初中数学人教版八年级下册18.1.1 平行四边形的性质 同步练习（含解析）

18.1.1 平行四边形的性质
一、单选题
1．用长分别为的四根木根，恰好能钉成一个平行四边形的木框（接头忽略不记），则的值是（　　）
A．5 B．7 C．2 D．12
2．如图，点O是平行四边形ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F．下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．平行四边形相邻两角中，其中一个角的度数与另一个角的度数之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
4．小明为了计算的面积，画出一些垂线段，如图所示，这些线段不能表示的高的是（ ）

A． B． C． D．
5．如图，在平行四边形ABCD中，BD为对角线，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．与大小关系无法确定A
6．如图，在平行四边形中，点在对角线上，且，连接、，下列结论不正确的是（　）
A． B．
C． D．
7．如图，在平行四边形OABC中，对角线相交于点E，OA边在x轴上，点O为坐标原点，已知点，，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点在平行四边形ABCD的边上，连接，作交于点，点是的中点，且，若，则的长为（ ）

A．10 B．9 C． D．8
9．如图，ABCD，ADBE，点B、C、E在一直线上，连结AC、AE，则图中与△AED面积相等的三角形有（　　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．如图，在平行四边形ABCD中，，相交于点，，分别为，的中点，连接，，，．求证：四边形是平行四边形．
证明：∵四边形是平行四边形，
…
∴四边形是平行四边形．
上面缺少的过程是打乱的：
①∵，分别为，的中点，②∴；③∴，．
则正确顺序是（ ）
A．③①② B．①②③ C．①③② D．②①③
二、填空题
11．小宁不小心将一块平行四边形教具打碎成两部分，通过测量，已经知道三个角的度数如图所示，则的度数为 ．

12．平行四边形的面积为，其中为锐角，、分别为、上的高，若，，则的长为 ．
13．如图，平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为，，，要把顶点A平移到顶点C的位置，则其平移方式可以是：先向右平移 个单位，再向上平移 个单位．
14．如图，，四边形是平行四边形，和的周长分别为5和10，则的周长是 ．
15．如图，将先沿折叠，再沿折叠后，A点落在线段上的处，C点落在E处，连接，．若恰有，则 ．

16．已知如图，．为x轴上一条动线段，D在C点右边且，当的最小值为 .
17．如图，C为平行四边形ABDG外一点，连接BC，DC，分别交边AG于点F，E，使BC＝DC，AC＝GD，∠BDC＝60°，若DB＝7，AE＝5，则AB的长为 ．
18．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O．点M，N，P，Q分别是平行四边形ABCD四条边上不重合的点．下列条件能判定四边形是平行四边形的有 （填序号）．
①；②均经过点O：③经过点O，．
三、解答题
19． 如图：在平行四边形中，的平分线交于，若，，求的长．
20．如图，在平行四边形ABCD中，平分交于点．
（1）若，求的长；
（2）若是的中点，连接，求证：平分．
21．如图，在平行四边形中，E，F分别是边和上的点，且，连接，．
求证：（1）； （2）四边形是平行四边形．
22．已知，如图，把平行四边形纸片沿折叠，点落在处，与相交于点．
（1）求证：；
（2）连接，判断与的位置关系并且证明．
23．【课本再现】
已知：如图1，在中，D，E分别是的中点，求证：，且
（1）如图2，过点C作的平行线交DE的延长线于点F，请完成证明．
【知识应用】
（2）如图3，在四边形中，，，E，F分别为的中点，判断线段之间的数量关系，并说明理由，（温馨提示：连接并延长交的延长线于点G．）
24．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①，中，若，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．
请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到 ADC≌ EDB，依据是_____．
A． B． C． D．
（2）由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是_____．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
【初步运用】
如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，则线段的长_____．
【灵活运用】
如图③，在中， ，D为中点，交于点交于点F，连接，试猜想线段三者之间的等量关系，并证明你的结论．
答案：
一、单选题
1．B
【分析】根据平行四边形对边相等即可得到答案．
解：∵平行四边形的对边相等，用长分别为的四根木根，恰好能钉成一个平行四边形的木框，
∴，
故选：B．
2．A
【分析】首先可根据平行四边形的性质推出△AEO≌△CFO，从而进行分析即可．
解：∵点O是平行四边形ABCD对角线的交点，
∴OA=OC，∠EAO=∠CFO，
∵∠AOE=∠COF，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴OE=OF，A选项成立；
∴AE=CF，但不一定得出BF=CF，
则AE不一定等于BF，B选项不一定成立；
若，则DO=DC，
由题意无法明确推出此结论，C选项不一定成立；
由△AEO≌△CFO得∠CFE=∠AEF，但不一定得出∠AEF=∠DEF，
则∠CFE不一定等于∠DEF，D选项不一定成立；
故选：A．
3．C
【分析】根据平行四边形邻角互补解答．
解：由题意可得
x+y=180°
即
故选：C．
4．D
【分析】根据平行四边形的高的定义进行判断即可．
解：从平行四边形一条边上任意一点向对边引一条垂线，这点到垂足之间的线段叫做平行四边形的高，
由图可知，并不垂直于点的对边，
不能表示平行四边形ABCD的高，
故选：．
5．B
【分析】利用平行四边形对边平行的性质得到，，再根据平行线的性质得到内错角相等，即可得到结论．
解：四边形ABCD是平行四边形
，
，
即
故选：B．
6．C
【分析】根据平行四边形的性质、三角形的面积公式逐项判断即可得．
解：A、∵ PAD与同高，且，
，则此项正确，不符合题意；
B、，，
，
，则此项正确，不符合题意；
C、，
，
即，则此项错误，符合题意；
D、，
，则此项正确，不符合题意；
故选：C．
7．D
【分析】分别过E，C两点作EF⊥x轴，CG⊥x轴，垂足分别为F，G，由平行四边形的性质可得CG=2EF，AG=2AF，结合A，E两点坐标可求解CG，OG的长，进而求解C点坐标．
解：分别过E，C两点作EF⊥x轴，CG⊥x轴，垂足分别为F，G，
∴EF∥CG，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE=CE，
∴AG=2AF，CG=2EF，
∵A（4，0），E（3，1），
∴OA=4，OF=3，EF=1，
∴AF=OA-OF=4-3=1，CG=2，
∴AG=2，
∴OG=OA-OG=4-2=2，
∴C（2，2）．
故选：D．
8．B
【分析】延长交于点，可推出四边形是平行四边形，得；根据“点是的中点”可得、，设，根据即可求解．
解：延长交于点，如图：

∵，，
，
∵CE∥GH，
∴四边形是平行四边形，
，
∵点是的中点且，
，
∵点是的中点且，
，
，
设，
，
解得：，
∴，
故选：B．
9．C
【分析】根据等底等高或者同底等高，可以找到△AED面积相等的三角形．
解： ABCD，ADBE，
四边形是平行四边形，
，
ADBE，
与间的距离相等，
△AED面积的面积，
△AED面积的面积，
△AED面积相等的三角形有2个．
故选：C．
10．A
【分析】由平行四边形ABCD的判断及性质，可得四边形的对角线互相平分，由平行四边形的判定即可．
解：证明：∵四边形是平行四边形，
，,
，分别为，的中点，
，
∴四边形是平行四边形，
故选：A．
二、填空题
11．
【分析】先根据平行四边形对角相等，邻角互补求出，的度数，再求出的度数即可利用五边形内角和定理求出答案．
解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】如图，先利用平行四边形的面积公式求出和，再利用勾股定理求出和，即可求解．
解：如图，作，垂足分别为E、F，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵平行四边形的面积为，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
13． 4 2
【分析】根据平行线的性质求得点的坐标，然后即可求得平移方式，即可求解．
解：∵平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为，，，
∴，
即，
将平移到顶点的位置，可以是先向右平移4个单位，再向上平移2个单位．
故答案为：4，2．
14．15
【分析】根据平行四边形的对边相等可得DE=AF，DF=AE，再根据三角形周长的定义结合已知条件即可求出△ABC的周长．
解：∵四边形AEDF是平行四边形，
∴DE=AF，DF=AE，
∵△CFD和△DEB的周长分别为5和10，
∴CF+DF+CD=5，DE+EB+DB=10，
∴CF+AE+CD=5，AF+EB+DB=10，
∴△ABC的周长=CF+AF+AE+EB+BD+CD=15．
故答案为：15．
15．
【分析】由平行四边形的性质得，，由折叠得，，，则，所以，则，于是得，则，，即可求得，于是得到问题的答案．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
由折叠得，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了“将军饮马”求最值的模型，涉及了平行四边形的判定与性质、两点之间线段最短等知识点，将点向右平移1个单位长度得到点构造平行四边形是解题关键．
解：将点向右平移1个单位长度得到点，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，此时的值最小，如图所示：
∵，且
∴四边形为平行四边形
∴
∵点关于轴的对称点为，
∴
∴
∵
∴的最小值为：
故答案为：
17．
【分析】根据平行四边形的性质证明△DGE≌△ACE，可得EG=CE=2，过点C作CM⊥EF于点M，利用含30°角的直角三角形可得EM=1，，再利用勾股定理即可求得AC的长，进而得到AB的长．
解：∵四边形ABDG是平行四边形，
∴AB=DG，BD=AG=7，
∴AC=GD=AB，EG=AG-AE=7-5=2，
∵BC＝DC，∠BDC＝60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴BC=DC=BD=7，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠AGD=∠ABD=60°+∠ABC，
∵∠ACE=60°+∠ACB，
∴∠AGD=∠ACE，
在△DGE和△ACE中，
，
∴△DGE≌△ACE（AAS），
∴EG=CE=2，
如图，过点C作CM⊥EF于点M，
∵AG∥BD，
∴∠CEF=∠CDB=60°，
∴∠ECM=30°，
∵CE=2，
∴EM=1，，
∴AM=AE-EM=5-1=4，
∴，
∴AB=AC=，
故答案为：．
18．①②
【分析】①根据平行四边形的性质结合已知条件，证明，，可得，，根据两组对边相等的四边形是平行四边形，即可判断①，②根据平行四边形是中心对称图形，即可判断②，根据已知条件不能判断③．
解：∵四边形是平行四边形
，,
①
∴
∴
又
四边形是平行四边形
故①正确
②四边形的对角线交于点,均经过点O：
四边形是平行四边形
故②正确
③经过点O，，的位置未知，不能判断四边形是平行四边形
故③不正确
故答案为：①②
三、解答题
19．
解：∵四边形是平行四边形，，，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
20．
（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
，
平分，
，
，
；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，,
∵是的中点，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴，
平分．
21．
解：（1）证明：四边形是平行四边形，
，
在和中，
．
（2）四边形平行四边形
，
，
四边形是平行四边形．
22．
解：（1）由折叠可知：，
四边形是平行四边形，
，
，
，
；
（2）．证明如下：

，，
，
，
，，
，
，得证．
23．
解：（1）证明：过点C作AB的平行线交DE的延长线于点F，即，
∴，
∵E是的中点，
∴．
在和中，，
∴．
∴，，
∵D是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，；
（2），理由如下：
连接并延长交的延长线于点G，

∵，
∴，，
∵F是的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵E是的中点，F是的中点，
∴，
∴．
24．
解：（1）在和中，
，
∴，
故选B；
（2）∵ ADC≌ EDB，
∴，
在中，
，
∴
∴，
故答案为；
【初步运用】延长AD到M，使，连接，
∵，
∴，
∵AD是中线，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
【灵活运用】线段之间的等量关系为：．
证明：如图3，延长到点G，使，连结，
∵，
∴，
∵D是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴中，，
∴．