1、认识长方体
一般是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。
相交于同一顶点的3条棱的长度分别叫作长方体的长、宽、高。
2、长方体的特征
（1）面：长方体有6个面，这6个面一般是长方形的，特殊情况有两个相对的面是正方形；相对的面完全相同。
（2）棱：长方体有12条棱，相对的棱长度相等。长方体12条棱可以分成3组，分别有4条长、4条宽、4条高。
（3）顶点：长方体有8个顶点。
长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4
＝长×4＋宽×4＋高×4
长＝棱长总和÷4－宽－高
宽＝棱长总和÷4－长－高
高＝棱长总和÷4－长－宽
1、认识正方体
由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫立方体）。
2、正方体特征：
（1）正方形有6个面，6个面是完全相同的正方形；
（2）正方体有12条棱，它们的长度都相等；
（3）有8个顶点。
长方体和正方体的异同点
立体图形 相同点 不同点
面 棱 项点 面 棱
长方体 6个 12条 8个 6个长方形（或有2个正方形和4个长方形）。 相对的4条棱的长度相等。
正方体 6个完全相同的正方形。 12条棱的长度都相等。
4、长方体和正方体的关系
正方体是长、宽、高都相等的长方体。
正方体的棱长计算
正方体的棱长总和＝棱长×12
正方体的棱长＝棱长总和÷12
1、长方体的展开图
2、正方体展开图：
“1-4-1”型：
有3行，每行分别有1个、4个、1个小正方形，共六种。
“2-3-1”型：
有3行，每行分别有2个、3个、1个小正方形，共三种。
“2-2-2”型：
有3行，每行都有2个小正方形，只有一种。
“3-3”型：
有2行，每行都有3个小正方形，只有一种。
1、长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。
2、长方体的表面积
长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高)×2
用字母表示：S＝（ab＋ah＋bh）×2
正方体的表面积
正方体的表面积＝棱长×棱长×6
用字母表示：S＝6a
1、物体所占空间的大小叫做物体的体积。
2、常用的体积单位有立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）和立方米（m3）。
3、长方体的体积＝长×宽×高
用字母表示：V＝abh
正方体的体积＝棱长×棱长×棱长
用字母表示：V＝a3
1、体积单位间的进率
1立方分米＝1000立方厘米；1立方米＝1000立方分米。
相邻的两个体积单位间的进率是1000。
2、容器所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。
3、计量容积，一般用体积单位。计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写作L或mL。
4、容积单位的换算：1升＝1000毫升；
5、容积单位和体积单位的关系：
1升＝1立方分米；1毫升＝1立方厘米。
1. 长方体的6个面有时不都是长方形。
2. 长方体的长发生变化，这个长方体的左面和右面的大小不变。
3. 在实际生活中，并不是所有的长方体形状的物体都有6个面，如长方体形状的鱼缸、游泳池等只有5个面，长方体形状的烟囱、通风管等只有4个面。
4. 物体的体积与所占空间的大小有关，与物体的形状没有关系。
5.并不是只有棱长是1厘米的正方体的体积才是1立方厘米，一个长、宽、高的积是1立方厘米的长方体，体积也是1立方厘米。
6. 如果一个正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的体积就扩大到原来的n3倍。
7. 体积和表面积不是同类量，二者之间不能比较。
8. 在计算a3时，不要把a3看作3×a，a3应是a×a×a。
9. 只有相邻的两个体积单位间的进率才是1000，判断和互化时首先要看这两个单位是不是相邻的。
10. 用小正方体摆大正方体时，要注意长、宽、高的数量都相同。
11. 物体的容积并不是物体的体积，体积是指物体自身所占空间的大小，容积是指物体所能容纳物体的体积。
12. 计量长方体容器的容积要从里面量长、宽、高，计算的结果比体积小。
13. 用排水法求形状不规则的物体的体积时，将物体放入水中后（物体完全浸没在水中），明确水上升的高度才是解题的关键。
【考点精讲一】（22-23五年级下·河北邢台·期中）如图，有一个长5分米、宽和高都是3分米的长方体硬纸箱，如果用绳子将箱子横着捆两道，竖着捆一道，打结处共用2分米。一共要用绳子多长？
【答案】42分米
【分析】观察可知，横着捆就是2条宽与2条高的和，有两道则乘2，竖着捆就是2条长与2条高的和，最后把横着捆、竖着捆与打结长度加起来即可得解。
【详解】
（分米）
答：一共要用绳子42分米长。
【考点精讲二】（23-24五年级下·广东佛山·期中）小明从一张长15厘米、宽12厘米的长方形纸的四个角分别剪去一个边长是3厘米的小正方形，用留下的部分制作出一个无盖的长方体纸盒。
（1）这个长方体纸盒的长、宽、高分别是（ ）厘米、（ ）厘米、（ ）厘米。
（2）在方格纸上画出这个长方体纸盒的五个面，并标出前、后、左、右、下面。（每个小方格的边长代表1厘米）
【答案】（1）9；6；3
（2）图见详解
【详解】（1）这个长方体纸盒的长是15－3－3＝9（厘米），宽是12－3－3＝6（厘米），高是3厘米。
（2）作图如下：
【考点精讲三】（23-24五年级下·内蒙古通辽·期中）小红为妈妈准备了一件生日礼物，下图是这件礼物的包装盒，它的长、宽、高分别是25厘米、15厘米、6厘米。现在用彩带把这个包装盒捆上，接头处长18厘米，一共需要多少厘米的彩带？
【答案】122厘米
【分析】观察图形可知，捆扎这个包装盒至少需要彩带的长度＝2条长＋2条宽＋4条高＋接头处的长度，据此解答。
【详解】25×2＋15×2＋6×4＋18
＝50＋30＋24＋18
＝122（厘米）
答：一共需要122厘米的彩带。
【考点精讲四】（23-24五年级下·山东济南·期中）一根铁丝正好可以围成一个长6厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体框架。如果用这根铁丝也正好能围一个正方体框架，正方体的棱长是多少厘米？
【答案】5厘米
【分析】根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，求出长方体框架的棱长总和；正方体框架的棱长总和等于长方体框架的棱长总和，根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，棱长＝棱长总和÷12，代入数据，即可解答。
【详解】（6＋5＋4）×4÷12
＝（11＋4）×4÷12
＝15×4÷12
＝60÷12
＝5（厘米）
答：正方体的棱长是5厘米。
【考点精讲五】（22-23五年级下·福建漳州·期中）一根铁丝可以扎成一个长6分米，宽3分米，高3分米的长方体，如果用这根铁丝刚好扎成一个正方体，这个正方体的棱长是多少？ （接头处忽略不计）
【答案】4分米
【分析】长方体棱长总和就是铁丝的长度，用（长＋宽＋高）×4计算出铁丝长度，再根据正方体的棱长＝铁丝的长度÷12，作答即可。
【详解】（6＋3＋3）×4
＝12×4
＝48（分米）
48÷12＝4（分米）
答：这个正方体的棱长是4分米。
【考点精讲六】（23-24五年级下·湖北黄冈·期中）把一个正方体的6个面都涂上红色，然后把它锯两次，锯成4个同样的小长方体，如果没有涂色的面积和是60平方厘米，涂色的面积和是多少平方厘米？
【答案】90平方厘米
【分析】据观察分析可知，锯一次会多出2个正方形，锯两次就会多出4个正方形，多出的正方形的面积就是没有色的面积，可用没有涂色的面积除以4，得到每个正方形的面积，再乘6，即可得解。
【详解】
（平方厘米）
答：涂色的面积和是90平方厘米。
【考点精讲七】（22-23五年级下·湖南湘西·期中）个长方体形状的游泳池，长40米，宽20米，深3米。要给游泳池的底面和四壁抹一层水泥，如果每平方米用水泥15千克，20吨水泥够不够用？
【答案】够用
【分析】因为游泳池无盖，在游泳池四周和底面抹一层水泥，用长方体表面积公式：S＝2ab＋2ah＋2bh减去一个上底面积，代入数据求出该游泳池需要抹水泥的面积即可；
再用求出的需要抹水泥的面积乘每平方米的水泥用量15千克，求出总共需要的水泥千克数；
最后，由高级单位吨转换成低级单位千克，乘进率1000，将20吨水泥转换成以千克为单位，和需要的水泥千克数进行比较即可求出水泥够用不够用。
【详解】由分析可得：
2×40×20＋2×40×3＋2×20×3－40×20
＝80×20＋80×3＋40×3－800
＝1600＋240＋120－800
＝1840＋120－800
＝1960－800
＝1160（平方米）
1160×15＝17400（千克）
20吨＝20×1000＝20000（千克）
20000＞17400，所以20吨水泥够用。
答：20吨水泥够够用。
【考点精讲八】（23-24五年级下·吉林四平·期中）做一个正方体玻璃水槽（无盖），棱长0.5米。制作这个水槽至少需要玻璃多少平方米？
【答案】1.25平方米
【分析】无盖正方体玻璃水槽只有5个面，用棱长×棱长×5计算玻璃面积即可。
【详解】0.5×0.5×5
＝0.25×5
＝1.25（平方米）
答：制作这个水槽至少需要玻璃1.25平方米。
【考点精讲九】（22-23五年级下·河北张家口·期中）一个长方形蓄水池，长10米，宽8米，深4米，蓄水池的底面和四壁需要铺瓷砖，如果用面积是4平方分米的瓷砖，至少需要多少块这样的瓷砖？
【答案】5600块
【分析】由题意可知，蓄水池的底面和四壁的面积＝（长×高＋宽×高）×2＋长×宽，据此求出需要贴瓷砖的面积，根据正方形的面积公式：S＝a2，求出一块瓷砖的面积，再用蓄水池的底面和四壁的面积除以一块瓷砖的面积即可求出共需要多少块瓷砖。注意单位的换算和统一。
【详解】（10×4＋8×4）×2＋10×8
＝（40＋32）×2＋10×8
＝72×2＋10×8
＝144＋80
＝224（平方米）
224平方米＝22400平方分米
22400÷4＝5600（块）
答：至少需要5600块这样的瓷砖。
【考点精讲十】（22-23五年级下·陕西安康·期中）把一块正方体木块锯成三个完全一样的长方体，表面积比原来增加了64平方分米。原正方体的表面积是多少平方分米？
【答案】96平方分米
【分析】根据题意，把一块正方体木块锯成三个完全一样的长方体，表面积比原来增加4个截面的面积；先用增加的表面积除以4，求出一个截面的面积，再根据正方体的表面积公式S＝6a2，用一个截面的面积乘6，即是原正方体的表面积。
【详解】64÷4＝16（平方分米）
16×6＝96（平方分米）
答：原正方体的表面积是96平方分米。
【考点精讲十一】（22-23五年级下·山东济宁·期中）把一个长8厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体，切成两个大小相等的长方体。表面积最多增加多少平方厘米？最少增加多少平方厘米？
【答案】96平方厘米；48平方厘米
【分析】长方体切成两个大小相等的长方体，表面积增加了2个长方形的面。平行于最大的两个面去切，增加的表面积最多，平行于最小的两个面去切，增加的表面积最少，据此分析。
【详解】8×6×2＝96（平方厘米）
6×4×2＝48（平方厘米）
答：表面积最多增加96平方厘米，最少增加48平方厘米。
【考点精讲十二】（23-24五年级下·河南南阳·期中）如图所示，将一个长10厘米，宽4厘米，高8厘米的一个长方体木块，从中间挖去一个棱长4厘米的小正方体后放在桌面上，求它的表面积。（长方体与桌面的接触面不算）
【答案】296平方厘米
【分析】根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，先求出完整的长方体表面积，中间挖去一个正方体，表面积减少了2个正方形的面，又多出4个正方形的面，这个立体图形的表面积＝长方体表面积－底面积－正方体棱长×棱长×2＋正方体棱长×棱长×4，据此列式解答。
【详解】（10×4＋10×8＋4×8）×2－10×4－4×4×2＋4×4×4
＝（40＋80＋32）×2－40－32＋64
＝152×2－40－32＋64
＝304－40－32＋64
＝296（平方厘米）
答：它的表面积是296平方厘米。
【考点精讲十三】（22-23五年级下·湖南湘西·期中）一个长方体玻璃缸，底面是边长为3分米的正方形，放入一块石头后水面升高了4分米（石头完全浸入水中，水没有溢出），这块石头的体积是多少？（玻璃缸的厚度忽略不计）
【答案】36立方分米
【分析】根据题意可知，上升的水的体积即为石头的体积，结合长方体的体积公式：长×宽×高，代入数据，计算即可。
【详解】3×3×4
＝9×4
＝36（立方分米）
答：这块石头的体积是36立方分米。
【考点精讲十四】（23-24五年级下·河南南阳·期中）如图，在一个棱长是3分米的正方体上，挖去一个棱长是1分米的小正方体。剩下部分的表面积是多少？剩下部分的体积是多少？
【答案】54平方分米；26立方分米
【分析】（1）在正方体的右上角挖去一个小正方体，在没挖之前，此处外露3个面；挖掉一个小正方体后，此处也外露3个面，所以表面积不变。
根据正方体的表面积公式S＝6a2，代入数据计算求出剩下部分的表面积。
（2）剩下部分的体积＝大正方体的体积－小正方体的体积，根据正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算求出剩下部分的体积。
【详解】（1）3×3×6
＝9×6
＝54（平方分米）
（2）3×3×3－1×1×1
＝27－1
＝26（立方分米）
答：剩下部分的表面积是54平方分米，剩下部分的体积是26立方分米。
【考点精讲十五】（23-24五年级下·湖北十堰·期中）一个长50厘米、宽30厘米、高40厘米的鱼缸中盛有37.5升水，放入几条金鱼后，水面上升了1厘米。这几条金鱼的体积是多少立方分米？
【答案】1.5立方分米
【分析】根据题意，装有水的鱼缸中放入几条金鱼后水面上升了1厘米，那么这几条金鱼的体积等于水上升部分的体积；水上升部分是一个长50厘米、宽30厘米、高1厘米的长方体，根据“长方体的体积＝长×宽×高”，以及进率“1立方分米＝1000立方厘米”，即可求出这几条金鱼的体积。
【详解】50×30×1＝1500（立方厘米）
1500立方厘米＝1.5立方分米
答：这几条金鱼的体积是1.5立方分米。
【考点精讲十六】（23-24五年级下·浙江杭州·期中）一个长方体，若长增加4分米，宽和高都不变，则体积增加60立方分米；若宽减少3分米，长和高都不变，则体积减少72立方分米；若高增加2分米，长和宽都不变，则体积增加80立方分米。原来长方体的表面积是多少平方分米？
【答案】158平方分米
【分析】首先根据题意可知，如果长增加4分米，宽和高都不变，它的体积增加60立方分米，根据长方体的体积公式：长×宽×高，用原来的宽乘原来的高再乘增加部分的长就是增加部分的体积，可以求出：宽×高＝60÷4＝15（平方分米）
如果宽减小3分米，长和高都不变，它的体积减少72立方分米，可以求出：长×高＝72÷3＝24（平方分米）﹔
如果高增加2分米，长和宽都不变，它的体积增加80立方分米，可以求出长×宽＝80÷2＝40（平方分米）；
然后根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据进行计算即可解决问题。
【详解】由分析可知：
宽×高：60÷4＝15（平方分米）
长×高：72÷3＝24（平方分米）
长×宽：80÷2＝40（平方分米）
（15＋24＋40）×2
＝（39＋40）×2
＝79×2
＝158（平方分米）
答：原来长方体的表面积是158平方分米。
【考点精讲十七】（23-24五年级下·广东潮州·期中）如图是棱长2厘米的小正方体堆放在墙角处，露在外面的面积是多少平方厘米？
【答案】52平方厘米
【分析】从上面看，有7个面露在外面，从前面看，有4个面露在外面；从右边看，有2个面露在外面；一共有（7＋4＋2）个面露在外面，根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据，求出正方体的一个面的面积，再乘露在外面面的个数，即可解答。
【详解】7＋4＋2
＝11＋2
＝13（个）
2×2×13
＝4×13
＝52（平方厘米）
答：露在外面的面积是52平方厘米。
【考点精讲十八】（22-23五年级下·福建南平·期中）一个饮料生产商生产一种饮料，采用长方体纸盒包装。从纸盒的外面量长10厘米，宽4厘米，高15厘米，纸盒侧面有“净含量600毫升”的字样。请问这家生产商是否欺瞒了消费者？（列式计算并根据计算结果进行说明）
【答案】是；见详解
【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，求得纸盒的体积，换算单位后，再与600毫升作比较即可。
【详解】10×4×15＝600（立方厘米）
600立方厘米＝600毫升
但这个纸盒的数据是从外面测量所得，体积正好是600立方厘米，实际容积会小于600毫升的。
答：这家生产商是欺瞒了消费者，这种长方体饮料包装是从纸盒的外面量长、宽、高的数据，体积正好是600立方厘米，它的容积会小于600毫升。
【点睛】此题主要考查长方体的体积的计算方法，解答时要注意单位的换算。
【考点精讲十九】（22-23五年级下·吉林四平·期中）一个长方体玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米。如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？
【答案】6.4升
【分析】观察发现，玻璃缸溢出水的体积＝正方体铁块的体积－玻璃缸还能装水的体积。玻璃缸的高是4分米，水深2.8分米，说明还可以装4－2.8＝1.2（分米）高的水。分别计算出还能装水的体积及正方体铁块的体积，就可以算出溢出水的体积。据此解答即可。
【详解】4×4×4－8×6×（4－2.8）
＝64－48×1.2
＝64－57.6
＝6.4（立方分米）
6.4立方分米＝6.4升
答：缸里的水溢出6.4升。
【考点精讲二十】（22-23五年级下·河北邢台·期中）下图是一个长方体形状的玻璃鱼缸，长、宽、高分别是12分米、8分米、10分米，请你回答下面的问题。
（1）这个玻璃鱼缸占地面积是多少平方分米？
（2）做这个玻璃鱼缸需要多少平方分米的玻璃？（无盖）
（3）石块沉入前玻璃鱼缸中水的高度是5分米，石块完全沉入水中，水面升高2分米，请你计算这个石块的体积？
【答案】（1）96平方分米
（2）496平方分米
（3）192立方分米
【分析】（1）玻璃钢的占地面积就是玻璃钢与地面的接触面积，玻璃钢与地面的接触面积是长为12分米、宽为8分米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽解答。
（2）无盖的玻璃鱼缸的表面积是一个下面的面积、两个前面的面积、两个右面的面积，这个玻璃鱼缸的表面积＝长×宽＋（宽×高＋长×高）×2，据此代入数据解答。
（3）升高的水的体积就是这个石块的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据列式为：12×8×2。
【详解】（1）12×8＝96（平方分米）
答：这个玻璃鱼缸占地面积是96平方分米。
（2）12×8＋（8×10＋12×10）×2
＝96＋（80＋120）×2
＝96＋200×2
＝96＋400
＝496（平方分米）
答：做这个玻璃鱼缸需要496平方分米的玻璃。
（3）12×8×2
＝96×2
＝192（立方分米）
答：这个石块的体积是192立方分米。
一、解答题
1．（23-24五年级下·湖南湘西·期中）一个水箱，从里面量长20厘米，宽15厘米，水深8厘米。放进一条鱼后，水深8.5厘米，这条鱼的体积是多少？
【答案】150立方厘米
【分析】根据不规则物体的体积＝容器的底面积×水面上升的高度，据此计算即可。
【详解】20×15×（8.5－8）
＝300×0.5
＝150（立方厘米）
答：这条鱼的体积是150立方厘米。
2．（22-23五年级下·湖北荆州·期末）一个无盖的长方体鱼缸，长50厘米，宽10厘米，高30厘米。
（1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方厘米？
（2）在鱼缸里注入8升水，水深大约多少厘米？（玻璃厚度忽略不计）
【答案】（1）4100平方厘米
（2）16厘米
【分析】（1）求需要的玻璃面积相当于求长方体表面积，无盖的长方体鱼缸没有上面，需要的玻璃面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2；
（2）根据1升＝1000立方厘米，统一单位，水深相当于长方体的高，水深＝水的体积÷鱼缸底面积。
【详解】（1）50×10＋50×30×2＋10×30×2
＝500＋3000＋600
＝4100（平方厘米）
答：做这个鱼缸至少需要玻璃4100平方厘米。
（2）8升＝8000立方厘米
8000÷（50×10）
＝8000÷500
＝16（厘米）
答：水深大约16厘米。
3．（23-24五年级下·江西九江·期末）小军的爸爸买了一个珊瑚，他把珊瑚放进鱼缸后，鱼缸内的水上升了10厘米，珊瑚的体积是多少立方厘米？
【答案】15000立方厘米
【分析】根据题意可知，水面上升的部分的体积就是珊瑚的体积，根据长方体的体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。
【详解】50×30×10
＝1500×10
＝15000（立方厘米）
答：珊瑚的体积是15000立方厘米。
4．（23-24五年级下·江西吉安·期末）下面是贝贝比较土豆和红薯的体积时做的实验。（单位：厘米）
分别计算土豆和红薯的体积。
【答案】土豆的体积是144立方厘米，红薯的体积是240立方厘米。
【分析】放入物体后，上升的水的体积就是物体的体积，根据，放入土豆后，水面上升了厘米，上升的水的体积就是土豆的体积；放入红薯水面上升了厘米，上升的水的体积就是红薯的体积。代入数据计算即可得解。
【详解】土豆的体积：
（立方厘米）
红薯的体积：
（立方厘米）
答：土豆的体积是144立方厘米，红薯的体积是240立方厘米。
5．（23-24五年级下·河北唐山·期末）如图，花花用一张长30厘米、宽24厘米的长方形纸板，从四角各切掉一个边长6厘米的正方形，然后做成无盖盒子。
（1）如果在盒子外面贴上彩纸，贴彩纸的面积是多少平方厘米？
（2）这个盒子的容积是多少立方厘米？
【答案】（1）576平方厘米
（2）1296立方厘米
【分析】（1）贴彩纸的面积＝长方形纸板的面积－4个正方形的面积，长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，据此列式解答；
（2）长方体的长＝长方形的长－正方形边长×2，长方体的宽＝长方形的宽－正方形边长×2，长方体的高＝正方形的边长，根据长方体容积＝长×宽×高，列式解答即可。
【详解】（1）30×24－6×6×4
＝720－144
＝576（平方厘米）
答：贴彩纸的面积是576平方厘米。
（2）30－6×2
＝30－12
＝18（厘米）
24－6×2
＝24－12
＝12（厘米）
18×12×6＝1296（立方厘米）
答：这个盒子的容积是1296立方厘米。
6．（23-24五年级下·河南安阳·期末）殷墟博物馆新馆主体南侧有两个长90米、宽24米，深20厘米的水池。要往这两个水池中注满水，需要注入多少立方米的水？
【答案】864立方米
【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，求出一个水池的容积，再乘2即可，注意统一单位。
【详解】20厘米＝0.2米
90×24×0.2×2
＝432×2
＝864（立方米）
答：需要注入864立方米的水。
7．（23-24五年级下·河南安阳·期末）博物馆里有许多保护文物的透明展示罩（无底），下图所示：这是其中一个，长是2米，宽0.6米，高0.8米，制作一个这样透明展示罩需要多少平方米的材料？
【答案】5.36平方米
【分析】求展示罩的面积相当于求长方体表面积，因为无底，展示罩的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，据此列式解答。
【详解】
（平方米）
答：制作一个这样透明展示罩需要5.36平方米的材料。
8．（23-24五年级下·四川绵阳·期末）用一根铁丝刚好焊成一个棱长10厘米的正方体框架，如果把它改成一个长14厘米，宽8厘米的长方体框架。长方体框架的高是多少厘米？
【答案】8厘米
【分析】根据正方体棱长总和＝棱长×12，求出铁丝长度，再根据长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽，列式解答即可。
【详解】10×12÷4－14－8
＝120÷4－14－8
＝30－14－8
＝16－8
＝8（厘米）
答：长方体框架的高是8厘米。
9．（23-24五年级下·四川凉山·期末）凉山州位于四川省西南部，每年一月至五月天气干燥雨水少，属于护林防火期，在护林防火区域会准备储存水用的水箱，水箱是一个铁皮做成的无盖正方体，棱长25分米（铁皮厚度忽略）。如果每立方米水重1吨，这个水箱能装水多少吨？
【答案】15.625吨
【分析】根据题意，水箱是一个铁皮做成的棱长25分米的无盖正方体，根据正方体的体积（容积）公式V＝a3，求出水箱的容积，再根据进率“1立方米＝1000立方分米”换算单位；然后用每立方米水的重量乘水箱的容积，即可求出这个水箱能装水的总重量。
【详解】25×25×25
＝625×25
＝15625（立方分米）
15625立方分米＝15.625立方米
1×15.625＝15.625（吨）
答：这个水箱能装水15.625吨。
10．（23-24五年级下·湖南长沙·期末）如图，一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长50厘米、宽30厘米、高25厘米。
现将一块高14厘米，体积为1000立方厘米的假石山放入缸内。如果水龙头以每分5000毫升的流量向鱼缸内注水，那么至少需要多少分钟才能将假石山完全淹没？
【答案】4分钟
【分析】根据题意，要将一块高14厘米，体积为1000立方厘米的假石山完全淹没，那么要向长方体鱼缸内注入14厘米高的水；根据长方体的体积＝长×宽×高，求出将假石山完全浸没水和假山石的体积之和，再减去假山石的体积，即是需注入水的体积；然后根据进率“1立方厘米＝1毫升”换算单位；
已知水龙头以每分5000毫升的流量向鱼缸内注水，用注入水的体积除以水的流速，即可求出时间。
【详解】50×30×14
＝1500×14
＝21000（立方厘米）
21000－1000＝20000（立方厘米）
20000立方厘米＝20000毫升
20000÷5000＝4（分钟）
答：至少需要4分钟才能将假石山完全淹没。
11．（23-24五年级下·四川广元·期末）一个长方体玻璃鱼缸（无盖），量得它的长是8分米，宽是5分米，高是6分米，水深5.4分米。（玻璃厚度忽略不计）
（1）做这个长方体玻璃鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？
（2）如果在这个鱼缸里投入一个棱长是3分米的正方体铁块，鱼缸里的水会不会溢出？请你通过计算说明。
（3）如果会溢出，鱼缸里会溢出多少升水？如果不会溢出，现在水深是多少分米？
【答案】（1）196平方分米
（2）会溢出；见详解
（3）3升
【分析】（1）从图中可知：这个长方体的长是8分米，宽是5分米，高是6分米。这个无盖的长方体有下面和前后左右面共5个面，因此需要玻璃的面积＝ 长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据计算即可。
（2）此时水深5.4分米，还剩下空间的高度6－5.4＝0.6分米，根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算，分别求出剩下空间的容积、正方体的体积，再比较即可。
（3）若溢出，用正方体的体积减去剩下空间的容积，即可求出溢出的水量（换算成以升为单位）；若不会溢出，用正方体的体积÷长方体的底面积，求出正方体放入水中后，水面升高的高度，再加上原来的水面高度，即可求出现在的水面高度。
【详解】（1）8×5＋8×6×2＋5×6×2
＝40＋96＋60
＝196（平方分米）
答：做这个长方体玻璃鱼缸至少需要玻璃196平方分米。
（2）3×3×3＝27（立方分米）
8×5×（6－5.4）
＝8×5×0.6
＝24（立方分米）
27＞24
答：鱼缸里的水会溢出。
（3）27－24＝3（立方分米）
3立方分米＝3升
答：鱼缸里会溢出3升水。
12．（23-24五年级下·四川绵阳·期末）在下图的玻璃鱼缸中放入一块高1.5分米、体积为6立方分米的假山石。如果水管以每分钟10立方分米的流量向鱼缸内注水，至少需要多长时间才能把假山石刚好淹没？
【答案】3分钟
【分析】先确定把假山完全淹没需要的水的体积，即为长、宽、高分别为6分米、4分米、1.5分米的水的体积再减去假山的体积，求出需要注水的体积，又知道每分钟注水量，再根据：时间＝总量÷速度，用需要注水的体积除以10立方分米即可解答。
【详解】（6×4×1.5－6）÷10
＝（24×1.5－6）÷10
＝（36－6）÷10
＝30÷10
＝3（分钟）
答：至少需要3分钟才能把假山石刚好淹没。
13．（23-24五年级下·四川南充·期末）一个长方体玻璃水缸，长8分米，宽5分米，高5分米，水深4分米。如果竖直放入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水会溢出多少升？
【答案】24升
【分析】求缸里的水会溢出多少，就是求正方体铁块的体积比长方体玻璃水缸还能容纳物体的体积多多少，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的体积＝长×宽×高，分别求出正方体铁块的体积和长方体玻璃水缸还能容纳物体的体积，再用正方体铁块的体积减去长方体玻璃水缸还能容纳物体的体积，求出缸里的水溢出多少立方分米，再根据1立方分米＝1升，把立方分米化为升即可解答。
【详解】4×4×4－8×5×（5－4）
＝16×4－40×1
＝64－40
＝24（立方分米）
24立方分米＝24升
答：缸里的水会溢出24升。
14．（24-25五年级下·海南海口·期末）家具厂订购180根方木，每根方木横截面的面积是3.2平方分米，长是3米。这些木料一共是多少立方米？
【答案】17.28立方米
【分析】1平方米＝100平方分米，由此将3.2平方分米单位换算为平方米。长方体体积＝底面积×高，将每根方木的横截面面积乘长，求出每根方木的体积，再乘180根，求出这些木料一共是多少立方米。
【详解】3.2平方分米＝0.032平方米
0.032×3×180
＝0.096×180
＝17.28（立方米）
答：这些木料一共是17.28立方米。
15．（24-25五年级下·海南海口·期末）一个高为4.5分米的长方体容器，水深3分米时装了27升水，如果把它装满，能装多少升水？
【答案】45升
【分析】根据1升＝1立方分米，所以27升等于27立方分米，又知当水深3分米时，容器装了27升水，根据长方体的体积V＝Sh，所以S＝V÷h，再用长方体容器的底面积乘长方体容器的高，即可求出长方体容器能装满多少升的水。
【详解】27升＝27立方分米
27÷3＝9（平方分米）
9×5＝45（立方分米）
45立方分米＝45升
答：能装45升水。
16．（24-25五年级下·海南海口·期末）一个长方体包装盒，长3分米，宽2分米，高1.5分米。分别在它的侧面和上面贴商标纸（下底不贴）。贴商标纸的面积有多大？
【答案】21平方分米
【分析】求贴商标纸的面积，就是求这个长方体5个面的面积和，根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。
【详解】3×2＋（3×1.5＋2×1.5）×2
＝3×2＋（4.5＋3）×2
＝3×2＋7.5×2
＝6＋15
＝21（平方分米）
答：贴商标纸的面积有21平方分米。
17．（24-25五年级下·海南海口·期末）在一个封闭的水箱内装入水，从里面量，水箱的长、宽、高如下左图所示。水深24厘米，如果把这个水箱立起来放（如下右图），这时水深有多少厘米？
【答案】72厘米
【分析】根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出左图形里水深24厘米的水的体积，由于体积不变，再用水的体积÷（右图的长×宽），即可求出这时水深，据此解答。
【详解】90×60×24÷（60×30）
＝90×60×24÷1800
＝5400×24÷1800
＝129600÷1800
＝72（厘米）
答：这时水深72厘米。
18．（23-24五年级下·浙江宁波·期中）某体育馆计划建一个长10米、宽6米、高25分米的长方体游泳池，请你帮助设计。
（1）把它的四周和底面铺上方砖，铺方砖的面积是多少平方米？
（2）若每立方米水重1吨，最多能盛水多少吨？
【答案】（1）140平方米
（2）150吨
【分析】（1）根据题意可知，铺方砖的面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2；
（2）根据题意可知，最多能盛水的质量＝长方体游泳池的长×宽×高×平均每立方米水的质量。
【详解】（1）25分米＝2.5米
10×6＋（10×2.5＋6×2.5）×2
＝60＋（25＋15）×2
＝60＋40×2
＝60＋80
＝140（平方米）
答：铺方砖的面积是140平方米。
（2）10×6×2.5×1
＝60×2.5×1
＝150×1
＝150（吨）
答：最多能盛150吨水。
19．（23-24五年级下·河北邢台·期中）一个无盖的长方体收纳箱，长是50厘米，宽是15厘米，高是30厘米。制作这样的一个收纳箱至少需要多少平方厘米的材料？
【答案】4650平方厘米
【分析】求所需多少材料，实际是求长方体五个面的面积，根据无盖长方体的表面积公式：长方体表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，把数据代入公式解答。
【详解】50×15＋50×30×2＋30×15×2
＝750＋3000＋900
＝3750＋900
＝4650（平方厘米）
答：制作这样的一个收纳箱至少需要4650平方厘米的材料。
20．（22-23五年级下·河北张家口·期中）王叔叔要将2盒相同的物品包成一包（重叠处忽略不计），最节省包装纸的包装方法需要多大面积的包装纸？（单位：厘米）
【答案】280平方厘米
【分析】要想包装最节省包装纸，组合后的长方体的表面积最小，即把两个小长方体的最大的面重合在一起，组合后的长方体的长是10厘米，宽是5厘米，高是（3＋3）厘米；再根据长方体的表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。
【详解】由分析可得：组合后的长方体的长是10厘米，宽是5厘米，高是（3＋3）厘米；
3＋3＝6（厘米）
（10×5＋10×6＋5×6）×2
＝（50＋60＋30）×2
＝140×2
＝280（平方厘米）
答：最节省包装纸的包装方法需要280平方厘米的包装纸。
21．（22-23五年级下·甘肃庆阳·期中）一个长方体玻璃盒，长10厘米，宽9厘米，水深11厘米，放入两个梨，这时水面上升26厘米，平均每个梨的体积是多少？
【答案】1170立方厘米
【分析】水面上升部分水的体积，是放入的两个梨的体积。用玻璃盒底面积×水面上升的26厘米，即可求出两个梨的体积一共是多少立方厘米，再除以2得出平均每个梨的体积。
【详解】10×9×26÷2
＝90×26÷2
＝2340÷2
＝1170（立方厘米）
答：平均每个梨的体积是1170立方厘米。
22．（22-23五年级下·甘肃庆阳·期中）一支修路队用90立方米的小石子铺一段路，路宽为10米，铺了3厘米厚，可铺多长？
【答案】300米
【分析】工程队用小石子铺成的路是长方体，宽为10米，厚3厘米＝0.03米，长方体体积＝长×宽×高，计算可得出铺的长度。据此解答即可。
【详解】路的宽度为10米，厚3厘米＝0.03米，
则可铺路长度为：
90÷（10×0.03）
＝90÷0.3
＝300（米）
答：小石子可以铺300米。
23．（22-23五年级下·山东济南·期中）晓玉将石块放入盛有水的长方体容器中，利用排水法求石块的体积。已知长方体容器长2分米，宽1.5分米，水深1分米。石块完全浸入水中，水深变为1.4分米，求石块体积。
【答案】1.2立方分米
【分析】升高的那部分水的体积就等于石块的体积，升高的那部分水的体积＝长为长方体容器的长、宽为长方体容器的宽、高为水面升高的高度，因此需要先求出升高的高度，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据解答即可。
【详解】2×1.5×（1.4－1）
＝3×0.4
＝1.2（立方分米）
答：石块的体积是1.2立方分米。
24．（22-23五年级下·广东梅州·期中）学校用3.2立方米的沙子将新挖的长4米、宽2米的长方体沙坑填满。这个沙坑有多深？这个沙坑的占地面积是多少？
【答案】0.4米；8平方米
【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，即h＝V÷a÷b，据此即可求出这个沙坑的深度；再根据长方形的面积公式：S＝ab，据此可求出这个沙坑的占地面积。
【详解】3.2÷4÷2
＝0.8÷2
＝0.4（米）
4×2＝8（平方米）
答：这个沙坑有0.4米深，这个沙坑的占地面积是8平方米。
25．（22-23五年级下·广东梅州·期中）一块长方体石材长6分米，宽5分米，高4分米，如果每立方分米石材重2.7千克，这块石材重多少千克？
【答案】324千克
【分析】先根据长方体的体积＝长×宽×高，求出这块石材的体积；因为每立方分米石材重2.7千克，用这块石材的体积乘2.7，即可求出这块石材重多少千克。
【详解】6×5×4＝120（立方分米）
120×2.7＝324（千克）
答：这块石材重324千克。
26．（22-23五年级下·广东梅州·期中）一个通风管的横截面为正方形，边长为4分米，通风管长3米，做4节这样的通风管需要多少铁皮？
【答案】1920平方分米
【分析】根据题意，一节通风管需要的铁皮是通风管的侧面积，先计算出通风管的侧面积，而侧面积正好等于长方体的四个面的面积和，底面为正方形的长方体，侧面四个面的形状大小完全一样，据此求出一节通风管的铁皮面积，然后再乘4即可。
【详解】3米＝30分米
一节铁皮面积：
（平方分米）
4节通风管铁皮面积：（平方分米）
答：做4节这样的通风管需要1920平方分米铁皮。
27．（22-23五年级下·山东济南·期中）用铁丝制作一个长2.5分米，宽1.5分米，高1分米的长方体框架，至少需要多长的铁丝？
【答案】20分米
【分析】由题意可知，求至少需要的铁丝长度就是求长方体的棱长之和，代入公式“长方体的棱长之和＝（长＋宽＋高）×4”计算即可。
【详解】（2.5＋1.5＋1）×4
＝5×4
＝20（分米）
答：至少需要20分米长的铁丝。
28．（22-23五年级下·山东济南·期中）一个长方体油桶，底面积是24平方分米，深是5分米，这个油桶能装多少升汽油？
【答案】120升
【分析】根据题意，结合长方体的体积公式：底面积×高，代入数据计算，最后把体积单位换成容积单位即可。
【详解】24×5＝120（平方分米）
120平方分米＝120升
答：这个油桶能装120升汽油。
29．（22-23五年级下·山东济南·期中）2022年北京冬奥会冰壶赛场通常每条赛道长约46米，宽5米，铺设约4.5厘米厚度的冰面。冰面体积是多少立方米？
【答案】10.35立方米
【分析】由题意知，冰面可看作一个长方体，长、宽、高分别为46米、5米、4.5厘米。将单位统一成“米”之后，代入公式“长方体体积＝长×宽×高”计算即可。
【详解】4.5厘米＝0.045米
46×5×0.045
＝230×0.045
＝10.35（立方米）
答：冰面体积是10.35立方米。
30．（22-23五年级下·湖南湘西·期中）一个正方体礼品盒的棱长为1.5分米。如果包装这个礼品盒的用纸是其表面积的1.2倍，至少要用多少平方分米的包装纸？
【答案】16.2平方分米
【分析】根据正方体表面积公式：正方体表面积＝6×棱长×棱长，将数据代入求出该正方体礼品盒的表面积，包装这个礼品盒的用纸是其表面积的1.2倍，根据倍数的意义，是一个数的几倍用乘法，用求出的正方体礼品盒的表面积×1.2即可。
【详解】由分析可得：
6×1.5×1.5×1.2
＝9×1.5×1.2
＝13.5×1.2
＝16.2（平方分米）
答：至少要用16.2平方分米的包装纸。
31．（22-23五年级下·湖南湘西·期中）一块底面是正方形的长方体方钢，长2米，把它截成3段，表面积增加了60平方厘米，这块方钢的体积是多少？
【答案】3000立方厘米
【分析】1米＝100厘米，依此先将2米化成厘米；根据题意，截成3段要切（3－1）次，增加了（2×2）个正方形面积，用60除以4，求出一个正方形的面积，即为长方体的底面积，再根据长方体的体积公式：底面积×高，题目中的长即为高，代入数据，计算即可。
【详解】2米＝200厘米
（3－1）×2
＝2×2
＝4（个）
60÷4＝15（平方厘米）
15×200＝3000（立方厘米）
答：这块钢的体积是3000立方厘米。
32．（22-23五年级下·广东梅州·期中）一个正方体容器，从里面量棱长4分米，里面注有水，水深3分米。如果把一块棱长2分米的正方体铁块放入水中，水面会上升多少分米？
【答案】0.5分米
【分析】水面上升部分的体积等于正方体铁块的体积，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出水面上升部分的体积，再除以容器底面积，求出水面上升高度即可。
【详解】高度：
（分米）
答：水面会上升0.5分米。
33．（23-24五年级下·湖北黄冈·期中）用160厘米长的铁丝焊接成一个长20厘米，宽15厘米的长方体教具，这个长方体教具的高是多少厘米？体积是多少立方厘米？
【答案】高5厘米；体积1500立方厘米
【分析】已知用一根铁丝焊接成一个长方体教具，那么这根据铁丝的长度等于长方体教具的棱长总和；
根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4可知，长方体的长、宽、高之和＝棱长总和÷4；再减去已知的长、宽，即是长方体的高。
根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，即可求出它的体积。
【详解】160÷4－20－15
＝40－20－15
＝5（厘米）
20×15×5＝1500（立方厘米）
答：这个长方体教具的高是5厘米，体积是1500立方厘米。
34．（23-24五年级下·湖北黄冈·期中）一个长方体玻璃缸，底面是正方形且边长为3分米，里面装了半缸水，水里浸没着一个小铁球，取出小铁球，水面下降了15厘米。这个铁球的体积是多少？
【答案】13.5立方分米
【分析】已知长方体玻璃缸的底面是正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出长方体的底面积；
长方体玻璃缸的水里浸没着一个小铁球，取出小铁球，水面下降了15厘米，那么水面下降部分的体积等于小铁球的体积，根据长方体的体积公式V＝Sh，即可求出这个铁球的体积。注意单位的换算：1分米＝10厘米。
【详解】15厘米＝1.5分米
3×3×1.5
＝9×15
＝13.5（立方分米）
答：这个铁球的体积是13.5立方分米。
35．（23-24五年级下·四川广元·期中）做一个长5分米、宽3分米、6分米的玻璃鱼缸（无盖）。
（1）制作这个鱼缸至少需要多少平方米的玻璃？
（2）如果在这个鱼缸里放一块假山石，水面上升了2厘米，这块假山石的体积是多少立方分米？（水未溢出）
【答案】（1）1.11平方米
（2）3立方分米
【分析】（1）求做这个鱼缸至少需要多少平方米玻璃就是求除上底面之外的其他5个面的面积，用长×宽＋长×高×2＋宽×高×2解答即可；
（2）根据“不规则物体的体积＝鱼缸底面积×水面上升的高度”解答即可。
【详解】（1）5×3＋3×6×2＋5×6×2
＝15＋18×2＋30×2
＝15＋36＋60
＝111（平方分米）
111平方分米＝1.11平方米
答：制作这个鱼缸至少需要1.11平方米的玻璃。
（2）2厘米＝0.2分米
5×3×0.2
＝15×0.2
＝3（立方分米）
答：这块假山石的体积是3立方分米。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)1、认识长方体
一般是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。
相交于同一顶点的3条棱的长度分别叫作长方体的长、宽、高。
2、长方体的特征
（1）面：长方体有6个面，这6个面一般是长方形的，特殊情况有两个相对的面是正方形；相对的面完全相同。
（2）棱：长方体有12条棱，相对的棱长度相等。长方体12条棱可以分成3组，分别有4条长、4条宽、4条高。
（3）顶点：长方体有8个顶点。
长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4
＝长×4＋宽×4＋高×4
长＝棱长总和÷4－宽－高
宽＝棱长总和÷4－长－高
高＝棱长总和÷4－长－宽
1、认识正方体
由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫立方体）。
2、正方体特征：
（1）正方形有6个面，6个面是完全相同的正方形；
（2）正方体有12条棱，它们的长度都相等；
（3）有8个顶点。
长方体和正方体的异同点
立体图形 相同点 不同点
面 棱 项点 面 棱
长方体 6个 12条 8个 6个长方形（或有2个正方形和4个长方形）。 相对的4条棱的长度相等。
正方体 6个完全相同的正方形。 12条棱的长度都相等。
4、长方体和正方体的关系
正方体是长、宽、高都相等的长方体。
正方体的棱长计算
正方体的棱长总和＝棱长×12
正方体的棱长＝棱长总和÷12
1、长方体的展开图
2、正方体展开图：
“1-4-1”型：
有3行，每行分别有1个、4个、1个小正方形，共六种。
“2-3-1”型：
有3行，每行分别有2个、3个、1个小正方形，共三种。
“2-2-2”型：
有3行，每行都有2个小正方形，只有一种。
“3-3”型：
有2行，每行都有3个小正方形，只有一种。
1、长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。
2、长方体的表面积
长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高)×2
用字母表示：S＝（ab＋ah＋bh）×2
正方体的表面积
正方体的表面积＝棱长×棱长×6
用字母表示：S＝6a
1、物体所占空间的大小叫做物体的体积。
2、常用的体积单位有立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）和立方米（m3）。
3、长方体的体积＝长×宽×高
用字母表示：V＝abh
正方体的体积＝棱长×棱长×棱长
用字母表示：V＝a3
1、体积单位间的进率
1立方分米＝1000立方厘米；1立方米＝1000立方分米。
相邻的两个体积单位间的进率是1000。
2、容器所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。
3、计量容积，一般用体积单位。计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写作L或mL。
4、容积单位的换算：1升＝1000毫升；
5、容积单位和体积单位的关系：
1升＝1立方分米；1毫升＝1立方厘米。
1. 长方体的6个面有时不都是长方形。
2. 长方体的长发生变化，这个长方体的左面和右面的大小不变。
3. 在实际生活中，并不是所有的长方体形状的物体都有6个面，如长方体形状的鱼缸、游泳池等只有5个面，长方体形状的烟囱、通风管等只有4个面。
4. 物体的体积与所占空间的大小有关，与物体的形状没有关系。
5.并不是只有棱长是1厘米的正方体的体积才是1立方厘米，一个长、宽、高的积是1立方厘米的长方体，体积也是1立方厘米。
6. 如果一个正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的体积就扩大到原来的n3倍。
7. 体积和表面积不是同类量，二者之间不能比较。
8. 在计算a3时，不要把a3看作3×a，a3应是a×a×a。
9. 只有相邻的两个体积单位间的进率才是1000，判断和互化时首先要看这两个单位是不是相邻的。
10. 用小正方体摆大正方体时，要注意长、宽、高的数量都相同。
11. 物体的容积并不是物体的体积，体积是指物体自身所占空间的大小，容积是指物体所能容纳物体的体积。
12. 计量长方体容器的容积要从里面量长、宽、高，计算的结果比体积小。
13. 用排水法求形状不规则的物体的体积时，将物体放入水中后（物体完全浸没在水中），明确水上升的高度才是解题的关键。
【考点精讲一】（22-23五年级下·河北邢台·期中）如图，有一个长5分米、宽和高都是3分米的长方体硬纸箱，如果用绳子将箱子横着捆两道，竖着捆一道，打结处共用2分米。一共要用绳子多长？
【答案】42分米
【分析】观察可知，横着捆就是2条宽与2条高的和，有两道则乘2，竖着捆就是2条长与2条高的和，最后把横着捆、竖着捆与打结长度加起来即可得解。
【详解】
（分米）
答：一共要用绳子42分米长。
【考点精讲二】（23-24五年级下·广东佛山·期中）小明从一张长15厘米、宽12厘米的长方形纸的四个角分别剪去一个边长是3厘米的小正方形，用留下的部分制作出一个无盖的长方体纸盒。
（1）这个长方体纸盒的长、宽、高分别是（ ）厘米、（ ）厘米、（ ）厘米。
（2）在方格纸上画出这个长方体纸盒的五个面，并标出前、后、左、右、下面。（每个小方格的边长代表1厘米）
【答案】（1）9；6；3
（2）图见详解
【详解】（1）这个长方体纸盒的长是15－3－3＝9（厘米），宽是12－3－3＝6（厘米），高是3厘米。
（2）作图如下：
【考点精讲三】（23-24五年级下·内蒙古通辽·期中）小红为妈妈准备了一件生日礼物，下图是这件礼物的包装盒，它的长、宽、高分别是25厘米、15厘米、6厘米。现在用彩带把这个包装盒捆上，接头处长18厘米，一共需要多少厘米的彩带？
【答案】122厘米
【分析】观察图形可知，捆扎这个包装盒至少需要彩带的长度＝2条长＋2条宽＋4条高＋接头处的长度，据此解答。
【详解】25×2＋15×2＋6×4＋18
＝50＋30＋24＋18
＝122（厘米）
答：一共需要122厘米的彩带。
【考点精讲四】（23-24五年级下·山东济南·期中）一根铁丝正好可以围成一个长6厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体框架。如果用这根铁丝也正好能围一个正方体框架，正方体的棱长是多少厘米？
【答案】5厘米
【分析】根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，求出长方体框架的棱长总和；正方体框架的棱长总和等于长方体框架的棱长总和，根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，棱长＝棱长总和÷12，代入数据，即可解答。
【详解】（6＋5＋4）×4÷12
＝（11＋4）×4÷12
＝15×4÷12
＝60÷12
＝5（厘米）
答：正方体的棱长是5厘米。
【考点精讲五】（22-23五年级下·福建漳州·期中）一根铁丝可以扎成一个长6分米，宽3分米，高3分米的长方体，如果用这根铁丝刚好扎成一个正方体，这个正方体的棱长是多少？ （接头处忽略不计）
【答案】4分米
【分析】长方体棱长总和就是铁丝的长度，用（长＋宽＋高）×4计算出铁丝长度，再根据正方体的棱长＝铁丝的长度÷12，作答即可。
【详解】（6＋3＋3）×4
＝12×4
＝48（分米）
48÷12＝4（分米）
答：这个正方体的棱长是4分米。
【考点精讲六】（23-24五年级下·湖北黄冈·期中）把一个正方体的6个面都涂上红色，然后把它锯两次，锯成4个同样的小长方体，如果没有涂色的面积和是60平方厘米，涂色的面积和是多少平方厘米？
【答案】90平方厘米
【分析】据观察分析可知，锯一次会多出2个正方形，锯两次就会多出4个正方形，多出的正方形的面积就是没有色的面积，可用没有涂色的面积除以4，得到每个正方形的面积，再乘6，即可得解。
【详解】
（平方厘米）
答：涂色的面积和是90平方厘米。
【考点精讲七】（22-23五年级下·湖南湘西·期中）个长方体形状的游泳池，长40米，宽20米，深3米。要给游泳池的底面和四壁抹一层水泥，如果每平方米用水泥15千克，20吨水泥够不够用？
【答案】够用
【分析】因为游泳池无盖，在游泳池四周和底面抹一层水泥，用长方体表面积公式：S＝2ab＋2ah＋2bh减去一个上底面积，代入数据求出该游泳池需要抹水泥的面积即可；
再用求出的需要抹水泥的面积乘每平方米的水泥用量15千克，求出总共需要的水泥千克数；
最后，由高级单位吨转换成低级单位千克，乘进率1000，将20吨水泥转换成以千克为单位，和需要的水泥千克数进行比较即可求出水泥够用不够用。
【详解】由分析可得：
2×40×20＋2×40×3＋2×20×3－40×20
＝80×20＋80×3＋40×3－800
＝1600＋240＋120－800
＝1840＋120－800
＝1960－800
＝1160（平方米）
1160×15＝17400（千克）
20吨＝20×1000＝20000（千克）
20000＞17400，所以20吨水泥够用。
答：20吨水泥够够用。
【考点精讲八】（23-24五年级下·吉林四平·期中）做一个正方体玻璃水槽（无盖），棱长0.5米。制作这个水槽至少需要玻璃多少平方米？
【答案】1.25平方米
【分析】无盖正方体玻璃水槽只有5个面，用棱长×棱长×5计算玻璃面积即可。
【详解】0.5×0.5×5
＝0.25×5
＝1.25（平方米）
答：制作这个水槽至少需要玻璃1.25平方米。
【考点精讲九】（22-23五年级下·河北张家口·期中）一个长方形蓄水池，长10米，宽8米，深4米，蓄水池的底面和四壁需要铺瓷砖，如果用面积是4平方分米的瓷砖，至少需要多少块这样的瓷砖？
【答案】5600块
【分析】由题意可知，蓄水池的底面和四壁的面积＝（长×高＋宽×高）×2＋长×宽，据此求出需要贴瓷砖的面积，根据正方形的面积公式：S＝a2，求出一块瓷砖的面积，再用蓄水池的底面和四壁的面积除以一块瓷砖的面积即可求出共需要多少块瓷砖。注意单位的换算和统一。
【详解】（10×4＋8×4）×2＋10×8
＝（40＋32）×2＋10×8
＝72×2＋10×8
＝144＋80
＝224（平方米）
224平方米＝22400平方分米
22400÷4＝5600（块）
答：至少需要5600块这样的瓷砖。
【考点精讲十】（22-23五年级下·陕西安康·期中）把一块正方体木块锯成三个完全一样的长方体，表面积比原来增加了64平方分米。原正方体的表面积是多少平方分米？
【答案】96平方分米
【分析】根据题意，把一块正方体木块锯成三个完全一样的长方体，表面积比原来增加4个截面的面积；先用增加的表面积除以4，求出一个截面的面积，再根据正方体的表面积公式S＝6a2，用一个截面的面积乘6，即是原正方体的表面积。
【详解】64÷4＝16（平方分米）
16×6＝96（平方分米）
答：原正方体的表面积是96平方分米。
【考点精讲十一】（22-23五年级下·山东济宁·期中）把一个长8厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体，切成两个大小相等的长方体。表面积最多增加多少平方厘米？最少增加多少平方厘米？
【答案】96平方厘米；48平方厘米
【分析】长方体切成两个大小相等的长方体，表面积增加了2个长方形的面。平行于最大的两个面去切，增加的表面积最多，平行于最小的两个面去切，增加的表面积最少，据此分析。
【详解】8×6×2＝96（平方厘米）
6×4×2＝48（平方厘米）
答：表面积最多增加96平方厘米，最少增加48平方厘米。
【考点精讲十二】（23-24五年级下·河南南阳·期中）如图所示，将一个长10厘米，宽4厘米，高8厘米的一个长方体木块，从中间挖去一个棱长4厘米的小正方体后放在桌面上，求它的表面积。（长方体与桌面的接触面不算）
【答案】296平方厘米
【分析】根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，先求出完整的长方体表面积，中间挖去一个正方体，表面积减少了2个正方形的面，又多出4个正方形的面，这个立体图形的表面积＝长方体表面积－底面积－正方体棱长×棱长×2＋正方体棱长×棱长×4，据此列式解答。
【详解】（10×4＋10×8＋4×8）×2－10×4－4×4×2＋4×4×4
＝（40＋80＋32）×2－40－32＋64
＝152×2－40－32＋64
＝304－40－32＋64
＝296（平方厘米）
答：它的表面积是296平方厘米。
【考点精讲十三】（22-23五年级下·湖南湘西·期中）一个长方体玻璃缸，底面是边长为3分米的正方形，放入一块石头后水面升高了4分米（石头完全浸入水中，水没有溢出），这块石头的体积是多少？（玻璃缸的厚度忽略不计）
【答案】36立方分米
【分析】根据题意可知，上升的水的体积即为石头的体积，结合长方体的体积公式：长×宽×高，代入数据，计算即可。
【详解】3×3×4
＝9×4
＝36（立方分米）
答：这块石头的体积是36立方分米。
【考点精讲十四】（23-24五年级下·河南南阳·期中）如图，在一个棱长是3分米的正方体上，挖去一个棱长是1分米的小正方体。剩下部分的表面积是多少？剩下部分的体积是多少？
【答案】54平方分米；26立方分米
【分析】（1）在正方体的右上角挖去一个小正方体，在没挖之前，此处外露3个面；挖掉一个小正方体后，此处也外露3个面，所以表面积不变。
根据正方体的表面积公式S＝6a2，代入数据计算求出剩下部分的表面积。
（2）剩下部分的体积＝大正方体的体积－小正方体的体积，根据正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算求出剩下部分的体积。
【详解】（1）3×3×6
＝9×6
＝54（平方分米）
（2）3×3×3－1×1×1
＝27－1
＝26（立方分米）
答：剩下部分的表面积是54平方分米，剩下部分的体积是26立方分米。
【考点精讲十五】（23-24五年级下·湖北十堰·期中）一个长50厘米、宽30厘米、高40厘米的鱼缸中盛有37.5升水，放入几条金鱼后，水面上升了1厘米。这几条金鱼的体积是多少立方分米？
【答案】1.5立方分米
【分析】根据题意，装有水的鱼缸中放入几条金鱼后水面上升了1厘米，那么这几条金鱼的体积等于水上升部分的体积；水上升部分是一个长50厘米、宽30厘米、高1厘米的长方体，根据“长方体的体积＝长×宽×高”，以及进率“1立方分米＝1000立方厘米”，即可求出这几条金鱼的体积。
【详解】50×30×1＝1500（立方厘米）
1500立方厘米＝1.5立方分米
答：这几条金鱼的体积是1.5立方分米。
【考点精讲十六】（23-24五年级下·浙江杭州·期中）一个长方体，若长增加4分米，宽和高都不变，则体积增加60立方分米；若宽减少3分米，长和高都不变，则体积减少72立方分米；若高增加2分米，长和宽都不变，则体积增加80立方分米。原来长方体的表面积是多少平方分米？
【答案】158平方分米
【分析】首先根据题意可知，如果长增加4分米，宽和高都不变，它的体积增加60立方分米，根据长方体的体积公式：长×宽×高，用原来的宽乘原来的高再乘增加部分的长就是增加部分的体积，可以求出：宽×高＝60÷4＝15（平方分米）
如果宽减小3分米，长和高都不变，它的体积减少72立方分米，可以求出：长×高＝72÷3＝24（平方分米）﹔
如果高增加2分米，长和宽都不变，它的体积增加80立方分米，可以求出长×宽＝80÷2＝40（平方分米）；
然后根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据进行计算即可解决问题。
【详解】由分析可知：
宽×高：60÷4＝15（平方分米）
长×高：72÷3＝24（平方分米）
长×宽：80÷2＝40（平方分米）
（15＋24＋40）×2
＝（39＋40）×2
＝79×2
＝158（平方分米）
答：原来长方体的表面积是158平方分米。
【考点精讲十七】（23-24五年级下·广东潮州·期中）如图是棱长2厘米的小正方体堆放在墙角处，露在外面的面积是多少平方厘米？
【答案】52平方厘米
【分析】从上面看，有7个面露在外面，从前面看，有4个面露在外面；从右边看，有2个面露在外面；一共有（7＋4＋2）个面露在外面，根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据，求出正方体的一个面的面积，再乘露在外面面的个数，即可解答。
【详解】7＋4＋2
＝11＋2
＝13（个）
2×2×13
＝4×13
＝52（平方厘米）
答：露在外面的面积是52平方厘米。
【考点精讲十八】（22-23五年级下·福建南平·期中）一个饮料生产商生产一种饮料，采用长方体纸盒包装。从纸盒的外面量长10厘米，宽4厘米，高15厘米，纸盒侧面有“净含量600毫升”的字样。请问这家生产商是否欺瞒了消费者？（列式计算并根据计算结果进行说明）
【答案】是；见详解
【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，求得纸盒的体积，换算单位后，再与600毫升作比较即可。
【详解】10×4×15＝600（立方厘米）
600立方厘米＝600毫升
但这个纸盒的数据是从外面测量所得，体积正好是600立方厘米，实际容积会小于600毫升的。
答：这家生产商是欺瞒了消费者，这种长方体饮料包装是从纸盒的外面量长、宽、高的数据，体积正好是600立方厘米，它的容积会小于600毫升。
【点睛】此题主要考查长方体的体积的计算方法，解答时要注意单位的换算。
【考点精讲十九】（22-23五年级下·吉林四平·期中）一个长方体玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米。如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？
【答案】6.4升
【分析】观察发现，玻璃缸溢出水的体积＝正方体铁块的体积－玻璃缸还能装水的体积。玻璃缸的高是4分米，水深2.8分米，说明还可以装4－2.8＝1.2（分米）高的水。分别计算出还能装水的体积及正方体铁块的体积，就可以算出溢出水的体积。据此解答即可。
【详解】4×4×4－8×6×（4－2.8）
＝64－48×1.2
＝64－57.6
＝6.4（立方分米）
6.4立方分米＝6.4升
答：缸里的水溢出6.4升。
【考点精讲二十】（22-23五年级下·河北邢台·期中）下图是一个长方体形状的玻璃鱼缸，长、宽、高分别是12分米、8分米、10分米，请你回答下面的问题。
（1）这个玻璃鱼缸占地面积是多少平方分米？
（2）做这个玻璃鱼缸需要多少平方分米的玻璃？（无盖）
（3）石块沉入前玻璃鱼缸中水的高度是5分米，石块完全沉入水中，水面升高2分米，请你计算这个石块的体积？
【答案】（1）96平方分米
（2）496平方分米
（3）192立方分米
【分析】（1）玻璃钢的占地面积就是玻璃钢与地面的接触面积，玻璃钢与地面的接触面积是长为12分米、宽为8分米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽解答。
（2）无盖的玻璃鱼缸的表面积是一个下面的面积、两个前面的面积、两个右面的面积，这个玻璃鱼缸的表面积＝长×宽＋（宽×高＋长×高）×2，据此代入数据解答。
（3）升高的水的体积就是这个石块的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据列式为：12×8×2。
【详解】（1）12×8＝96（平方分米）
答：这个玻璃鱼缸占地面积是96平方分米。
（2）12×8＋（8×10＋12×10）×2
＝96＋（80＋120）×2
＝96＋200×2
＝96＋400
＝496（平方分米）
答：做这个玻璃鱼缸需要496平方分米的玻璃。
（3）12×8×2
＝96×2
＝192（立方分米）
答：这个石块的体积是192立方分米。
一、解答题
1．（23-24五年级下·湖南湘西·期中）一个水箱，从里面量长20厘米，宽15厘米，水深8厘米。放进一条鱼后，水深8.5厘米，这条鱼的体积是多少？
2．（22-23五年级下·湖北荆州·期末）一个无盖的长方体鱼缸，长50厘米，宽10厘米，高30厘米。
（1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方厘米？
（2）在鱼缸里注入8升水，水深大约多少厘米？（玻璃厚度忽略不计）
3．（23-24五年级下·江西九江·期末）小军的爸爸买了一个珊瑚，他把珊瑚放进鱼缸后，鱼缸内的水上升了10厘米，珊瑚的体积是多少立方厘米？
4．（23-24五年级下·江西吉安·期末）下面是贝贝比较土豆和红薯的体积时做的实验。（单位：厘米）
分别计算土豆和红薯的体积。
5．（23-24五年级下·河北唐山·期末）如图，花花用一张长30厘米、宽24厘米的长方形纸板，从四角各切掉一个边长6厘米的正方形，然后做成无盖盒子。
（1）如果在盒子外面贴上彩纸，贴彩纸的面积是多少平方厘米？
（2）这个盒子的容积是多少立方厘米？
6．（23-24五年级下·河南安阳·期末）殷墟博物馆新馆主体南侧有两个长90米、宽24米，深20厘米的水池。要往这两个水池中注满水，需要注入多少立方米的水？
7．（23-24五年级下·河南安阳·期末）博物馆里有许多保护文物的透明展示罩（无底），下图所示：这是其中一个，长是2米，宽0.6米，高0.8米，制作一个这样透明展示罩需要多少平方米的材料？
8．（23-24五年级下·四川绵阳·期末）用一根铁丝刚好焊成一个棱长10厘米的正方体框架，如果把它改成一个长14厘米，宽8厘米的长方体框架。长方体框架的高是多少厘米？
9．（23-24五年级下·四川凉山·期末）凉山州位于四川省西南部，每年一月至五月天气干燥雨水少，属于护林防火期，在护林防火区域会准备储存水用的水箱，水箱是一个铁皮做成的无盖正方体，棱长25分米（铁皮厚度忽略）。如果每立方米水重1吨，这个水箱能装水多少吨？
10．（23-24五年级下·湖南长沙·期末）如图，一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长50厘米、宽30厘米、高25厘米。
现将一块高14厘米，体积为1000立方厘米的假石山放入缸内。如果水龙头以每分5000毫升的流量向鱼缸内注水，那么至少需要多少分钟才能将假石山完全淹没？
11．（23-24五年级下·四川广元·期末）一个长方体玻璃鱼缸（无盖），量得它的长是8分米，宽是5分米，高是6分米，水深5.4分米。（玻璃厚度忽略不计）
（1）做这个长方体玻璃鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？
（2）如果在这个鱼缸里投入一个棱长是3分米的正方体铁块，鱼缸里的水会不会溢出？请你通过计算说明。
（3）如果会溢出，鱼缸里会溢出多少升水？如果不会溢出，现在水深是多少分米？
12．（23-24五年级下·四川绵阳·期末）在下图的玻璃鱼缸中放入一块高1.5分米、体积为6立方分米的假山石。如果水管以每分钟10立方分米的流量向鱼缸内注水，至少需要多长时间才能把假山石刚好淹没？
13．（23-24五年级下·四川南充·期末）一个长方体玻璃水缸，长8分米，宽5分米，高5分米，水深4分米。如果竖直放入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水会溢出多少升？
14．（24-25五年级下·海南海口·期末）家具厂订购180根方木，每根方木横截面的面积是3.2平方分米，长是3米。这些木料一共是多少立方米？
15．（24-25五年级下·海南海口·期末）一个高为4.5分米的长方体容器，水深3分米时装了27升水，如果把它装满，能装多少升水？
16．（24-25五年级下·海南海口·期末）一个长方体包装盒，长3分米，宽2分米，高1.5分米。分别在它的侧面和上面贴商标纸（下底不贴）。贴商标纸的面积有多大？
17．（24-25五年级下·海南海口·期末）在一个封闭的水箱内装入水，从里面量，水箱的长、宽、高如下左图所示。水深24厘米，如果把这个水箱立起来放（如下右图），这时水深有多少厘米？
18．（23-24五年级下·浙江宁波·期中）某体育馆计划建一个长10米、宽6米、高25分米的长方体游泳池，请你帮助设计。
（1）把它的四周和底面铺上方砖，铺方砖的面积是多少平方米？
（2）若每立方米水重1吨，最多能盛水多少吨？
19．（23-24五年级下·河北邢台·期中）一个无盖的长方体收纳箱，长是50厘米，宽是15厘米，高是30厘米。制作这样的一个收纳箱至少需要多少平方厘米的材料？
20．（22-23五年级下·河北张家口·期中）王叔叔要将2盒相同的物品包成一包（重叠处忽略不计），最节省包装纸的包装方法需要多大面积的包装纸？（单位：厘米）
21．（22-23五年级下·甘肃庆阳·期中）一个长方体玻璃盒，长10厘米，宽9厘米，水深11厘米，放入两个梨，这时水面上升26厘米，平均每个梨的体积是多少？
22．（22-23五年级下·甘肃庆阳·期中）一支修路队用90立方米的小石子铺一段路，路宽为10米，铺了3厘米厚，可铺多长？
23．（22-23五年级下·山东济南·期中）晓玉将石块放入盛有水的长方体容器中，利用排水法求石块的体积。已知长方体容器长2分米，宽1.5分米，水深1分米。石块完全浸入水中，水深变为1.4分米，求石块体积。
24．（22-23五年级下·广东梅州·期中）学校用3.2立方米的沙子将新挖的长4米、宽2米的长方体沙坑填满。这个沙坑有多深？这个沙坑的占地面积是多少？
25．（22-23五年级下·广东梅州·期中）一块长方体石材长6分米，宽5分米，高4分米，如果每立方分米石材重2.7千克，这块石材重多少千克？
26．（22-23五年级下·广东梅州·期中）一个通风管的横截面为正方形，边长为4分米，通风管长3米，做4节这样的通风管需要多少铁皮？
27．（22-23五年级下·山东济南·期中）用铁丝制作一个长2.5分米，宽1.5分米，高1分米的长方体框架，至少需要多长的铁丝？
28．（22-23五年级下·山东济南·期中）一个长方体油桶，底面积是24平方分米，深是5分米，这个油桶能装多少升汽油？
29．（22-23五年级下·山东济南·期中）2022年北京冬奥会冰壶赛场通常每条赛道长约46米，宽5米，铺设约4.5厘米厚度的冰面。冰面体积是多少立方米？
30．（22-23五年级下·湖南湘西·期中）一个正方体礼品盒的棱长为1.5分米。如果包装这个礼品盒的用纸是其表面积的1.2倍，至少要用多少平方分米的包装纸？
31．（22-23五年级下·湖南湘西·期中）一块底面是正方形的长方体方钢，长2米，把它截成3段，表面积增加了60平方厘米，这块方钢的体积是多少？
32．（22-23五年级下·广东梅州·期中）一个正方体容器，从里面量棱长4分米，里面注有水，水深3分米。如果把一块棱长2分米的正方体铁块放入水中，水面会上升多少分米？
33．（23-24五年级下·湖北黄冈·期中）用160厘米长的铁丝焊接成一个长20厘米，宽15厘米的长方体教具，这个长方体教具的高是多少厘米？体积是多少立方厘米？
34．（23-24五年级下·湖北黄冈·期中）一个长方体玻璃缸，底面是正方形且边长为3分米，里面装了半缸水，水里浸没着一个小铁球，取出小铁球，水面下降了15厘米。这个铁球的体积是多少？
35．（23-24五年级下·四川广元·期中）做一个长5分米、宽3分米、6分米的玻璃鱼缸（无盖）。
（1）制作这个鱼缸至少需要多少平方米的玻璃？
（2）如果在这个鱼缸里放一块假山石，水面上升了2厘米，这块假山石的体积是多少立方分米？（水未溢出）
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