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第五章 圆
5.2 与圆相关的位置关系及计算
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 点、直线与圆的位置关系 ☆☆ 浙江中考数学（省卷）中，与圆相关的位置关系与计算的部分，考查2道题，分值为10分左右，通常以选填题（1题）、 计算题（1题）的形式考查。关键是掌握基础知识、基本方法，力争拿到全分。预测2025年浙江中考还会延续这种命题趋势，并也有可能出现创新型题目。
考点2 切线的性质及相关计算 ☆☆☆
考点3 弧长、扇形面积的计算 ☆☆☆
考点4 正多边形与圆 ☆☆☆
与圆相关的位置关系主要内容包括点、直线与圆的位置关系、切线的性质和判定、三角形的内切圆和外接圆三块，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合；与圆相关的计算主要结合圆周角和圆心角相关知识围绕计算正多边形相关知识、弧长、扇形面积、不规则图形的面积及圆锥相关知识命题。
1
4
■考点一 点、直线与圆的位置关系 4
■考点二 切线的性质及相关计算 4
■考点三 弧长、扇形面积的计算 5
■考点四 正多边形与圆 5
6
6
■考点一 点、直线与圆的位置关系
1）点和圆的位置关系：已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：
图1 图2
(1)dr 点在⊙O外 ，如图3．
解题技巧：掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系。
2）直线和圆的位置关系：
设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下：
图1 图2 图3
(1)d>r 相离 ，如图1；(2)d=r 相切 ，如图2；(3)d■考点二 切线的性质及相关计算
1）切线的性质：（1）切线与圆只有一个公共点 ；（2）切线到圆心的距离等于圆的半径 ；（3）切线垂直于 经过切点的半径。
解题技巧：利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题。
2）切线的判定
（1）与圆只有一个公共点 的直线是圆的切线（定义法）；
（2）到圆心的距离等于半径 的直线是圆的切线（数量关系法）；
（3）经过半径外端点 并且垂直 于这条半径的直线是圆的切线（判定定理法）。
切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径。
3）切线长定理
定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长 。
定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等 ，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
解题技巧：切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角三角形来求解。
4）三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆 ，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心 ，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
5）三角形内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 ，内切圆的圆心叫做三角形的内心 ，这个三角形叫做圆的外切三角形。
6）三角形的外心：三角形三边中垂线 的交点，叫该三角形的外心 。
7）三角形的内心：三角形三条角平分线 的交点，叫该三角形的内心 。
8）常见结论
（1）三角形内切圆半径： ，其中S为三角形的面积；C为三角形的周长；
（2）直角三角形内切圆半径： ，其中a，b为直角三角形的直角边长，c为斜边长。
■考点三 弧长、扇形面积的计算
1）弧长、扇形面积、圆锥的相关计算
（1)设⊙O 的半径为R，n°圆心角所对弧长为，n为弧所对的圆心角的度数，则
（1）弧长公式： ；（2）扇形面积公式： 或 ．
（3）圆锥侧面积公式：S圆锥侧=πrl （其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径）
（4）圆锥全面积公式：S圆锥全=πrl+πr2 （圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积）
注：圆锥的相关公式难以记忆，建议牢记圆锥与侧面展开图的图形形式，并理解侧面展开图与扇形之间的关系。相关公式在解题过程中进行推导。
2）不规则图形的面积的计算：求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化 思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：割补 法、等积变换 法、图形变换 法等。
■考点四 正多边形与圆
1）正多边形的相关概念
正多边形概念：各条边相等 ，并且各个内角也都相等 的多边形叫做正多边形。
正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心 。
正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径 。
正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角 。
正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距 。
2）正多边形的常用公式 （Rn为正多边形外接圆的半径）
边长：；周长：；边心距： ；面积： ；
内角度数：；外角/中心角度数：；边长、半径、边心距的关系： 。
注意：正多边形的内切圆与外接圆为同心圆.
■考点一 点、直线与圆的位置关系
◇典例1：（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：连接交于，如图，
在中，由勾股定理得：，则，
，，与相交，且点在外，必须，
即只有选项B符合题意，故选：B．
◆变式训练
1.（2024·上海·校联考模拟预测）矩形中，，，点在边上，且，如果圆是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A．点，均在圆外 B．点在圆外，点在圆内
C．点在圆内，点在圆外 D．点，均在圆内
【答案】C
【详解】解：如图，四边形为矩形，，
，，，，
在中，，，，
在中，，，，
，点在圆内，点在圆外．故选：．
2．（2024·重庆·统考二模）如图，已知及其所在平面内的个点．如果半径为，那么到圆心距离为的点可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】C
【分析】根据点与圆的位置关系即可求解．
【详解】解：根据题意得，半径为，如图所示，连接，
∴，∴到圆心距离为的点可能是点，故选：．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，理解并掌握点到圆心的线段与圆的半径的大小关系是解题关键．
◇典例2：（24-25九年级上·四川德阳·期末）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线的距离，则直线与的交点个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．没有交点 D．不能确定
【答案】B
【详解】解：，，解得，的半径是，
，直线与的位置关系是相交，∴直线与有2个交点，故选：B．
◆变式训练
1．（2024·浙江湖州·统考二模）已知平面内有与直线，的半径为，点O到直线的距离为，则直线与的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不能判断
【答案】A
【详解】解：∵点O到直线的距离为，且的半径为，
∴，即直线与的位置关系是相切，故选：A．
2．（2025·河北·校考三模）题目：“如图，在中，，，，以点为圆心的的半径为，若对于的一个值，与只有一个交点，求的取值范围．”对于其答案，甲答：．乙答：．丙答：．则正确的是（ ）
A．只有乙答的对 B．甲、乙的答案合在一起才完整
C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整
【答案】D
【详解】解：，，，
斜边上的高为：，当时，画出图如图所示：
， ， ，
此时在圆内部，与只有一个交点，
当时，画出图如图所示，此时与只有一个交点，
当时，画出图如图所示：此时与只有一个交点，
三人的答案合在一起才完整，故选：D．
■考点二 切线的性质及相关计算
◇典例3：（2024·广西南宁·一模）如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点D，连接．若，则的度数是 °．
【答案】27
【详解】∵是的直径，是的切线，
∴，∴，∵，∴，
∴，故答案为：27．
◆变式训练
1．（2025·浙江·一模）如图，直线与的相切于点，交于点，连结，．若，则的度数是 ．
【答案】/64度
【详解】解：∵直线与的相切于点，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，故答案为：．
2．（2025·浙江·模拟预测）如图，是的直径，P是延长线上一点，与相切于点C．若，则 ．
【答案】24
【详解】解：连接，如图，∵与相切于点C，∴，∴，
∵，∴，∴．故答案为：24．
◇典例4：（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，、、是的切线，切点分别是、、若，，则的长是 ．
【答案】
【详解】解：、为的切线，，
、为的切线，，．故答案为：3．
◆变式训练
1．（2024·浙江杭州·一模）如图，菱形的顶点A，B，C在上，过点B作的切线交的延长线于点D．若的半径为2，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【详解】解：连接，∵过点B作的切线交的延长线于点D，∴，
∵菱形的顶点A，B，C在上，∴，
∴为等边三角形，∴，∴，
∴，∴．故选：C．
2．（2024·浙江湖州·模拟预测）如图，在中，过A，B，C三点的圆交于点E，且与相切，若，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【详解】如图所示，取圆心为O，连接并延长交于点，连接，
∵过、、三点的交于点，与相切于点．∴于点，
∵四边形是平行四边形，∴，，∴，
∴，∴，∴∴
∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴，
∴，，∴，∵四边形是平行四边形，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，∴，∴．选D．
◇典例5：（2023年四川省攀枝花市中考数学真题）如图，为的直径，如果圆上的点恰使，求证：直线与相切．
【答案】见详解
【详解】证明：如图，连接，，，
为的直径，，，
，，即，，
是的半径，直线与相切．
◆变式训练
1．（2025·浙江金华·一模）如图，在ABC中，，以为直径作交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．(1)求证：与相切；(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：连接，如图，
∵，，∴，，∴，∴，
∵，∴，又为的半径，∴与相切；
（2）解：∵为直径，∴，∴，
∵，，∴，，∴，
∴，∴，
∴，∴，，∴，
∴，∴，在中，，，
∴，∴．
2．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，已知：以的直角边为直径作，与斜边交于点D，E为边上的中点，连接．(1)证明：是的切线．(2)若，求的半径．（结果精确到）
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：如图1，连接；∵是的直径，∴，∴．
∵E为边上的中点，∴，∴．
∵，∴．∴．∵在中，，
∴．∵D为上的点，∴是的切线．
（2）解：∵，∴，∵，∴
∵，∴．∴的半径为．
◇典例6：（2023年内蒙古包头市中考数学真题）如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，连接．若的周长为21，则的长为（ ）
A．8 B．4 C．3.5 D．3
【答案】B
【详解】解：∵是锐角三角形的外接圆，，
∴点D、E、F分别是的中点，∴，
∵的周长为21，∴即，
∴，故选：B．
◆变式训练
1．（2024·湖北襄阳·统考二模）在中，，则这个三角形的外接圆半径为 ．
【答案】或
【详解】解：在中，，则分三种情况：
①当，如图所示：这个三角形的外接圆半径为；
②当，如图所示：，
这个三角形的外接圆半径为；
③当，，由于直角三角形中斜边大于直角边，则该情况不存在；
综上所述，这个三角形的外接圆半径为或，故答案为：或．
2．（2023·湖南永州·统考二模）如图，在中，，点I是内心，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，∴，
∵点I是内心，∴分别是的角平分线，
∴，∴，
∴，故选D．
3．（2023·湖南常德·统考模拟预测）如图，是边长为的正三角形的内切圆，与边、均相切，且与外切，则的半径为 ．
【答案】
【详解】解：设与切于，与相切于，连接，连接，，，
，，，平分，，
是等边三角形，，，
同理：，，，，
∵，．故答案为：．
4.（2023年四川省攀枝花市中考数学真题）已知的周长为，其内切圆的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，设内切圆与相切于点，点，点，连接，，，，，，切于，，，，
同理：，，，
，，故选A
◇典例7：（2023年山东省聊城市中考数学真题）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：连接，∵点I是的内心，，
∴，∴，
∵，∴，故选：C．
◆变式训练
1．（2024·河北衡水·校考模拟预测）如图，已知在中，，，，点是的内心．（1）点到边的距离为 ；（2）是的外心，连接，则的长为 ．
【答案】 2
【详解】解：（1）如图，连接，，，过点分别作，，于点，，，
在中，，，，，
是的内心，，，
，，点到边的距离为2；故答案为：2；
（2）如图，连接，由1.知，，，，
四边形是正方形，，，，
在和中，，（AAS），，
是的外心，，，
在中，根据勾股定理得：．故答案为：；．
■考点三 弧长、扇形面积的计算
◇典例8：（2024·浙江杭州·三模）如图，已知中心线的两个半圆弧半径都为，两直管道的长度都为，求图中管道的展直长度（即图中虚线所表示的中心线的长度）为 ．
【答案】
【详解】解：图中管道的展直长度，
故答案为：．
◆变式训练
1．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，是的直径，点在圆上将沿翻折与交于点若，的度数为，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图：作D关于的对称点E，连接,则，
∵的度数为，∴，∴∴，
∴，∴的长度为，∴的长度为．故选：D．
2．（2023·浙江宁波·一模）某古城为了吸引游客，决定在山水流淌的江中修筑如图①所示的“S”型圆弧堤坝．若堤坝的宽度忽略不计，图②中的两段圆弧半径都为57米，圆心角都为，则这“S”型圆弧堤坝的长为 米．（结果保留）
【答案】
【详解】解：“”型圆弧堤坝的长为（米）．故答案为：．
◇典例9：（2025·浙江杭州·一模）如图，是的内接三角形，是的直径，若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：连接，，∵是的直径，∴，
∵，∴，∵，∴是等边三角形，
∴，，由勾股定理得，即，
解得，∴，∴图中阴影部分的面积为
，故选：C．
◆变式训练
1．（2024·浙江宁波·二模）如图，在矩形中，，F是上一点，，以点A为圆心为半径画弧，交于点，以F为圆心，为半径画弧，交于点于点，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，连接，在矩形中，，
∴，，∴，
∴，为等边三角形，，
∴
．故选B．
2．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，为的直径，将弧沿翻折，翻折后的弧交于点，若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．8 D．10
【答案】C
【详解】解：如图，连接，过点C作于H，∵，∴，∴，
∵，∴，∵，，∴，
∵为的直径，∴，∵，∴设，
根据勾股定理，，∴，∴，
∴，∴，∴，
∴，故选：C．
3．（2024·浙江·模拟预测）如图，是的直径，，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点D的对应点E落在上，延长，交于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，过点D作直径，过点F作于H，连接，，
由旋转知：，，，，
是的直径，，，
，，∴，，，
．故选：D．
◇典例10：（24-25九年级上·四川自贡·阶段练习）如图，如果从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面半径为 ．
【答案】4
【详解】解：剪去圆周之后的圆周对应扇形的弧长为，
∴围成的圆锥底面周长为，∴圆锥的底面半径为，故答案为4．
◆变式训练
1．（2024·浙江宁波·模拟预测）要制作一个高为8cm，底面直径是cm的圆锥形小漏斗，若不计接缝，不计损耗，则所需纸板的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意得：圆锥的半径为，∵高为，∴圆锥的母线长为．
∴所需纸板的面积为．故选：B．
2．（2024·江苏无锡·一模）圆锥的底面半径，高，则圆锥的侧面积是 ．
【答案】
【详解】解：由勾股定理得：母线
∴．故答案为：．
■考点四 正多边形与圆
◇典例11：（2024·浙江·模拟预测）2023年8月24日，金砖国家宣布扩容，新增六个国家，使金砖国家数量变为十一个．如图是金砖国家的图标，其可近似看作一个圆内接正五边形，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：五边形是正五边形，，，，
，故选：C．
◆变式训练
1．（2024·浙江杭州·二模）如图，正六边形与正方形都内接于，连接，则弦所对圆周角的度数为 ．
【答案】或
【详解】如图，连接，， ∵四边形是正方形∴
∵六边形是正六边形∴∴
∴弦所对圆周角的度数为或故答案为：或．
◇典例12：（2024·浙江·模拟预测）要在边长为8米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为3米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】解：∵正方形的边长为，∴正方形的外接圆的半径是，则其外接圆的面积是，∵每个喷水龙头喷洒的面积是，则．故选：B．
◆变式训练
1．（2024·浙江宁波·模拟预测）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”，即利用的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，如图，的半径为，如用的内接正八边形来近似估计圆的面积，则可得的近似值为．若用的内接正边形的面积估计圆的面积，能得出的近似值为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，过点作于点，∴，
∵,∴，
∵的半径为，∴，，
∵用的内接正边形的面积估计圆的面积，能得出的近似值为，
∴，∴解得：,
依次代入选项：当时，，∴项不符合题意；
当时，，
∵，∴，∴项不符合题意；
当 时，，∴项符合题意；
当时，，∴项不符合题意；故选．
2．（2024·浙江宁波·二模）如图，的圆心与正三角形的中心重合，已知的半径为3，正三角形的边长为，则圆上任意一点到正三角形边上任意一点距离的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，点为上一点，点为正三角形上一点，连接， ，，
由三角形三边关系可得，，是圆的半径，为定值，
当、、三点共线时，圆上任意一点到正三角形边上任意一点距离有最小值，最小值为，
由题意可得，，过点作
点为正三角形的中心，，
为直角三角形，，
圆上任意一点到正三角形边上任意一点距离的最小值为．故选：A．
3．（2024·浙江杭州·三模）将边长为1的正六边形折叠成三角形后（如图1）用剪刀剪下一个角，展开后得到如图2所示的图形，图2中虚线为折叠时产生的折痕，折痕，且，若剪完后所得阴影图形的面积为原正六边形面积的，则的值为 ，的值为 ．
【答案】
【详解】解：由折叠的性质知，6个小三角形均为完全相同的三角形，阴影面积与正六边形面积的，则每个小三角形（如）面积占一个小正三角形（如）的．
过点G作于点R，过点O作于点T，
∵∴∴由勾股定理得，
又正六边形的边长为1，∴∴
∴，∴，
， ∴，解得或（舍），
∵，∴；∴，，
∴，，
∴，即，解得（负值舍去），
∴，故答案为：；．
1．（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图：连接，作于点B，
∵，∴三角形是等边三角形，∴，
∴∴,
∴．故选：A．
2．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，正六边形内接于，，则的长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【详解】解： ∵是正六边形，∴，
∵，∴为等边三角形，∴，故选：C．
3．（2024·广东广州·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为，
圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，且扇形的半径是5，扇形的弧长为，
圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等，，，
圆锥的高为，圆锥的体积为，故选：D．
4．（2024·重庆·中考真题）如图，在矩形中，分别以点和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：连接，根据题意可得，
∵矩形，∴，，在中，，
∴图中阴影部分的面积．故选：D．
5．（2024·四川泸州·中考真题）如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，连接，∵四边形是的内接四边形，∴，
∵，∴，
即，∴，∵，是的切线，根据切线长定理得，
∴，∴，∴．故选：C．
6．（2024·福建·中考真题）如图，已知点在上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵，为的中点，∴
∵∴∵直线与相切，∴，
∴故选：A．
7．（2024·上海·中考真题）在中，，，，点在内，分别以为圆心画，圆半径为1，圆半径为2，圆半径为3，圆与圆内切，圆与圆的关系是（ ）
A．内含 B．相交 C．外切 D．相离
【答案】B
【详解】解：圆半径为1，圆半径为3，圆与圆内切，圆含在圆内，即，
在以为圆心、为半径的圆与边相交形成的弧上运动，如图所示：
当到位置时，圆与圆圆心距离最大，为，
，圆与圆相交，故选：B．
8．（2024·山东泰安·中考真题）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：∵是的直径，∴，
∵是的切线，∴，∴，∴，
∴，∵，∴，∴，
∵点为的中点，∴，∴，
∵，∴，即，
∴．故答案为：．
9．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为，母线长为的圆雉的侧面，那么这个扇形纸片的面积是 （结果用含的式子表示）．
【答案】
【详解】解：∵底面半径为，∴圆锥底面圆的周长为，
即扇形纸片的弧长为，∵母线长为，
∴圆锥的侧面积．故答案为：
10．（2024·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上．
（1）线段的长为 ；（2）点在水平网格线上，过点，，作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与，的延长线相交于点，，中，点在边上，点在边上，点在边上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，，使的周长最短，并简要说明点，，的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】 图见解析，说明见解析
【详解】（1）由勾股定理可知，，故答案为：
（2）如图，根据题意，切点为；连接并延长，与网格线相交于点；取圆与网格线的交点和格点，连接并延长，与网格线相交于点；连接，分别与，相交于点，，则点，，即为所求．
11．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接．若，，则的度数为 ．
【答案】/105度
【详解】解∶连接，∵，，∴，，∵是切线，∴，即，
∵，∴，∴，
∵四边形是的内接四边形，∴，故答案为：．
12．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在矩形中，，O为中点，，则扇形的面积为 ．
【答案】
【详解】解：∵，，∴，∵O为中点，∴，
∵，在中，，∴，同理，
∴，∴扇形的面积为，故答案为：．
13．（2024·江苏苏州·中考真题）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度） ．（结果保留）
【答案】
【详解】解：如图所示：过点C作，
∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形，∴，∴为等边三角形，
∵圆心C恰好是的内心，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴的长为：，∴花窗的周长为：，故答案为：．
14．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在边长为6的正六边形中，以点F为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ．
【答案】
【详解】解：∵正六边形，∴，，∴，，∴，
过点作于点，则：，
设圆锥的底面圆的半径为，则：，∴；故答案为：．
15．（2024·重庆·中考真题）如图，是的直径，是的切线，点为切点．连接交于点，点是上一点，连接，，过点作交的延长线于点．若，，，则的长度是 ；的长度是 ．
【答案】 / /
【详解】解：∵是的直径，∴，
在中，由勾股定理得，∴，
∵是的切线，∴，∴，∴，
在中，；如图所示，连接，
∵，∴，∵，，∴，
∴，∴；故答案为：；．
16．（2024·甘肃·中考真题）如图，是的直径，，点E在的延长线上，且．
(1)求证：是的切线；(2)当的半径为2，时，求的值．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：连接，，如图所示：
∵，∴，∵，∴点O、B在的垂直平分线上，
∴垂直平分，∴，∵，∴，
∴，∴，∵是的直径，∴是的切线；
（2）解：∵的半径为2，∴，
∵是的直径，∴，∵，∴，
∴，∵，∴，
∵，∴，∴．
17．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与半圆相切于点，底边与半圆交于，两点．
(1)求证：与半圆相切；(2)连接．若，，求的值．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：连接、，作交于，如图
为等腰三角形，是底边的中点，平分
与半圆相切于点由是半圆的切线
（2）解：由（1）可知，，
，
又，在中，，
，解得：
18．（2024·广东·中考真题）综合与实践
【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图1所示：①一张直径为的圆形滤纸；②一只漏斗口直径与母线均为的圆锥形过滤漏斗．
【实践操作】步骤1：取一张滤纸；步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中．
【实践探索】(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明．
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留）
【答案】(1)能，见解析(2)
【详解】（1）解：能，
理由：设圆锥展开图的扇形圆心角为，根据题意，得，解得，
∴将圆形滤纸对折，将其中一层撑开，围成圆锥形，此时滤纸能紧贴此漏斗内壁；
（2）解：设滤纸围成圆锥形底面圆的半径为，高为，
根据题意，得，解得，∴，
∴圆锥的体积为．
19．（2024·四川广元·中考真题）如图，在中，，，经过A、C两点，交于点D，的延长线交于点F，交于点E．
(1)求证：为的切线；(2)若，，求的半径．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【详解】（1）证明：连接．
∵，，∴为等腰直角三角形，
∴，∴，∵，∴，
∴，∴为的切线．
（2）过点C作于点H，∵为等腰直角三角形，，∴，
∴，∵，∴，∴，
∵，∴．在中，∵，
设半径为r，∴，∴．
20．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点E．(1)求证：；(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：连接并延长，交于点，连接，
∵，，∴垂直平分，∴，，
∵为的切线，∴，∵为的直径，
∴，∴四边形为矩形，∴；
（2）由（1）知四边形为矩形，，，∴，∴，设的半径为，则：，
在中，由勾股定理，得：，解得：；即：的半径为．
21．（2024·福建·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为的延长线交于点．(1)求的值；(2)求证：；(3)求证：与互相平分．
【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析
【详解】（1），且是的直径，．
，在中，．
，在中，．，；
（2）过点作，交延长线于点．．
，，．
，，，
，，．
，，，，．
（3）如图，连接．是的直径，．
，．由（2）知，，
，，．
．，．由（2）知，，
．，，
，四边形是平行四边形，与互相平分．
1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，正方形内接于．点为上一点，连接、，若，，则的长为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：连接，，，
正方形内接于，，，，，
，，
，，是等边三角形，
，，，，故选：D．
2．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，从一个边长是的正六边形纸板中裁出两个扇形和，分别围成圆锥（裁缝和接缝忽略不计），则圆锥的底面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：边长为的正六边形，∴每个内角的度数为，
∴扇形的弧长为，∴圆锥底面圆的半径为，故选：B ．
3.（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，为直角，，在三角形的内部有一个半圆，半圆与均相切且直径在上．则半圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，设半圆与相切于点，连接、，根据切线的性质得， ，
由切线长定理得，，在中，为直角，，，
，，，
在中，设半径为，则，，
由勾股定理得，，解得，．故选：．
4．（2025·河北保定·统考一模）如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，由勾股定理得：，
∴P到B、C、E的距离相等，∴P是的外心，故选：D．
5．（2024·四川泸州·统考模拟预测）如图，在中，，，，为的内切圆，则图中阴影部分的面积为(结果保留)( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：中，，，，
，，内切圆半径，
，设与切于点，与切于点，连接、，
则四边形为正方形，．故选：C．
6．（2024·浙江台州·一模）如图，在矩形中，，先以点A为圆心，长为半径画弧交边于点E；再以点D为圆心，长为半径画弧交边于点F；最后以点C为圆心，长为半径画弧交边于点G．求的长，只需要知道（ ）
A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长
【答案】C
【详解】解：设，由作图可知：，，
四边形矩形，，，
，，，
求的长，只需要知道线段的长．故选：C．
7．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，是的切线，切点为，点在上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：连接，则，又∵，∴，
又∵是的切线，∴，∴，
∴，故选：D．
8．（2024·浙江温州·三模）如图，已知中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ．
【答案】/
【详解】解：∵中，，，，
∴，如图，连接，
∵以为直径作，∴，∴，
∴如图，动点在以中点为圆心，为半径的圆上运动，∴，
∴当，，在同一直线上时，最小，，
∴，即的最小值，故答案为：．
9．（2024·浙江·模拟预测）如图，为的直径，，D为弧上一动点，连结，作交于E，连结．
（1）当D为弧的中点时， ；
（2）当D在弧上运动时，的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：（1）连接，
∵D为的中点，∴，∴F为中点．
∵为直径，∴，∴，∴．
∵O为中点，F为中点，∴，∴，∴．
∵，∴．∵，
∴．∴，∴，∴．
（2）过B作垂线交延长于G，设以为直径的圆的圆心为H，连接，
，∴，，
，，
，
点四点共圆，则可得E在以为直径的一段圆弧上．
当点三点共线时，有最小值，
∵，，，
，，，
∴．，∴．∴，
∴．∵点O，点H分别是中点，∴是的中位线，
∴，∴的最小值为，故答案为：，．
10．（2024·浙江·模拟预测）如图，以点A为圆心的圆交数轴于B，C两点（点C在点A的左侧，点B在点A的右侧），若A，B两点表示的数分别为1，，则点C表示的数是 ．
【答案】/
【详解】解：，B两点表示的数分别为1，，根据圆的性质可得：，
，点C表示的数是，故答案为：．
11．（2024·浙江·模拟预测）已知扇形中，，，点P是弧上一点，的最小值为 .
【答案】13
【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接，∴，
∴，又∵，∴，∴，
∴，∴，∴当B、P、E三点共线时，有最小值，
∴，∴的最小值为13．故答案为：．
12．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，点A的坐标为，以O点为圆心，以为半径的圆交x轴于点B，点C为第一象限圆上一动点，轴于D点，点I为的内心，则的最小值为 ．
【答案】/
【详解】解：如图，连接，作的外接圆，圆心为P，连接，
∵点I为的内心，∴，在和中，，
∴，∴，∵，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴，∴，∴，
∵点A的坐标为，∴点B的坐标为，∴，∴，
∴，当A，I，P三点共线时，取得最小值，
此时．故答案为：．
13．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在对角线上运动（不与点重合），为的外接圆，当与矩形的边相切时，的半径为 ．
【答案】2或
【详解】解：当与和相切时，为的直径，点A和为切点，
点为的中点，此时的半径为2；
当与相切点时，连接，延长交于点，如图，，
四边形为矩形，，，，
，四边形为矩形，，
设的半径为，则，，在中，，
解得，即此时的半径为，综上所述，的半径为2或．故答案为：2或．
14．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点．则下列结论①；②若点为的中点，则 ；③连接，，若 ，则 ；④．其中一定正确的是 ．（填序号）
【答案】①②④
【详解】解：∵点E是的内心，∴平分，
∴，，故①正确；∴，
∵点G为的中点，，∴即，故②正确；
∵，∴，
∵点E是的内心，∴，，
∴，故③错误；
∵，∴，∴，
∵，，∴，∴，故④正确，
综上，正确的有①②④，故答案为：①②④．
15．（2023·浙江杭州·一模）如图，，点O在边上，与边相切于点D，交边于点E，点F在弧上，连接，则等于 ．
【答案】
【详解】∵是的切线，∴，∴，
∵，∴，∴．故答案为：．
16．（2024·浙江丽水·二模）如图是第四套人民币一角硬币，圆面直径为，硬币边缘镌刻正多边形，A，B为该正多边形相邻的两个顶点，则的长是 ．
【答案】
【详解】解：正九边形的一个中心角的度数为，
圆面直径为，圆面半径为，
的长是，故答案为：，
17．（2024·浙江金华·二模）我国魏晋时期数学家刘徽首创“割圆术”，估算圆周率近似为3.14．实际上，由圆的面积公式，可得，即求圆周率π的问题就可归结为求圆的面积．而圆的面积S可以用圆内接正多边形的面积来近似估计的，因为当圆的内接正多边形的边数逐渐增加时，它的面积就越来越接近圆的面积．如图，若用半径为2的圆内接正八边形面积近似估计圆的面积，可得的估计值为 （结果保留根号）．
【答案】
【详解】解：由题知，图中，，作于点，
有，，
的估计值为；故答案为：．
18．（2024·浙江绍兴·模拟预测）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．是以O为圆心，为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，．“会圆术”给出长l的近似值s计算公式：，当，时， ．
【答案】/
【详解】解：连接，∵C是弦的中点，∴，，
又，∴O、C、D共线，∵，，
∴，∴，
在中，，∴，
∴，又的长，∴．
故答案为：
19．（2024·浙江嘉兴·三模）已知扇形纸片，，，将该扇形纸片沿方向平移得扇形，若恰好为中点，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【详解】解：连接，如下图，∵，由平移可知，，即，
∵为中点，∴垂直平分，∴，
∴为等边三角形，∴，，∴，
∴，
，
∴．故答案为：．
20．（2024·山东济宁·二模）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是 ．
【答案】
【详解】解：由三视图可得：该几何体是圆锥，底面直径为8，高为3，如图，
∴，，而，∴，，
∴该几何体的侧面积是．故答案为：．
21．（2023·山西大同·校联考一模）如图，是的直径，、分别切于点B、C，若，则的度数是 ；
【答案】/50度
【详解】解：连接， ∵、分别切于点B、C，， ∴， ∴，
∵是的直径，∴∵， ∴，
∴ ，∴；故答案为50°．
22．（2024·江苏苏州·校考一模）已知点P是半径为4的上一点，平面上一点Q到点P的距离为2，则线段的长度a的范围为 ．
【答案】
【详解】解：如图，当点在圆外且，，三点共线时，线段的长度的最大，最大值为；
当点在圆内且，，三点共线时，线段的长度的最小，最小值为，
所以，线段的长度的范围为．故答案为：．
23.（2024·广东广州·统考二模）的半径r和圆心O到直线l的距离d分别为关于x的一元二次方程的两根和与两根积，则直线l与的位置关系是 ．
【答案】相交
【详解】解：，由题意知，，
∵，∴直线l与相交，故答案为：相交．
24．（2024·吉林松原·校联考二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．
【答案】/
【详解】解：的圆心P的坐标为，，
的半径为2，，，，
当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1，
当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5，
平移的距离d的取值范围是，故答案为：．
25．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在四边形中，，的平分线交于，过三点的圆交于，且恰好是圆的切线，是上一点，连接．(1)求的度数；(2)当是圆的直径，①求证：四边形是平行四边形；
②若是的中点，，求的长．
【答案】(1)(2)①见解析；（2）
【详解】（1）解：连接，∵，∴是直径．
∵是圆的切线，∴．∵的平分线交于，
∴，∴，∵，∴
（2）①证明：连接，∵，是圆的直径，∴，
∴，∴，∵∴，
∴，∴四边形是平行四边形；
②解：延长相较于点H，∵，∴，
∵，∴．∵，∴．
∵是的中点，∴．∵，∴，
∴，∴．∵，
∴，∴，∴，∴．
26．（2023·福建泉州·统考一模）如图，在中，是钝角.(1)求作，使得圆心在边上，且经过点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，设与的另一个交点为D，且求证：是的切线。
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）解：如图1，是所求作的圆：
图1 图2
（2）证明：如图2，连接，设，则，，
，，．
在中，，，
，，即．点在上，是的切线．
27．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图1，四边形内接于，是的直径，过点A的切线与的延长线相交于点P．且．(1)求证：；(2)过图1中的点D作，垂足为E（如图2），当，时，求的半径．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：是的直径，，
是的切线，，，
设，则，，
，．
（2）解：如图，延长交于点，由（1）得，，
又，，，，
，，，，即，
，，在和中，，，
，，，，，，，，的半径为．
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第五章 圆
5.2 与圆相关的位置关系及计算
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 点、直线与圆的位置关系 ☆☆ 浙江中考数学（省卷）中，与圆相关的位置关系与计算的部分，考查2道题，分值为10分左右，通常以选填题（1题）、 计算题（1题）的形式考查。关键是掌握基础知识、基本方法，力争拿到全分。预测2025年浙江中考还会延续这种命题趋势，并也有可能出现创新型题目。
考点2 切线的性质及相关计算 ☆☆☆
考点3 弧长、扇形面积的计算 ☆☆☆
考点4 正多边形与圆 ☆☆☆
与圆相关的位置关系主要内容包括点、直线与圆的位置关系、切线的性质和判定、三角形的内切圆和外接圆三块，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合；与圆相关的计算主要结合圆周角和圆心角相关知识围绕计算正多边形相关知识、弧长、扇形面积、不规则图形的面积及圆锥相关知识命题。
1
4
■考点一 点、直线与圆的位置关系 4
■考点二 切线的性质及相关计算 4
■考点三 弧长、扇形面积的计算 5
■考点四 正多边形与圆 5
6
6
■考点一 点、直线与圆的位置关系
1）点和圆的位置关系：已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：
图1 图2
(1)dr 点在⊙O ，如图3．
解题技巧：掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系。
2）直线和圆的位置关系：
设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下：
图1 图2 图3
(1)d>r ，如图1；(2)d=r ，如图2；(3)d■考点二 切线的性质及相关计算
1）切线的性质：（1）切线与圆只有一个 ；（2）切线到圆心的距离等于圆的 ；（3）切线 经过切点的半径。
解题技巧：利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题。
2）切线的判定
（1）与圆只有一个 的直线是圆的切线（定义法）；
（2）到圆心的距离等于 的直线是圆的切线（数量关系法）；
（3）经过半径 并且 于这条半径的直线是圆的切线（判定定理法）。
切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径。
3）切线长定理
定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的 。
定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的 ，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
解题技巧：切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角三角形来求解。
4）三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的 ，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
5）三角形内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 ，内切圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的外切三角形。
6）三角形的外心：三角形三边 的交点，叫该三角形的 。
7）三角形的内心：三角形三条 的交点，叫该三角形的 。
8）常见结论
（1）三角形内切圆半径： ，其中S为三角形的面积；C为三角形的周长；
（2）直角三角形内切圆半径： ，其中a，b为直角三角形的直角边长，c为斜边长。
■考点三 弧长、扇形面积的计算
1）弧长、扇形面积、圆锥的相关计算
（1)设⊙O 的半径为R，n°圆心角所对弧长为，n为弧所对的圆心角的度数，则
（1）弧长公式： ；（2）扇形面积公式：或 ．
（3）圆锥侧面积公式：S圆锥侧= （其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径）
（4）圆锥全面积公式：S圆锥全= （圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积）
注：圆锥的相关公式难以记忆，建议牢记圆锥与侧面展开图的图形形式，并理解侧面展开图与扇形之间的关系。相关公式在解题过程中进行推导。
2）不规则图形的面积的计算：求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是 思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有： 法、 法、 法等。
■考点四 正多边形与圆
1）正多边形的相关概念
正多边形概念：各条边 ，并且各个内角也都 的多边形叫做正多边形。
正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的 。
正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的 。
正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的 。
正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的 。
2）正多边形的常用公式 （Rn为正多边形外接圆的半径）
边长：；周长：；边心距： ；面积： ；
内角度数：；外角/中心角度数：；边长、半径、边心距的关系： 。
注意：正多边形的内切圆与外接圆为同心圆.
■考点一 点、直线与圆的位置关系
◇典例1：（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2024·上海·校联考模拟预测）矩形中，，，点在边上，且，如果圆是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A．点，均在圆外 B．点在圆外，点在圆内
C．点在圆内，点在圆外 D．点，均在圆内
2．（2024·重庆·统考二模）如图，已知及其所在平面内的个点．如果半径为，那么到圆心距离为的点可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
◇典例2：（24-25九年级上·四川德阳·期末）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线的距离，则直线与的交点个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．没有交点 D．不能确定
◆变式训练
1．（2024·浙江湖州·统考二模）已知平面内有与直线，的半径为，点O到直线的距离为，则直线与的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不能判断
2．（2025·河北·校考三模）题目：“如图，在中，，，，以点为圆心的的半径为，若对于的一个值，与只有一个交点，求的取值范围．”对于其答案，甲答：．乙答：．丙答：．则正确的是（ ）
A．只有乙答的对 B．甲、乙的答案合在一起才完整
C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整
■考点二 切线的性质及相关计算
◇典例3：（2024·广西南宁·一模）如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点D，连接．若，则的度数是 °．
◆变式训练
1．（2025·浙江·一模）如图，直线与的相切于点，交于点，连结，．若，则的度数是 ．
2．（2025·浙江·模拟预测）如图，是的直径，P是延长线上一点，与相切于点C．若，则 ．
◇典例4：（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，、、是的切线，切点分别是、、若，，则的长是 ．
◆变式训练
1．（2024·浙江杭州·一模）如图，菱形的顶点A，B，C在上，过点B作的切线交的延长线于点D．若的半径为2，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．4
2．（2024·浙江湖州·模拟预测）如图，在中，过A，B，C三点的圆交于点E，且与相切，若，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
◇典例5：（2023年四川省攀枝花市中考数学真题）如图，为的直径，如果圆上的点恰使，求证：直线与相切．
◆变式训练
1．（2025·浙江金华·一模）如图，在ABC中，，以为直径作交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．(1)求证：与相切；(2)若，，求的长．
2．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，已知：以的直角边为直径作，与斜边交于点D，E为边上的中点，连接．(1)证明：是的切线．(2)若，求的半径．（结果精确到）
◇典例6：（2023年内蒙古包头市中考数学真题）如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，连接．若的周长为21，则的长为（ ）
A．8 B．4 C．3.5 D．3
◆变式训练
1．（2024·湖北襄阳·统考二模）在中，，则这个三角形的外接圆半径为 ．
2．（2023·湖南永州·统考二模）如图，在中，，点I是内心，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖南常德·统考模拟预测）如图，是边长为的正三角形的内切圆，与边、均相切，且与外切，则的半径为 ．
4.（2023年四川省攀枝花市中考数学真题）已知的周长为，其内切圆的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
◇典例7：（2023年山东省聊城市中考数学真题）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2024·河北衡水·校考模拟预测）如图，已知在中，，，，点是的内心．（1）点到边的距离为 ；（2）是的外心，连接，则的长为 ．
■考点三 弧长、扇形面积的计算
◇典例8：（2024·浙江杭州·三模）如图，已知中心线的两个半圆弧半径都为，两直管道的长度都为，求图中管道的展直长度（即图中虚线所表示的中心线的长度）为 ．
◆变式训练1．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，是的直径，点在圆上将沿翻折与交于点若，的度数为，则（ ）．
A． B． C． D．
2．（2023·浙江宁波·一模）某古城为了吸引游客，决定在山水流淌的江中修筑如图①所示的“S”型圆弧堤坝．若堤坝的宽度忽略不计，图②中的两段圆弧半径都为57米，圆心角都为，则这“S”型圆弧堤坝的长为 米．（结果保留）
◇典例9：（2025·浙江杭州·一模）如图，是的内接三角形，是的直径，若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2024·浙江宁波·二模）如图，在矩形中，，F是上一点，，以点A为圆心为半径画弧，交于点，以F为圆心，为半径画弧，交于点于点，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，为的直径，将弧沿翻折，翻折后的弧交于点，若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．8 D．10
3．（2024·浙江·模拟预测）如图，是的直径，，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点D的对应点E落在上，延长，交于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
◇典例10：（24-25九年级上·四川自贡·阶段练习）如图，如果从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面半径为 ．
◆变式训练
1．（2024·浙江宁波·模拟预测）要制作一个高为8cm，底面直径是cm的圆锥形小漏斗，若不计接缝，不计损耗，则所需纸板的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏无锡·一模）圆锥的底面半径，高，则圆锥的侧面积是 ．
■考点四 正多边形与圆
◇典例11：（2024·浙江·模拟预测）2023年8月24日，金砖国家宣布扩容，新增六个国家，使金砖国家数量变为十一个．如图是金砖国家的图标，其可近似看作一个圆内接正五边形，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2024·浙江杭州·二模）如图，正六边形与正方形都内接于，连接，则弦所对圆周角的度数为 ．
◇典例12：（2024·浙江·模拟预测）要在边长为8米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为3米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
◆变式训练
1．（2024·浙江宁波·模拟预测）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”，即利用的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，如图，的半径为，如用的内接正八边形来近似估计圆的面积，则可得的近似值为．若用的内接正边形的面积估计圆的面积，能得出的近似值为，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江宁波·二模）如图，的圆心与正三角形的中心重合，已知的半径为3，正三角形的边长为，则圆上任意一点到正三角形边上任意一点距离的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．（2024·浙江杭州·三模）将边长为1的正六边形折叠成三角形后（如图1）用剪刀剪下一个角，展开后得到如图2所示的图形，图2中虚线为折叠时产生的折痕，折痕，且，若剪完后所得阴影图形的面积为原正六边形面积的，则的值为 ，的值为 ．
1．（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，正六边形内接于，，则的长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
3．（2024·广东广州·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·重庆·中考真题）如图，在矩形中，分别以点和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川泸州·中考真题）如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·福建·中考真题）如图，已知点在上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·上海·中考真题）在中，，，，点在内，分别以为圆心画，圆半径为1，圆半径为2，圆半径为3，圆与圆内切，圆与圆的关系是（ ）
A．内含 B．相交 C．外切 D．相离
8．（2024·山东泰安·中考真题）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为 ．
9．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为，母线长为的圆雉的侧面，那么这个扇形纸片的面积是 （结果用含的式子表示）．
10．（2024·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上．
（1）线段的长为 ；（2）点在水平网格线上，过点，，作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与，的延长线相交于点，，中，点在边上，点在边上，点在边上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，，使的周长最短，并简要说明点，，的位置是如何找到的（不要求证明） ．
11．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接．若，，则的度数为 ．
12．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在矩形中，，O为中点，，则扇形的面积为 ．
13．（2024·江苏苏州·中考真题）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度） ．（结果保留）
14．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在边长为6的正六边形中，以点F为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ．
15．（2024·重庆·中考真题）如图，是的直径，是的切线，点为切点．连接交于点，点是上一点，连接，，过点作交的延长线于点．若，，，则的长度是 ；的长度是 ．
16．（2024·甘肃·中考真题）如图，是的直径，，点E在的延长线上，且．(1)求证：是的切线；(2)当的半径为2，时，求的值．
17．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与半圆相切于点，底边与半圆交于，两点．
(1)求证：与半圆相切；(2)连接．若，，求的值．
18．（2024·广东·中考真题）综合与实践
【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图1所示：①一张直径为的圆形滤纸；②一只漏斗口直径与母线均为的圆锥形过滤漏斗．
【实践操作】步骤1：取一张滤纸；步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中．
【实践探索】(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明．
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留）
19．（2024·四川广元·中考真题）如图，在中，，，经过A、C两点，交于点D，的延长线交于点F，交于点E．
(1)求证：为的切线；(2)若，，求的半径．
20．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点E．(1)求证：；(2)若，，求的半径．
21．（2024·福建·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为的延长线交于点．(1)求的值；(2)求证：；(3)求证：与互相平分．
1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，正方形内接于．点为上一点，连接、，若，，则的长为( )
A． B． C． D．
2．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，从一个边长是的正六边形纸板中裁出两个扇形和，分别围成圆锥（裁缝和接缝忽略不计），则圆锥的底面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
3.（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，为直角，，在三角形的内部有一个半圆，半圆与均相切且直径在上．则半圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·河北保定·统考一模）如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川泸州·统考模拟预测）如图，在中，，，，为的内切圆，则图中阴影部分的面积为(结果保留)( )
A． B． C． D．
6．（2024·浙江台州·一模）如图，在矩形中，，先以点A为圆心，长为半径画弧交边于点E；再以点D为圆心，长为半径画弧交边于点F；最后以点C为圆心，长为半径画弧交边于点G．求的长，只需要知道（ ）
A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长
7．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，是的切线，切点为，点在上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·浙江温州·三模）如图，已知中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ．
9．（2024·浙江·模拟预测）如图，为的直径，，D为弧上一动点，连结，作交于E，连结．
（1）当D为弧的中点时， ；
（2）当D在弧上运动时，的最小值为 ．
10．（2024·浙江·模拟预测）如图，以点A为圆心的圆交数轴于B，C两点（点C在点A的左侧，点B在点A的右侧），若A，B两点表示的数分别为1，，则点C表示的数是 ．
11．（2024·浙江·模拟预测）已知扇形中，，，点P是弧上一点，的最小值为 .
12．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，点A的坐标为，以O点为圆心，以为半径的圆交x轴于点B，点C为第一象限圆上一动点，轴于D点，点I为的内心，则的最小值为 ．
13．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在对角线上运动（不与点重合），为的外接圆，当与矩形的边相切时，的半径为 ．
14．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点．则下列结论①；②若点为的中点，则 ；③连接，，若 ，则 ；④．其中一定正确的是 ．（填序号）
15．（2023·浙江杭州·一模）如图，，点O在边上，与边相切于点D，交边于点E，点F在弧上，连接，则等于 ．
16．（2024·浙江丽水·二模）如图是第四套人民币一角硬币，圆面直径为，硬币边缘镌刻正多边形，A，B为该正多边形相邻的两个顶点，则的长是 ．
17．（2024·浙江金华·二模）我国魏晋时期数学家刘徽首创“割圆术”，估算圆周率近似为3.14．实际上，由圆的面积公式，可得，即求圆周率π的问题就可归结为求圆的面积．而圆的面积S可以用圆内接正多边形的面积来近似估计的，因为当圆的内接正多边形的边数逐渐增加时，它的面积就越来越接近圆的面积．如图，若用半径为2的圆内接正八边形面积近似估计圆的面积，可得的估计值为 （结果保留根号）．
18．（2024·浙江绍兴·模拟预测）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．是以O为圆心，为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，．“会圆术”给出长l的近似值s计算公式：，当，时， ．
19．（2024·浙江嘉兴·三模）已知扇形纸片，，，将该扇形纸片沿方向平移得扇形，若恰好为中点，则阴影部分的面积为 ．
20．（2024·山东济宁·二模）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是 ．
21．（2023·山西大同·校联考一模）如图，是的直径，、分别切于点B、C，若，则的度数是 ；
22．（2024·江苏苏州·校考一模）已知点P是半径为4的上一点，平面上一点Q到点P的距离为2，则线段的长度a的范围为 ．
23.（2024·广东广州·统考二模）的半径r和圆心O到直线l的距离d分别为关于x的一元二次方程的两根和与两根积，则直线l与的位置关系是 ．
24．（2024·吉林松原·校联考二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．
25．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在四边形中，，的平分线交于，过三点的圆交于，且恰好是圆的切线，是上一点，连接．(1)求的度数；(2)当是圆的直径，①求证：四边形是平行四边形；
②若是的中点，，求的长．
26．（2023·福建泉州·统考一模）如图，在中，是钝角.(1)求作，使得圆心在边上，且经过点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，设与的另一个交点为D，且求证：是的切线。
27．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图1，四边形内接于，是的直径，过点A的切线与的延长线相交于点P．且．(1)求证：；(2)过图1中的点D作，垂足为E（如图2），当，时，求的半径．
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