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7.4.2超几何分布---自检定时练--详解版
单选题
1．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（ ）
A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X
B．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X
C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数
【答案】B
【分析】由超几何分布的定义分别判断各个选项即可．
【详解】对于A:将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X,是二项分布，A选项错误；
对于B:从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X,是超几何分布，B选项正确；
对于C:某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X,是两点分布，C选项错误；
对于D:盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数,不是超几何分布，D选项错误.
故选：B.
2.一袋中装有大小 质地均相同的5个白球，3个黄球和2个黑球，从中任取3个球，则至少含有一个黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据超几何分布的概率公式计算即可.
【详解】根据题意，至少含有一个黑球的概率是.
故选：D.
3.盒中有10个螺丝钉，其中3个是坏的.现从盒中随机抽取4个，则概率是的事件为（ ）
A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的
C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的
【答案】C
【分析】利用超几何分布的概率公式，对四个选项一一求概率，进行验证即可.
【详解】对于A，事件的概率为；
对于B，事件的概率为；
对于C，事件的概率为；
对于D，事件的概率为.
故选：C.
4.一个盒子里装有大小、材质均相同的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则等于的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由古典概型概率公式分别求得和，即可判断等式表示的意义．
【详解】由条件，知随机变量X服从参数为，，的超几何分布，
其中X的取值范围为，且，
，，
.
故选：B.
5.在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A． B．随机变量服从二项分布
C．随机变量服从超几何分布 D．
【答案】C
【分析】由题意知随机变量服从超几何分布，利用超几何分布的性质直接判断各选项即可．
【详解】解：由题意知随机变量服从超几何分布，故B错误，C正确；
的取值分别为0，1，2，3，4，则，，
，，，
，
故A，D错误．
故选：C．
6.口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（ ）
A．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η） B．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η）
C．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η） D．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η）
【答案】A
【分析】当时，的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出， ；当时，η可取1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出， ，即可得解．
【详解】当时，ξ的可能取值为1，2，3，
，，，
∴，；
当时，η可取1，2，3，4，
，，
，，
∴，
；
∴，．
故选：A．
【点睛】本题考查了超几何分布概率公式的应用，考查了离散型随机变量期望和方差的求解，属于中档题.
多选题
7.（多选）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．随机变量X服从二项分布
C．随机变量X服从超几何分布
D．
【答案】CD
【分析】根据二项分布和超几何分布的概念判断BC，由超几何分布的概率公式计算各概率，再由期望公式计算出期望，从而判断AD．
【详解】由题意知随机变量X服从超几何分布，故B错误，C正确；
X的取值分别为0，1，2，3，4，则，，，，，
∴，故A错误，D正确．
故选：CD．
8.如图，我国传统珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任选3颗，记上珠的个数为，下珠的个数比上珠的个数多，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】由超几何分布的概率以及期望、方差即可.
【详解】由题意知，.
，
则，故A错误，B正确；
由题意知，.
，
，
故CD正确；
故选：BCD
填空题
9.盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以表示取到白球的个数，表示取到黑球的个数．给出下列各项：
①，；②；③；④.
其中正确的是 ．(填上所有正确项的序号)
【答案】①②④
【分析】根据数学期望、方差和超几何分布的概念运算即可求解.
【详解】由题意可知X服从超几何分布，η也服从超几何分布．
∴E(X)＝＝，E(η)＝＝.
又X的分布列
X 0 1 2
P
∴E(X2)＝02×＋12×＋22×＝，
D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝－2＝.
η的分布列为
η 1 2 3
P
∴E(η2)＝12×＋22×＋32×＝，
D(η)＝E(η2)－[E(η)]2＝－2＝.
∴E(X2)＝E(η)，D(X)＝D(η)，∴①②④正确．
故答案为：①②④.
10.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个，用X表示这10个村庄中交通方便的村庄数，若，则a= ．
【答案】6
【分析】利用排列组合的意义可求的值.
【详解】表示7个交通不方便的村庄中选择4个，再从8个交通方便的村庄中选择6个，
而X表示这10个村庄中交通方便的村庄数，结合可得：.
故答案为:6.
解答题
11.一个袋子中装有A品种种子10颗，B品种种子2颗，A，B品种种子外形、大小一样．现从袋中连续取3次种子，每次取1颗．
(1)有放回抽取时，求抽取B品种种子数的均值与方差；
(2)不放回抽取时，求抽取B品种种子数的分布列及其均值．
【答案】(1)．
(2)分布列见解析，．
【分析】（1）有放回时，每次抽到B品种种子的概率为定值，所以抽到B品种种子数服从二项分布，利用二项分布的期望与方差公式直接求值.
（2）无放回时，抽取B品种种子数服从超几何分布，列出分布列，求出期望.
【详解】（1）由题得每抽取一次拿到品种种子的概率为．所以随机变量服从二项分布．
，.
（2）由题可知，服从超几何分布，所有可能取值为
且；，.
所以随机变量的分布列为：
0 1 2
．
12.袋中有8个除颜色外完全相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球.
(1)若从袋中一次性取出两个小球，即取到的红球个数为，求的分布列和数学期望；
(2)若从袋中不放回的取3次，每次取一个小球，取到黑球记0分，取到白球记2分，取到红球记4分，在最终得分为8分的条件下，恰取到一个红球的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由超几何分布的概率公式以及期望公式求解可得答案；
（2）设事件“最后得分为8分”；事件“恰取到一个红球”，求出，，再根据条件概率的概率公式计算可得答案.
【详解】（1）由题意得的可能取值为：，
，，，
所以的分布列为：
0 1 2
数学期望；
（2）设事件“最后得分为8分”；事件“恰取到一个红球”；
由题意，最后得分为8分有两种情况：摸出2个白球1个红球或1个黑球2个红球，
所以，，
所以.
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7.4.2超几何分布---自检定时练--学生版
【1】知识清单
【定义】一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝eq \f(CC,C)，k＝0，1，2，…，m，即：
X 0 1 … m
P eq \f(CC,C) eq \f(CC,C) … eq \f(CC,C)
其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．
【2】微型自检报告
完成时间 不会解答的题号 解答错误的题号 需要重点研究的题目
分钟
【3】自检定时练(建议30分钟)
单选题
1．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（ ）
A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X
B．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X
C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数
2.一袋中装有大小 质地均相同的5个白球，3个黄球和2个黑球，从中任取3个球，则至少含有一个黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
3.盒中有10个螺丝钉，其中3个是坏的.现从盒中随机抽取4个，则概率是的事件为（ ）
A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的
C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的
4.一个盒子里装有大小、材质均相同的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则等于的是（ ）
A． B． C． D．
5.在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A． B．随机变量服从二项分布
C．随机变量服从超几何分布 D．
6.口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（ ）
A．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η） B．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η）
C．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η） D．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η）
多选题
7.（多选）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．随机变量X服从二项分布
C．随机变量X服从超几何分布
D．
8.如图，我国传统珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任选3颗，记上珠的个数为，下珠的个数比上珠的个数多，则（ ）
A． B．
C． D．
填空题
9.盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以表示取到白球的个数，表示取到黑球的个数．给出下列各项：
①，；②；③；④.
其中正确的是 ．(填上所有正确项的序号)
10.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个，用X表示这10个村庄中交通方便的村庄数，若，则a= ．
解答题
11.一个袋子中装有A品种种子10颗，B品种种子2颗，A，B品种种子外形、大小一样．现从袋中连续取3次种子，每次取1颗．
(1)有放回抽取时，求抽取B品种种子数的均值与方差；
(2)不放回抽取时，求抽取B品种种子数的分布列及其均值．
12.袋中有8个除颜色外完全相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球.
(1)若从袋中一次性取出两个小球，即取到的红球个数为，求的分布列和数学期望；
(2)若从袋中不放回的取3次，每次取一个小球，取到黑球记0分，取到白球记2分，取到红球记4分，在最终得分为8分的条件下，恰取到一个红球的概率.
【4】核对简略答案,详解请看解析版！
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C B C A CD BCD
9.【答案】①②④
10.【答案】6
11.【答案】(1)． (2)分布列见解析，．
12.【答案】(1) (2)
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