2025年九年级下学期数学模拟考试试题(适用北师大版)(含答案)

2025年九年级学业水平数学模拟考试 试题
（考试时间120分钟 满分150分）
一．选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1.9的算术平方根是（ ）
A .3 B .±3 C . D .±
2.如图是用5个大小相同的小立方块搭成的几何体，则这个几何体的左视图是（ ）
3.ChatGPT是人工智能研究实验室 OpenAI 新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具， ChatGPT 的背后离不开大模型、大数据、大算力，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ）
A .1.75x103 B .1.75x1011 C .1750x108 D .1.75x1012
4．把一块含有45°角的三角尺与两条长边平行的直尺按如图所示放置（直角顶点在直尺的一条边上）．若∠2=25°，则∠1=（ ）
A .50° B .60° C .70° D .65°
5．如图，已知△ ABC≌△CDA ,∠B =120°,∠CAD =35°，则∠BAC 的度数为（ ）
A .25° B .30 C .35° D .40°
6．下列计算正确的是（ ）
A .b2+ b3=b5 B .2a3b÷b =2a3 C .(2a2) =6a6 D .(a - b )2=a2-b2
7．已知关于 x 的一元二次方程x2- x +k =0有实数根，则 k 的取值范围为（ ）
A . k ≥1 B . k ≤4 C . k ≥-1 D . k ≤ I
8．如图，斗兽棋是一种棋类游戏，双方各有八个棋子，从大到小的顺序为象、狮、虎、豹、狼、狗、猫、鼠，较大的战胜较小的．在一次对局中，莉莉手中存有的棋子为虎、猫，牛牛手中存有的棋子为狮、豹，双方将手中棋子的背面向上，随机从自己的棋子中抽取一个进行比较，则莉莉获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.0
9．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，顶点C 在 y 轴的正半轴上，对角线AC 和OB 交于点D ，作以下操作：(1）以点B 为圆心，任意长为半径作弧，交BO 于点 M，交AB 于点 N；(2）分别以点 M , N 为圆心，大于MN 的长为半径作弧，两弧交于点 G；(3）作射线BG ，交 OA 于点P ，交 AC 于点 Q ．若OP =2，则点Q 的坐标为（ ）
A .(3,) B .(+1,1) C .(+2,) D .(3,1)
10．定义：在平面直角坐标系中，若点 A 满足横、纵坐标都为整数，则把点 A 叫做"整点"．如： B (3,0)，C (-1,3）都是"整点"．抛物线 y =ax2-2ax+ a +2(a <0)与x 轴交于M , N两点，若该抛物线在点M , N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则 a 的取值范围是( )
A .-1≤ a <0 B .-2≤ a <0 C .-1≤ a＜﹣ D .-2≤ a <-1
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案
11．要使分式有意义，则 x 的取值范围是 。
12．设计如图所示的一个转盘（每个扇形的面积相同），转动一次转盘，当转盘停止转动时，"指针落在白色区域"的概率为 。
13．如图，正五边形ABCDE 和正六边形EFGHMN 的边CD , FG 在直线／上，正五边形在正六边形左侧，两个正多边形均在直线l的同侧，则∠DEF 的大小是 度．
14.a, b 两地相距20km，甲从 A 地出发向 B 地前进，乙从 B 地出发向 A 地前进，两人沿同一直线同时出发，甲先以8km/ h 的速度前进1h，然后减慢速度继续匀速前进，甲、乙两人离 A 地的距离s ( km ）与时间t ( h ）的关系如图所示，则甲出发 h 后与乙相遇。
15．如图，在正方形ABCD 中，M , N 分别是边AD , BC上的点，将四边形ABNM 沿直线MN 翻折，使得点A , B 分别落在点A', B' 处，且点B'恰好为线段 CD 的中点， A'B'交AD 于点G ，作 DP⊥MN 于点 P ，交 A'B'于点Q．若AG =4，则PQ = 。
解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.(7分）计算：(-2025)0-++()﹣2+3tan30°
17.(7分）解不等式组，并求出它的所有整数解的和．
18.(7分）如图，在平行四边形ABCD 中，E , F 是对角线AC上的两点，并且AF =CE ．求证：BF =DE .
19.(8分）综合与实践
素材一：图1为某款遮阳棚，图2，图3是它的侧面示意图，A , C 为墙壁上的固定点，摇臂CB 绕点 C 旋转过程中长度保持不变，遮阳棚 AB 可自由伸缩，棚面始终保持平整．CA = CB = CD =1.5米．
素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角 a 的正切值如表：
(1）如图2，当∠ACB =90°时，这天12时在点 E 位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离；
(2）如图3，旋转摇臂 CB ，使得点 B 离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时~14时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？
20.(8分）如图，已知△ABC 内接于⊙O , AB 是⊙O 的直径，∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D ，过点D作 DE⊥AC ，交AC 的延长线于点 E ，连接 BD , CD .
(1）求证：DE 是⊙O 的切线；
(2）若CE =2, sin∠BAD =，求⊙O 的直径。
21.(9分）中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势．2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了"我最喜欢的汽车类型"的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图。
请根据以上信息，解答下列问题：
(1）本次调查活动随机抽取了 人；表中 a = , b = ;
(2）请补全条形统计图；
(3）请计算扇形统计图中"混动"所在扇形的圆心角的度数；
(4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？
22.(10分）随着人们环保意识的提高和技术的飞速发展，新能源汽车已成为汽车市场的一股不可忽视的力量．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等．
(1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？
(2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共30个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，则如何购买所需总费用最少？
23.(10分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y =-x +7的图象与反比例函数y=( x >0）的图象相交于A (1,6)，B 两点， P (0,-1)是 y 轴上的一个定点。
(1）求反比例函数的表达式及点 B 的坐标；
(2) H是线段 AB 上的一点，当△PAB 的面积被线段PH 分成面积比为2:3的两部分时，求点H 的坐标；
(3）在（2）的条件下，请在x 轴上找点M ，平面内找点 N ，使得四边形PHMN 为矩形，求M , N两点的坐标．（直接写出答案）
24.(12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y =x2+ bx + c 与x 轴交于点A , B （点A 在点 B 的左侧），与y 轴交于点C (0,-3)，其对称轴为直线 x =1.
(1）求该抛物线的函数表达式；
(2）如图1，已知点 D 为第二象限抛物线上一点，连接 AC ，若∠ABD + ∠BAC =90°，求点D的坐标；
(3) P ( m , n)和 Q 分别是直线 y =-2x-4和抛物线上的动点，且点Q 的横坐标比点P 的横坐标大4，分别过点P , Q 作坐标轴的平行线，得到矩形PMQN ．设该抛物线在矩形PMQN 内部（包括边界）的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为1.
①如图2，当 m=﹣时，请直接写出t的值；
②请直接写出t关于 m 的函数表达式．
25.(12分）数学活动课上同学们进行探究活动，先将两个相似的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个三角形纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．
【初步感知】(1）如图1，在△ABC 和△AED 中，若==,∠BAC =∠EAD =α，连接BE ,CD ，直线BE , CD 相交于点K ，试探究= ,∠BKC = ;
【深入探究】(2）如图2，若==,∠BAC = ∠EAD =90°，点 E 为线段 BC 上一点（不与点 B 重合），连接 CD ，若 tan∠BAE =，探究的值。
【拓展创新】(3）如图3，在△ABC 中，AC = BC =8，点D 为边BC 上的动点，过点D 作射线DH ，使 ∠ADH =∠ACB ．当点D 运动到边BC 的中点时，射线DH 交AB 于点N ，此时=.过点 A 作 AG⊥AD 交射线DH 于点G ，在点D 从点C 运动到点B 的过程中，求折线GAD 扫过的面积．
答案
一．选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1.9的算术平方根是（ A ）
A .3 B .±3 C . D .±
2.如图是用5个大小相同的小立方块搭成的几何体，则这个几何体的左视图是（ C ）
3.ChatGPT是人工智能研究实验室 OpenAI 新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具， ChatGPT 的背后离不开大模型、大数据、大算力，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ B ）
A .1.75x103 B .1.75x1011 C .1750x108 D .1.75x1012
4．把一块含有45°角的三角尺与两条长边平行的直尺按如图所示放置（直角顶点在直尺的一条边上）．若∠2=25°，则∠1=（ C ）
A .50° B .60° C .70° D .65°
5．如图，已知△ ABC≌△CDA ,∠B =120°,∠CAD =35°，则∠BAC 的度数为（ A ）
A .25° B .30 C .35° D .40°
6．下列计算正确的是（ B ）
A .b2+ b3=b5 B .2a3b÷b =2a3 C .(2a2) =6a6 D .(a - b )2=a2-b2
7．已知关于 x 的一元二次方程x2- x +k =0有实数根，则 k 的取值范围为（ D ）
A . k ≥1 B . k ≤4 C . k ≥-1 D . k ≤ I
8．如图，斗兽棋是一种棋类游戏，双方各有八个棋子，从大到小的顺序为象、狮、虎、豹、狼、狗、猫、鼠，较大的战胜较小的．在一次对局中，莉莉手中存有的棋子为虎、猫，牛牛手中存有的棋子为狮、豹，双方将手中棋子的背面向上，随机从自己的棋子中抽取一个进行比较，则莉莉获胜的概率为（ A ）
A. B. C. D.0
9．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，顶点C 在 y 轴的正半轴上，对角线AC 和OB 交于点D ，作以下操作：(1）以点B 为圆心，任意长为半径作弧，交BO 于点 M，交AB 于点 N；(2）分别以点 M , N 为圆心，大于MN 的长为半径作弧，两弧交于点 G；(3）作射线BG ，交 OA 于点P ，交 AC 于点 Q ．若OP =2，则点Q 的坐标为（ B ）
A .(3,) B .(+1,1) C .(+2,) D .(3,1)
10．定义：在平面直角坐标系中，若点 A 满足横、纵坐标都为整数，则把点 A 叫做"整点"．如： B (3,0)，C (-1,3）都是"整点"．抛物线 y =ax2-2ax+ a +2(a <0)与x 轴交于M , N两点，若该抛物线在点M , N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则 a 的取值范围是( D )
A .-1≤ a <0 B .-2≤ a <0 C .-1≤ a＜﹣ D .-2≤ a <-1
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案
11．要使分式有意义，则 x 的取值范围是 x≠2025 。
12．设计如图所示的一个转盘（每个扇形的面积相同），转动一次转盘，当转盘停止转动时，"指针落在白色区域"的概率为 。
13．如图，正五边形ABCDE 和正六边形EFGHMN 的边CD , FG 在直线／上，正五边形在正六边形左侧，两个正多边形均在直线l的同侧，则∠DEF 的大小是 48 度．
14.a, b 两地相距20km，甲从 A 地出发向 B 地前进，乙从 B 地出发向 A 地前进，两人沿同一直线同时出发，甲先以8km/ h 的速度前进1h，然后减慢速度继续匀速前进，甲、乙两人离 A 地的距离s ( km ）与时间t ( h ）的关系如图所示，则甲出发 2 h 后与乙相遇。
15．如图，在正方形ABCD 中，M , N 分别是边AD , BC上的点，将四边形ABNM 沿直线MN 翻折，使得点A , B 分别落在点A', B' 处，且点B'恰好为线段 CD 的中点， A'B'交AD 于点G ，作 DP⊥MN 于点 P ，交 A'B'于点Q．若AG =4，则PQ = 。
解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.(7分）计算：(-2025)0-++()﹣2+3tan30°
=1﹣2+（2﹣）+4+
=7﹣2
17.(7分）解不等式组，并求出它的所有整数解的和．
解不等式①，得 x <1.
解不等式②，得 x >-5.
所以不等式组的解集为﹣5< x <1.
所以整数解为﹣4,-3,-2,-1,0.
所有整数解的和为﹣4-3-2-1+0=-10
18.(7分）如图，在平行四边形ABCD 中，E , F 是对角线AC上的两点，并且AF =CE ．求证：BF =DE .
证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AD = BC , AD∥BC , ∠DAC = ∠BCA
∵AF = CE
∴AE = CF .
在△ADE 和△CBF 中，
∴△ADE≌△CBF ( SAS )
∴BF = DE .
19.(8分）综合与实践
素材一：图1为某款遮阳棚，图2，图3是它的侧面示意图，A , C 为墙壁上的固定点，摇臂CB 绕点 C 旋转过程中长度保持不变，遮阳棚 AB 可自由伸缩，棚面始终保持平整．CA = CB = CD =1.5米．
素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角 a 的正切值如表：
(1）如图2，当∠ACB =90°时，这天12时在点 E 位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离；
(2）如图3，旋转摇臂 CB ，使得点 B 离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时~14时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？
解：(1）如图1，过点 B 作 BM⊥DE 于点 M
∴CD = BM =1.5米，BC = DM =1.5米．
在Rt△BEM 中， tan∠BEM =，即5=
∴EM =0.3米
∴DE = DM - EM =1.5-0.3=1.2（米）
答：绿萝摆位置与墙壁的距离为1.2米．
(2）如图2，过点 B 作 BFLAC 于点 F , BM⊥DE 交DE 的延长线于点 M ，则 BF = DM =1.2米，
∴CF =0.9（米）.
∴BM = DF = CD - CF =1.5-0.9=0.6（米）.
由表格可知，在12时~14时，角 a 的正切值逐渐减小，即∠BEM 逐渐减小．
∴在14时，点 E 最靠近墙角．
此时 DE 的长度就是绿萝摆放位置与墙壁的最远
在 Rt△BEM 中， tan∠BEM =，即1.25=
∴EM =0.48米．
∴DE = DM - EM =1.2-0.48=0.72（米）.
答：绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是0.72米．
20.(8分）如图，已知△ABC 内接于⊙O , AB 是⊙O 的直径，∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D ，过点D作 DE⊥AC ，交AC 的延长线于点 E ，连接 BD , CD .
(1）求证：DE 是⊙O 的切线；
(2）若CE =2, sin∠BAD =，求⊙O 的直径。
(1）证明：如图，连接 OD
∵AD 平分∠BAC
∴∠BAD = ∠EAD .
∵OA = OD
∴∠OAD = ∠ODA .
∴∠ODA = ∠EAD .
∴AE // OD .
∵DE⊥AE
∴∠E =90°.
∴∠ODE =180°- ∠AED =90°.
∴OD 是⊙O 的半径
∴DE 是⊙O 的切线．
(2）解：AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB =90°
∴∠DAB + ∠ABD =90°
即 ∠DAB + ∠ABC + ∠DBC =90°.
∴∠EAD + ∠ADE =90°
∴∠EAD + ∠ADC + ∠CDE =90°
∴∠DAB + ∠ABC + ∠DBC = ∠EAD + ∠ADC +∠CDE.
∵∠BAD = ∠EAD , ∠ABC = ∠ADC ,
∴∠DBC = ∠CDE .
∵∠DBC = ∠CAD , ∠DCB = ∠BAD , ∠CAD = ∠BAD ,
∴∠CDE =∠DBC = ∠DCB = ∠BAD .
∴BD = CD , sin∠CDE = sim∠BAD=
在 Rt△CDE 中，= sin∠CDE =
∴CD =3CE=3x2=6
∴BD =6.
在 Rt△ ABD 中，= sin∠BAD =
∴AB =3BD=3x6=18，即⊙O 的直径为18.
21.(9分）中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势．2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了"我最喜欢的汽车类型"的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图。
请根据以上信息，解答下列问题：
(1）本次调查活动随机抽取了 人；表中 a = , b = ;
(2）请补全条形统计图；
(3）请计算扇形统计图中"混动"所在扇形的圆心角的度数；
(4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？
解：(1）本次调查活动随机抽取了27÷54%=50人，
∴n =50-27-3-5=15.
∴α%=30% b%=-x100%=6%.
∴a =30 b=6.
(2）补全条形统计图如图所示．
(3)360°x30%=108°.
答：扇形统计图中"混动"所在扇形的圆心角的度数为108°.
(4)4000x(54%+30%+6%)=3600（人）.
答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有3600人.
22.(10分）随着人们环保意识的提高和技术的飞速发展，新能源汽车已成为汽车市场的一股不可忽视的力量．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等．
(1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？
(2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共30个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，则如何购买所需总费用最少？
解：(1）设乙型充电桩的单价是 x 万元，则甲型充电桩的单价是（x +0.2）万元，
由题意，得=，解得 x =0.6
经检验， x =0.6是所列方程的根，且符合题意．
x +0.2=0.6+0.2=0.8.
答：甲型充电桩的单价为0.8万元，乙型充电桩的单价为0.6万元．
(2）设购买甲型充电桩的数量为 m 个，则购买乙型充电桩的数量为（30- m ）个，
由题意，得30- m ≤2m，解得 m ≥10.
设所需费用为 w 元，
由题意，得 w =0.8m+0.6x(30- m )=0.2m+18,
∵0.2>0
∴w 随 m 的增大而增大．
∴当 m =10时，w 取得最小值．此时，30- m =30-10=20.
答：购买甲型充电桩10个，乙型充电桩20个，所需费用最少．
23.(10分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y =-x +7的图象与反比例函数y=( x >0）的图象相交于A (1,6)，B 两点， P (0,-1)是 y 轴上的一个定点。
(1）求反比例函数的表达式及点 B 的坐标；
(2) H是线段 AB 上的一点，当△PAB 的面积被线段PH 分成面积比为2:3的两部分时，求点H 的坐标；
(3）在（2）的条件下，请在x 轴上找点M ，平面内找点 N ，使得四边形PHMN 为矩形，求M , N两点的坐标．（直接写出答案）
解：(1)点 A (1,6)在反比例函数 y =( x >0)的图象上
∴ k =1x6=6
∴反比例函数的表达式为 y =
令=- x +7，得x =1或 x =6
∴B (6,1).
(2)∵B (6,1), P (0,-1)
∴直线 BP 的表达式为 y =x -1.
如图1，连接 PH ，分别过点A , H 作y 轴的平行线，与BP 交于点M , N，设点H的横坐标为 t
则H ( t ,- t +7), M (1,﹣), N (t,t-1).
∴AM =， HN =﹣t+8
∴S△BPH=-4t+24,S△PMB =20.
∵△PAB 的面积被线段 PH 分成面积比为2:3的两部分
∴S△BPH: S△PAB =2:5或 S △BPH : S △PAB =3:5.
∴(-4t+24):20=2:5或（-4t+24):20=3:5
解得 t =4或 t =3
∴H (3,4）或（4,3).
(3）M（，0），N（，﹣5）或M（7，0），N（3，﹣4）
24.(12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y =x2+ bx + c 与x 轴交于点A , B （点A 在点 B 的左侧），与y 轴交于点C (0,-3)，其对称轴为直线 x =1.
(1）求该抛物线的函数表达式；
(2）如图1，已知点 D 为第二象限抛物线上一点，连接 AC ，若∠ABD + ∠BAC =90°，求点D的坐标；
(3) P ( m , n)和 Q 分别是直线 y =-2x-4和抛物线上的动点，且点Q 的横坐标比点P 的横坐标大4，分别过点P , Q 作坐标轴的平行线，得到矩形PMQN ．设该抛物线在矩形PMQN 内部（包括边界）的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为1.
①如图2，当 m=﹣时，请直接写出t的值；
②请直接写出t关于 m 的函数表达式．
24．解：(1）抛物线 y =x2+ bx + c 与 y 轴交于点 C (0,-3)，其对称轴为直线 x =1,
∴，解得
∴抛物线的函数表达式为 y =x2-2x-3.
(2）点D为第二象限抛物线上一点，设 BD 交 y 轴于K ，在 y =x2-2x-3中，令 y =0，得0=x2-2x-3
解得 x =-1或 x =3.
∴A (-1,0), B (3,0).
∴OA=1,OB=3.
∵C (0,-3),
∴OC=3.
∴OB = OC .
∵∠ACO + ∠BAC =90°，∠ABD + ∠BAC =90°
∴∠ACO = ∠ABD ,
即∠ACO = ∠KBO .
∵∠AOC=90°= ∠BOK
∴△ AOC≌△ KOB ( ASA ).
∴OK = OA =1
∴K (0,1).
由 B (3,0), K (0,1）得直线 BK 的表达式为 y =﹣x+1
∴D (﹣，).
(3)
25.(12分）数学活动课上同学们进行探究活动，先将两个相似的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个三角形纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．
【初步感知】(1）如图1，在△ABC 和△AED 中，若==,∠BAC =∠EAD =α，连接BE ,CD ，直线BE , CD 相交于点K ，试探究= ,∠BKC = ;
【深入探究】(2）如图2，若==,∠BAC = ∠EAD =90°，点 E 为线段 BC 上一点（不与点 B 重合），连接 CD ，若 tan∠BAE =，探究的值。
【拓展创新】(3）如图3，在△ABC 中，AC = BC =8，点D 为边BC 上的动点，过点D 作射线DH ，使 ∠ADH =∠ACB ．当点D 运动到边BC 的中点时，射线DH 交AB 于点N ，此时=.过点 A 作 AG⊥AD 交射线DH 于点G ，在点D 从点C 运动到点B 的过程中，求折线GAD 扫过的面积．
25．解：(1）如图1，设 BK 交 AC 于点O
∴∠BAC = ∠EAD = a ,
∴∠BAC - ∠EAC = ∠EAD - ∠EAC
∴∠BAE = ∠CAD .
∵==
∴△BAE∽△CAD .
∴==，∠ABE = ∠ACD .
又∵∠AOB = ∠COK
∴∠ABE + ∠AOB = ∠ACD + ∠COK
∴180°-( ∠ABE + ∠AOB )=180°-( ∠ACD + ∠COK )
∴∠BKC = ∠BAC =α.
（2）
（3）