初中数学人教版八年级下册 18.1.1平行四边形的性质 同步测试（含解析）

18.1.1平行四边形的性质
一、单选题
1．如果平行四边形一边长为，那么它的两条对角线的长度可以是（ ）
A．、 B．、 C．、 D．、
2．如图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（ ）

A． B． C． D．
3．在四边形中，，要判定四边形为平行四边形，可添加条件（ ）
A． B．
C．平分 D．
4．在平行四边形ABCD中，尺规作图后留下的痕迹如图所示，若，，则的长为（　　）

A． B． C． D．
5．如图，四边形中，，，E、F是对角线上的两点，如果再添加一个条件，使，则添加的条件不能是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC=8，P为AB边上一动点，以PA、PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为（　　）
A．8 B．4 C． D．
7．已知直角坐标系内有四个点，，，，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的，的值可以是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．如图，是平行四边形ABCD的边上的点，是中点，连接并延长交点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
9．如图，点是平行四边形ABCD边延长线上一点，连接、、，与交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）

A． B． C． D．
10．如图，四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF、CE，若DE=BF，则下列结论：①CF=AE；②OE=OF；③四边形ABCD是平行四边形，其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．在平行四边形中，若一个角为其邻角的2倍，则这个平行四边形中两邻角的度数分别是 ．
12．一个四边形的四条边的长度依次为a，b，c，d，且满足，则这个四边形一定是 ．
13．如图，在平行四边形ABCD中，，，、分别是边、上一点，且，将平行四边形ABCD沿折叠，使点与点重合，则的长为 ．
14．如图，平行四边形，点F是上的一点，连接平分，交于点E，且点E是的中点，连接，已知，则 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点，，，如果以，，，为顶点的四边形为平行四边形，且点在第三象限，那么点的坐标是 ．

16．如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动，如果点同时出发，设运动时间为，当 时，以为顶点的四边形是平行四边形．
17．已知等腰直角，，，，延长交延长线于点G，若，，，则的长为 ．
18．如图所示，直线绕平行四边形顶点转动，分别过点，，作的垂线段，垂足分别为，，．已知，，，则的最大值为 ．
三、解答题
19．如图，在平行四边形ABCD中，分别是边和上的点，连接，且．求证：
（1）；
（2）．（要求在括号内写出每个结论的证明依据，“已知”“已证”可以不写．）
20．在平行四边形中，，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若平分，连接，请直接写出图中的等腰三角形（ ADE除外）．
21．如图，E是平行四边形内一点，，，．
（1）求证：；
（2）求证：是为等腰直角三角形；
（3）判断的数量关系并说明理由．
22．如图，中，是边上任意一点，是中点，过点作交的延长线于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，，求的长．
23．已知，是的中线，过点作．
（1）如图1，交于点，连接．求证：四边形是平行四边形；
（2）是线段上一点（不与点A，重合），交于点，交于点，连接．如图2，四边形是平行四边形吗？请说明理由．
24．（一）知识拓展
如图Ⅰ，，点E，F在上，点M，N在上，则.即同底（或等底）等高（或同高）的三角形的面积相等.
（二）解决问题
数学兴趣小组的同学利用含30°的角的三个全等直角三角板拼了下面的图形（如图Ⅱ）.
已知∠ACB=∠AFE=900 ,∠CAB=∠AEF=∠CDF=300，点F在上
（1）直接写出图中存在旋转关系的一对三角形;
（2）连接，判断四边形的形状，并写出理由;
（3）若点G是边上任意一点，连接，设 CAF的面积为，的面积为，写出与间的数量关系，并证明你的结论.
答案：
一、单选题
1．D
【分析】主要考查了平行四边形的性质，要掌握平行四边形的构造，四边形的两邻边和对角线构成三角形，判断对角线的范围可利用此三角形的三边关系来判断即可．
解：因为平行四边形的对角线互相平分，一边与两条对角线的一半构成三角形，所以根据三角形的三边关系进行判断：
A、根据三角形的三边关系可知：，不能构成三角形；
B、，不能构成三角形；
C、，不能构成三角形；
D、，能构成三角形；
故选：D．
2．D
解：A、在平行四边形ABCD中，
∵
∴，所以A选项的结论正确；
B、在平行四边形ABCD中，所以B选项的结论正确；
C、在平行四边形ABCD中，，所以C选项的结论正确；
D、在平行四边形ABCD中，得不出，所以D选项的结论错误．
故选：D．
3．B
【分析】根据添加的条件和平行四边形的判定方法逐项判断即可解答．
解：如图：A.添加后，四边形一组对边平行，另一组对边相等，不一定是平行四边形，有可能为等腰梯形，因此A选项不合题意；
B.添加后，利用平行线的判定定理可得，四边形是两组对边平行，能判定为平行四边形，因此B选项符合题意；
C.添加平分后，利用角平分线的定义和平行线的性质可推出，四边形一组对边平行，一组邻边相等，不能判定为平行四边形，因此C选项不合题意；
D.添加后，四边形一组对边平行、邻边相等，不可以判定为平行四边形，因此D选项不符合题意．
故选B．

4．C
【分析】由作图痕迹可知平分，平分，结合角平分线和平行线的性质可得，，即可求解．
解：由作图痕迹可知平分，平分，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
，，
，
故选C．
5．A
【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
根据所给条件，结合平行四边形的各种判定方法逐一判断即可．
解：∵四边形是平行四边形，
；
又，
，
，
；
；
∴四边形是平行四边形，故B正确；
∵四边形是平行四边形，
；
又，
，
，
，
；
；
；
∴四边形是平行四边形，故C正确；
∵四边形是平行四边形，
；
又∵，
，
；
；
；
∴四边形是平行四边形，故D正确；
添加后，不能得出，进而得不出四边形平行四边形，
故选：A．
6．D
【分析】由平行四边形的性质可知O是PQ中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作AB的垂线P′O，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ的最小值．
解：设AC、PQ交于点O，如图所示：
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴AO=CO，OP=OQ，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作OP′⊥AB于点P′，
∵∠BAC=45°，
∴△AP′O是等腰直角三角形，
∵AO=AC=×8=4，
∴OP′= AO=2，
∴PQ的最小值=2OP′=4，
故选D．
7．D
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是运用平行四边形对角线互相平分列方程组解决问题．
分别在平面直角坐标系中确定出A、B、O的位置，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可确定C的位置，从而求出m，n的值．
解：根据题意画图如下：
∵，，，，
∴分3种情况：
①以、为对角线，则、的中点重合，
∴，解得，
∴；
②以、为对角线，则、的中点重合，
∴，解得，
∴，
③以、为对角线，则、的中点重合，
∴，解得，
∴，
综上所述，点C的坐标可以为或或，
则符合条件的m，n的值可以是2，2，
故选：D．
8．C
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定和全等三角形的性质与判定，连接，先根据平行四边形的性质得到，，再证明，得到，则可判定四边形为平行四边形，则，再证明四边形为平行四边形，得出，最后阴影部分的面积即可求解，熟练运用平行四边形的性质与判定和全等三角形的性质与判定进行证明与计算是解题的关键．
解：连接，如图，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵是中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，即，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积，
故选：．
9．C
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，理解并掌握平行四边形的判定定理是解题关键．首先根据平行四边形的性质可得，，，，若，由“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”，即可判断选项A；若，易得，即可证明，由“两组对边分别平行的四边形为平行四边形”即可判断选项B；若，证明，由全等三角形的性质可得，由“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”，即可判断选项D；由不能证明四边形为平行四边形，即可判断选项C．
解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
即，
若，则有，
∴四边形为平行四边形，故选项A不符合题意；
∵，
∴，
若，则有，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，故选项B不符合题意；
∵，
∴，
若，则在和中，
，
∴，
∴，
又∵
∴四边形为平行四边形，故选项D不符合题意；
由不能证明四边形为平行四边形，选项C符合题意．
故选：C．
10．D
【分析】根据平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质分别分析得出即可．
解：①正确，∵DE=BF，即DF=BE，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠DFC=∠BEA=90°，
又∵AB=CD，∴Rt△DFC≌Rt△BEA（HL），
∴CF=AE；
②正确，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴CF∥AE，
由①可知，FC=AE，
∴四边形CFAE是平行四边形，∴OE=OF，
③正确，∵Rt△DFC≌Rt△BEA（HL），∴∠CDF=∠ABE，∴CD∥AB，
∵AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形.
综上，故选D.
二、填空题
11．120°和60°
【分析】根据平行四边形的性质可以得到，，，即可得到，再根据，求解即可．
解：如图所示，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：60°，120°，60°，120°．
12．平行四边形
【解析】略
13．
【分析】此题重点考查平行四边形的性质、轴对称的性质、等边三角形的判定与性质等知识，证明是等边三角形是解题的关键．
设点的对应点为点，由平行四边形的性质得，，，则，由折叠得，，，所以，而，则，所以是等边三角形，则，所以，即可推导出，则，于是得到问题的答案．
解：设点的对应点为点，
四边形是平行四边形，，，
，，，，
，
由折叠得，，，
，
∵AE=AB，
，
是等边三角形，
，
∵∠BAF=∠GAE=1200-∠FAE，
，
，
是等边三角形，
，
故答案为：．
14．4
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等进行推算．延长交于点，判定，即可得出，再根据三线合一即可得到即可解答．
解：如图，延长交于点，
∵点是的中点，
∴，
∵平行四边形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴中，，
故答案为：．
15．
【分析】先由，，证明轴，，再由以，，，为顶点的四边形为平行四边形，且点在第三象限，证明，轴，则，于是得到问题的答案．
解：，，
∴轴，，
以，，，为顶点的四边形为平行四边形，且点在第三象限，
，，
∴轴，
，
点的坐标是，
故答案为：．
16．或
【分析】此题考查了平行四边形的判定，一元一次方程的应用，分别从点在的左侧与点在的右侧两种情况去分析，根据当时，以为顶点四边形是平行四边形，得出方程，解方程即可求求解，掌握平行四边形的判定是解题的关键．
解：当点在的左侧时，根据题意得：，，
则，
∵，
∴当时，四边形是平行四边形，
即，
解得；
当点在的右侧时，根据题意得：，，
则，
∵，
∴当时，四边形是平行四边形，
即，
解得；
综上可得，当或时，以为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：或．
17．8
【分析】如图，延长至点M，使，连接并延长交的延长线于点N，连接，利用勾股定理求得，从而可得，根据垂直平分线的性质得，从而可得，再由等腰三角形的性质可得，，从而可得，再根据对顶角相等可得，由平行线的判定可得，从而可证四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，且，再由平行线的性质得，，从而可得，可证是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求解．
解：如图，延长至点M，使，连接并延长交的延长线于点N，连接，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，且，
∴，即，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：8．
18．
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，梯形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，连接，交于点，过点作直线于，在的延长线上截取，连接，，过点作于，先证四边形为直角梯形，再证为梯形的中位线，则，然后证和全等得，进而得，据此可证得四边形为平行四边形，则，，要求的最大值，只需求出的最大值即可，根据“垂线段最短”可知：，故得的最大值为线段的长，最后在中可求出，，，进而得，在中由勾股定理得，据此可得出的最大值，熟练掌握平行四边形的判定和性质，梯形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，理解垂线段最短，灵活运用勾股定理进行计算是解题的关键．
解：连接，交于点，过点作直线于，在的延长线上截取，连接，，过点作于，如图所示：
∵直线，直线，
∴四边形为直角梯形，
∵四边形为平行四边形，
∴点为，的中点，
∵直线，
∴，
∴为梯形的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵直线，
在中，点为斜边的中点，
∴，
∴为等腰三角形，
又∵，
∴，
在△OAT和△RNT中，
，
∴，
，
∴，
即，
∵直线，直线，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
要求的最大值，只需求出的最大值即可，
根据“垂线段最短”可知：，
∴的最大值为线段的长，
∵，，，
在中，，
∴，
由勾股定理得：，
∵，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴的最大值为，
∴的最大值为．
故答案为：．
三、解答题
19．
解：（1）证明：四边形是平行四边形，
，
又．
四边形是平行四边形．
（平行四边形对角相等）．
（2）证明：四边形是平行四边形，
，（平行四边形对边相等），
四边形是平行四边形，
，（平行四边形对边相等），
（等量代换），
在和中，
，
．
20．
解：（1）证明：如图1，
∵四边形是平行四边形，
∴，
又，
∴．
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
在与中，
∴．
（2）解：如图2，
等腰三角形有：
．
理由：由（1）知，，
∴
∴是等腰三角形，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴
∴，
∴是等腰三角形，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴∠AFE=∠ABE，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
21．
解：（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，延长交于F，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：，
理由如下：由（2）可得是等腰直角三角形，
∴，，
由（2）可得，
∴，
∵，
∴．
22．
解：（1）证明：∵//，
∴，，
∵是中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：过点作于点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴．
23．
解：（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵是的中线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：
延长，交于，取中点，连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的中线，点为的中点，
∴为的中位线，
∴，，即
又∵，即，
∴四边形为平行四边形，
∴，则，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
24．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴以C为顶点旋转的度数可得，
∴存在旋转关系的一对三角形为和；
（2）解：四边形的形状是平行四边形，
理由:∵，
∴，
又∵∠CAB=300,∠ACB=900，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形.
（3）解：，
理由：∵，
∴，
∴的面积的面积，
，
，
∴的面积的面积，
∴的面积的面积，
∴