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7.4.1二项分布---自检定时练--详解版
单选题
1．已知某射击运动员每次击中目标的概率是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（ ）
A．0.4096 B．0.8192 C．0.8464 D．0.9728
【答案】B
【分析】利用二项分布概率公式计算易得.
【详解】设运动员射击4次，击中目标的次数为，则,
于是，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为：
．
故选：B.
2.若随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二项分布的方差公式计算可得.
【详解】因为，故．
故选：C．
3.已知随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二项分布的期望、方差列方程，从而求得.
【详解】根据分布列方差的性质得：，
依题意知，满足二项分布，
所以，，
所以，解得，或（舍去）.
故选：D.
4.如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钓着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，若从顶端投入1024粒小球，则落入3号格子的小球的均值为（ ）
A．93 B．120 C．210 D．300
【答案】B
【分析】由已知得，从而求得小球落入第三个格子的概率，再计算均值即可》
【详解】由于小球是等概率的向左或向右下落，则最后落入格子的号码数，
所以，
又1024个小球落入第三个格子的球数，
所以，即落入第三个格子的球数均值为120.
故选：B.
5.已知随机变量分别服从二项分布，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用二项分布的期望、方差公式计算比较即可.
【详解】依题意，，，而，
因此，AB错误，C正确；
又，D错误.
故选：C
6.已知离散型随机变量服从二项分布且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用二项分布的期望、方差公式求得，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【详解】由，，得，则，，
因此，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故选：A
多选题
7.已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为.记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为，则（ ）
A．
B．
C．小李一天至少遇到一次红灯的概率为
D．当时，
【答案】BC
【分析】由已知，确定，即可求出和，判断A，B；表示一天至少遇到一次红灯的概率为，判断C；计算一天中遇到红灯次数的数学期望，即可求得，判断D.
【详解】对于A，B，小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，
则，则，，
故A错误，B正确；
对于C，由题意一天至少遇到一次红灯的概率为，故C正确；
对于D，当时，一天中不遇红灯的概率为，
遇到一次红灯的概率为，遇到两次红灯的概率为，
故一天遇到红灯次数的数学期望为，所以，故D错误.
故选：BC.
8.已知随机变量X和Y的分布列如下，X与Y的取值互不影响，则（ ）
X -1 0 1 Y 0 1 2
P P
A．存在a，使得 B．
C．若Y服从二项分布，则 D．
【答案】CD
【分析】根据分布列的性质先求出的取值范围；对于A，依题意，据此求出，判断是否满足所求即可；对于B，分别求出，再作差比较即可；对于C，根据二项分布的均值，求出即可；对于D，先列出的所有可能取值，再求的均值，然后比较大小即可.
【详解】由已知得且，解得．
对于A，因为X，Y的取值互不影响，所以，
所以，所以，不符合条件，故A错误；
对于B，，，，故B错误；
对于C，设，则，得，再由，可得，故C正确；
对于D，，，，，，
所以，又，
所以，故D正确．
故选：CD.
填空题
9.若随机变量服从二项分布，当且取得最大值时，则 ．
【答案】10
【分析】根据变量符合二项分布，写出试验发生次的概率的表示式，在表示式中，只有是一个变量，根据组合数的性质，当时，概率取到最大值．
【详解】
，
当时，．
显然当时，取得最大值．
故答案为：10
10.重复抛掷一枚质地均匀、点数为1到6的骰子，若抛掷5次恰好出现3次1点的概率为，则 ．
【答案】250
【分析】根据给定条件，利用独立重复试验的概率公式，列式计算即得.
【详解】依题意，每次出现1点的概率为，
则抛掷5次恰好出现3次1点的概率为，
所以.
故答案为：250
解答题
11.春节期间有一过关赢奖励娱乐活动，参与者需先后进行四个关卡挑战，每个关卡都必须参与.前三个关卡至少挑战成功两个才能够进入第四关，否则直接淘汰，若四关都通过，则可以赢得奖励.参与者甲前面三个关卡每个挑战成功的概率均为，第四关挑战成功的概率为，且各关挑战成功与否相互独立.
(1)求参与者甲未能参与第四关的概率；
(2)记参与者甲本次挑战成功的关卡数为X，求X的分布列以及数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据题意，甲未能参与第四关包含两种情况，前三个关卡挑战成功0个和1个，利用二项分布，相互独立事件概率乘法公式求解；
（2）的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
【详解】（1）参与者甲未能参与第四关的概率为：
（2）记参与者甲本次挑战成功的关卡数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，4，
，
，
，
，
，
的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
数学期望为
12．甲、乙两人进行羽毛球比赛、双方约定采用五局三胜制（有一方先胜三局即赢得比赛，比赛结束），根据双方以往的比赛情况可知每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是．假设每局比赛结果互不影响．
(1)求比赛进行四局且甲获胜的概率：
(2)比赛结束时、甲、乙共进行了局比赛，求的分布列和期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）根据比赛规则可知前三局中，甲获胜两局，乙获胜一局，第四局甲获胜满足题意，计算可得结果；
（2）求得的所有可能取值分别是3，4，5对应的概率，可得分布列及期望值.
【详解】（1）由题意可知前三局中，甲获胜两局，乙获胜一局，第四局甲获胜，
则所求概率
（2）由题意可知的所有可能取值分别是3，4，5．
则的分布列为
3 4 5
故．
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7.4.1二项分布---自检定时练--学生版
【1】知识清单
独立重复试验与二项分布
独立重复试验 二项分布
定义 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验 在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率
计算公式 用Ai(i＝1，2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An) 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)
【2】微型自检报告
完成时间 不会解答的题号 解答错误的题号 需要重点研究的题目
分钟
【3】自检定时练(建议30分钟)
单选题
1．已知某射击运动员每次击中目标的概率是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（ ）
A．0.4096 B．0.8192 C．0.8464 D．0.9728
2.若随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
3.已知随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
4.如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钓着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，若从顶端投入1024粒小球，则落入3号格子的小球的均值为（ ）
A．93 B．120 C．210 D．300
5.已知随机变量分别服从二项分布，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6.已知离散型随机变量服从二项分布且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
多选题
7.已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为.记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为，则（ ）
A．
B．
C．小李一天至少遇到一次红灯的概率为
D．当时，
8.已知随机变量X和Y的分布列如下，X与Y的取值互不影响，则（ ）
X -1 0 1 Y 0 1 2
P P
A．存在a，使得 B．
C．若Y服从二项分布，则 D．
填空题
9.若随机变量服从二项分布，当且取得最大值时，则 ．
10.重复抛掷一枚质地均匀、点数为1到6的骰子，若抛掷5次恰好出现3次1点的概率为，则 ．
解答题
11.春节期间有一过关赢奖励娱乐活动，参与者需先后进行四个关卡挑战，每个关卡都必须参与.前三个关卡至少挑战成功两个才能够进入第四关，否则直接淘汰，若四关都通过，则可以赢得奖励.参与者甲前面三个关卡每个挑战成功的概率均为，第四关挑战成功的概率为，且各关挑战成功与否相互独立.
(1)求参与者甲未能参与第四关的概率；
(2)记参与者甲本次挑战成功的关卡数为X，求X的分布列以及数学期望.
12．甲、乙两人进行羽毛球比赛、双方约定采用五局三胜制（有一方先胜三局即赢得比赛，比赛结束），根据双方以往的比赛情况可知每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是．假设每局比赛结果互不影响．
(1)求比赛进行四局且甲获胜的概率：
(2)比赛结束时、甲、乙共进行了局比赛，求的分布列和期望．
【4】核对简略答案,详解请看解析版！
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D B C A BC CD
9.【答案】10
10.【答案】250
11.【答案】(1) (2)分布列见解析，
12.【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为
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