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7.5正态分布---自检定时练--详解版
单选题
1．已知随机变量，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
【答案】D
【分析】根据正态分布的定义即可得解.
【详解】因为，所以.
故选：D.
2.某市高中数学统考中，甲、乙、丙三所学校的数学成绩分别服从正态分布，，，其正态分布的密度曲线如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据给定的曲线，利用正态分布的密度曲线的特征判断即得.
【详解】观察曲线知，.
故选：C
3.已知随机变量服从正态分布，则“”是“”的（ ）
A．充分且不必要条件
B．必要且不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】根据正态曲线的性质及充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】随机变量服从正态分布，
则该正态分布曲线的对称轴为，
即，
故，解得或，
则“”是“”的充分且不必要条件.
故选：.
4.已知随机变量，，则（ ）
A．a B． C． D．
【答案】B
【分析】由正态分布的性质可得正态分布的图像的对称轴为，由，可得，进而求得.
【详解】随机变量，
正态曲线关于对称，
，
，
故选：B.
5.巴黎奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量，且.记一天中旅客人数不少于26万人的概率为，则的值约为（ ）
（参考数据：若，有，，）
A．0.977 B．0.9725 C．0.954 D．0.683
【答案】A
【分析】根据正态分布对称性求得答案.
【详解】因为，所以，，
，
根据正态曲线的对称性可得，
.
故选：A.
6.已知随机变量，且，则的最小值为（ ）
A．9 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】根据正态分布的对称性得，应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值.
【详解】根据正态分布的对称性及已知，有，可得，则，
故，
当且仅当，则时取等号，
综上，目标式的最小值为3.
故选：B
多选题
7.已知随机变量 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】由正态分布期望的性质可得A错误；由正态分布方差的性质可得B正确；由正态分布曲线的对称性可得C、D正确；
【详解】对于A，由题意，得 ，而 ，故 A 错误;
对于B，又 ，则 ，而 ，
所以 ，故 B正确;
对于C， 因为两个正态分布对应的正态密度曲线关于直线 对称，
所以 ，故 C 正确；
对于D，由对称性，得 ，
所以 ，故 D正确.
故选： BCD.
8.随机变量，分别服从正态分布和二项分布，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】先计算出正态分布与二项分布的期望与方差可判断AB；再分别计算正态分布与二项分布对对应随机变量的概率可判断CD.
【详解】对于正正态分布，可得其期望，，
对于二项分布，可得，，
所以，，故A正确；B错误；
由于正态分布具有对称性，由，可得，故C正确；
对于，可得
，
所以，所以，故D正确.
故选：ACD.
填空题
9.已知随机变量服从正态分布，若，则 ．
【答案】1
【分析】根据正态分布的对称性运算求解.
【详解】因为随机变量服从正态分布，且，
则，可得．
故答案为：1.
10.已知随机变量，且正数满足，则的最小值为 .
【答案】9
【分析】利用正态分布对称性可得，再由基本不等式中“1”的妙用求最小值.
【详解】因为随机变量，正数满足，
有对称性可知，即，
所以
；
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：9
解答题
11.设，试求：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）根据正态分布的对称性即可求解.
【详解】（1），
，，
．
（2），
12.某地区语文考试的成绩服从正态分布，其分布密度函数图像如图所示，成绩位于区间的概率是多少？
参考数据：若，则，，.
【答案】
【分析】根据正态分布密度函数图象与解析式，可求得，，从而得，，结合参考数据得出结果.
【详解】设成绩，则正态分布密度函数．
由题图可知参数，，即，
所以，
所以位于区间的概率是.
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7.5正态分布---自检定时练--学生版
【1】知识清单
正态曲线的特点
(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交．
(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．
(3)曲线在x＝μ处达到峰值 .
(4)曲线与x轴之间的面积为1．
(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
【2】微型自检报告
完成时间 不会解答的题号 解答错误的题号 需要重点研究的题目
分钟
【3】自检定时练(建议30分钟)
单选题
1．已知随机变量，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
【2.某市高中数学统考中，甲、乙、丙三所学校的数学成绩分别服从正态分布，，，其正态分布的密度曲线如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
3.已知随机变量服从正态分布，则“”是“”的（ ）
A．充分且不必要条件
B．必要且不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
4.已知随机变量，，则（ ）
A．a B． C． D．
5.巴黎奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量，且.记一天中旅客人数不少于26万人的概率为，则的值约为（ ）
（参考数据：若，有，，）
A．0.977 B．0.9725 C．0.954 D．0.683
6.已知随机变量，且，则的最小值为（ ）
A．9 B．3 C． D．
多选题
7.已知随机变量 ，则（ ）
A． B．
C． D．
8.随机变量，分别服从正态分布和二项分布，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
填空题
9.已知随机变量服从正态分布，若，则 ．
10.已知随机变量，且正数满足，则的最小值为 .
解答题
11.设，试求：
(1)；
(2)．
12.某地区语文考试的成绩服从正态分布，其分布密度函数图像如图所示，成绩位于区间的概率是多少？
参考数据：若，则，，.
【4】核对简略答案,详解请看解析版！
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C A B A B BCD ACD
9.【答案】1
10.【答案】9
11.【答案】(1) (2)
12.【答案】
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