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第六章 图形的变化
6.2 图形的轴对称、 平移与旋转
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 图形的平移 ☆ 浙江中考数学（省卷）中，实数与二次根式的部分，考查1-2道题，分值为10分左右，通常以选填题（1题）、解答题（1题）的形式考查。预计2025年各地中考还将继续考查这些知识点，考查形式主要有选填题、作图题、也可能综合题结合其他考点出现。
考点2 图形的旋转 ☆☆
考点3 图形的轴对称 ☆☆☆
考点4 最短路径问题 ☆☆☆
图形的变换以考查平面几何的三大变换的基本运用为主，在三种变换中，平移相对较为简单，多以选择题形式考察，偶尔也会考察作图题；对称和旋转则难度较大，通常作为选择、填空题的压轴题出现（考查最值问题居多），在解答题中，也会考查对称和旋转的作图，以及与特殊几何图形结合的综合压轴题，此时常需要结合几何图形或问题类型去分类讨论。
2
4
■考点一 图形的平移 4
■考点二 图形的旋转 7
■考点三 图形的轴对称 18
■考点四 最短路径问题 22
31
45
■考点一 图形的平移
1）平移的概念：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做 平移 。平移不改变图形的形状 和大小 。
2）三大要素： （1）平移的起点 ，（2）平移的方向 ，（3）平移的距离 。
3）性质： （1）平移前后，对应线段平行 且相等 、对应角相等 ；（2）各对应点所连接的线段平行 (或在同一条直线上)且相等；（3）平移前后的图形全等 。
4）作图步骤：（1）根据题意，确定平移的方向 和平移的距离 ；（2）找出原图形的关键点 ；（3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点 ；（4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形。
■考点二 图形的旋转
1）定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转 ．这个定点叫做旋转中心 ，转过的这个角叫做旋转角 。
2）三大要素：（1）旋转中心；（2）旋转方向；（3）旋转角度。
3）性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等 ；（2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 ；（3）旋转前后的图形全等 。
4．作图步骤：（1）根据题意，确定旋转中心 、旋转方向 及旋转角 ；（2）找出原图形的关键点 ；（3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点 ；（4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形。
5）中心对称图形与中心对称
中心对称 中心对称图形
图形
定义 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称 。 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形 ，这个点叫做它的对称中心 。
区别 中心对称是指两个图形的关系。 中心对称图形是指具有某种特性的一个图形
联系 两者可以相互转化，如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这“一个图形”就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这“两个图形”中心对称。
■考点三 图形的轴对称
1）轴对称与轴对称图形
轴对称 轴对称图形
图形
定义 把一个图形沿着某一条直线折叠 ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴 。 如果一个平面图形沿一条直线折叠 ，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形 。这条直线就是它的对称轴。
区别 （1）轴对称是指两个图形折叠重合。 （2）轴对称对称点在两个图形上。 （3）轴对称只有一条对称轴。 （1）轴对称图形是指本身折叠重合。 （2）轴对称图形对称点在一个图形上。 （3）轴对称图形至少有一条对称轴。
联系 （1) 定义中都有一条直线,都要沿着这条直线折叠重合。 （2) 如果把轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形 ；反之, 如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分(即看成两个图形),那么这两个图形就关于这条直线成轴对称。
性质 （1）关于某条直线对称的两个图形是全等形 。 （2）两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 。
判定 （1）两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。 （2）两个图形关于某条直线成轴对称,那么对称轴是对折重合的折痕线。
2）作轴对称图形的一般步骤：
（1）作某点关于某直线的对称点的一般步骤：①过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足，并延长；②在延长线上从垂足出发截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点。
（2）作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤：①找.在原图形上找特殊点（如线段的端点、线与线的交点）；②作.作各个特殊点关于已知直线的对称点；③连.按原图对应连接各对称点。
3）折叠的性质：折叠的实质是轴对称 ，折叠前后的两图形全等 ，对应边和对应角相等 ．
■考点四 最短路径问题
与图形变换相关的最值问题有：将军饮马（遛马、造桥）（轴对称、平移）、费马点问题（旋转）、瓜豆原理（圆弧轨迹类）（旋转）等。
■考点一 图形的平移
◇典例1：（2024·广东深圳·模拟预测）如图所示的图案是一些汽车的车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：观察图形可知，A选项图案可以看作由“基本图案”经过平移得到，故选：A．
◆变式训练
1.（2022·广西·中考真题）2022北京冬残奥会的会徽是以汉字“飞”为灵感来设计的，展现了运动员不断飞跃，超越自我，奋力拼搏，激励世界的冬残奥精神下列的四个图中，能由如图所示的会徽经过平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据题意，得不能由平移得到，故A不符合题意；
不能由平移得到，故B不符合题意；
不能由平移得到，故C不符合题意；
能由平移得到，故D符合题意；故选D．
2．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将点先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：将点先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是．
故选：D．
3.（2024·重庆江津·九年级期中）已知，在平面直角坐标系中的位置如图所示：(1)写出A、B、C三点的坐标；(2)求的面积；(3)中任意一点经平移后对应点为，将作同样的平移得到，画出．
【答案】(1)，，(2)11.5(3)见解析
【详解】（1）如图所示：A、B、C三点的坐标分别为：，，；
（2）的面积；
（3）∵点经平移后对应点为，
∴把向右平移4个单位，再向下平移3个单位得．如图，
◇典例2：（2024·广东深圳·模拟预测）在《生活中的平移现象》的数学讨论课上，小王和小李先将一块含的三角板描边得到，后沿着直尺方向平移，再描边得到，连接．如图，经测量发现的为，则四边形的周长为（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
【答案】B
【详解】根据平移性质，得到四边形是平行四边形，又，
故，，
故四边形的周长为cm，故选B．
◆变式训练
1．（2024·广东广州·一模）如图，将沿方向平移到，若，，则平移距离为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】解：将沿方向平移到，，，
，，平移距离为3．故选：B．
2．（2024·广东清远·模拟预测）如图，中，，，，将沿着直线向右平移到的位置，与相交于点G，连接．下列结论：
①；②是直角三角形；③四边形的面积是；
④四边形是菱形；⑤．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：由平移的性质得：，，，，
四边形是平行四边形，则，，故①不正确；
，即，，，是直角三角形，故②正确；设的边上的高为，则，，
，故③正确；
，平行四边形是菱形，故④正确；
，，，，与不全等，故⑤不正确；
综上所述，正确结论的个数为3，故选：C．
■考点二 图形的旋转
◇典例3：（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由旋转性质可得：，，
∵，∴，，
∴，故选：B．
◆变式训练
1．（2023·山东·统考中考真题）如图，点E是正方形内的一点，将绕点B按顺时针方向旋转得到．若，则 度．
【答案】80
【详解】解：∵四边形是正方形，∴，∵，∴，
∵绕点B按顺时针方向旋转得到∴，，
∴，∴，故答案为：80．
2．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，矩形中，，，将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形，当点C，，三点共线时，交于点E，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，连接，矩形，，，，
由旋转的性质可得：，，，，
是等腰三角形，且，，，
在和中，，，，，
设，则，在中，根据勾股定理可得：，
，解得：，，故选：A．
◇典例4：（2023·浙江金华·统考中考真题）在直角坐标系中，点绕原点逆时针方向旋转，得到的点的坐标是 ．
【答案】
【详解】解：过A点作轴，过B点作轴，
∵点A的坐标为，∴，∵，∴，
∵，∴，∵，
在和中，，∴，
∴,∴点B的坐标为，故答案为：．
◆变式训练
1．（2023·海南·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：过点作，如下图：则由题意可得：，，
∴，∴，∴，，
∴点的坐标为，故选：B
2．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，点在轴的正半轴上，且，将菱形绕原点逆时针方向旋转，得到四边形点与点重合，则点的坐标是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图所示，延长交轴于点，
∵四边形是菱形，点在轴的正半轴上，平分，，
∴，∵将菱形绕原点逆时针方向旋转，
∴，则，∴∴，
在中，∴ ，
∴，∴，故选：B．
◇典例5：（2024·陕西西安·陕西师大附中校考二模）2023年10月8日晚，伴随圣火缓缓熄灭，杭州第19届亚运会圆满闭幕，亚运是体育盛会，也是文化旅游的盛会．下列与杭州亚运会有关的图案中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】选项A，图形不是中心对称图形，不符合题意；
选项B，图形是中心对称图形，符合题意；选项C，图形不是中心对称图形，不符合题意；
选项D，图形不是中心对称图形，不符合题意．故选：B．
◆变式训练
1．（2024·湖南永州·校考二模）2022年11月29日23时08分，由航天科技集团五院抓总研制的神舟十五号载人飞船，由长征二号F运载火箭稳稳托举，在酒泉卫星发射中心一飞冲天，将费俊龙、邓清明、张陆3名航天员送入太空，展现了中国航天科技的强大．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】选项A、B、D中的图形都不是中心对称图形，选项C中的图形是中心对称图形，故选：C．
2．（2023·山东青岛·统考三模）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，下列窗花作品是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：第1个图形是中心对称图形，符合题意；第2个图形是中心对称图形，符合题意；
第3个图形不是中心对称图形，不符合题意；第4个图形不是中心对称图形，不符合题意．故选：B．
◇典例6：（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若，．则AB的长可能是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．11
【答案】C
【详解】解：∵点与点关于点对称，点与点也关于点对称，∴，
又∵∠AOD=∠BOC∴△AOD≌△BOC（SAS）∴AD=BC=3
∵∴．故选：C．
◆变式训练
1．（2023·浙江杭州·二模）如图，抛物线（a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】A
【详解】解：∵抛物线（a＞0）与x轴交于A，B，∴
∵a＞0，，解得，∴点A（-3，0），点B（1，0），
∵点B为中心对称，∴点C的横坐标为：1+（1+3）=5，∴点C（5，0），
∴抛物线，∴D（－1，－4a），
点D与点D′关于点B对称，点D′的横坐标为1+（1+1）=3，纵坐标为4a，∴D′（3，4a），
DD′=，CD=，
CD′=，∵△CDD′是直角三角形，
当∠CD′D=90°，根据勾股定理，CD′2＋DD′2＝CD2，
即，解得，∵a＞0，∴；
当∠DCD′=90°，根据勾股定理，CD′2＋CD2＝DD′2，即
，解得，∴，∴综合得a的值为或．答案：A．
◇典例7：（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空．
(1)画出线段绕点O顺时针旋转后得到的线段，连接；
(2)画出与关于直线对称的图形，点A的对称点是C；
(3)填空：的度数为_________．
【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)
【详解】（1）在方格纸中画出线段绕点O顺时针旋转后得到的线段，连接,如图；
（2）画出与关于直线对称的图形，点A的对称点是C；如上图所示：
（3）由（1）作图可得是等腰直角三角形，且，
再根据对称的性质可得．故答案为：．
◆变式训练
1．（2024·辽宁抚顺·统考模拟预测）在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系的三个顶点都在格点上，A的坐标是，请回答下列问题：
(1)将向下平移六个单位长度，画出平移后的；(2)画出关于原点O对称的；
(3)判断与是否关于某点成中心对称；若是，请画出对称中心M，并写出点M的坐标．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)是，图见解析，
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；（2）如图所示，即为所求；
（3）与关于点M成中心对称，如图所示，点即为所求．由图可知：．
◇典例8：（2025·广东佛山·一模）如图，在矩形中，，点P在线段上运动（含B、C两点），将点P绕点A逆时针旋转到点Q，连接，则线段的最小值为（）
A． B． C． D．3
【答案】A
【详解】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．
∵四边形是矩形，∴，由题意可得是等边三角形，
∴，∴，
在和中，，∴，∴，
∴Q点的运动轨迹是射线，∵，∴，
∵，∵，∴，
∵，，
根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，的值最小，最小值为，故选：A．
◆变式训练
1．（2025·广东·模拟预测）【问题情境】如图，在中，，，点在边上将线段绕点顺时针旋转得到线段（旋转角小于），连接，、以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接．
【尝试探究】（1）如图，当时，易知；如图，当时，则与的数量关系为______；（2）如图，请判断与的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】（3）如图，当且点，、三点共线时若，，求的长．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）
【详解】解：（1）当时，和是等腰直角三角形，，，
，，，故答案为：；
（2）．理由：如图，过点作于点，
，，，
，，同理可得：，，
，，，；
（3）如图，过点作于点，过点作，交延长线于点，
．．线段绕点顺时针旋转得到线段，．．
是以为底边的等腰三角形，，，．
．．．
，．设，则，，，
．．，，
，，，，
，，．
2．（2025·广东深圳·一模）【问题背景】：如图1，在矩形中，，点E是边的中点，过点E作交于点F．
【实验探究】：（1）在一次数学活动中，小明在图1中发现 ；将图1中的绕点B按逆时针方向旋转，连接，，如图2所示，发现 ；
（2）小亮同学继续将绕点B按逆时针方向旋转，连接，旋转至如图3所示位置，请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；
【拓展延伸】：（3）在以上探究中，当旋转至D、E、F三点共线时，的长为 ．
【答案】（1）；；（2）结论仍然成立，见解析；（3）或
【详解】解：（1）如图：，
，，
如图2：绕点B按逆时针方向旋转，，
，，，故答案为：；
（2）结论仍然成立，理由如下：如图，绕点B按逆时针方向旋转，，
，，；
（3）当点E在的上方时，如图：，点E是边的中点，，
，，，
D、E、F三点共线，，，
，由（2）可得：，，；
■考点三 图形的轴对称
◇典例9：（2025·广东深圳·一模）全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量，图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下图书馆标志中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D、该图形是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D．
◆变式训练
1．（2023·广东汕尾·统考二模）《国语》有云：“夫美也者，上下、内外、小大、远近皆无害焉，故曰美．”这是古人对于对称美的一种定义，这种审美法则在生活中体现得淋漓尽致．在下列扬州剪纸图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故此选项不是轴对称图形，不符合题意；
B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故此选项是轴对称图形，符合题意；
C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故此选项不是轴对称图形，不符合题意；
D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故此选项不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
2．（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A.，，由对称得，
点，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形，
，，，，结论正确，故不符合题意；B.不一定等于，结论错误，故符合题意；
C.由对称得，∵点 E ，F分别是底边中点，，结论正确，故不符合题意；D. 过作，，，
，由对称得，，同理可证，
，结论正确，故不符合题意；故选：B．
◇典例10：（2024·广东潮州·二模）如图，在中，，，，点D在边上，点E在边上，将沿着折痕翻折后，点A恰好落在线段的延长线上的点P处，如果，那么折痕的长为 ．
【答案】
【详解】解：如图，过点作于，
∵将沿着折痕翻折，，
，，，，
，，，，
，，，，
，，，故答案为：．
◆变式训练
1．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，将长方形纸片进行折叠，为折痕，点A与点、点B与点、点C与点重合．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：根据折叠的性质得，，
，，故选：C．
2．（2024·河南信阳·校考三模）如图，中，，，，点M、N分别在、边上（不与端点重合），连接，将沿翻折，使点C的对应点P落在所在的直线上，若垂直于的一边，则长为 ．
【答案】或
【详解】解：由折叠性质得，
∵中，，，，∴，
根据题意，不可能垂直，当时，如图，则，
∵，∴，∴，则，∴；
当时，如图，则，
∵，∴，∴，即，∴，
综上，或，故答案为：或．
■考点四 最短路径问题
◇典例11：（2025·广东梅州·一模）在平面直角坐标系中，，过点B的直线轴，点P在直线m上运动，是右侧的等腰直角三角形，且，点C在直线上，则当取最小值时点P的横坐标是 ．
【答案】
【详解】解：设点P的坐标为，过点P作，垂足为E，过点C作，垂足为F，如图，
∵，∴．∵，∴．
在和中，，∴，∴
∵点C始终在直线上运动．∴点C的坐标为．
设直线与x轴、y轴分别交于点M、N，如图，当时，，当时，，
∴．∴．∵，∴．
作点A关于直线作对称点，连接，
则．∴，
∵．∴最小值为长，此时C位于处．
∵，∴．根据相似三角形对应高的比等于相似比可得：
，解得，∴，∴，故答案为：．
◆变式训练
1. （2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 ．
【答案】/
【详解】解：∵为高上的动点．∴
∵将绕点顺时针旋转得到．是边长为的等边三角形，
∴∴
∴，∴点在射线上运动，如图所示，
作点关于的对称点，连接，设交于点，则
在中，，则，
则当三点共线时，取得最小值，即
∵，，∴∴
在中，,
∴周长的最小值为，故答案为：．
2.（2023·江苏盐城·统考模拟预测）如图，已知，等边中，，将沿翻折，得到，连接，交于O点，E点在上，且，F是的中点，P是上的一个动点，则的最大值为 ．
【答案】
【详解】解：为等边三角形，，，
将沿翻折，得到，，
四边形为菱形，∴，，，∴是边上的中线，
如图，连接，交于，
∵F是的中点，∴是边上的中线，的角平分线，
∴，，，∵，∴，
∵，∴，，∴，
∴当点P运动到点A时，最大，最大为，∵，∴，
由勾股定理得，，∴，故答案为：．
◇典例12：（2023·湖北十堰·统考中考真题）在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D，E，F分别为，，的中点，G，H分别为，的中点），小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为 ，最大值为 ．
【答案】 8
【详解】 如图1，，，，
∴四边形周长=；
如图2，∴四边形周长为；故答案为：最小值为8，最大值.
◆变式训练
1．（2024·江苏泰州·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点、分别是直线与坐标轴的交点，点，点是边上的一点，，垂足为，点在边上，且、两点关于轴上某点成中心对称，连接、．线段长度的最小值为 ．
【答案】
【详解】过点F，D分别作垂直于y轴，垂足分别为G，H，
则，记交y轴于点K，
∵D点与F点关于y轴上的K点成中心对称，∴，
∵，∴，∴，
∵直线的解析式为，∴时，，∴，
又∵，设直线的解析式为
∴，解得=，∴直线的解析式为，
过点F作轴于点R，∵D点的横坐标为m,∴，∴，
∵，∴，
令，得，∴．∴当时，l的最小值为8，∴的最小值为．
2．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，，分别是斜边，的中点，．(1)将绕顶点旋转一周，请直接写出点，距离的最大值和最小值；(2)将绕顶点逆时针旋转（如图），求的长．
【答案】(1)最大值为，最小值为(2)
【详解】（1）解：依题意，，，
当在的延长线上时，的距离最大，最大值为，
当在线段上时，的距离最小，最小值为；
（2）解：如图所示，过点作，交的延长线于点，
∵绕顶点逆时针旋转，∴，
∵，∴，
∴，∴，∴，
在中，，在中，，
∴．
◇典例13：（2023·湖北随州·统考中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当的三个内角均小于时，
如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，
由，可知为 ① 三角形，故，又，故，
由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ；
已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；
(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）
【答案】(1)①等边；②两点之间线段最短；③；④A．(2)(3)
【详解】（1）解：∵，
∴为等边三角形；∴，，
又，故，
由两点之间线段最短可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，
最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，
∴，，∴，，
又∵，∴，
∴，∴；
∵，∴，，∴，，
∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小．
又∵已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．
∴该三角形的“费马点”为点A，故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③；④．
（2）将绕，点C顺时针旋转得到，连接，
由（1）可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，
∵，∴，
又∵∴，
由旋转性质可知：，∴，∴最小值为，
（3）∵总的铺设成本
∴当最小时，总的铺设成本最低，
将绕，点C顺时针旋转得到，连接，
由旋转性质可知：，，，，
∴，∴，
当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，
过点作，垂足为，∵，，∴，
∴，∴，
∴，∴
的最小值为
总的铺设成本（元）故答案为：
◆变式训练
1．（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，点M是矩形内一点，且，，N为边上一点，连接、、，则的最小值为______．
【答案】
【详解】如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接、，
根据旋转的性质有：，，，
为等边三角形，同理为等边三角形，
，，，
当线段、、三条线段在同一直线上，且该直线与垂直时，的值最小，即的值最小，如下图，过点作于点E，交于点F，
最小值为：，在矩形中，于点E，
即可知四边形是矩形，，即，
为等边三角形，，，
，，
的最小值为，故答案为：．
1．（2024·山东泰安·中考真题）下面图形中，中心对称图形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：第一个是中心对称图形，符合题意；第二个是是中心对称图形，符合题意；
第三个是是中心对称图形，符合题意； 第四个不是中心对称图形，不符合题意；
所以符合题意的有3个．故选：C．
2．（2024·广东广州·中考真题）下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由图形可知，阴影部分的两个三角形关于点对称的是C，故选：C．
3．（2024·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标．关于原点对称的两点，则其横、纵坐标互为相反数，由点关于原点对称的坐标特征即可求得对称点的坐标．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为；
故选：B．
4．（2024·内蒙古通辽·中考真题）剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合．则点关于对称轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵图形的对称轴是轴，
∴在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为，故选：C．
5．（2024·河北·中考真题）如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由轴对称图形的性质得到，，
∴，∴B、C、D选项不符合题意，故选：A．
5．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，中，，．将绕点A顺时针旋转得到，点与点B是对应点，点与点C是对应点．若点恰好落在BC边上，下列结论：①点B在旋转过程中经过的路径长是；②；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④
【答案】A
【详解】解：∵，，∴，，
由旋转的性质得，，，，，∴，∴，
∴，∴，由旋转的性质得，
∴，
①点B在旋转过程中经过的路径长是；①说法正确；
②∵，∴；②说法正确；
③∵，∴，∴；③说法正确；
④∵，，∴，
∴．④说法正确；综上，①②③④都是正确的，故选：A．
6．（2024·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为，∴，
∵四边形是矩形，∴，
∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，
∴，，∴轴，∴点的坐标为，故选：C．
7．（2024·北京·中考真题）如图，在菱形中，，为对角线的交点.将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为，，，.对八边形给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点到该八边形各顶点的距离都相等；④点到该八边形各边所在直线的距离都相等。上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【详解】向两方分别延长，连接，
根据菱形，，则，，
∵菱形绕点逆时针旋转得到菱形，
∴点一定在对角线上，且，，
∴，，∵，∴，
∴，，同理可证，
∵，∴，∴，
∴，∴该八边形各边长都相等，故①正确；
根据角的平分线的性质定理，得点到该八边形各边所在直线的距离都相等，∴④正确；
根据题意，得，∵，，
∴，∴该八边形各内角不相等；∴②错误，根据，
∴，∴，∵，故，
∴点到该八边形各顶点的距离都相等错误∴③错误，故选B．
8．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，将绕点O逆时针旋转到位置，则点B坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，∴，，
∵将绕点O逆时针旋转到，∴，
∴，，∴点B坐标为，故选：A．
9.（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接．点M，N分别是的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【详解】解：四边形是矩形，，，
点M，N分别是的中点，，，，，
，，，
又，四边形是平行四边形，，，
如图，作点C关于直线的对称点M，连接，，则，
当点B，P，M三点共线时，的值最小，最小值为，
在中，，，
，的最小值，故选C．
10．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，中，，，，折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点D，与交于点E，则的长为 ．
【答案】3
【详解】解：由折叠的性质，得，设，则，
由勾股定理，得，∴，解得.故答案为：3．
11．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则 ．
【答案】/度
【详解】解：作关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，连接，关于对称，
∴，
同理，，，
，，
是等腰三角形．，故答案为：．
12．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时， ．
【答案】/
【详解】解：∵在中，，，∴，，
∵点是的中点，∴，
∴在中，，
∵将绕点旋转得到，∴，
∴，，，如图所示，过于点，
∵∥，∴，∴是等腰直角三角形，且，
∴，在中，，
∴，故答案为：．
13．（2023·江西·统考中考真题）如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为 ．
【答案】或或
【详解】解：连接，取的中点，连接，如图所示，
∵在中，，∴，
∴是等边三角形，∴，，∴
∴，∴∴，
如图所示，当点在上时，此时，则旋转角的度数为，
当点在的延长线上时，如图所示，则
当在的延长线上时，则旋转角的度数为，如图所示，
∵，，∴四边形是平行四边形，
∵∴四边形是矩形，∴即是直角三角形，
综上所述，旋转角的度数为或或故答案为：或或．
14．（2024·四川泸州·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：根据题意，点向上平移2个单位，得到点，
∴，，∴，，∴，
根据题意，将点绕原点按逆时针方向旋转，∴，
作轴于点，∴，，
∴，∴点的坐标为，故答案为：．
15．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ．
【答案】/
【详解】解：∵等腰中，，，∴，
∵为中线，∴，，∴，，∴，
∵将沿其底边中线向下平移，∴，，
∴，∴，∵，∴，
∴，∴，∴；故答案为：．
15．（2024·吉林长春·中考真题）一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合，．现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点A经过的路径长至少为 ．（结果保留）
【答案】
【详解】解：∵将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，
∴,即，∴点A经过的路径长至少为．
故答案为：．
17．（2024·甘肃·中考真题）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上）
【答案】A或C
【详解】根据轴对称图形的定义，发现放在B，D处不能构成轴对称图形，放在A或C处可以，
故答案为：A或C．
18．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标；
(2)画出绕点A逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
(3)在（2）的条件下，求点B旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）
【答案】(1)作图见解析，(2)作图见解析，(3)
【详解】（1）解：如图，为所求；点的坐标为，
（2）如图，为所求；，（3），
点B旋转到点的过程中所经过的路径长．
19.（2023·四川达州·统考中考真题）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在小正方形的格点上．(1)将向下平移3个单位长度得到，画出；(2)将绕点顺时针旋转90度得到，画出；(3)在（2）的运动过程中请计算出扫过的面积．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【详解】（1）解：作出点A、B、C平移后的对应点，、，顺次连接，则即为所求，如图所示：
（2）解：作出点A、B绕点顺时针旋转90度的对应点，，顺次连接，则即为所求，如图所示：
（3）解：∵，，，∴，
∵，∴，∴为等腰直角三角形，
∴，根据旋转可知，，∴，
∴在旋转过程中扫过的面积为．
20．（2024·广西·中考真题）如图1，中，，．的垂直平分线分别交，于点M，O，平分．(1)求证：；
(2)如图2，将绕点O逆时针旋转得到，旋转角为．连接，
①求面积的最大值及此时旋转角的度数，并说明理由；
②当是直角三角形时，请直接写出旋转角的度数．
【答案】(1)见解析(2)①，；②或
【详解】（1）证明：∵垂直平分，∴，∴，
∵平分∴，∴，又；∴；
（2）解：①∵，∴，∴，∴，
又，∴，，∵垂直平分，∴，，
∴，∴，取中点，连接，，作于N，
由旋转的性质知，为旋转所得线段，
∴，，，根据垂线段最短知，
又，∴当M、O、三点共线，且点O在线段时，取最大值，最大值为，此时，∴面积的最大值为；
②∵，，∴，同理
∴为直角三角形时，只有，
当A和重合时，如图，∵∴，，∴，
∵，∴，∴，
∴、O、M三点共线，∴为直角三角形，此时旋转角；
当和C重合时，如图，同理，，∴，
∵，∴，∴，∴、O、M三点共线，
又∴为直角三角形，此时旋转角；
综上，旋转角的度数为或时，为直角三角形．
1．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，沿所在直线向右平移得到，已知，，则平移的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由平移的性质可知，，∵，∴，
∴，∴平移的距离为，故选：A．
2．（2025·广东广州·模拟预测）你有没有把零花钱储存到银行的习惯？下列图案是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【详解】解：标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是第一个、第三个标志，共2个．
故选：C
3．（2022·四川绵阳·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，矩形的顶点分别在轴，轴上，对角线轴，已知，.现将直线向上平移个单位长度，使平移后的直线恰好平分矩形的面积，则的值为（ ）
A． B．8 C．9 D．
【答案】A
【详解】解：作轴于，连接，交于点，则是的中点，
∵对角线轴，，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，即，
∴，∴，∴，∴，
当时，，∴，设平移后的直线为，
∵当经过点时，平移后的直线恰好平分矩形的面积，
∴，解得，∴平移后的直线为，
当时，，∴，∴的值为，故选：A．
4．（2022·安徽·校联考模拟预测）如图，在锐角中，D为边上一点，，将绕点C顺时针旋转后得到，且点D，B的对应点分别为A，E，交于点O，连接．下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由题意知，
又∵，∴为等边三角形，∴，故A项正确；
∵，∴，∴，∴，故B项正确；
∵，∴，∵，，∴，故C项正确；
根据已知条件推不出，故D项错误．故选：D．
5．（2024·江西南昌·校考二模）数学小组将两块全等的含角的三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究．如图1，其中，，，将沿射线方向平移，得到，分别连接，（如图2所示），下列有关四边形的说法正确的是（ ）
A．先是平行四边形，平移个单位长度后是菱形
B．先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移2个单位长度后是菱形
C．先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移3个单位长度后是正方形
D．在平移的过程中，依次出现平行四边形、矩形、菱形、正方形
【答案】B
【详解】解：由题意可得：平移过程中，，，，
∴四边形是平行四边形，刚开始平移时，，
∴如图，当平移至时，，
∴此时四边形是矩形，且不可能为正方形，，
∴平移距离为：，即平移个单位长度后是矩形，
继续平移，当与共线时，此时，即四边形是菱形，
此时的总平移距离为，即再平移个单位长度后是菱形；
综上可得：平移过程中，四边形先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是菱形，故选B．
6．（2024·河北唐山·统考三模）如图，已知长方形纸片，M为边上的一点，将纸片沿，折叠使点A落在处，点D落在处，如果，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：将纸片沿，折叠使点A落在处，点D落在处，
，，，
，，
， ，，
．故选D．
7.（2023上·河南信阳·九年级统考期中）如图，小芳在镜子里看镜子对面电子钟的示数为，你能确定准确时间是 ．
【答案】
【详解】解：根据平面镜成像原理及轴对称图形的性质可知实际时间为；故答案为：
8．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，沿x轴向右平移后得到，点A的对应点在直线上一点，则点A与其对应点之间的距离为 ．
【答案】4
【分析】本题考查一次函数的平移和点坐标的平移问题，先根据向右平移纵坐标相同得到点的坐标为，即可求解平移距离．
【详解】解：连接，如图所示，根据平移可知：，且轴．
当时，，解得：，∴点的坐标为，
又∵点A的坐标为，∴．故答案为：4．
9．（2023·广东茂名·统考二模）如图，在中，，点在边上，，将沿折叠，的对应边交于点，连接．若，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：过点作于点，
，
∵将沿折叠，的对应边交于点，，
，是等边三角形，，
，，，
，，，，
，，
，，，
，，，
，∴点与点重合，，故答案为：．
10．（2023·广东茂名·统考二模）如图，在矩形中，已知，，点P是边上一动点（点P不与点B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，连接，作的角平分线交边于点N，则线段的最小值为 ．
【答案】/
【详解】解：连接，如图所示：
∵点B关于直线的对称点M，∴，∵，
当A、M、N三点共线时，此时取最小，，
∵四边形是矩形，∴，
由轴对称的性质得：，∴，
∵平分，∴，又∵，∴，
∴，在中，由勾股定理得：，
解得： ，故线段的最小值为，故答案为：．
11．（2023·四川成都·模拟预测）如图1，将一张菱形纸片沿对角线剪开，得到和，再将以D为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使，得到如图2所示的，连接，，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
【答案】①②③
【详解】解：如图2中，过点D作于点E，
由旋转的性质，得，∴，，
∵，∴，∴，∴．同理，，∴，
又∵，∴四边形是平行四边形，
又∵，∴，
∴四边形是矩形，∴；；故①②正确；
∵，∴，∵，∴，∴；故③正确，
∵是等腰直角三角形，∴，
∵，∴，故④错误，∴正确的有①②③，故答案为①②③．
12．（2024·辽宁抚顺·统考二模）用两个全等且边长为的等边三角形和等边三角形拼成菱形，把一个含角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的角的顶点与点重合，两边分别与、重合，将三角尺绕点按逆时针方向旋转，在转动过程中，当的面积是时，的长为 ．
【答案】或
【详解】①当点在线段上时，如图，过点作，
为等边三角形，，，
，即，，．
三角尺角的顶点与点重合，，
，即．
又两个全等且边长为的等边三角形和等边三角形拼成菱形，
，，，；
②当点在线段的延长线上时，如图：由①可知，，．
，，即．
又，，，．
的长为或，故答案为：或．
13．（2023·四川成都·校考三模）如图，在菱形中，，点为边中点，点在边上，将四边形沿直线翻折，使的对应边为，当时，的值为 ．
【答案】/
【详解】过点D作于点K，设与的交点为E，延长交于点L，
∵四边形沿直线翻折，∴，
∵，，∴，∴设，则，∴，
∵点为边中点，∴，∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，，，
∵，，，∴，
∴四边形是矩形，∴， ∴，，
∴设，∴，根据折叠的性质，得，
∴∴，∴，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查锐角三角形函数，菱形，折叠，矩形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握锐角三角形函数的运用，菱形的性质，折叠的性质，勾股定理．
14．（2023·浙江·统考中考真题）一副三角板和中，．将它们叠合在一起，边与重合，与相交于点G（如图1），此时线段的长是 ，现将绕点按顺时针方向旋转（如图2），边与相交于点H，连结，在旋转到的过程中，线段扫过的面积是 ．
【答案】
【详解】解：如图1，过点G作于H，
∵，，∴，，
∵，∴，∴；
如图2，将绕点C顺时针旋转得到，与交于，连接，
由旋转的性质得：，，∴是等边三角形，
∵，∴，∴，∵，∴，即垂直平分，
∵是等腰直角三角形，∴点在直线上，
连接，是旋转到的过程中任意位置，
则线段扫过的面积是弓形的面积加上的面积，
∵，∴，∴，
作于N，则，∴，
过点B作交的延长线于M，则，
∵，，∴，∴，
∴线段扫过的面积，，
，，
故答案为：，．
15．（2023·四川广安·统考二模）如图，在的网格上，由个数相同的白色方块与黑色方块组成一幅图案，请仿照此图案，在下图的网格中分别设计出符合要求的图案（注：①不得与原图案相同；②黑、白方块的个数要相同）．
【答案】见解析
【详解】解：如下图，是轴对称图形，又是中心对称图形；
如下图，是轴对称图形，不是中心对称图形；
如下图，是中心对称图形，不是轴对称图形；
16．（2023·安徽滁州·统考二模）如图，已知A，B，C是平面直角坐标系上的三个点．
(1)请画出关于原点O对称的；(2)将向右平移8个单位得到，请画出；(3)与是否也关于某个点成中心对称？如果是，请写出它们对称中心的坐标，如果不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)与关于点对称，理由见解析
【分析】（1）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数找到A、B、C对应点，然后顺次连接即可；（2）先根据平移方式找到的对应点，然后顺次连接即可；（3）求出的中点是同一点，即，则与关于点对称．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：与关于点对称，理由如下：
由题意得，，，，，，，
∴的中点坐标分别为，，，即的中点是同一点，
∴与关于点对称．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——平移和中心对称，画平移图形，画中心对称图形，找对称中心等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
17．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，将矩形沿对角线剪开，再把沿方向平移得到．(1)求证：；(2)若，试问当点在线段上的什么位置时，四边形是菱形，并请说明理由．
【答案】(1)证明见解析(2)当点在线段的中点时，四边形是菱形，理由见解析
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，∴，
由平移的性质可得，
∴，∴
（2）解：当点在线段的中点时，四边形是菱形，理由如下：
∵四边形是矩形，∴，，，
由平移的性质可得，∴，
∴四边形是平行四边形，∵，∴，
∵点是线段的中点，∴，∴，∴四边形是菱形．
18．（2023·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，在的正方形网格中，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．
(1)在图中作出关于直线l对称的（要求A与，B与，C与相对应）
(2)在直线l上找一点P，使得的周长最小
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于直线l对称的点，然后顺次连接；
（2）连接与l的交点即为点P，此时的周长最小．
【详解】（1）解：所作图形如图所示；
；
（2）解：点P即为所求的点．由轴对称知，又的长为定值，
∴的周长为，∴当共线时，的周长最小．
【点睛】本题考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出点A、B、C关于直线l对称的点，然后顺次连接．
19．（2024·广西南宁·二模）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．
(1)将向右平移4个单位长度得到的，请画出；
(2)若点C的坐标为，请你在网格中画出平面直角坐标系，点O为坐标原点；
(3)在（2）的条件下，请画出关于点O对称的图形，并写出点的坐标．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)画图见解析，点的坐标为
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，坐标系即为所求，点O即为此坐标系的原点；
（3）解：如图，即为所求，
由图知，点的坐标为．
20．（2025·广东·模拟预测）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，，，过点作射线，垂足为，点在上．
(1)【动手操作】如图②，若点在线段上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转与交于点，根据题意在图中画出图形，图中的度数为______度；
(2)【问题探究】根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】如图③，若在直角中，，，点在线段上，将射线绕点逆时针旋转与交于点，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)(2)，理由见解析(3)，理由见解析
【详解】（1）解：如图，∵，，∴，
∵，∴，∴，
∴图中的度数为度，故答案为：；
（2）．理由：如图，连接，
∵将射线绕点逆时针旋转与交于点，∴，
∵，∴，∴四边形内接于直径为的圆，
∴，∴，∴，∴；
（3）当点在线段上时，连接，过点作交于点，如图所示，
∵将射线绕点逆时针旋转与交于点，∴，
∵，，，∴，，
∴，，∴，
∵，，
∴，∴，∴，
∵，∴四边形内接于直径为的圆，
∴，∴，∴，
∴，∴，∴，
∵，，∴，∴，
即．
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第六章 图形的变化
6.2 图形的轴对称、 平移与旋转
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 图形的平移 ☆ 浙江中考数学（省卷）中，实数与二次根式的部分，考查1-2道题，分值为10分左右，通常以选填题（1题）、解答题（1题）的形式考查。预计2025年各地中考还将继续考查这些知识点，考查形式主要有选填题、作图题、也可能综合题结合其他考点出现。
考点2 图形的旋转 ☆☆
考点3 图形的轴对称 ☆☆☆
考点4 最短路径问题 ☆☆☆
图形的变换以考查平面几何的三大变换的基本运用为主，在三种变换中，平移相对较为简单，多以选择题形式考察，偶尔也会考察作图题；对称和旋转则难度较大，通常作为选择、填空题的压轴题出现（考查最值问题居多），在解答题中，也会考查对称和旋转的作图，以及与特殊几何图形结合的综合压轴题，此时常需要结合几何图形或问题类型去分类讨论。
2
4
■考点一 图形的平移 4
■考点二 图形的旋转 7
■考点三 图形的轴对称 18
■考点四 最短路径问题 22
31
45
■考点一 图形的平移
1）平移的概念：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做 。平移不改变图形的 和 。
2）三大要素： （1）平移的 ，（2）平移的 ，（3）平移的 。
3）性质： （1）平移前后，对应线段 且 、对应角 ；（2）各对应点所连接的线段 (或在同一条直线上)且相等；（3）平移前后的图形 。
4）作图步骤：（1）根据题意，确定平移的 和平移的 ；（2）找出原图形的 ；（3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的 ；（4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形。
■考点二 图形的旋转
1）定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫 ．这个定点叫做旋转 ，转过的这个角叫做 。
2）三大要素：（1）旋转；（2）旋转；（3）旋转。
3）性质：（1）对应点到旋转中心的距离 ；（2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 ；（3）旋转前后的图形 。
4．作图步骤：（1）根据题意，确定旋转 、旋转 及 ；（2）找出原图形的 ；（3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的 ；（4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形。
5）中心对称图形与中心对称
中心对称 中心对称图形
图形
定义 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做 。 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做 ，这个点叫做它的 。
区别 中心对称是指两个图形的关系。 中心对称图形是指具有某种特性的一个图形
联系 两者可以相互转化，如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这“一个图形”就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这“两个图形”中心对称。
■考点三 图形的轴对称
1）轴对称与轴对称图形
轴对称 轴对称图形
图形
定义 把一个图形沿着某一条直线 ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做 。 如果一个平面图形沿一条直线 ，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做 。这条直线就是它的对称轴。
区别 （1）轴对称是指两个图形折叠重合。 （2）轴对称对称点在两个图形上。 （3）轴对称只有一条对称轴。 （1）轴对称图形是指本身折叠重合。 （2）轴对称图形对称点在一个图形上。 （3）轴对称图形至少有一条对称轴。
联系 （1) 定义中都有一条直线,都要沿着这条直线折叠重合。 （2) 如果把轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个 ；反之, 如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分(即看成两个图形),那么这两个图形就关于这条直线成轴对称。
性质 （1）关于某条直线对称的两个图形是 。 （2）两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的 。
判定 （1）两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。 （2）两个图形关于某条直线成轴对称,那么对称轴是对折重合的折痕线。
2）作轴对称图形的一般步骤：
（1）作某点关于某直线的对称点的一般步骤：①过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足，并延长；②在延长线上从垂足出发截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点。
（2）作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤：①找.在原图形上找特殊点（如线段的端点、线与线的交点）；②作.作各个特殊点关于已知直线的对称点；③连.按原图对应连接各对称点。
3）折叠的性质：折叠的实质是 ，折叠前后的两图形 ，对应边和对应角 ．
■考点四 最短路径问题
与图形变换相关的最值问题有：将军饮马（遛马、造桥）（轴对称、平移）、费马点问题（旋转）、瓜豆原理（圆弧轨迹类）（旋转）等。
■考点一 图形的平移
◇典例1：（2024·广东深圳·模拟预测）如图所示的图案是一些汽车的车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2022·广西·中考真题）2022北京冬残奥会的会徽是以汉字“飞”为灵感来设计的，展现了运动员不断飞跃，超越自我，奋力拼搏，激励世界的冬残奥精神下列的四个图中，能由如图所示的会徽经过平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将点先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3.（2024·重庆江津·九年级期中）已知，在平面直角坐标系中的位置如图所示：(1)写出A、B、C三点的坐标；(2)求的面积；(3)中任意一点经平移后对应点为，将作同样的平移得到，画出．
◇典例2：（2024·广东深圳·模拟预测）在《生活中的平移现象》的数学讨论课上，小王和小李先将一块含的三角板描边得到，后沿着直尺方向平移，再描边得到，连接．如图，经测量发现的为，则四边形的周长为（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
◆变式训练
1．（2024·广东广州·一模）如图，将沿方向平移到，若，，则平移距离为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2024·广东清远·模拟预测）如图，中，，，，将沿着直线向右平移到的位置，与相交于点G，连接．下列结论：
①；②是直角三角形；③四边形的面积是；
④四边形是菱形；⑤．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
■考点二 图形的旋转
◇典例3：（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·山东·统考中考真题）如图，点E是正方形内的一点，将绕点B按顺时针方向旋转得到．若，则 度．
2．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，矩形中，，，将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形，当点C，，三点共线时，交于点E，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
◇典例4：（2023·浙江金华·统考中考真题）在直角坐标系中，点绕原点逆时针方向旋转，得到的点的坐标是 ．
◆变式训练
1．（2023·海南·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，点在轴的正半轴上，且，将菱形绕原点逆时针方向旋转，得到四边形点与点重合，则点的坐标是( )
A． B． C． D．
◇典例5：（2024·陕西西安·陕西师大附中校考二模）2023年10月8日晚，伴随圣火缓缓熄灭，杭州第19届亚运会圆满闭幕，亚运是体育盛会，也是文化旅游的盛会．下列与杭州亚运会有关的图案中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2024·湖南永州·校考二模）2022年11月29日23时08分，由航天科技集团五院抓总研制的神舟十五号载人飞船，由长征二号F运载火箭稳稳托举，在酒泉卫星发射中心一飞冲天，将费俊龙、邓清明、张陆3名航天员送入太空，展现了中国航天科技的强大．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·山东青岛·统考三模）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，下列窗花作品是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
◇典例6：（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若，．则AB的长可能是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．11
◆变式训练
1．（2023·浙江杭州·二模）如图，抛物线（a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
◇典例7：（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空．
(1)画出线段绕点O顺时针旋转后得到的线段，连接；
(2)画出与关于直线对称的图形，点A的对称点是C；
(3)填空：的度数为_________．
◆变式训练
1．（2024·辽宁抚顺·统考模拟预测）在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系的三个顶点都在格点上，A的坐标是，请回答下列问题：
(1)将向下平移六个单位长度，画出平移后的；(2)画出关于原点O对称的；
(3)判断与是否关于某点成中心对称；若是，请画出对称中心M，并写出点M的坐标．
◇典例8：（2025·广东佛山·一模）如图，在矩形中，，点P在线段上运动（含B、C两点），将点P绕点A逆时针旋转到点Q，连接，则线段的最小值为（）
A． B． C． D．3
◆变式训练
1．（2025·广东·模拟预测）【问题情境】如图，在中，，，点在边上将线段绕点顺时针旋转得到线段（旋转角小于），连接，、以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接．
【尝试探究】（1）如图，当时，易知；如图，当时，则与的数量关系为______；（2）如图，请判断与的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】（3）如图，当且点，、三点共线时若，，求的长．
2．（2025·广东深圳·一模）【问题背景】：如图1，在矩形中，，点E是边的中点，过点E作交于点F．
【实验探究】：（1）在一次数学活动中，小明在图1中发现 ；将图1中的绕点B按逆时针方向旋转，连接，，如图2所示，发现 ；
（2）小亮同学继续将绕点B按逆时针方向旋转，连接，旋转至如图3所示位置，请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；
【拓展延伸】：（3）在以上探究中，当旋转至D、E、F三点共线时，的长为 ．
■考点三 图形的轴对称
◇典例9：（2025·广东深圳·一模）全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量，图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下图书馆标志中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·广东汕尾·统考二模）《国语》有云：“夫美也者，上下、内外、小大、远近皆无害焉，故曰美．”这是古人对于对称美的一种定义，这种审美法则在生活中体现得淋漓尽致．在下列扬州剪纸图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ）
A． B． C． D．
◇典例10：（2024·广东潮州·二模）如图，在中，，，，点D在边上，点E在边上，将沿着折痕翻折后，点A恰好落在线段的延长线上的点P处，如果，那么折痕的长为 ．
◆变式训练
1．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，将长方形纸片进行折叠，为折痕，点A与点、点B与点、点C与点重合．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南信阳·校考三模）如图，中，，，，点M、N分别在、边上（不与端点重合），连接，将沿翻折，使点C的对应点P落在所在的直线上，若垂直于的一边，则长为 ．
■考点四 最短路径问题
◇典例11：（2025·广东梅州·一模）在平面直角坐标系中，，过点B的直线轴，点P在直线m上运动，是右侧的等腰直角三角形，且，点C在直线上，则当取最小值时点P的横坐标是 ．
◆变式训练
1. （2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 ．
2.（2023·江苏盐城·统考模拟预测）如图，已知，等边中，，将沿翻折，得到，连接，交于O点，E点在上，且，F是的中点，P是上的一个动点，则的最大值为 ．
◇典例12：（2023·湖北十堰·统考中考真题）在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D，E，F分别为，，的中点，G，H分别为，的中点），小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为 ，最大值为 ．
◆变式训练
1．（2024·江苏泰州·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点、分别是直线与坐标轴的交点，点，点是边上的一点，，垂足为，点在边上，且、两点关于轴上某点成中心对称，连接、．线段长度的最小值为 ．
2．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，，分别是斜边，的中点，．(1)将绕顶点旋转一周，请直接写出点，距离的最大值和最小值；(2)将绕顶点逆时针旋转（如图），求的长．
◇典例13：（2023·湖北随州·统考中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当的三个内角均小于时，
如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，
由，可知为 ① 三角形，故，又，故，
由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ；
已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；
(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）
◆变式训练
1．（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，点M是矩形内一点，且，，N为边上一点，连接、、，则的最小值为______．
1．（2024·山东泰安·中考真题）下面图形中，中心对称图形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024·广东广州·中考真题）下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·内蒙古通辽·中考真题）剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合．则点关于对称轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·河北·中考真题）如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，中，，．将绕点A顺时针旋转得到，点与点B是对应点，点与点C是对应点．若点恰好落在BC边上，下列结论：①点B在旋转过程中经过的路径长是；②；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④
6．（2024·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·北京·中考真题）如图，在菱形中，，为对角线的交点.将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为，，，.对八边形给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点到该八边形各顶点的距离都相等；④点到该八边形各边所在直线的距离都相等。上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
8．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，将绕点O逆时针旋转到位置，则点B坐标为（ ）
A． B． C． D．
9.（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接．点M，N分别是的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
10．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，中，，，，折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点D，与交于点E，则的长为 ．
11．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则 ．
12．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时， ．
13．（2023·江西·统考中考真题）如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为 ．
14．（2024·四川泸州·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为 ．
15．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ．
15．（2024·吉林长春·中考真题）一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合，．现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点A经过的路径长至少为 ．（结果保留）
17．（2024·甘肃·中考真题）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上）
18．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标；
(2)画出绕点A逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
(3)在（2）的条件下，求点B旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）
19.（2023·四川达州·统考中考真题）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在小正方形的格点上．(1)将向下平移3个单位长度得到，画出；(2)将绕点顺时针旋转90度得到，画出；(3)在（2）的运动过程中请计算出扫过的面积．
20．（2024·广西·中考真题）如图1，中，，．的垂直平分线分别交，于点M，O，平分．(1)求证：；
(2)如图2，将绕点O逆时针旋转得到，旋转角为．连接，
①求面积的最大值及此时旋转角的度数，并说明理由；
②当是直角三角形时，请直接写出旋转角的度数．
1．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，沿所在直线向右平移得到，已知，，则平移的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·广东广州·模拟预测）你有没有把零花钱储存到银行的习惯？下列图案是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．（2022·四川绵阳·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，矩形的顶点分别在轴，轴上，对角线轴，已知，.现将直线向上平移个单位长度，使平移后的直线恰好平分矩形的面积，则的值为（ ）
A． B．8 C．9 D．
4．（2022·安徽·校联考模拟预测）如图，在锐角中，D为边上一点，，将绕点C顺时针旋转后得到，且点D，B的对应点分别为A，E，交于点O，连接．下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·江西南昌·校考二模）数学小组将两块全等的含角的三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究．如图1，其中，，，将沿射线方向平移，得到，分别连接，（如图2所示），下列有关四边形的说法正确的是（ ）
A．先是平行四边形，平移个单位长度后是菱形
B．先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移2个单位长度后是菱形
C．先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移3个单位长度后是正方形
D．在平移的过程中，依次出现平行四边形、矩形、菱形、正方形
6．（2024·河北唐山·统考三模）如图，已知长方形纸片，M为边上的一点，将纸片沿，折叠使点A落在处，点D落在处，如果，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
7.（2023上·河南信阳·九年级统考期中）如图，小芳在镜子里看镜子对面电子钟的示数为，你能确定准确时间是 ．
8．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，沿x轴向右平移后得到，点A的对应点在直线上一点，则点A与其对应点之间的距离为 ．
9．（2023·广东茂名·统考二模）如图，在中，，点在边上，，将沿折叠，的对应边交于点，连接．若，则的长为 ．
10．（2023·广东茂名·统考二模）如图，在矩形中，已知，，点P是边上一动点（点P不与点B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，连接，作的角平分线交边于点N，则线段的最小值为 ．
11．（2023·四川成都·模拟预测）如图1，将一张菱形纸片沿对角线剪开，得到和，再将以D为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使，得到如图2所示的，连接，，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
12．（2024·辽宁抚顺·统考二模）用两个全等且边长为的等边三角形和等边三角形拼成菱形，把一个含角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的角的顶点与点重合，两边分别与、重合，将三角尺绕点按逆时针方向旋转，在转动过程中，当的面积是时，的长为 ．
13．（2023·四川成都·校考三模）如图，在菱形中，，点为边中点，点在边上，将四边形沿直线翻折，使的对应边为，当时，的值为 ．
14．（2023·浙江·统考中考真题）一副三角板和中，．将它们叠合在一起，边与重合，与相交于点G（如图1），此时线段的长是 ，现将绕点按顺时针方向旋转（如图2），边与相交于点H，连结，在旋转到的过程中，线段扫过的面积是 ．
15．（2023·四川广安·统考二模）如图，在的网格上，由个数相同的白色方块与黑色方块组成一幅图案，请仿照此图案，在下图的网格中分别设计出符合要求的图案（注：①不得与原图案相同；②黑、白方块的个数要相同）．
16．（2023·安徽滁州·统考二模）如图，已知A，B，C是平面直角坐标系上的三个点．
(1)请画出关于原点O对称的；(2)将向右平移8个单位得到，请画出；(3)与是否也关于某个点成中心对称？如果是，请写出它们对称中心的坐标，如果不是，请说明理由．
17．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，将矩形沿对角线剪开，再把沿方向平移得到．(1)求证：；(2)若，试问当点在线段上的什么位置时，四边形是菱形，并请说明理由．
18．（2023·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，在的正方形网格中，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．(1)在图中作出关于直线l对称的（要求A与，B与，C与相对应）；(2)在直线l上找一点P，使得的周长最小
19．（2024·广西南宁·二模）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．
(1)将向右平移4个单位长度得到的，请画出；
(2)若点C的坐标为，请你在网格中画出平面直角坐标系，点O为坐标原点；
(3)在（2）的条件下，请画出关于点O对称的图形，并写出点的坐标．
20．（2025·广东·模拟预测）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，，，过点作射线，垂足为，点在上．
(1)【动手操作】如图②，若点在线段上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转与交于点，根据题意在图中画出图形，图中的度数为______度；
(2)【问题探究】根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】如图③，若在直角中，，，点在线段上，将射线绕点逆时针旋转与交于点，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
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