第1章 相交线与平行线
目录
第一部分：知识点复习
第二部分：基础概念过关
第三部分：自我检测
第一部分：知识点复习
1．线段的性质：两点之间线段最短
线段公理
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
2．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
3．相交线
（1）相交线的定义
两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．
（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
4．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
5．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
6．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
7．同位角、内错角、同旁内角
（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
8．平行线
在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．
记作：a∥b；
读作：直线a平行于直线b．
（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：
①前提是在同一平面内；
②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．
9．平行公理及推论
（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．
（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．
10．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
11．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
12．生活中的平移现象
1、平移的概念
在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．
3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离．
13．平移的性质
（1）平移的条件
平移的方向、平移的距离
（2）平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
14．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
第二部分：基础概念过关
一．直线的相交（共8小题）
1．如图，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在一张透明的纸上画一条直线l，在l外任取一点Q并折出过点Q且与l垂直的直线．这样的直线能折出（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
3．如图所示，BE、CF是直线，OA、OD是射线，其中构成对顶角的是（ ）
A．∠AOE与∠COD B．∠AOD与∠BOD
C．∠BOF与∠COE D．∠AOF与∠BOC
4．两条直线相交所成的四个角中，下列说法正确的是（ ）
A．一定有一个锐角 B．一定有一个钝角
C．一定有一个直角 D．一定有一个不是钝角
5．如图，直线a，b相交于点O，如果∠1+∠2＝220°，那么∠3等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
6．如图所示，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是 ．
7．如图，从位置P到直线公路MN共有四条小道PA、PB、PC、PD，若用相同的速度行走，能最快到达公路MN的小道是 ，理由是 ．
8．如图，现要从村庄A修建一条连接公路PQ的最短路径，过点A作AH⊥PQ于点H，沿AH修建公路，则这样做的理由是 ．
二．同位角、内错角、同旁内角（共8小题）
9．下列判断错误的是（ ）
A．∠2与∠4是同旁内角 B．∠3与∠4是内错角
C．∠5与∠6是同旁内角 D．∠1与∠5是同位角
10．如图，∠1的内错角是（ ）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
11．如图所示，与∠A是同旁内角的角共有 个．
12．两条直线被第三条直线所截，就第三条直线上的两个交点而言形成了“三线八角”，为了便于记忆，同学们可仿照图用双手表示“三线八角”（两个大拇指代表被截直线，食指代表截线）．
下列三幅图依次表示（ ）
A．同位角、同旁内角、内错角
B．同位角、内错角、同旁内角
C．同位角、对顶角、同旁内角
D．同位角、内错角、对顶角
13．如图两条直线被第三条直线所截，∠2是∠3的同旁内角，∠1是∠3的内错角，若∠2＝4∠3，∠3＝2∠1，则∠1的度数是 ．
14．如图，若∠2＝100°，则∠1的同位角等于 度，∠1的内错角等于 度，∠1的同旁内角等于 度．
15．如图，直线CD与∠AOB的边OB相交．
（1）写出图中的同位角、内错角和同旁内角．
（2）如果∠1＝∠4，那么∠1与∠2相等吗？∠1与∠5互补吗？为什么？
16．如图，BF，DE相交于点A，BG交BF于点B，交AC于点C．
（1）指出DE，BC被BF所截形成的同位角、内错角、同旁内角；
（2）指出DE，BC被AC所截形成的内错角；
（3）指出FB，BC被AC所截形成的同旁内角．
三．1.3 平行线（共4小题）
17．过直线外一点画与已知直线平行的直线（ ）
A．有且只有一条 B．有两条
C．不存在 D．无数条
18．下列生活实例中，属于平行线的有（ ）
①交通路口的斑马线；
②天上的彩虹；
③体操的纵队所在直线；
④百米跑道线；
⑤火车的水平铁轨直线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19．已知直线EF及其外一点B，过B点作AB∥EF，过B点作BC∥EF，点A，C分别为直线AB，BC上任意一点，那么A，B，C三点一定在同一条直线上，依据是 ．
20．如图所示，在∠AOB内有一点P．
（1）过P画l1∥OA；
（2）过P画l2∥OB；
（3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？
四．1.4 平行线的判定（共8小题）
21．如图，张师傅将两根木条AB和AC固定在点A处，在木条AB上点O处安装一根能旋转的木条DE．张师傅用量角仪测得∠A＝68°，木条DE与AB的夹角∠BOD＝80°，要使DE∥AC，木条DE绕点O至少旋转（ ）
A．10° B．12° C．14° D．16°
22．如图，①∠1＝∠3，②∠2＝∠3，③∠1＝∠4，④∠2+∠5＝180°可以判定b∥c的条件有（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
23．如图，∠1＝120°，要使AB∥CD，则∠2的度数是（ ）
A．60° B．80° C．100° D．120°
24．如图，点E在BC的延长线上，对于给出的四个条件：
①∠1＝∠3；②∠2+∠5＝180°；
③∠4＝∠B；④∠D+∠BCD＝180°．
其中能判断AD∥BC的是（ ）
A．①② B．①④ C．①③ D．②④
25．如图，已知点A、B、C和点D、E、F分别在同一直线上，∠1＝∠2，那么 ∥ ．
26．如图，已知EF⊥BC，DE⊥AB，∠B＝∠ADE．求证：AD∥EF．
证明：因为EF⊥BC，DE⊥AB
所以∠EFB＝∠AED＝90°（ ）
所以∠BEF+∠B＝90°，∠BAD+∠ADE＝90°（ ）
因为∠B＝∠ADE，
所以∠BEF＝∠BAD（ ）．
所以 ∥ （ ）．
27．如图，直线AB分别与直线AE直线BF相交于点A、点B，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝35°，∠2＝35°，AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？请说明理由．
28．小明在利用潜望镜观察物体时发现潜望镜的工作原理如图2所示：两面镜子AB和CD是平行的，根据平面镜光的反射原理知∠1＝∠2，∠3＝∠4，请据此证明进入潜望镜的光线EF和离开潜望镜的光线HG是平行的．
五．平行线的性质（共8小题）
29．如图，直线a∥b，将直角三角板的直角顶点放在直线b上，已知∠1＝55°，则∠2的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．125°
30．已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°）按如图所示方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°，则∠2的度数是（ ）
A．38° B．45° C．58° D．60°
31．如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点E，D，B，F在同一条直线上．
若∠CBD＝55°，则∠EDA的度数是（ ）
A．145° B．125° C．100° D．55°
32．如图，BD∥AC，点E在线段AB的延长线上，∠1＝38°∠C＝75°，则∠ABC的度数是 ．
33．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′＝ °．
34．如图，已知AB∥CD，∠B＝∠D，AE交BC的延长线于点E．
（1）求证：AD∥BE；
（2）若∠1＝∠2＝60°，∠BAC＝2∠EAC，求∠B的度数．
35．如图，在四边形ABCD中．点E为AB延长线上一点，点F为CD延长线上一点，连接EF，交BC于点G，交AD于点H，若∠1＝∠2，∠A＝∠C，求证：∠E＝∠F．
证明：
∵∠1＝∠3 （ ），
∠1＝∠2（已知）．
∴ ＝ （等量代换）．
∴AD∥BC （ ）．
∴∠A+∠4＝180° （ ）．
∵∠A＝∠C（已知），
∴∠C+∠4＝180°（等量代换）．
∴ ∥ （同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠E＝∠F （ ）．
36．如图，已知DC∥AB，E、F分别在DC、AB的延长线上，∠DCB＝∠DAB，∠AGB＝30°，∠AFE＝60°，AE平分∠DAB；
（1）AD是否平行于BC？并说明理由；
（2）试说明AE⊥EF．
六．图形的平移（共8小题）
37．下列图形中，可以由其中一个图形通过平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
38．如图，在一块长14m、宽6m的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移3m就是它的右边线，则绿化区的面积是（ ）
A．56m2 B．66m2 C．72m2 D．96m2
39．如图，将△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，若△ABC的周长为20cm，则四边形ABFD的周长为（ ）
A．20cm B．22cm C．24cm D．26cm
40．如图，△ABC平移到△DEF的位置，则下列说法：①AB∥DE，AD＝CF＝BE；②∠ACB＝∠DEF；③平移的方向是点C到点F的方向；④平移距离为线段BD的长．其中说法正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
41．如图，在直角三角形ABC中，AC＝60，BC＝80，AB＝100，在其内部有5个小直角三角形，且这5个小直角三角形都有一条边与BC平行或在BC上，则这5个小直角三角形周长的和为 ．
42．如图，是8×8的“密码”图，利用平移对应文字，“今天考试”解密为“祝你成功”，用此“钥匙”解密“遇水架桥”的词语是 ．
43．如图，在6×6的正方形方格纸中有一格点三角形ABC（即三角形的顶点都在格点上），D是方格纸中一格点．
（1）将三角形ABC平移后得到三角形DEF，使点A的对应点为D，在图中画出平移后的图形．
（2）三角形DEF是由三角形ABC先向 平移 个单位，再向上平移 个单位得到．
44．如图，点A，B，C都在网格纸中的小正方形的顶点上．
（1）过点B画线段AC的垂线BD，垂足为D；
（2）将线段AC，先向上平移5格，再向右平移3格，点A平移到点E，点C平移到点F，画出平移后的线段EF；
（3）连接AE，CF，则这两条线段的位置关系和数量关系分别是 ．
第三部分：自我检测
45．如图所示，直线AB与CD相交形成了∠1、∠2、∠3、∠4，若要确定这4个角的度数，至少要测量其中的（ ）
A．1个角 B．2个角 C．3个角 D．4个角
46．如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得∠1＝63°，则∠2＝（ ）
A．143° B．147° C．153° D．157°
47．如图，不能判断l1∥l2的条件是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠4＝∠5
C．∠2＝∠3 D．∠2+∠4＝180°
48．如图，下列结论中错误的是（ ）
A．∠1与∠2是同旁内角 B．∠1与∠6是内错角
C．∠2与∠5是内错角 D．∠3与∠5是同位角
49．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A．测量跳远成绩
B．木板上弹墨线
C．弯曲河道改直
D．两钉子固定木条
50．如图所示，甲、乙是两张画有图形的透明胶片，把其中一张向右平移到另一张上，形成的图形是（ ）
A． B． C． D．
51．如图，将长方形ABCD沿EF折叠后，ED与BF交于G点，若∠EFG＝50°，则∠BGE的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
52．如图，直线MN与CD相交于点O，∠MOC＝80°，∠1＝35°，则∠2的度数是（ ）
A．35° B．40° C．45° D．55°
53．在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a c．
54．如图，已知∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC，要使AB∥CD，则需添加 （只填出一种即可）的条件．
55．如图，已知AB∥CD，∠ABD＝40°，BE平分∠ABC，且交CD于点D，则∠C的度数为 ．
56．为了保护眼睛，小明将台灯更换为护眼台灯（图①），其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图②所示，其中BC⊥AB，ED∥AB．经使用发现，当∠DCB＝140°时，台灯光线最佳，此时∠EDC的大小为 ．
57．如图所示，△ABC平移得到△DEF，∠ABC＝65°，BC＝3，求∠DEF的度数和EF的长度．
58．填空：如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E＝∠1，可得AD平分∠BAC．
理由如下：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G（已知），
∴∠ADC＝∠EGC＝90°（ ）．
∴AD∥EG（ ）．
∴∠1＝∠2（ ），
∠E＝∠3（ ）．
又∵∠E＝∠1（ ），
∴∠2＝∠3（ ）．
∴AD平分∠BAC（ ）．
59．如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥CD，且∠BOD的度数是∠AOD的5倍．
求：（1）∠AOD、∠BOD的度数；
（2）∠BOE的度数．
60．请完成下面的推理过程并在括号里填写推理依据：
AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，∠2＝∠3，BE与DF平行吗？为什么？
解：BE∥DF，理由如下：
∵AB⊥BC（已知），
∴∠ABC＝ °，
即∠3+∠4＝ °（ ），
又∵∠1+∠2＝90°（ ），
且∠2＝∠3，
∴ ＝ （ ），
∴BE∥DF（ ）．
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1
)第1章 相交线与平行线
一．直线的相交（共8小题）
1．如图，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据对顶角的定义，判断解答即可．
【解答】解：根据对顶角的定义，
选B的图形符合对顶角的定义．
故选：B．
2．如图，在一张透明的纸上画一条直线l，在l外任取一点Q并折出过点Q且与l垂直的直线．这样的直线能折出（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【分析】根据垂线的基本性质：过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线和已知直线垂直，容易判断．
【解答】解：根据垂线的性质，这样的直线只能作一条，
故选：B．
3．如图所示，BE、CF是直线，OA、OD是射线，其中构成对顶角的是（ ）
A．∠AOE与∠COD B．∠AOD与∠BOD
C．∠BOF与∠COE D．∠AOF与∠BOC
【分析】根据对顶角的定义，两条直线相交后所得的有公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角即可判断．
【解答】解：构成对顶角的角是：∠EOF和∠BOC；∠EOC和∠BOF．
故选：C．
4．两条直线相交所成的四个角中，下列说法正确的是（ ）
A．一定有一个锐角 B．一定有一个钝角
C．一定有一个直角 D．一定有一个不是钝角
【分析】根据两条直线相交有垂直相交和斜交两种情况，所以A、B、C均考虑不全面，故选D．
【解答】解：因为两条直线相交，分为垂直相交和斜交，故分两种情况讨论：
①当两直线垂直相交时，四个角都是直角，故A、B错误；
②当两直线斜交时，有两个角是锐角，两个角是钝角，所以C错误；
综上所述，D正确．
故选：D．
5．如图，直线a，b相交于点O，如果∠1+∠2＝220°，那么∠3等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】根据对顶角相等即可求出∠1的度数，再根据邻补角互补即可求出∠3的度数．
【解答】解：∵∠1+∠2＝220°，
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝110°，
∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣110°＝70°，
故选：C．
6．如图所示，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是 垂线段最短 ．
【分析】根据垂线段的性质，可得答案．
【解答】解：要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
7．如图，从位置P到直线公路MN共有四条小道PA、PB、PC、PD，若用相同的速度行走，能最快到达公路MN的小道是 PB ，理由是 垂线段最短 ．
【分析】从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，根据垂线的性质即可得到结论．
【解答】解：根据垂线段最短得，能最快到达公路MN的小道是PB，
故答案为：PB，垂线段最短．
8．如图，现要从村庄A修建一条连接公路PQ的最短路径，过点A作AH⊥PQ于点H，沿AH修建公路，则这样做的理由是 垂线段最短 ．
【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短可得结论．
【解答】解：∵从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短，
∴过点A作AH⊥PQ于点H，这样做的理由是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
二．同位角、内错角、同旁内角（共8小题）
9．下列判断错误的是（ ）
A．∠2与∠4是同旁内角 B．∠3与∠4是内错角
C．∠5与∠6是同旁内角 D．∠1与∠5是同位角
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义进行解答即可．
【解答】解：A、∠2与∠4是同旁内角，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、∠3与∠4是内错角，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、∠5与∠6不是同旁内角，原说法错误，故此选项符合题意；
D、∠1与∠5是同位角，原说法正确，故此选项不符合题意．
故选：C．
10．如图，∠1的内错角是（ ）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
【分析】根据内错角、同旁内角、同位角的定义确定各角间的关系，据此即可解答．
【解答】解：如图：根据内错角、同旁内角、同位角的定义可得：∠1的内错角是∠3，∠1的同旁内角是∠2，∠1的同位角是∠5．
故选：B．
11．如图所示，与∠A是同旁内角的角共有 4 个．
【分析】同旁内角：两个内角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．
【解答】解：与∠A是同旁内角的有：∠ABC、∠ADC、∠ADE，∠AED共4个．
故答案为：4．
12．两条直线被第三条直线所截，就第三条直线上的两个交点而言形成了“三线八角”，为了便于记忆，同学们可仿照图用双手表示“三线八角”（两个大拇指代表被截直线，食指代表截线）．
下列三幅图依次表示（ ）
A．同位角、同旁内角、内错角
B．同位角、内错角、同旁内角
C．同位角、对顶角、同旁内角
D．同位角、内错角、对顶角
【分析】两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一侧的角，我们把这种两个角称为同位角；两条平行直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角，由此分析各图即可得解．
【解答】解：第一幅图表示同位角，第二幅图表示内错角，第三幅图表示同旁内角．
故选：B．
13．如图两条直线被第三条直线所截，∠2是∠3的同旁内角，∠1是∠3的内错角，若∠2＝4∠3，∠3＝2∠1，则∠1的度数是 20° ．
【分析】设∠1＝x°，则∠3＝2x°，∠2＝8x°，根据邻补角互补可得方程，求解即可．
【解答】解：如图，设∠1＝x°，则∠3＝2x°，∠2＝4∠3＝8x°，
∵∠1+∠2＝180°，
∴x°+8x°＝180°，
解得：x＝20，
∴∠1＝20°．
故答案为：20°．
14．如图，若∠2＝100°，则∠1的同位角等于 80 度，∠1的内错角等于 80 度，∠1的同旁内角等于 100 度．
【分析】在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的两旁找内错角．要结合图形，熟记同位角、内错角、同旁内角的位置特点，比较它们的区别与联系．
【解答】解：∵∠2＝100°，
∴∠1的同位角＝∠3＝180°﹣∠2＝180°﹣100°＝80°，
∠1的内错角＝∠5＝180°﹣∠2＝180°﹣100°＝80°，
∠1的同旁内角＝∠4＝∠2＝100°．
故答案为：80°；80°；100°．
15．如图，直线CD与∠AOB的边OB相交．
（1）写出图中的同位角、内错角和同旁内角．
（2）如果∠1＝∠4，那么∠1与∠2相等吗？∠1与∠5互补吗？为什么？
【分析】（1）由同位角、内错角、同旁内角的定义容易得出结论；
（2）由对顶角相等和邻补角互补等量代换即可得出结论．
【解答】解：（1）∠1与∠4是同位角；∠1与∠2是内错角；∠1与∠5是同旁内角；
（2）如果∠1＝∠4，那么∠1与∠2相等，∠1与∠5互补．
理由如下：
∵∠1＝∠4，∠4＝∠2，∠4+∠5＝180°，
∴∠1＝∠2，∠1+∠5＝180°．
16．如图，BF，DE相交于点A，BG交BF于点B，交AC于点C．
（1）指出DE，BC被BF所截形成的同位角、内错角、同旁内角；
（2）指出DE，BC被AC所截形成的内错角；
（3）指出FB，BC被AC所截形成的同旁内角．
【分析】（1）两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，据此求解即可；
（2）根据内错角的定义求解即可；
（3）根据同旁内角的定义求解即可．
【解答】解：（1）同位角：∠FAE和∠B；内错角：∠B和∠DAB；同旁内角：∠EAB和∠B；
（2）解：∠EAC和∠BCA，∠DAC和∠ACG都是内错角；
（3）解：∠BAC和∠BCA，∠FAC和∠ACG都是同旁内角．
三．1.3 平行线（共4小题）
17．过直线外一点画与已知直线平行的直线（ ）
A．有且只有一条 B．有两条
C．不存在 D．无数条
【分析】根据经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行是解题的关键．
【解答】解：过直线外一点画与已知直线平行的直线有且只有一条，
故选：A．
18．下列生活实例中，属于平行线的有（ ）
①交通路口的斑马线；
②天上的彩虹；
③体操的纵队所在直线；
④百米跑道线；
⑤火车的水平铁轨直线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线即可确定．
【解答】解：根据平行线的定义可知①③④⑤是平行线，②天上的彩虹不是直线，故不是平行线，
所以属于平行线的有4个，
故选：D．
19．已知直线EF及其外一点B，过B点作AB∥EF，过B点作BC∥EF，点A，C分别为直线AB，BC上任意一点，那么A，B，C三点一定在同一条直线上，依据是 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 ．
【分析】由“B为直线EF外的一点，且AB∥EF，BC∥EF”，利用“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”，即可得出A，B，C三点一定在同一条直线上．
【解答】解：∵点B为直线EF外的一点，且AB∥EF，BC∥EF，（已知）
∴A，B，C三点一定在同一条直线上．（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）
故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
20．如图所示，在∠AOB内有一点P．
（1）过P画l1∥OA；
（2）过P画l2∥OB；
（3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？
【分析】用两个三角板，根据同位角相等，两直线平行来画平行线，然后用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的关系为：相等或互补．
【解答】解：（1）（2）如图所示，
（3）l1与l2夹角有两个：∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2+∠O＝180°，所以l1和l2的夹角与∠O相等或互补．
四．1.4 平行线的判定（共8小题）
21．如图，张师傅将两根木条AB和AC固定在点A处，在木条AB上点O处安装一根能旋转的木条DE．张师傅用量角仪测得∠A＝68°，木条DE与AB的夹角∠BOD＝80°，要使DE∥AC，木条DE绕点O至少旋转（ ）
A．10° B．12° C．14° D．16°
【分析】由同位角相等，两直线平行，即可解决问题．
【解答】解：当∠BOD＝∠A＝68°时，DE∥AC，
∴木条DE绕点O至少逆时针旋转80°﹣68°＝12°．
故选：B．
22．如图，①∠1＝∠3，②∠2＝∠3，③∠1＝∠4，④∠2+∠5＝180°可以判定b∥c的条件有（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【分析】根据平行线的判定方法，对选项一一分析，排除错误答案．
【解答】解：①∵∠1＝∠3，∴b∥c（同位角相等，两直线平行）；
②∵∠2＝∠3，∴b∥c（内错角相等，两直线平行）；
③∠1＝∠4无法判断两直线平行；
④∵∠2+∠5＝180°，∴b∥c（同旁内角互补，两直线平行）．
故选：A．
23．如图，∠1＝120°，要使AB∥CD，则∠2的度数是（ ）
A．60° B．80° C．100° D．120°
【分析】由内错角相等，两直线平行可得结论．
【解答】解：∵当∠2＝120°，而∠1＝120°，
∴∠1＝∠2，
∴AB∥CD．
故选：D．
24．如图，点E在BC的延长线上，对于给出的四个条件：
①∠1＝∠3；②∠2+∠5＝180°；
③∠4＝∠B；④∠D+∠BCD＝180°．
其中能判断AD∥BC的是（ ）
A．①② B．①④ C．①③ D．②④
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可．
【解答】解：①∵∠1＝∠3，∴AD∥BC；
②∵∠2+∠5＝180°，∵∠5＝∠AGC，∴∠2+∠AGC＝180°，∴AB∥DC；
③∵∠4＝∠B，∴AB∥DC；
④∵∠D+∠BCD＝180°，∴AD∥BC．
故选：B．
25．如图，已知点A、B、C和点D、E、F分别在同一直线上，∠1＝∠2，那么 BD ∥ CE ．
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
【解答】解：如图，设AF交CE于点M，
∵∠1＝∠2，∠2＝∠AMC，
∴∠1＝∠AMC，
∴BD∥CE，
故答案为：BD；CE．
26．如图，已知EF⊥BC，DE⊥AB，∠B＝∠ADE．求证：AD∥EF．
证明：因为EF⊥BC，DE⊥AB
所以∠EFB＝∠AED＝90°（ 垂直的定义 ）
所以∠BEF+∠B＝90°，∠BAD+∠ADE＝90°（ 直角三角形的两个锐角互余 ）
因为∠B＝∠ADE，
所以∠BEF＝∠BAD（ 等角的余角相等 ）．
所以 AD ∥ EF （ 同位角相等，两直线平行 ）．
【分析】根据垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定即可得出答案．
【解答】证明：根据垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定解答如下：
∵EF⊥BC，DE⊥AB（已知），
∴∠EFB＝∠AED＝90°（垂直的定义），
∴∠BEF+∠B＝90°，∠BAD+∠ADE＝90°（直角三角形的两个锐角互余），
∵∠B＝∠ADE（已知），
∴∠BEF＝∠BAD（ 等角的余角相等 ），
∴AD∥EF（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；直角三角形的两个锐角互余；等角的余角相等；AD，EF，同位角相等，两直线平行．
27．如图，直线AB分别与直线AE直线BF相交于点A、点B，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝35°，∠2＝35°，AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？请说明理由．
【分析】利用∠1＝∠2，同位角相等，可判定AC与BD平行，再证明∠EAB＝∠FBM，同位角相等，可判定AE与BF平行．
【解答】解：AC∥BD，AE∥BF，
理由如下：如图：
∵∠1＝35°，∠2＝35°，
∴∠1＝∠2，
∴AC∥BD（同位角相等，两直线平行），
∵AC⊥AE，BD⊥BF，
∴∠EAC＝∠EBD＝90°，
∵∠1＝35°，∠2＝35°，
∴∠EAC+∠1＝∠FBD+∠2，
∴∠EAB＝∠FBM，
∴AE∥BF（同位角相等，两直线平行）．
28．小明在利用潜望镜观察物体时发现潜望镜的工作原理如图2所示：两面镜子AB和CD是平行的，根据平面镜光的反射原理知∠1＝∠2，∠3＝∠4，请据此证明进入潜望镜的光线EF和离开潜望镜的光线HG是平行的．
【分析】根据∠2和∠3是内错角，且两面镜子是平行放置的，得到∠2＝∠3；再结合∠1＝∠2，∠3＝∠4，可得∠5＝∠6，根据平行线的判定定理即可解答．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）．
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4．
∵∠5＝180°﹣∠1﹣∠2，∠6＝180°﹣∠3﹣∠4，
∴∠5＝∠6．
∴FE∥GH（内错角相等，两直线平行）．
五．平行线的性质（共8小题）
29．如图，直线a∥b，将直角三角板的直角顶点放在直线b上，已知∠1＝55°，则∠2的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．125°
【分析】先利用平行线的性质可得∠1＝∠3＝55°，然后利用平角定义进行计算，即可解答．
【解答】解：如图：
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝55°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠BAC＝35°，
故选：A．
30．已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°）按如图所示方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°，则∠2的度数是（ ）
A．38° B．45° C．58° D．60°
【分析】过点B作BD∥a，可得∠ABD＝∠1＝22°，a∥b，可得BD∥b，进而可求∠2的度数．
【解答】解：如图，过点B作BD∥a，
∴∠ABD＝∠1＝22°，
∵a∥b，
∴BD∥b，
∴∠2＝∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣22°＝38°．
故选：A．
31．如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点E，D，B，F在同一条直线上．
若∠CBD＝55°，则∠EDA的度数是（ ）
A．145° B．125° C．100° D．55°
【分析】先由平行线的性质得出∠ADF＝55°，再根据补角的定义得出∠EDA的度数．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DBC＝55°，
∴∠EDA＝180°﹣55°＝125°．
故选：B．
32．如图，BD∥AC，点E在线段AB的延长线上，∠1＝38°∠C＝75°，则∠ABC的度数是 67° ．
【分析】根据平行线的性质和补角的定义可求解．
【解答】解：∵BD∥AC，
∴∠2＝∠C＝75°，
∴∠ABC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣38°﹣75°＝67°．
33．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′＝ 50 °．
【分析】先利用平行线的性质得∠DEF＝65°，然后根据折叠的性质可计算出∠FED′＝65°，然后利用平角定义计算∠AED′的度数．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝65°，
∵长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′位置，
∴∠FED′＝∠DEF＝65°．
∴∠AED′＝180°﹣65°﹣65°＝50°．
故答案为50．
34．如图，已知AB∥CD，∠B＝∠D，AE交BC的延长线于点E．
（1）求证：AD∥BE；
（2）若∠1＝∠2＝60°，∠BAC＝2∠EAC，求∠B的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质定理和判定定理即可得到结论；
（2）根据AB∥CD，∠2＝60°，得到∠BAE＝∠2＝60°，∠BAC＝∠ACD，进而得出∠CAE+∠BAC＝60°，又根据∠BAC＝2∠EAC，得到∠BAC＝∠ACD＝40°，最后根据平角的定义可求出∠DCE的度数，从而可求得∠B的度数．
【解答】解：（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠DCE，
∵∠B＝∠D，
∴∠DCE＝∠D，
∴AD∥BE；
（2）∵AB∥CD，∠2＝60°，
∴∠BAE＝∠2＝60°，∠BAC＝∠ACD，∠B＝∠DCE，
∴∠EAC+∠BAC＝60°，
∵∠BAC＝2∠EAC，
∴∠EAC＝20°，
∴∠BAC＝∠ACD＝40°，
∵∠1+∠ACD+∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝180°﹣∠1﹣∠ACD＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∴∠B＝∠DCE＝80°．
35．如图，在四边形ABCD中．点E为AB延长线上一点，点F为CD延长线上一点，连接EF，交BC于点G，交AD于点H，若∠1＝∠2，∠A＝∠C，求证：∠E＝∠F．
证明：
∵∠1＝∠3 （ 对顶角相等 ），
∠1＝∠2（已知）．
∴ ∠2 ＝ ∠3 （等量代换）．
∴AD∥BC （ 同位角相等，两直线平行 ）．
∴∠A+∠4＝180° （ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
∵∠A＝∠C（已知），
∴∠C+∠4＝180°（等量代换）．
∴ CF ∥ EA （同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠E＝∠F （ 两直线平行，内错角相等 ）．
【分析】应用平行线的判定与性质进行求解即可得出答案．
【解答】证明：∵∠1＝∠3（对顶角相等），
∠1＝∠2（已知），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠A+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠A＝∠C（已知），
∴∠C+∠4＝180°（等量代换），
∴CF∥EA（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠E＝∠F（两直线平行，内错角相等），
故答案为：对顶角相等；∠2；∠3；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；CF，EA；两直线平行，内错角相等．
36．如图，已知DC∥AB，E、F分别在DC、AB的延长线上，∠DCB＝∠DAB，∠AGB＝30°，∠AFE＝60°，AE平分∠DAB；
（1）AD是否平行于BC？并说明理由；
（2）试说明AE⊥EF．
【分析】（1）根据平行线的性质结合已知条件推出∠DAB+∠ABC＝180°，即可得出结论；
（2）根据角平分线的定义，结合三角形的内角和定理得到，结合∠DAB+∠ABC＝180°，求出∠EAF的度数，进一步求出∠AEF的度数，即可得出结论．
【解答】解：（1）AD∥BC，理由如下：
∵DC∥AB，
∴∠DCB+∠ABC＝180°，
∵∠DCB＝∠DAB，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC；
（2）∵AE平分∠DAB，
∴，
∵∠AGB＝30°，
∴，
又∵∠DAB+∠ABC＝180°，
∴，
即：∠EAF＝30°，
∴∠AEF＝180°﹣∠EAF﹣∠AFE＝90°，
即：AE⊥EF．
六．图形的平移（共8小题）
37．下列图形中，可以由其中一个图形通过平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据平移的性质，结合图形对小题进行一一分析，选出正确答案．
【解答】解：∵只有选项B的图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到；
故选：B．
38．如图，在一块长14m、宽6m的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移3m就是它的右边线，则绿化区的面积是（ ）
A．56m2 B．66m2 C．72m2 D．96m2
【分析】根据平移的性质可得，绿化部分可看作是长为（14﹣3）米，宽为6米的矩形，然后根据矩形面积公式进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
（14﹣3）×6
＝11×6
＝66（平方米），
∴绿化区的面积是66平方米，
故选：B．
39．如图，将△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，若△ABC的周长为20cm，则四边形ABFD的周长为（ ）
A．20cm B．22cm C．24cm D．26cm
【分析】先根据平移的性质得DF＝AC，AD＝CF＝3cm，再由△ABC的周长为20cm得到AB+BC+AC＝20cm，然后利用等线段代换可计算出AB+BC+CF+DF+AD＝26（cm），于是得到四边形ABFD的周长为26cm．
【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，
∴DF＝AC，AD＝CF＝3cm，
∵△ABC的周长为20cm，即AB+BC+AC＝20cm，
∴AB+BC+CF+DF+AD＝AB+BC+AC+AD+CF＝20+3+3＝26（cm），
即四边形ABFD的周长为26cm．
故选：D．
40．如图，△ABC平移到△DEF的位置，则下列说法：①AB∥DE，AD＝CF＝BE；②∠ACB＝∠DEF；③平移的方向是点C到点F的方向；④平移距离为线段BD的长．其中说法正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
【分析】根据平移的性质逐项进行判断即可．
【解答】解：由平移的性质可知，
①AB∥DE，AD＝CF＝BE，因此正确；
②由平移的性质可知，∠ACB＝∠DFE，因此②不正确；
③平移的方向是点C到点F的方向或点A到点D的方向或点B到点E的方向，因此正确；
④平移距离为线段BE或线段AD或线段CF的长，因此④不正确；
综上所述，正确的结论有：①③，
故选：B．
41．如图，在直角三角形ABC中，AC＝60，BC＝80，AB＝100，在其内部有5个小直角三角形，且这5个小直角三角形都有一条边与BC平行或在BC上，则这5个小直角三角形周长的和为 240 ．
【分析】根据平移的性质，得到5个小直角三角形周长的和等于大直角三角形的周长，进行求解即可
【解答】解：由图和平移的性质可知：5个小直角三角形周长的和等于大直角三角形的周长，即为：AC+AB+BC＝60+80+100＝240，
故答案为：240．
42．如图，是8×8的“密码”图，利用平移对应文字，“今天考试”解密为“祝你成功”，用此“钥匙”解密“遇水架桥”的词语是 中国崛起 ．
【分析】根据题意可得，平移的规律是向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，即可解答．
【解答】解：由题意得：
“遇水架桥”的词语是：中国崛起，
故答案为：中国崛起．
43．如图，在6×6的正方形方格纸中有一格点三角形ABC（即三角形的顶点都在格点上），D是方格纸中一格点．
（1）将三角形ABC平移后得到三角形DEF，使点A的对应点为D，在图中画出平移后的图形．
（2）三角形DEF是由三角形ABC先向 右 平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位得到．
【分析】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据平移的性质，由图可得出答案．
【解答】解：（1）如图，三角形DEF即为所求．
（2）三角形DEF是由三角形ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到．
故答案为：右；3；2．
44．如图，点A，B，C都在网格纸中的小正方形的顶点上．
（1）过点B画线段AC的垂线BD，垂足为D；
（2）将线段AC，先向上平移5格，再向右平移3格，点A平移到点E，点C平移到点F，画出平移后的线段EF；
（3）连接AE，CF，则这两条线段的位置关系和数量关系分别是 平行且相等 ．
【分析】（1）根据垂线的定义画图即可．
（2）根据平移的性质作图即可．
（3）根据平移的性质可得答案．
【解答】解：（1）如图，直线BD即为所求．
（2）如图，线段EF即为所求．
（3）由平移得，这两条线段的位置关系和数量关系分别是平行且相等．
故答案为：平行且相等．
七．自我检测（共16小题）
45．如图所示，直线AB与CD相交形成了∠1、∠2、∠3、∠4，若要确定这4个角的度数，至少要测量其中的（ ）
A．1个角 B．2个角 C．3个角 D．4个角
【分析】根据对顶角及邻补角的定义解答即可．
【解答】解：根据题意可得∠1＝∠3，∠2＝∠4，∠1+∠2＝180°，
∴要确定这四个角的度数，至少要测量其中的1个角即可，
故选：A．
46．如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得∠1＝63°，则∠2＝（ ）
A．143° B．147° C．153° D．157°
【分析】根据平行线的性质结合对顶角得∠4＝∠3＝63°，再根据三角形外角定理即可求解．
【解答】解：如图，两条平行线记为a，b，
∵a∥b，
∴∠3＝∠1＝63°，
∴∠4＝∠3＝63°，
∴∠2＝90°+∠4＝153°，
故选：C．
47．如图，不能判断l1∥l2的条件是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠4＝∠5
C．∠2＝∠3 D．∠2+∠4＝180°
【分析】直接利用平行线的判定方法分别判断得出答案．
【解答】解：A、∵∠1＝∠3，
∴l1∥l2，故此选项不合题意；
B、∵∠4＝∠5，
∴l1∥l2，故此选项不合题意；
C、∠2＝∠3，无法得出l1∥l2，故此选项符合题意；
D、∵∠2+∠4＝180°，
∴l1∥l2，故此选项不合题意；
故选：C．
48．如图，下列结论中错误的是（ ）
A．∠1与∠2是同旁内角 B．∠1与∠6是内错角
C．∠2与∠5是内错角 D．∠3与∠5是同位角
【分析】直接利用同旁内角以及内错角、同位角的定义分别判断得出答案．
【解答】解：A、∠1与∠2是同旁内角，正确，不合题意；
B、∠1与∠6是内错角，正确，不合题意；
C、∠2与∠5不是内错角，故C错误，符合题意；
D、∠3与∠5是同位角，正确，不合题意；
故选：C．
49．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A．测量跳远成绩
B．木板上弹墨线
C．弯曲河道改直
D．两钉子固定木条
【分析】根据垂线段最短，线段的性质分别判断即可．
【解答】解：A、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意；
B、木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；
C、弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意；
D、两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；
故选：A．
50．如图所示，甲、乙是两张画有图形的透明胶片，把其中一张向右平移到另一张上，形成的图形是（ ）
A． B． C． D．
【分析】平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等，由此可判断出答案．
【解答】解：根据平移的性质可得：把其中一张向右平移到另一张上，形成的图形是A．
故选：A．
51．如图，将长方形ABCD沿EF折叠后，ED与BF交于G点，若∠EFG＝50°，则∠BGE的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【分析】利用翻折的性质，得∠DEF＝∠GEF；然后根据两直线平行，内错角相等，求得∠BGE＝∠DEG，∠DEF＝∠EFG；最后由等量代换求得∠BGE的度数．
【解答】解：根据翻折的性质，得∠DEF＝∠GEF，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFG，∠BGE＝∠DEG＝2∠DEF，
∵∠EFG＝50°，
∴∠DEF＝50°，
∴∠BGE＝2∠DEF＝100°．
故选：A．
52．如图，直线MN与CD相交于点O，∠MOC＝80°，∠1＝35°，则∠2的度数是（ ）
A．35° B．40° C．45° D．55°
【分析】根据对顶角相等可得∠DON＝80°，之后根据∠1＝35°，即可求出∠2．
【解答】解：由题可知∠MOC＝∠DON＝80°，
∵∠1＝35°，
∴∠2＝∠DON﹣∠1＝80°﹣35°＝45°．
故选：C．
53．在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a ∥ c．
【分析】由垂直的定义得到∠1＝∠2＝90°，由同位角相等，两直线平行推出a∥c．
【解答】解：如图，a⊥b，b⊥c，
∴∠1＝∠2＝90°，
∴a∥c．
故答案为：∥．
54．如图，已知∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC，要使AB∥CD，则需添加 ∠ACD＝90°（答案不唯一）． （只填出一种即可）的条件．
【分析】由平行线的判定，即可得到答案．
【解答】解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
若∠ACD＝90°，则∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥CD，
∴要使AB∥CD，可添加∠ACD＝90°（答案不唯一）．
故答案为：∠ACD＝90°（答案不唯一）．
55．如图，已知AB∥CD，∠ABD＝40°，BE平分∠ABC，且交CD于点D，则∠C的度数为 100° ．
【分析】由角平分线的性质可求得∠ABC的大小，再由平行线的性质可得出∠C与∠ABC互补，可求出结论．
【解答】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD，
∵∠ABD＝40°，
∴∠ABC＝2×40°＝80°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝180°﹣∠ABC＝180°﹣80°＝100°．
故答案为：100°．
56．为了保护眼睛，小明将台灯更换为护眼台灯（图①），其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图②所示，其中BC⊥AB，ED∥AB．经使用发现，当∠DCB＝140°时，台灯光线最佳，此时∠EDC的大小为 130° ．
【分析】过C作CF∥AB，得到CF∥DE∥AB，根据平行线的性质和角的和差关系即可得出结果．
【解答】解：∵BC⊥AB，
∴∠B＝90°，
过点C作CF∥AB，
∵DE∥AB，
∴CF∥DE∥AB，
∴∠EDC＝180°﹣∠DCF，
∠BCF＝180°﹣∠B＝180°﹣90°＝90°，
∵∠DCF＝∠DCB﹣BCF＝140°﹣90°＝50°，
∴∠EDC＝180°﹣50°＝130°．
故答案为：130°．
57．如图所示，△ABC平移得到△DEF，∠ABC＝65°，BC＝3，求∠DEF的度数和EF的长度．
【分析】直接利用平移的性质求解即可，平移前后的对应线段相等，对应角相等．
【解答】解：∵△ABC平移得到△DEF，
∴∠DEF＝∠ABC＝65°，EF＝BC＝3．
58．填空：如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E＝∠1，可得AD平分∠BAC．
理由如下：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G（已知），
∴∠ADC＝∠EGC＝90°（ 垂直的定义 ）．
∴AD∥EG（ 同位角相等，两直线平行 ）．
∴∠1＝∠2（ 两直线平行，内错角相等 ），
∠E＝∠3（ 两直线平行，同位角相等 ）．
又∵∠E＝∠1（ 已知 ），
∴∠2＝∠3（ 等量代换 ）．
∴AD平分∠BAC（ 角平分线的定义 ）．
【分析】由垂直可证明AD∥EG，由平行线的性质可得到∠1＝∠2＝∠3＝∠E，可证得结论，据此填空即可．
【解答】证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G（已知），
∴∠ADC＝∠EGC＝90°（垂直的定义），
∴AD∥EG（同位角相等，两直线平行 ），
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），
∠E＝∠3（两直线平行，同位角相等），
又∵∠E＝∠1（已知），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）．
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；已知；等量代换；角平分线的定义．
59．如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥CD，且∠BOD的度数是∠AOD的5倍．
求：（1）∠AOD、∠BOD的度数；
（2）∠BOE的度数．
【分析】（1）根据∠BOD+∠AOD＝180°和∠BOD＝5∠AOD求出即可；
（2）求出∠BOC，∠EOC，代入∠BOE＝∠EOC﹣∠BOC求出即可．
【解答】解：（1）∵AB是直线（已知），
∴∠BOD+∠AOD＝180°，
∵∠BOD的度数是∠AOD的5倍，
∴∠AOD180°＝30°，∠BOD180°＝150°．
（2）∵∠BOC＝∠AOD＝30°，OE⊥DC，
∴∠EOC＝90°，
∴∠BOE＝∠EOC﹣∠BOC＝90°﹣30°＝60°．
60．请完成下面的推理过程并在括号里填写推理依据：
AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，∠2＝∠3，BE与DF平行吗？为什么？
解：BE∥DF，理由如下：
∵AB⊥BC（已知），
∴∠ABC＝ 90 °，
即∠3+∠4＝ 90 °（ 等量代换 ），
又∵∠1+∠2＝90°（ 已知 ），
且∠2＝∠3，
∴ ∠1 ＝ ∠4 （ 等角的余角相等 ），
∴BE∥DF（ 同位角相等，两直线平行 ）．
【分析】根据平行线的判定与性质求解即可．
【解答】解：BE∥DF，理由如下：
∵AB⊥BC（已知），
∴∠ABC＝90°，
即∠3+∠4＝90°（等量代换），
又∵∠1+∠2＝90°（已知），
且∠2＝∠3，
∴∠1＝∠4（等角的余角相等），
∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：90；90；等量代换；已知；∠1；∠4；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行．
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