与O重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，
∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，
在Rt△ACO中，tan∠ACO＝＝，
∴∠ACO＝30°，
∴度数为60°，
∵直径AC＝2，
∴的长为＝π，
则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长π．
故选：B．
【点评】此题属于圆综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长公式，以及圆周角定理，其中根据题意得到点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长是解本题的关键．
4．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是以A为圆心，以2为半径为圆上一动点，连接CE，点P为CE的中点，连接BP，若AC＝a，BD＝b，则BP的最大值为（　　）
A．+1 B．+1 C． D．+1
【分析】连接OP，根据平行四边形对角线互相平分知AO＝CO＝AC＝a、BO＝DO＝BD＝b，由点P为CE中点得知随着点E的运点，点P的运动轨迹是以O为圆心、1为半径的圆，据此解答可得．
【解答】解：如图，连接OP，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC＝a，BO＝DO＝BD＝b，
∵点P为CE中点，
∴OP∥AE，且OP＝AE＝1，
∴随着点E的运点，点P的运动轨迹是以O为圆心、1为半径的圆，
则当⊙O与OD交于点P时，BP最大，为BO+OP＝+1，
故选：B．
【点评】本题主要考查圆的综合问题，掌握平行四边形的性质、中位线定理及点的运动轨迹问题是解题的关键．
5．如图，边长为4的正方形ABCD内接于点O，点E是上的一动点（不与A，B重合），点F是上的一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，H，且∠EOF＝90°，有以下结论：
①＝；
②△OGH是等腰三角形；
③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；
④△GBH周长的最小值为4+．
其中正确的是（　　）
A．①③④ B．①②③ C．①② D．③④
【分析】如图所示，连接OC、OB、CF、BE．
①正确．先证明＝，由＝即可证明结论；
②正确．只要证明△BOG≌△COH即可解决问题；
③错误．只要证明S四边形OGBH＝S△BOC＝S正方形ABCD＝定值即可；
④错误．当OH⊥BC时，OH的值最小，即△OHG的周长最小，此时OG＝OH＝2，GH＝2，推出△OGH的周长的最小值为4+2；
【解答】解：如图所示，连接OC、OB、CF、BE．
∵∠BOE+∠BOF＝90°，∠COF+∠BOF＝90°，
∴∠BOE＝∠COF，
∴＝，
∵＝，
∴＝，故①正确，
在△BOG与△COH中，
，
∴△BOG≌△COH，
∴OG＝OH，∵∠HOG＝90°
∴△OGH是等腰直角三角形，②正确，
∴S△OBG＝S△OCH，
∴S四边形OGBH＝S△BOC＝S正方形ABCD＝定值，故③错误，
∵△BGH的周长＝GH+BG+BH＝GH+BH+HC＝GH+BC，
∴当OH⊥BC时，OH的值最小，GH的值最小，此时OG＝OH＝2，GH＝2，
∴△BGH的周长的最小值为4+2，故④错误．
∴①②正确，
故选：C．
【点评】本题考查圆综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线．构造全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短，解决最值问题，属于中考常考题型．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，2），⊙O的半径为1，点C为⊙O上一动点，过点B作BP⊥直线AC，垂足为点P，则P点纵坐标的最大值为（　　）
A． B． C．2 D．
【分析】当AC与⊙O相切于点C时，P点纵坐标的最大值，如图，直线AC交y轴于点D，连结OC，作CH⊥x轴于H，PM⊥x轴于M，DN⊥PM于N，由切线性质得OC⊥AC，在△AOC中判断∠OAC＝30°，∠AOC＝60°，再在Rt△AOD中利用含30度的直角三角形三边的关系得到OD＝OA＝，则在Rt△BDP中，由于∠BDP＝∠ADO＝60°，则可计算出DP＝BD＝1﹣，然后在Rt△DPN中计算出PN＝DP＝﹣，最后计算PN+MN，从而可得到P点纵坐标的最大值．
【解答】解：当AC与⊙O相切于点C时，P点纵坐标的最大值，如图，直线AC交y轴于点D，连结OC，作CH⊥x轴于H，PM⊥x轴于M，DN⊥PM于N，
∵AC为切线，
∴OC⊥AC，
在△AOC中，∵OA＝2，OC＝1，
∴∠OAC＝30°，∠AOC＝60°，
在Rt△AOD中，∵∠DAO＝30°，
∴OD＝OA＝，
在Rt△BDP中，∵∠BDP＝∠ADO＝60°，
∴DP＝BD＝（2﹣）＝1﹣，
在Rt△DPN中，∵∠PDN＝30°，
∴PN＝DP＝﹣，
而MN＝OD＝，
∴PM＝PN+MN＝1﹣+＝，
即P点纵坐标的最大值为．
故选：B．
【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的性质和含30度的直角三角形三边的关系；理解坐标与图形性质，题目比较好，有一定的难度．
7．如图，已知直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是（　　）
A．10+1 B．10 C．10.5 D．11.5
【分析】求出A、B的坐标，根据勾股定理求出AB，求出点C到AB的距离，即可求出圆C上点到AB的最大距离，根据面积公式求出即可．
【解答】解：∵直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A点的坐标为（4，0），B点的坐标为（0，﹣3），3x﹣4y﹣12＝0，
即OA＝4，OB＝3，由勾股定理得：AB＝5，
过C作CM⊥AB于M，连接AC，
则由三角形面积公式得：×AB×CM＝×OA×OC+×OA×OB，
∴5×CM＝4×1+3×4，
∴CM＝，
∴圆C上点到直线y＝x﹣3的最大距离是1+＝，
∴△PAB面积的最大值是×5×＝．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最大距离，属于中档题目．
8．如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ的最小值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．2 D．3
【分析】首先连接OP、OQ，根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，可得当OP⊥AB时，即线段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案．
【解答】解：连接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，
∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA＝OB＝3，
∴AB＝OA＝6，
∴OP＝＝3，
∴PQ＝＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PO⊥AB时，线段PQ最短是关键．
9．如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，﹣1），半径为1，E是⊙C上的一动点，则△ABE面积的最大值为（　　）
A．2+ B．3+ C．3+ D．4+
【分析】方法一、先判断出点E的位置，点E在过点C垂直于AB的直线和圆C在点C下方的交点，然后求出直线AB解析式，进而得出CD解析式，即可得出点D坐标，再求出CD，进而得出DE，再用三角形的面积公式即可得出结论．
方法二，先求出OA，OB，根据勾股定理得出AB，利用面积相等求出OF，再利用三角形的中位线求出CD，进而得出DE，再用三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：方法一、如图，过点C作CD⊥AB，延长DC交⊙C于E，此时△ABE面积的最大值（AB是定值，只要圆上一点E到直线AB的距离最大），
设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵A（﹣2，0），B（0，1），
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝x+1①，
∵CD⊥AB，C（0，﹣1），
∴直线CD的解析式为y＝﹣2x﹣1②，
联立①②得，D（﹣，），
∵C（0，﹣1），
∴CD＝＝，
∵⊙C的半径为1，
∴DE＝CD+CE＝+1，
∵A（﹣2，0），B（0，1），
∴AB＝，
∴S△ABE面积的最大值＝AB DE＝（+1）×＝2+，
故选A．
方法二、如图1，过点C作CD⊥AB，延长DC交⊙C于E，此时△ABE面积的最大值（AB是定值，只要圆上一点E到直线AB的距离最大，而过圆心时，和圆相交两个点，一个是最大的，一个是最小的），
过点O作OF⊥AB于F，
∵A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1）
∴OA＝2，OB＝1，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得，AB＝，
∴S△AOB＝OA OB＝AB OF，
∴OF＝＝，
∵点C（0，﹣1），
∴OC＝1，
∴OB＝OC，
∴CD＝2OF＝，
∵⊙C的半径为1，
∴DE＝CD+CE＝+1，
∵A（﹣2，0），B（0，1），
∴AB＝，
∴S△ABE面积的最大值＝AB DE＝（+1）×＝2+，
故选：A．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，待定系数法，求两条直线的交点的方法，三角形的面积公式，解本题的关键是判断出点E的位置，是一道中等难度的试题．
10．如图，是半径为1的圆弧，∠AOC等于45°，D是上的一动点，则四边形AODC的面积s的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意首先得出△AOC的面积，进而得出四边形最小值，要使四边形AODC面积最大，则要使△COD面积最大．以CO为底DE为高．要使△COD面积最大，则DE最长，进而得出答案．
【解答】解：如图，过点C作CF垂直AO于点F，过点D作DE垂直CO于点E，
∵CO＝AO＝1，∠COA＝45°，
∴CF＝FO＝，
∴S△AOC＝＝，
则面积最小的四边形面积为D无限接近点C，所以最小面积无限接近但是不能取到，
∵△AOC面积确定，
∴要使四边形AODC面积最大，则要使△COD面积最大．
以CO为底DE为高．要使△COD面积最大，则DE最长．
当∠COD＝90°时DE最长为半径，
S四边形AODC＝S△AOC+S△COE＝+×1×1＝．
故选：B．
【点评】此题主要考查了圆的综合，正确得出四边形的最大值是解题关键．
11．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，且与y轴交于点B，过点B作直线BC平行于x轴，点M（a，1）在直线BC上，若在⊙O上存在点N，使得∠OMN＝45°，则a的取值范围是（　　）
A．﹣1≤a≤1 B．﹣ C． D．
【分析】由题意得出∠OBM＝90°，当BM＝OB＝1时，△OBM是等腰直角三角形，则∠OMN＝45°，此时a＝±1；当BM＞OB时，∠OMN＜45°，即可得出结论．
【解答】解：∵点M（a，1）在直线BC上，
∴OB＝1，
∵BC∥x轴，
∴BC⊥y轴，
∴∠OBM＝90°，
当BM＝OB＝1时，△OBM是等腰直角三角形，
则∠OMN＝45°，
此时a＝±1；
当BM＞OB时，∠OMN＜45°，
∴a的取值范围是﹣1≤a≤1；
故选：A．
【点评】本题是圆的综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、圆的性质等知识；熟练掌握元的性质和等腰直角三角形的性质是解决问题的关键．
12．如图，AB为⊙O的直径，AB＝4，点C为半圆AB上一动点，以BC为边向⊙O外作正△BCD（点D在直线AB的上方），连接OD，则线段OD的长（　　）
A．随点C的运动而变化，最大值为4
B．随点C的运动而变化，最大值为4
C．随点C的运动而变化，最小值为2
D．随点C的运动而变化，但无最值
【分析】方法一、先利用SSS判断出△OCD≌△OBD，进而得出点C在运动过程中，∠BDO始终是30°，再构造出直角三角形ODF，即可判断出点F和点B重合时，OF最大，即可得出OD的最大值．
方法二、先判断出△COH是等边三角形，得出HC＝OC，∠OCH＝60°，进而判断出△OCD≌△HCB，即可得出OD＝BH，由圆中最大的弦是直径即可得出结论．
【解答】解：如图，连接OC，
∵△BCD是等边三角形，
∴∠BDC＝60°，CD＝BD，
在△OCD和△OBD中，，
∴△OCD≌△OBD（SSS），
∴∠BDO＝∠CDO＝∠BDC＝30°，
过点O作OF⊥BD于F，
在Rt△ODF中，∠BDO＝30°，
∴OD＝2OF，
当点C在运动的过程中，OD要最大，即OF最大，而OF最大＝OB，
∴OD最大＝2OF最大＝2OB＝AB＝4．
故选B．
方法二、如图2，连接OC，
将△OCD绕点C顺时针旋转60°，则点D落在点B处，OD和⊙O相交于H，
连接OH，CH，
同方法一，得出∠ODC＝30°，
∴∠CBH＝30°，
∴∠COH＝60°，
∴△COH是等边三角形，
∴HC＝OC，∠OCH＝60°，
∵△BCD是等边三角形，
∴CD＝BC，∠BCD＝60°，
∴∠OCD＝∠HCB，
在△OCD和△HCB中，，
∴△OCD≌△HCB（SAS），
∴OD＝BH，
∵BH是⊙O的弦，
∴BH最大＝AB＝4，
即：OD最大＝4，
故选：B．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判断和性质，含30°的直角三角形的性质，解本题的关键是构造出直角三角形ODF，判断出OF最大等于OB．
13．如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为，以AB为直径作⊙M，点C是优弧上的一个动点，连结AC、BC分别交⊙M于点D、E，则线段CD的最大值为（　　）
A． B．2 C． D．
【分析】如图1，连OM，OB，OA，BD．根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求出∠BOM的度数，∠C＝∠BOM＝60°．由“直径所对的圆周角是直角和30度角所对的直角边”可以求得CD＝BC．当BC取最大值时，CD最大．
【解答】解：如图：连接OM，OB，OA，BD．
则在Rt△OMB中，
∵OB＝2，MB＝，
∴OM＝1．
∵OB＝2，
∴∠OBM＝30°．
∴∠MOB＝60°．
连接OA．则∠AOB＝120°．
∴∠C＝∠AOB＝60°．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝90°，
∴∠CBD＝30°，
∴CD＝BC，
∴当BC取最大值时，CD最大．
如图2，当BC是直径时，BC最大，此时点A、D重合．即BC＝4．
∴CD最大＝2．
故选：B．
【点评】本题综合考查了相交两圆的性质，垂径定理，圆周角定理以及含30度角的直角三角形．根据题意推知点A与点D重合时，CD可以取得最大值是解题的难点．
14．如图，正方形ABCD的边长为2cm，以B为圆心，BC长为半径画弧交对角线BD于E点，连接CE，P是CE上任意一点，PM⊥BC，PN⊥BD，垂足分别为M、N，则PM+PN的值为（　　）
A．cm B．1cm C．cm D．2cm
【分析】连接BP，做EH⊥BC于H点，根据题意可得BE＝BC＝2，EH∥DC，即可推出EH的长度，结合图形可知S△EBP+S△BPC＝S△BEC，写出表达式，即可得PM+PN．
【解答】解：连接BP，作EH⊥BC于H点，
∵正方形ABCD的边长为2cm，BE＝CE，
∴BE＝CE＝DC＝2，DB＝2，
∵EH∥DC，
∴△BHE∽△BCD，
∴BE：BD＝EH：CD，
∴EH＝，
∵S△EBP+S△BPC＝S△BEC，
∴，
∴PM+PN＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查正方形的性质、三角形的面积公式、相似三角形的判定和性质，解题的关键△BHE∽△BCD、求出EH的长度．
二．填空题（共11小题）
15．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点P在以D（3，3）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则t的最小值是　﹣1　．
【分析】先求出AB，AC进而得出AC＝AB，结合直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，即AP＝t，即可得出t最小时，点P在AD上，用两点间的距离公式即可得出结论．
【解答】解：如图，连接AP，
∵点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），
∴AB＝（1+t）﹣1＝t，AC＝1﹣（1﹣t）＝t，
∴AB＝AC，
∵∠BPC＝90°，
∴AP＝BC＝AB＝t，
要t最小，就是点A到⊙D上的一点的距离最小，
∴点P在AD上，
∵A（0，1），D（3，3），
∴AD＝＝，
∴t的最小值是AP＝AD﹣PD＝﹣1，
故答案为﹣1．
【点评】此题主要考查了直角三角形斜边的中线的性质，平面坐标系内，两点间的距离公式，极值的确定；判断出点A是BC的中点是解本题的关键．是一道基础题．
16．如图，⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，点P是直线y＝﹣x+4上的一点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为　2　．
【分析】先根据坐标轴上点的坐标特征确定B（0，4），A（4，0），则可判断△OAB为等腰直角三角形，所以AB＝OA＝4，OH＝AB＝2，再根据切线的性质，由PQ为⊙O的切线得到OQ⊥PQ，根据勾股定理得到PQ＝＝，所以当OP最小时，PQ最小，根据垂线段最短得到OP＝OH时，OP最小，即可计算出切线长PQ的最小值＝2．
【解答】解：连结OP，OQ，作OH⊥AB于H，如图，
当x＝0时，y＝﹣x+4＝4，则B（0，4）；当y＝0时，﹣x+4＝0，解得x＝4，则A（4，0），
∵OA＝OB，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB＝OA＝4，
∵OH⊥AB，
∴OH＝AB＝2，
∵PQ为⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ，
在Rt△POQ中，PQ＝＝，
∴当OP最小时，PQ最小，
而OP＝OH时，OP最小，
∴切线长PQ的最小值＝＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．
17．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y＝kx+3与轴、轴分别交于A、B，∠OAB＝30°，点P在轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是　4　．
【分析】根据直线的解析式求得OB＝3，进而求得OA＝9，根据切线的性质求得PM⊥AB，根据∠OAB＝30°，求得PM＝PA，然后根据“整圆”的定义，即可求得使得⊙P成为整圆的点P的坐标，从而求得点P个数．
【解答】解：∵直线l：y＝kx+3与x轴、y轴分别交于A、B，
∴B（0，3），
∴OB＝3，
在Rt△AOB中，∠OAB＝30°，
∴OA＝OB＝×3＝9，
∵⊙P与l相切，设切点为M，连接PM，则PM⊥AB，
∴PM＝PA，
设P（x，0），
∴PA＝9﹣x，
∴⊙P的半径PM＝PA＝﹣x，
∵x为整数，PM为整数，
∴x可以取1，3，5，7，4个数，
∴使得⊙P成为整圆的点P个数是4．
故答案为4
【点评】本题考查了切线的性质，含30°角的直角三角形的性质等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
18．如图，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝4，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为　2　．
【分析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF＝2EH＝20E sin∠EOH＝20E sin60°，当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF＝2EH，即可求出答案．
【解答】解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，
如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，
∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，AB＝4
∴AD＝BD＝4，即此时圆的直径为4，
由圆周角定理可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°，
∴在Rt△EOH中，EH＝OE sin∠EOH＝2×＝，
由垂径定理可知EF＝2EH＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的综合运用．关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆，再解直角三角形．
19．如图，正方形ABCD中，AB＝3cm，以B为圆心，1cm长为半径画⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP，并将AP绕点A逆时针旋转90°至AP′，连接BP′．在点P移动的过程中，BP′长度的最小值为　（3﹣1）　cm．
【分析】通过画图发现，点P′的运动路线为以D为圆心，以1为半径的圆，可知：当P′在对角线BD上时，BP′最小，先证明△PAB≌△P′AD，则P′D＝PB＝1，再利用勾股定理求对角线BD的长，则得出BP′的长．
【解答】解：如图，当P′在对角线BD上时，BP′最小，
连接BP，
由旋转得：AP＝AP′，∠PAP′＝90°，
∴∠PAB+∠BAP′＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAP′+∠DAP′＝90°，
∴∠PAB＝∠DAP′，
∴△PAB≌△P′AD，
∴P′D＝PB＝1，
在Rt△ABD中，∵AB＝AD＝3，
由勾股定理得：BD＝＝3，
∴BP′＝BD﹣P′D＝3﹣1，
即BP′长度的最小值为（3﹣1）cm．
故答案为：（3﹣1）．
【点评】本题考查了正方形的性质、旋转的性质和最小值问题，寻找点P′的运动轨迹是本题的关键，通过证明两三角形全等求出BP′长度的最小值最小值．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则AD+BD的最小值是　4　．
【分析】在CA上截取CM，使得CM＝4，连接DM，BM．利用相似三角形的性质证明DM＝AD，推出AD+BD＝DM+BD≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题．
【解答】解：在CA上截取CM，使得CM＝4，连接DM，BM．
∵CD＝6，CM＝4，CA＝9，
∴CD2＝CM CA，
∴＝，
∵∠DCM＝∠ACD，
∴△DCM∽△ACD，
∴＝＝，
∴DM＝AD，
∴AD+BD＝DM+BD，
∵DM+BD≥BM，
在Rt△CBM中，∵∠CMB＝90°，CM＝4，BC＝12，
∴BM＝＝4，
∴AD+BD≥4，
∴AD+BD的最小值为4．
故答案为4．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
21．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，M点是BC的中点，A为圆心，AB为半径的圆交AD于点E．点P在上运动，则PM+DP的最小值为　　．
【分析】取AE的中点K，连接PK，KM，作KH⊥BC于H，则四边形ABHK是矩形．可得AK＝BH＝1，HK＝AB＝2．由△PAK∽△DAP，推出＝＝，推出PK＝PD，推出PM+PD＝PM+PK，由PM+PK≥KM，求出KM即可解决问题．
【解答】解：取AE的中点K，连接PK，KM，作KH⊥BC于H，则四边形ABHK是矩形．可得AK＝BH＝1，HK＝AB＝2．
∵AP＝2，AK＝1，AD＝4，
∴PA2＝AK AD，
∴＝，
∵∠KAP＝∠PAD，
∴△PAK∽△DAP，
∴＝＝，
∴PK＝PD，
∴PM+PD＝PM+PK，
∵PM+PK≥KM，KM＝＝，
∴PM+PK≤，
∴PM+DP的最小值为，
故答案为．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，2），⊙O的半径为1，点C为⊙O上一动点，过点B作BP⊥直线AC，垂足为点P，则P点纵坐标的最大值为　　cm．
【分析】当AC与⊙O相切于点C时，P点纵坐标的最大值，如图，直线AC交y轴于点D，连结OC，作CH⊥x轴于H，PM⊥x轴于M，DN⊥PM于N，由切线性质得OC⊥AC，在△AOC中判断∠OAC＝30°，∠AOC＝60°，再在Rt△AOD中利用含30度的直角三角形三边的关系得到OD＝OA＝，则在Rt△BDP中，由于∠BDP＝∠ADO＝60°，则可计算出DP＝BD＝1﹣，然后在Rt△DPN中计算出PN＝DP＝﹣，最后计算PN+MN，从而可得到P点纵坐标的最大值．
【解答】解：当AC与⊙O相切于点C时，P点纵坐标的最大值，如图，直线AC交y轴于点D，连结OC，作CH⊥x轴于H，PM⊥x轴于M，DN⊥PM于N，
∵AC为切线，
∴OC⊥AC，
在△AOC中，∵OA＝2，OC＝1，
∴∠OAC＝30°，∠AOC＝60°，
在Rt△AOD中，∵∠DAO＝30°，
∴OD＝OA＝，
在Rt△BDP中，∵∠BDP＝∠ADO＝60°，
∴DP＝BD＝（2﹣）＝1﹣，
在Rt△DPN中，∵∠PDN＝30°，
∴PN＝DP＝﹣，
而MN＝OD＝，
∴PM＝PN+MN＝1﹣+＝，
即P点纵坐标的最大值为．
故答案为．
【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的性质和含30度的直角三角形三边的关系；理解坐标与图形性质．
23．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为　2﹣2　．
【分析】连结AE，如图1，先根据等腰直角三角形的性质得到AB＝AC＝4，再根据圆周角定理，由AD为直径得到∠AED＝90°，接着由∠AEB＝90°得到点E在以AB为直径的⊙O上，于是当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，在Rt△AOC中利用勾股定理计算出OC＝2，从而得到CE的最小值为2﹣2．
【解答】解：连结AE，如图1，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，
∴AB＝AC＝4，
∵AD为直径，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴点E在以AB为直径的⊙O上，
∵⊙O的半径为2，
∴当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，
在Rt△AOC中，∵OA＝2，AC＝4，
∴OC＝＝2，
∴CE＝OC﹣OE＝2﹣2，
即线段CE长度的最小值为2﹣2．
故答案为2﹣2．
【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的性质；会利用勾股定理计算线段的长．解决本题的关键是确定E点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．
24．如图，已知⊙O经过点A（2，0）、C（0，2）．直线y＝kx（k≠0）与⊙O分别交于点B、D，则四点A、B、C、D组成的四边形面积的最大值为　4　．
【分析】分类讨论：当k＜0，如图1，作BE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，设∠AOD＝α，则∠EBO＝α，利用三角函数的定义可得DF＝2sinα，BE＝2cosα，则根据三角形面积公式得到S四边形ADBC＝S△AOD+S△BOC+S△AOC＝2sinα+2cosα+2，利用三角公式得到S四边形ADBC＝2sin（45°+α）+2，利用正弦的性质得sin（45°+α）≤1，于是可得此时S四边形ADBC的最大值为2+2；当k＞0，如图2，作BE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，设∠AOD＝α，则∠EBO＝α，同理可得DF＝2sinα，OF＝2cosα，BE＝2cosα，OE＝2sinα，根据三角形面积公式得S四边形ABCD＝S△AOB+S△AOD+S△DOC+S△BOC＝4sinα+4cosα，同样可得S四边形ABCD＝4sin（45°+α），由于sin（45°+α）≤1，则可得到S四边形ADBC的最大值为4，综上所述，四点A、B、C、D组成的四边形面积的最大值为4．
【解答】解：当k＜0，如图1，作BE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，设∠AOD＝α，则∠EBO＝α，
∵⊙O经过点A（2，0）、C（0，2），
∴⊙O的半径为2，
在Rt△OFD中，∵sin∠FOD＝，
∴DF＝2sinα，
同理可得BE＝2cosα，
S四边形ADBC＝S△AOD+S△BOC+S△AOC
＝ 2 2sinα+ 2 cosα+ 2 2
＝2sinα+2cosα+2
＝2（sinα+cosα）+2
＝2（sin45° cosα+cos45° sinα）+2
＝2sin（45°+α）+2，
∵sin（45°+α）≤1，
∴S四边形ADBC≤2+2，即此时S四边形ADBC的最大值为2+2；
当k＞0，如图2，作BE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，设∠AOD＝α，则∠EBO＝α，
同理可得DF＝2sinα，OF＝2cosα，BE＝2cosα，OE＝2sinα，
S四边形ABCD＝S△AOB+S△AOD+S△DOC+S△BOC
＝ 2 2sinα+ 2 sinα+ 2 cosα+ 2 cosα
＝4sinα+4cosα
＝4（sinα+cosα）
＝2（sin45° cosα+cos45° sinα）
＝4sin（45°+α）
∵sin（45°+α）≤1，
∴S四边形ADBC≤4，即此时S四边形ADBC的最大值为4，
综上所述，四点A、B、C、D组成的四边形面积的最大值为4．
故答案为4．
【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆的有关性质和一次函数的性质；理解坐标与图形性质；学会构造直角三角形和解直角三角形；会运用三角函数公式．
25．如图，正方形ABCD，以B为圆心，BC长为半径画弧，点E在圆弧上，EH⊥BC于点H，P是△EHB的内心，AB＝2，则AP的最小值为　﹣　．
【分析】首先证明点P的运动轨迹是圆弧，以BC为斜边在BC的下方作等腰直角三角形BCO，则以点O为圆心，OB为半径的⊙O是点P的轨迹，因为AP≤AO﹣OP，所以当O、P、A共线时，PA的值最小．
【解答】解：连接PE、PC、PB．
∵P是△EHB的内心，∠EHB＝90°，
∴∠EPB＝180°﹣（∠HEB+∠HBE）＝135°，
∵BC＝BE，∠PBC＝∠PBE，PB＝PB，
∴△PBC≌△PBE，
∴∠BPC＝∠BPE＝135°（定角），
∴点P的运动轨迹是圆弧，以BC为斜边在BC的下方作等腰直角三角形BCO，连接OP、OA．
则以点O为圆心，OB为半径的⊙O是点P的轨迹，
∵AP≤AO﹣OP，
∴当O、P、A共线时，PA的值最小，
作OM⊥AB于M．易知OB＝，OF＝BF＝1，OA＝＝，
∴PA的最小值为﹣，
故答案为﹣．
【点评】本题考查三角形的内切圆与内心、正方形的性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找点P的运动轨迹，学会添加辅助圆解决问题，属于中考压轴题．
三．解答题（共1小题）
26．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+的最小值和PD﹣的最大值；
（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为　　，PD﹣的最大值为　　．
（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为　　，PD﹣的最大值为　　．
【分析】（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG＝1．由△PBG∽△CBP，推出＝＝，推出PG＝PC，推出PD+PC＝DP+PG，由DP+PG≥DG，当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝5．由PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝5；
（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．解法类似（1）；
（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝4，作DF⊥BC于F．解法类似（1）；
【解答】解：（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG＝1．
∵＝＝2，＝＝2，
∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴＝＝，
∴PG＝PC，
∴PD+PC＝DP+PG，
∵DP+PG≥DG，
∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝5．
∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，
当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝5．
（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．
∵＝＝，＝＝，
∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴＝＝，
∴PG＝PC，
∴PD+PC＝DP+PG，
∵DP+PG≥DG，
∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝．
∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，
当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝．
故答案为，
（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF⊥BC于F．
∵＝＝2，＝＝2，
∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴＝＝，
∴PG＝PC，
∴PD+PC＝DP+PG，
∵DP+PG≥DG，
∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，
在Rt△CDF中，∠DCF＝60°，CD＝4，
∴DF＝CD sin60°＝2，CF＝2，
在Rt△GDF中，DG＝＝
∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，
当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝．
故答案为，．
【点评】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．
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