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第六章 图形的变化
6.1尺规作图、视图与投影、 几何体及其展开图
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 基本尺规作图及相应运算 ☆☆ 浙江中考数学（省卷）中，该专题部分，考查3道题，分值为12分左右，通常以选填题（2题）、 计算题（1题）的形式考查。预计2025年浙江中考还将出现，几何体的展开图、视图与投影和命题在选填题出现的可能性较大，一般只考查基础应用，所以考生在复习时要多注重该考点的概念以及应用。
考点2 视图与投影及其计算 ☆☆☆
考点3 几何体的展开图 ☆☆☆
考点4 定义、命题、定理 ☆☆☆
本专题以考查几何体的三视图和正方体的展开图、尺规作图和真假命题为主。其中尺规作图的考查涉及多种形式，不再是单一的对作图技法操作进行考查，而是把作图与计算、证明、分析、判断等数学思维活动有效融合，既体现了动手实践的数学思维活动，也考查了学生运用数学思考解决问题的能力。
2
4
■考点一 基本尺规作图及相应运算 4
■考点二 视图与投影及其计算 9
■考点三 几何体的展开图 14
■考点四 定义、命题、定理 17
21
35
■考点一 基本尺规作图及相应运算
1）尺规作图的定义:在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为 。
2）五种基本作图
（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作一个角的平分线；（4）作一条线段的垂直平分线；（5）过一点作已知直线的垂线。
3）根据基本作图作三角形
（1）已知三角形的三边，求作三角形；（2）已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；（3）已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；（4）已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形；（5）已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形。
4）与圆有关的尺规作图
（1）过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）；（2）作三角形的内切圆。
5）作图题的一般步骤
（1）已知；（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）证明；（6）讨论。
其中步骤（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作图中一定要保留作图 。
6）尺规作图的关键：（1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；（2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题。
7）根据已知条件作等腰三角形或直角三角形
求作三角形的关键是确定三角形的三个顶点，作图依据是三角形全等的判定，常借助基本作图来完成，如作直角三角形就先作一个直角。
■考点二 视图与投影及其计算
1）投影：在光线的照射下，空间中的物体落在平面内的影子能够反映出该物体的形状和大小，这种现象叫做 现象。影子所在的平面称为 。
2）平行投影、中心投影、正投影
（1）中心投影：在 下形成的物体的投影叫做 投影，点光源叫做投影中心。
（2）平行投影：投射线相互 的投影称为 投影。
（3）正投影：投射线与投影面 时的 投影，叫做 。
1）视图：由于可以用视线代替投影线，所以物体的正投影通常也称为物体的视图。
2）三视图：（1）主视图：从 看得到的视图叫做主视图；（2）左视图：从 看得到的视图叫做左视图；（3）俯视图：从 看得到的视图叫做俯视图。
3）三视图的画法
（1）画三视图要注意三要素：主视图与俯视图长度相等；主视图与左视图高度相等；左视图与俯视图宽度相等．简记为“主俯长对正，主左高平齐，左俯宽相等”。
（2）注意实线与虚线的区别：能看到的线用实线，看不到的线用虚线。
■考点三 几何体的展开图
1）常见几何体的展开图
几何体 立体图形 表面展开图 侧面展开图
圆柱
圆锥
三棱柱
2）正方体的展开图
正方体有11种展开图，分为四类：
第一类，中间四连方，两侧各有一个，共6种，如下图：
第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共3种，如下图：
第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有1种，如图10；
第四类，两排各有三个，也只有1种，如图11。
■考点四 定义、命题、定理
1）定义:一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的 。
2）命题：判断一件事情的语句叫做 。
3）命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
4）命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。
5）真命题：正确的命题叫做 。反之，则为假命题。
注意：（1）要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）；（2）要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可。
6）逆命题：把原命题的结论作为命题的 ，把原命题的条件作为命题的 ，所组成的命题叫做原命题的 ；每个命题都有 ，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是 。
7）公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做 。
8）定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做 。
注意：公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据。
9）推论：由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做 。
10）如果一个定理的逆命题经过证明是 ，那么它也是一个定理，这两个定理叫做 ，其中一个定理叫做另一个定理的 ；任何一个命题都有 ，而定理并不一定有 。
11）反证法定义：假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做 。
12）反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确。
■考点一 基本尺规作图及相应运算
◇典例1：（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在中， ．尺规作图的步骤为：①以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，交的延长线于点E；② 分别以D，E 为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F；③ 作射线．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2025·广东·模拟预测）如图，在中，，．以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，交的延长线于点E；分别以D，E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F；作射线．则的度数为 ．
◇典例2：（2024·广东江门·模拟预测）如图，在中，，为的平分线．
(1)尺规作图：过点作的垂线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
(2)在（1）的条件下，求证：．
◆变式训练
1．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边，相交于点D，E，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·广东·模拟预测）如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D、E两点，作直线交于点F，交于点G，连接．若，，则的周长为 ．
◇典例3：（2025·广东揭阳·一模）如图所示为一直角三角形，，，，用圆规以A点为圆心画圆弧s，分别交于点D，E，然后再分别以D，E为圆心，以大于长度的一半画圆弧，两圆弧交于点F，连接交于点G，最后以点G为圆心，以的长度为半径画圆交圆弧s于点M，N，连接分别交于点P，Q，连接，则四边形的周长为 ．
◆变式训练
1．（2024·广东佛山·三模）如图，已知三角形，点E是上一点．
(1)尺规作图：在上找到一点F，使得；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接，若，且平分，求的度数．
2．（2024·广东·模拟预测）如图，在 中，是的角平分线．
(1)实践与操作：用尺规作图法，在上找到一点E使得为以为底边的等腰三角形；(保留作图痕迹，不写作法)(2)应用与计算：在（1）的条件下，过点D作交于点F，求证：
3．（2024·广东·模拟预测）如图所示，已知中，．
(1)过点 B作平分面积的直线l．（尺规作图，不写作法，保留痕迹）
(2)设（1）中的直线交于点 D． 若， 求的长．
■考点二 视图与投影及其计算
◇典例4：（2025·广东佛山·一模）如图所示是皮影戏，它是中国民间古老的传统艺术，老北京人都叫它“驴皮影”．据史书记载，皮影戏始于西汉，兴于唐朝，盛于清代，元代时期传至西亚和欧洲，可谓历史悠久，源远流长．皮影戏的光源通常是一盏煤油灯，则它的投影属于（ ）
A．平行投影 B．中心投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．无法确定
◆变式训练
1．（2023·广东深圳·一模）下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（ ）
A．B．C． D．
2．（2023·广东东莞·一模）清晨，早起锻炼的人的影子方向是（ ）
A．朝东 B．朝西 C．朝南 D．朝北
◇典例5：（2024·广东·模拟预测）学习相似三角形后，小红利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，已知小红的身高是米，他在路灯下的影长为2米，小红距路灯灯杆的底部4米，则路灯灯泡距地面的高度是 米．
◆变式训练
1．（2024·广东茂名·二模）如图，如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高，在路灯的照射下，路基留在地面上的影长为，通过测量知道的距离为，则路灯的高度是 m．
2．（2024·广东深圳·二模）某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
◇典例6：（2024·河南周口·一模）如图是物理学中经常使用的型磁铁示意图，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2025·广东揭阳·一模）如图1所示为烽火台，其建筑主体为正四棱台，图2几何体为其结构图．如图2所示，正四棱台是由底面为正方形的正四棱锥切割所得到的，则图2几何体的主视图为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·广东云浮·一模）如图，该几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
◇典例7：（2024·广东中山·模拟预测）如图所示的是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，则这个几何体中小正方体的个数（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
◆变式训练
1．（2024·广东中山·三模）某几何体由若干个大小相同的小正方体组成，其主视图、左视图和俯视图都如图所示．则组成该几何体的小正方体的个数最少为（ ）
A．4个 B．6个 C．7个 D．3个
2．（2025九年级下·浙江·专题练习）一个由10个大小相同的小立方块搭成的几何体如图所示．
(1)在给定的虚线方格图中画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图；
(2)给这个几何体添加一些相同的小立方块，如果从左面和上面看到的形状图保持不变，请直接写出最多可以添加多少个小立方块？
■考点三 几何体的展开图
◇典例8：（2024·江西·中考真题）如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
◆变式训练
1．（2024·青海·中考真题）生活中常见的路障锥通常是圆锥的形状，它的侧面展开图是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏扬州·中考真题）如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（ ）
A．三棱锥 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体
◇典例9：（2024·四川德阳·中考真题）走马灯，又称仙音烛，据史料记载，走马灯的历史起源于隋唐时期，盛行于宋代，是中国特色工艺品，常见于除夕、元宵、中秋等节日，在一次综合实践活动中，一同学用如图所示的纸片，沿折痕折合成一个棱锥形的“走马灯”，正方形做底，侧面有一个三角形面上写了“祥”字，当灯旋转时，正好看到“吉祥如意”的字样．则在A、B、C处依次写上的字可以是（ ）
A．吉 如 意 B．意 吉 如 C．吉 意 如 D．意 如 吉
◆变式训练
1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点A最远的点是（ ）
A．B点 B．C点 C．D点 D．E点
2．（2024·四川达州·中考真题）如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“我”的对面的字是（ ）
A．热 B．爱 C．中 D．国
■考点四 定义、命题、定理
◇典例10：（2023·安徽·校联考模拟预测）已知点在矩形的对角线上（不与点重合），下列命题为假命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
◆变式训练
1．（2023·山东聊城·统考三模）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线相等
C．菱形的对角线互相垂直 D．正方形的对角线互相平分且相等
2．（2023·安徽滁州·统考二模）命题“如果，互为相反数，那么，的绝对值相等”的逆命题是 ．
◇典例11：（2023·河北·校联考一模）已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴，这与三角形内角和为矛盾；
②因此假设不成立．∴；③假设在中，；④由，得，即．这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
◆变式训练
1.（2023·河南郑州·郑州外国语中学校考二模）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在同一平面内，若，，则”时，首先应假设（ ）
A． B． C．与相交 D．与相交
2．（2023·安徽·模拟预测）用一个的值说明命题“如果，那么”是假命题，此时的值可以为 ．（写出一个即可）
3.（2023·福建莆田·统考二模）阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成问题．
证明：假设是有理数，
那么存在两个互质的正整数，，使得，则___________．
是2的倍数，
____________________，
可设（为正整数），则，
_____________，即，
__________________，
，都是2的倍数，不互质，与假设矛盾．
因此假设不成立，即不是有理数．
将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是 ．（填上序号）
①； ②； ③是2的倍数； ④是2的倍数．
◇典例12：（2023·湖南长沙·校考三模）在一次数学活动课上，某数学老师将三张不同的牌分别发给甲、乙、丙三个同学，其中有一张牌是红桃A．
甲说：“红桃A在我手上”； 乙说：“红桃A不在我手上”；丙说：“红桃A肯定不在甲手上” ．
三个同学中只有一个说对了，则红桃A在（ ）的手上．
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断
◆变式训练
1．（2023·湖南·校联考模拟预测）某校开展数学兴趣活动，甲、乙、丙、丁、戊五位同学进入决赛角逐前五名，发奖前，为活跃气氛，老师请他们猜一猜各人名次排列情况．
甲说：“乙第三名，丙第五名．”乙说：“戊第四名，丁第五名．”丙说：“甲第一名，戊第四名．”
丁说：“丙第一名，乙第二名．”戊说：“甲第三名，丁第四名．”
结果，每个名次都有人猜对，则第一至第五名的同学顺序是（ ）
A．甲乙丙丁戊 B．丙乙甲戊丁 C．丁戊甲乙丙 D．丁甲乙戊丙
2．（2023·湖南长沙·统考一模）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当裁判9局，乙、丙分别进行了14局、12局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行的比赛局数为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
1．（2024·陕西·中考真题）如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏盐城·中考真题）正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．湿 B．地 C．之 D．都
3．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，正方形边长为2，以所在直线为轴，将正方形旋转一周，所得圆柱的主视图的面积为（ ）
A．8 B．4 C． D．
4．（2024·四川广元·中考真题）一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·吉林·中考真题）葫芦在我国古代被看作吉祥之物．下图是—个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．主视图、左视图与俯视图都相同
6．（2024·河北·中考真题）如图是由个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·黑龙江绥化·中考真题）某几何体是由完全相同的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
8．（2024·黑龙江绥化·中考真题）下列叙述正确的是（ ）
A．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形
B．平分弦的直径垂直于弦
C．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影
D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等
9．（2024·广西·中考真题）榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）由5个形状、大小完全相同的小正方体组合而成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则搭建该几何体的方式有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
11．（2024·山东烟台·中考真题）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（ ）
A．8 B．16 C．12 D．24
13．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在中，是边的中点．按下列要求作图：
①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点；
②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点；
③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧；
④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
14．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ）
A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线
15．（2024·湖北·中考真题）为半圆的直径，点为半圆上一点，且．①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于；②分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点；③作射线，则（ ）
A． B． C． D．
16．（2024·四川自贡·中考真题）如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点B，连接．若，则（ ）
A． B． C． D．
17．（2024·贵州·中考真题）如图，在中，以点A为圆心，线段的长为半径画弧，交于点D，连接．若，则的长为 ．
18．（2024·山东·中考真题）如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，．若，，则到的距离为 ．
19．（2024·福建·中考真题）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．
图1 图2 图3
(1)直接写出的值；(2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（ ）
图4
A． B．
C． D．
(3)
卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ
规格（单位：cm）
单价（单位：元） 3 5 20
现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整，的比例，制作棱长为的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．
（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）
21．（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．
(1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m；
(2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度；(3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：
如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上．
如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面．
如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）．
22．（2024·甘肃·中考真题）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知和圆上一点M．作法如下：①以点M为圆心，长为半径，作弧交于A，B两点；
②延长交于点C；即点A，B，C将的圆周三等分．
(1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）；(2)根据（1）画出的图形，连接，，，若的半径为，则的周长为______．
23．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知及边上一点．
(1)用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，以点为圆心，以为半径的圆交射线于点，用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使点到点的距离与点到射线的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）(3)在（1）、（2）的条件下，若，，求的长．
1．（2024·广东·模拟预测）如图是由一个长方体和一个三棱柱组成的几何体，则它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·广东·模拟预测）如图是一个放置在水平试验台上的锥形瓶，它的主视图为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河北石家庄·一模）某几何体由若干个大小相同的小正方体组成，其主视图、左视图和俯视图都如图所示．则组成该几何体的小正方体的个数最少为（ ）
A．4个 B．6个 C．7个 D．8个
4．（2023·广东潮州·一模）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图与俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数最多为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．不能确定
5．（2024·贵州六盘水·统考二模）乌蒙铁塔位于六盘水市人民广场中央，在晴天的日子里，从早到晚这段时间，乌蒙铁塔在太阳下的影长度是如何变化的（ ）
A．保持不变 B．逐渐变长 C．先逐渐变短，后又逐渐变长 D．逐渐变短
6．（2024·江苏南京·校考三模）如图是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中a的值为（ ）
A． B．4 C．2 D．
7．（2024·福建福州·校考模拟预测）甲、乙、丙三位同学参加学习脱贫干部黄文秀、戍边英雄陈红军、人民科学家南仁东、抗疫英雄张定宇等英雄的先进事迹知识竞赛该竞赛共有十道判断题三位同学的答题情况如下：
题号选手
甲
乙
丙
考试成绩公布后，三个人都答对了道题，由此可知，题的正确答案依次是（ ）
A．、、、、、、、、、 B．、、、、、、、、、
C．、、、、、、、、、 D．、、、、、、、、、
8．（2022·浙江绍兴·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在x轴上的投影长为（ ）
A． B． C．5 D．6
9.（2024·河北沧州·模拟预测）下列选项能正确反映小亮和小美在同一盏路灯的两侧站立时影子情况的是（ ）
A． B． C． D．
10.（2023·福建厦门·统考模拟预测）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米．在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（ ）
A．减少米 B．增加米 C．减少米 D．增加米
11．（2024·贵州贵阳·统考一模）在课堂上，侯老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．
对这两种画法的描述中错误的是（ ）
A．小赵同学作图判定的依据是
B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
C．小刘同学作图判定的依据是
D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
12．（2024·河北石家庄·统考二模）如图（1），锐角中，，要用尺规作图的方法在边上找一点D，使为等腰三角形，关于图（2）中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙、丙都正确 B．甲、丙正确，乙错误 C．甲、乙正确，丙错误 D．只有甲正确
13.（2023·四川成都·模拟预测）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若，，，则 ．
14．（2023·山西太原·统考二模）现有颗外观和大小都完全相同的小球，已知颗球的质量相等，另外一颗球的质量略大一些．小颖想用一架托盘天平称出这颗质量较大的球．她思考后发现最少称次就一定能找出这颗球，则的值等于 ．
15.（2023·福建厦门·统考三模）如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点处安装了360度旋转摄像头，由于墙体的的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区．（1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？
（2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体上重新设计摄像头安装的位置，画出示意图，并说明理由．
16.（2024·山东淄博·一模）学习了《平行四边形》一章以后，小明根据学习平行四边形的经验，对平行四边形的判定问题进行了再次探究．
以下是小明探究过程，请补充完整：
(1)在四边形中，对角线与相交于点．若，补充下列条件中的一个，能判断四边形是平行四边形的是_________（写出一个你认为正确选项的序号即可）；
（A） （B）
(2)将（1）中的命题用文字语言表述为：①命题1_____________________________________________；
②画出图形，并写出命题1的已知和求证；
(3)小明进一步探究发现：若一个四边形的三个顶点的位置如图所示，且这个四边形满足，，但四边形不是平行四边形，请画出符合题意的四边形（不要求尺规）．进而小明发现：命题2“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是一个假命题．
17.（2024·浙江嘉兴·统考一模）数学课上老师要同学证明命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是正确的．
小红同学先任意画出，再取边的中点O，连结并延长到点D，使，连结，（如图所示），并写出了如下尚不完整的已知和求证．
已知：如图，在四边形中， ． ________． 求证：四边形是________四边形．
(1)补全已知和求证（在方框中填空）．(2)小红同学的思路是利用三角形全等，依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明，请完成证明过程（可以用小红的思路，也可以用其他方法）．
18．（2024·河南·统考一模）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边”．
任务：（1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程；
已知：__________________ 求证：_________________
证明：
（2）如图（2），在中，弦于M，连接分别是上的点，于于H，当M是中点时，直接写出四边形是怎样的特殊四边形：__________．
19．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图是由大小相同的8个小立方块搭成的几何体．
(1)请在方格中分别画出从正面、上面看到的该几何体的形状图；
(2)若每个小正方体的棱长均为，这个几何体的体积是 ；
(3)用小立方块搭一个几何体，使得从正面、上面看到的该几何体的形状图与你在方格中所画一致，则搭这样一个几何体最少要 个小立方块，最多要 个小立方块．
20．（2024·广东深圳·三模）背景：双目视觉测距是一种通过测量出左、右两个相机视野中，同一物体的成像差异，来计算距离的方法．它在“AI”领域有着广泛的应用．
材料一：基本介绍：如图1，是双目视觉测距的平面图．两个相机的投影中心，的连线叫做基线，距离为t，基线与左、右投影面均平行，到投影面的距离为相机焦距f，两投影面的长均为l（t，f，1是同型号双目相机中，内置的不变参数），两投影中心，分别在左、右投影面的中心垂直线上．根据光的直线传播原理，可以确定目标点P在左、右相机的成像点，分别用点，表示．，分别是左、右成像点到各投影面左端的距离．
材料二：重要定义：①视差——点P在左、右相机的视差定义为．
②盲区——相机固定位置后，在基线上方的某平面区域中，当目标点P位于该区域时，若在左、右投影面上均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，阴影区域是盲区之一）．
③感应区——承上，若在左、右投影面均可形成成像点，则该区域称为感应区．
材料三：公式推导片段
以下是小明学习笔记的一部分：如图3，显然，，，可得，所以， （依据）…
任务：(1)请在图2中（A，B，C，D是两投影面端点），画出感应区边界，并用阴影标示出感应区．
(2)填空：材料三中的依据是指 ；已知某双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，则位于感应区的目标点P到基线的距离z（mm）与视差d（mm）之间的函数关系式为 ．
(3)如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面CD长为10mm）正对天空连续拍摄时，一物体M正好从相机观测平面的上方从左往右飞过，已知M的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当M刚好进入感应区时，，当M刚好经过点的正上方时，视差，在整个成像过程中，d呈现出大一小一大的变化规律，当d恰好减小到上述的时，开始变大．
①小明以水平基线为x轴，右投影面的中心垂直线为y轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 （友情提示：注意横、纵轴上的单位：）；
②求物体M刚好落入“盲区”时，距离基线的高度．
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第六章 图形的变化
6.1尺规作图、视图与投影、 几何体及其展开图
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 基本尺规作图及相应运算 ☆☆ 浙江中考数学（省卷）中，该专题部分，考查3道题，分值为12分左右，通常以选填题（2题）、 计算题（1题）的形式考查。预计2025年浙江中考还将出现，几何体的展开图、视图与投影和命题在选填题出现的可能性较大，一般只考查基础应用，所以考生在复习时要多注重该考点的概念以及应用。
考点2 视图与投影及其计算 ☆☆☆
考点3 几何体的展开图 ☆☆☆
考点4 定义、命题、定理 ☆☆☆
本专题以考查几何体的三视图和正方体的展开图、尺规作图和真假命题为主。其中尺规作图的考查涉及多种形式，不再是单一的对作图技法操作进行考查，而是把作图与计算、证明、分析、判断等数学思维活动有效融合，既体现了动手实践的数学思维活动，也考查了学生运用数学思考解决问题的能力。
2
4
■考点一 基本尺规作图及相应运算 4
■考点二 视图与投影及其计算 9
■考点三 几何体的展开图 14
■考点四 定义、命题、定理 17
21
35
■考点一 基本尺规作图及相应运算
1）尺规作图的定义:在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图 。
2）五种基本作图
（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作一个角的平分线；（4）作一条线段的垂直平分线；（5）过一点作已知直线的垂线。
3）根据基本作图作三角形
（1）已知三角形的三边，求作三角形；（2）已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；（3）已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；（4）已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形；（5）已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形。
4）与圆有关的尺规作图
（1）过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）；（2）作三角形的内切圆。
5）作图题的一般步骤
（1）已知；（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）证明；（6）讨论。
其中步骤（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作图中一定要保留作图痕迹 。
6）尺规作图的关键：（1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；（2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题。
7）根据已知条件作等腰三角形或直角三角形
求作三角形的关键是确定三角形的三个顶点，作图依据是三角形全等的判定，常借助基本作图来完成，如作直角三角形就先作一个直角。
■考点二 视图与投影及其计算
1）投影：在光线的照射下，空间中的物体落在平面内的影子能够反映出该物体的形状和大小，这种现象叫做投影 现象。影子所在的平面称为投影面 。
2）平行投影、中心投影、正投影
（1）中心投影：在点光源 下形成的物体的投影叫做中心 投影，点光源叫做投影中心。
（2）平行投影：投射线相互平行 的投影称为平行 投影。
（3）正投影：投射线与投影面垂直 时的平行 投影，叫做正投影 。
1）视图：由于可以用视线代替投影线，所以物体的正投影通常也称为物体的视图。
2）三视图：（1）主视图：从正面 看得到的视图叫做主视图；（2）左视图：从左面 看得到的视图叫做左视图；（3）俯视图：从上面 看得到的视图叫做俯视图。
3）三视图的画法
（1）画三视图要注意三要素：主视图与俯视图长度相等；主视图与左视图高度相等；左视图与俯视图宽度相等．简记为“主俯长对正，主左高平齐，左俯宽相等”。
（2）注意实线与虚线的区别：能看到的线用实线，看不到的线用虚线。
■考点三 几何体的展开图
1）常见几何体的展开图
几何体 立体图形 表面展开图 侧面展开图
圆柱
圆锥
三棱柱
2）正方体的展开图
正方体有11种展开图，分为四类：
第一类，中间四连方，两侧各有一个，共6种，如下图：
第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共3种，如下图：
第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有1种，如图10；
第四类，两排各有三个，也只有1种，如图11。
■考点四 定义、命题、定理
1）定义:一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义 。
2）命题：判断一件事情的语句叫做命题 。
3）命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
4）命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。
5）真命题：正确的命题叫做真命题 。反之，则为假命题。
注意：（1）要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）；（2）要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可。
6）逆命题：把原命题的结论作为命题的条件 ，把原命题的条件作为命题的结论 ，所组成的命题叫做原命题的逆命题 ；每个命题都有逆命题 ，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题 。
7）公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理 。
8）定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理 。
注意：公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据。
9）推论：由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论 。
10）如果一个定理的逆命题经过证明是真命题 ，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理 ，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理 ；任何一个命题都有逆命题 ，而定理并不一定有逆定理 。
11）反证法定义：假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法 。
12）反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确。
■考点一 基本尺规作图及相应运算
◇典例1：（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在中， ．尺规作图的步骤为：①以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，交的延长线于点E；② 分别以D，E 为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F；③ 作射线．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵ ．∴
由题意可知，平分，∴故选：B
◆变式训练
1．（2025·广东·模拟预测）如图，在中，，．以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，交的延长线于点E；分别以D，E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F；作射线．则的度数为 ．
【答案】/65度
【详解】解：∵，，∴，
由题意知：平分，∴，故答案为：．
◇典例2：（2024·广东江门·模拟预测）如图，在中，，为的平分线．
(1)尺规作图：过点作的垂线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
(2)在（1）的条件下，求证：．
【答案】(1)见解析；(2)见解析．
【详解】（1）如图，即为所求．
（2）证明：为的平分线，为的垂线，，，，
在和中，，
，．
◆变式训练
1．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边，相交于点D，E，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由作法可知是的垂直平分线，∴，，，
，，，，
，，，故选：B．
2．（2025·广东·模拟预测）如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D、E两点，作直线交于点F，交于点G，连接．若，，则的周长为 ．
【答案】9
【详解】解：由作图可知，直线垂直平分，∴，
∵，∴的周长．故答案为：．
◇典例3：（2025·广东揭阳·一模）如图所示为一直角三角形，，，，用圆规以A点为圆心画圆弧s，分别交于点D，E，然后再分别以D，E为圆心，以大于长度的一半画圆弧，两圆弧交于点F，连接交于点G，最后以点G为圆心，以的长度为半径画圆交圆弧s于点M，N，连接分别交于点P，Q，连接，则四边形的周长为 ．
【答案】16
【详解】解：∵，，，∴，如图：
∵用圆规以A点为圆心画圆弧s，分别交于点D，E，然后再分别以D，E为圆心，以大于长度的一半画圆弧，两圆弧交于点F，连接交于点G，
∴是的角平分线，∴，
∵以点G为圆心，以的长度为半径画圆交圆弧s于点M，N，连接分别交于点P，Q，连接，∴直线是的垂直平分线，∴，，，∴，
∵，，∴，∴，
即∴四边形是菱形，则中，，
即，∴，∵，∴，
∴，∴即菱形的周长是，故答案为：．
◆变式训练
1．（2024·广东佛山·三模）如图，已知三角形，点E是上一点．
(1)尺规作图：在上找到一点F，使得；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接，若，且平分，求的度数．
【答案】(1)作图见解析过程(2)
【详解】（1）解：如图1所示，作，交于，点即为所求；
（2）如图2，连接，∵，，∴，
∵平分，∴，∴．
2．（2024·广东·模拟预测）如图，在 中，是的角平分线．
(1)实践与操作：用尺规作图法，在上找到一点E使得为以为底边的等腰三角形；(保留作图痕迹，不写作法)(2)应用与计算：在（1）的条件下，过点D作交于点F，求证：
【答案】(1)图见解析(2)见解析
【详解】（1）解：作图如下：
（2）证明：作图如下：是的角平分线，的垂直平分线交于点，
，，，，
，，，，．
3．（2024·广东·模拟预测）如图所示，已知中，．
(1)过点 B作平分面积的直线l．（尺规作图，不写作法，保留痕迹）
(2)设（1）中的直线交于点 D． 若， 求的长．
【答案】(1)见解析 (2)
【详解】（1）解：如图，直线l即为所求；
（2）过点A 作， 垂足为点 E， 过点 D 作， 垂足为点 F，
∵，在中，
∵平分面积，∴点 D 为的中点，即
在中，
在中，，
■考点二 视图与投影及其计算
◇典例4：（2025·广东佛山·一模）如图所示是皮影戏，它是中国民间古老的传统艺术，老北京人都叫它“驴皮影”．据史书记载，皮影戏始于西汉，兴于唐朝，盛于清代，元代时期传至西亚和欧洲，可谓历史悠久，源远流长．皮影戏的光源通常是一盏煤油灯，则它的投影属于（ ）
A．平行投影 B．中心投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．无法确定
【答案】B
【详解】解：∵皮影戏的光源通常是一盏煤油灯，∴它的投影属于中心投影．故选B．
◆变式训练
1．（2023·广东深圳·一模）下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【详解】解：小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反．故选：D．
子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．
2．（2023·广东东莞·一模）清晨，早起锻炼的人的影子方向是（ ）
A．朝东 B．朝西 C．朝南 D．朝北
【答案】B
【详解】解：清晨，太阳在东方，所以早起锻炼的人的影子方向是朝西．故选：B．
◇典例5：（2024·广东·模拟预测）学习相似三角形后，小红利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，已知小红的身高是米，他在路灯下的影长为2米，小红距路灯灯杆的底部4米，则路灯灯泡距地面的高度是 米．
【答案】
【详解】解：结合题意画出图形得：，，，，
小红的身高为米，他在路灯下的影子长为2米；小红距路灯杆底部为4米，
，，，，解得：，
则路灯灯泡距地面的高度是米．故答案为：．
◆变式训练
1．（2024·广东茂名·二模）如图，如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高，在路灯的照射下，路基留在地面上的影长为，通过测量知道的距离为，则路灯的高度是 m．
【答案】
【详解】解：由题意得：，，∴，由题意得：，
∴，∴，∴，∴，解得：，
∴路灯的高度是,故答案为：．
2．（2024·广东深圳·二模）某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵某一时刻在阳光照射下，，且，，
∴，，∴．故选：B．
◇典例6：（2024·河南周口·一模）如图是物理学中经常使用的型磁铁示意图，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：从左面看，只能看到一个竖着放置的长方形，且下面还有一部分长方形，
即的左视图是；故选：B．
◆变式训练
1．（2025·广东揭阳·一模）如图1所示为烽火台，其建筑主体为正四棱台，图2几何体为其结构图．如图2所示，正四棱台是由底面为正方形的正四棱锥切割所得到的，则图2几何体的主视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：从几何体的正面可以看到一个等腰梯形．故选：A．
2．（2024·广东云浮·一模）如图，该几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：从上边看，所得长方形有两条竖线．故选：B．
◇典例7：（2024·广东中山·模拟预测）如图所示的是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，则这个几何体中小正方体的个数（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【详解】解：综合三视图可知，这个几何体的底层应该有4个小正方体，第二层左边有1个小正方体，
因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是个．故选B．
◆变式训练
1．（2024·广东中山·三模）某几何体由若干个大小相同的小正方体组成，其主视图、左视图和俯视图都如图所示．则组成该几何体的小正方体的个数最少为（ ）
A．4个 B．6个 C．7个 D．3个
【答案】B
【详解】解：根据题意，如图所示：或
故组成该几何体的小正方体的个数最少为：（个）．故选：B．
2．（2025九年级下·浙江·专题练习）一个由10个大小相同的小立方块搭成的几何体如图所示．
(1)在给定的虚线方格图中画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图；
(2)给这个几何体添加一些相同的小立方块，如果从左面和上面看到的形状图保持不变，请直接写出最多可以添加多少个小立方块？
【答案】(1)见解析(2)4个
【详解】（1）解：从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图如图1所示；
（2）解：在从上面看的图形的相应位置标可能摆放的最多小正方体的个数，所以最多可添加4个小立方块．
■考点三 几何体的展开图
◇典例8：（2024·江西·中考真题）如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】B
【详解】解：如图所示：共有2种方法，故选：B．
◆变式训练
1．（2024·青海·中考真题）生活中常见的路障锥通常是圆锥的形状，它的侧面展开图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：圆锥的侧面展开图是扇形．故选：D．
2．（2024·江苏扬州·中考真题）如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（ ）
A．三棱锥 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体
【答案】C
【详解】解：根据图示，上下是两个三角形，中间是长方形，∴该几何体是三棱柱， 故选：C ．
◇典例9：（2024·四川德阳·中考真题）走马灯，又称仙音烛，据史料记载，走马灯的历史起源于隋唐时期，盛行于宋代，是中国特色工艺品，常见于除夕、元宵、中秋等节日，在一次综合实践活动中，一同学用如图所示的纸片，沿折痕折合成一个棱锥形的“走马灯”，正方形做底，侧面有一个三角形面上写了“祥”字，当灯旋转时，正好看到“吉祥如意”的字样．则在A、B、C处依次写上的字可以是（ ）
A．吉 如 意 B．意 吉 如 C．吉 意 如 D．意 如 吉
【答案】A
【详解】解：由题意可得：展开图是四棱锥，
∴A、B、C处依次写上的字可以是吉，如，意；或如，吉，意；故选A
◆变式训练
1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点A最远的点是（ ）
A．B点 B．C点 C．D点 D．E点
【答案】B．
【详解】解：把图形围成立方体如图所示：
所以与顶点A距离最远的顶点是C，故选：B．
2．（2024·四川达州·中考真题）如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“我”的对面的字是（ ）
A．热 B．爱 C．中 D．国
【答案】B
【详解】解：正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，则与“我”字相对的字是“爱”，与“们”字相对的字是“中”，与“国”字相对的字是“热”，故选：B．
■考点四 定义、命题、定理
◇典例10：（2023·安徽·校联考模拟预测）已知点在矩形的对角线上（不与点重合），下列命题为假命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【详解】解：∵四边形是矩形，∴，如图，
，在矩形中，∵，∴，
∵，A项为真命题，不符合题意；如图，
，，∴，，
∴，∵，
∴，∴∴；
B项为真命题，不符合题意；如图，
∵，∴，∵四边形是矩形，∴，，
∴，∵，∴；
故选项C是真命题，不符合题意；如图，
当时，无法证明，故D选项是假命题，符合题意．故选：D．
◆变式训练
1．（2023·山东聊城·统考三模）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线相等
C．菱形的对角线互相垂直 D．正方形的对角线互相平分且相等
【答案】A
【详解】解：A、逆命题为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，是真命题，故A符合题意；
B、逆命题为“对角线相等的四边形为矩形”，是假命题，故B不符合题意；
C、逆命题为“对角线互相垂直的四边形是菱形”，是假命题，故C不符合题意；
D、逆命题为“对角线互相平分且相等的四边形是正方形”，是假命题，故D不符合题意；故选：A．
2．（2023·安徽滁州·统考二模）命题“如果，互为相反数，那么，的绝对值相等”的逆命题是 ．
【答案】如果，的绝对值相等，那么，互为相反数
【详解】∵逆命题：把原命题的条件当成结论，把结论当成条件得到的命题就是该命题的逆命题，
∴命题“如果，互为相反数，那么，的绝对值相等”的逆命题为：如果，的绝对值相等，那么，互为相反数，故答案为：如果，的绝对值相等，那么，互为相反数．
◇典例11：（2023·河北·校联考一模）已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴，这与三角形内角和为矛盾；
②因此假设不成立．∴；③假设在中，；④由，得，即．这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
【答案】D
【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤，
1、假设在中，，2、由，得，即，
3、，这与三角形内角和为矛盾，4、因此假设不成立．，
综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④①②．故选：D．
◆变式训练
1.（2023·河南郑州·郑州外国语中学校考二模）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在同一平面内，若，，则”时，首先应假设（ ）
A． B． C．与相交 D．与相交
【答案】D
【详解】解：反证法证明命题“在同一平面内，若，，则”时，
首先应假设与不平行，即与相交．故选：D．
2．（2023·安徽·模拟预测）用一个的值说明命题“如果，那么”是假命题，此时的值可以为 ．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：由题意得：当或时，均有，
∴的值可以为，此时能够说明说明命题“如果，那么”是假命题，
故答案为：（答案不唯一）．
3.（2023·福建莆田·统考二模）阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成问题．
证明：假设是有理数，
那么存在两个互质的正整数，，使得，则___________．
是2的倍数，
____________________，
可设（为正整数），则，
_____________，即，
__________________，
，都是2的倍数，不互质，与假设矛盾．
因此假设不成立，即不是有理数．
将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是 ．（填上序号）
①； ②； ③是2的倍数； ④是2的倍数．
【答案】②④①③
【详解】证明：假设是有理数，
那么存在两个互质的正整数，，使得，则．
是2的倍数，是2的倍数，
可设（为正整数），则，，即，
是2的倍数，，都是2的倍数，不互质，与假设矛盾．
因此假设不成立，即不是有理数．故答案为：．②④①③
◇典例12：（2023·湖南长沙·校考三模）在一次数学活动课上，某数学老师将三张不同的牌分别发给甲、乙、丙三个同学，其中有一张牌是红桃A．
甲说：“红桃A在我手上”； 乙说：“红桃A不在我手上”；丙说：“红桃A肯定不在甲手上” ．
三个同学中只有一个说对了，则红桃A在（ ）的手上．
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断
【答案】B
【详解】解：由题意知，若甲正确，则乙正确，甲乙同学说法正确，故不符合要求；
若乙正确，甲错误，则红桃A在丙手上，则丙说法正确，乙丙同学说法正确，故不符合要求；
若丙正确，甲错误，乙错误，则红桃A在乙手上，
∴当三个同学中只有一个说对了，则红桃A在乙的手上，故选：B．
◆变式训练
1．（2023·湖南·校联考模拟预测）某校开展数学兴趣活动，甲、乙、丙、丁、戊五位同学进入决赛角逐前五名，发奖前，为活跃气氛，老师请他们猜一猜各人名次排列情况．
甲说：“乙第三名，丙第五名．”乙说：“戊第四名，丁第五名．”丙说：“甲第一名，戊第四名．”
丁说：“丙第一名，乙第二名．”戊说：“甲第三名，丁第四名．”
结果，每个名次都有人猜对，则第一至第五名的同学顺序是（ ）
A．甲乙丙丁戊 B．丙乙甲戊丁 C．丁戊甲乙丙 D．丁甲乙戊丙
【答案】B
【详解】解：∵只有戌的名次是重复的，∴戌一定是第四名，∴丁就不是第四名，而是第五名，
∴甲一定是第三名，∴乙不是第三名，而是第二名，∴丙一定是第一名；
∴第一至第五名的同学顺序：丙乙甲戊丁；故选．
2．（2023·湖南长沙·统考一模）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当裁判9局，乙、丙分别进行了14局、12局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行的比赛局数为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】C
【详解】解：∵甲共当裁判9局，∴乙、丙之间打了9局，
∵乙、丙分别进行了14局、12局比赛，∴乙与甲打了局，丙与甲打了局，
∴甲、乙、丙三人共打的比赛局数为局；故选：C.
1．（2024·陕西·中考真题）如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球，故选：C．
2．（2024·江苏盐城·中考真题）正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．湿 B．地 C．之 D．都
【答案】C
【详解】解：由正方体表面展开图的特征可得：“盐”的对面是“之”，“地”的对面是“都”，“湿”的对面是“城”，故选C．
3．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，正方形边长为2，以所在直线为轴，将正方形旋转一周，所得圆柱的主视图的面积为（ ）
A．8 B．4 C． D．
【答案】A
【详解】解：由图可知：圆柱体的主视图为长为4，高为2的长方形，
∴面积为；故选A．
4．（2024·四川广元·中考真题）一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：从上面看，如图所示： 故选：C．
5．（2024·吉林·中考真题）葫芦在我国古代被看作吉祥之物．下图是—个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．主视图、左视图与俯视图都相同
【答案】A
【详解】解：葫芦的俯视图是两个同心圆，且带有圆心，主视图和俯视图都是下面一个较大的圆，中间一个较小的圆，上面是一条线段，故选：A．
6．（2024·河北·中考真题）如图是由个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：通过左边看可以确定出左视图一共有列，每列上小正方体个数从左往右分别为、、．故选：D．
7．（2024·黑龙江绥化·中考真题）某几何体是由完全相同的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】A
【详解】解：由三视图易得最底层有个正方体，第二层有个正方体，那么共有个正方体组成．故选：A．
8．（2024·黑龙江绥化·中考真题）下列叙述正确的是（ ）
A．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形
B．平分弦的直径垂直于弦
C．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影
D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等
【答案】C
【详解】A. 顺次连接平行四边形各边中点不一定能得到一个矩形，故该选项不正确，不符合题意；
B. 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故该选项不正确，不符合题意；
C. 物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影，故该选项正确，符合题意；
D. 在同圆或等圆 中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等，故该选项不正确，不符合题意；故选：C．
9．（2024·广西·中考真题）榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由图可知：几何体的主视图为：故选A．
10．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）由5个形状、大小完全相同的小正方体组合而成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则搭建该几何体的方式有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】C
【详解】解：由主视图可知，左侧一列最高一层，右侧一列最高三层，由左视图可知，前一排最高三层，后一排最高一层，可知右侧第一排一定为三层，可得该几何体俯视图如图所示，
故选：C．
11．（2024·山东烟台·中考真题）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】解：第一个图为尺规作角平分线的方法，为的平分线；
第二个图，由作图可知：，∴，
∵，∴，∴，
∵，，∴，∴，
∵，∴，∴，∴为的平分线；
第三个图，由作图可知，∴，，
∴∴，∴为的平分线；
第四个图，由作图可知：，，∴为的平分线；故选D．
12．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（ ）
A．8 B．16 C．12 D．24
【答案】B
【详解】解： ∵，∴，由作图知：平分，
∴，∴，，∴，∴，
∴，又的面积为8，∴的面积是，故选B．
13．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在中，是边的中点．按下列要求作图：
①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点；
②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点；
③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧；
④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A．根据作图可知：一定成立，故A不符合题意；
B．∵，∴，∴一定成立，故B不符合题意；
C．∵是边的中点，∴，∵，∴，
∴一定成立，故C不符合题意；D．不一定成立，故D符合题意．
14．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ）
A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线
【答案】B
【详解】解：由作图可得：，∴线段一定是的高线；故选B
15．（2024·湖北·中考真题）为半圆的直径，点为半圆上一点，且．①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于；②分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点；③作射线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵为半圆的直径，∴，
∵，∴，由作图知，是的角平分线，
∴，故选：C
16．（2024·四川自贡·中考真题）如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点B，连接．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由作图知，∴四边形是菱形，
∵，∴，故选：A．
17．（2024·贵州·中考真题）如图，在中，以点A为圆心，线段的长为半径画弧，交于点D，连接．若，则的长为 ．
【答案】5
【详解】解∶由作图可知∶ ，
∵，∴，故答案为∶5．
18．（2024·山东·中考真题）如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，．若，，则到的距离为 ．
【答案】
【详解】解：如图，过作于，
由作图可得：，，，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴到的距离为；故答案为：
19．（2024·福建·中考真题）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．
图1 图2 图3
(1)直接写出的值；(2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（ ）
图4
A． B．
C． D．
(3)
卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ
规格（单位：cm）
单价（单位：元） 3 5 20
现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整，的比例，制作棱长为的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．
（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）
【答案】(1)2；(2)C；(3)见解析．
【详解】（1）解：如图：
上述图形折叠后变成：由折叠和题意可知，，，
∵四边形是正方形，∴，即，∴，即，
∵，∴，∴的值为：．
（2）解：根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，∴C选项符合题意，故选：C．
（3）解：
卡纸型号 型号 型号 型号
需卡纸的数量（单位：张） 1 3 2
所用卡纸总费用（单位：元） 58
根据（1）和题意可得：卡纸每格的边长为，则要制作一个边长为的正方体的展开图形为：
∴型号卡纸，每张卡纸可制作10个正方体，如图：
型号卡纸，每张这样的卡纸可制作2个正方体，如图：
型号卡纸，每张这样的卡纸可制作1个正方体，如图：
∴可选择型号卡纸2张，型号卡纸3张，型号卡纸1张，则（个），
∴所用卡纸总费用为：（元）．
21．（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．
(1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m；
(2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度；(3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：
如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上．
如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面．
如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）．
【答案】(1)(2)旗杆高度为；(3)雕塑高度为．
【详解】（1）解：由题意得，由题意得：，∴，故答案为：；
（2）解：如图，由题意得，，
根据镜面反射可知：，，，，
，，即，，答：旗杆高度为；
（3）解：设，由题意得：，，
∴，，即，，
∴，整理得，解得，经检验符合他
∴，答：雕塑高度为．
22．（2024·甘肃·中考真题）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知和圆上一点M．作法如下：①以点M为圆心，长为半径，作弧交于A，B两点；
②延长交于点C；即点A，B，C将的圆周三等分．
(1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）；(2)根据（1）画出的图形，连接，，，若的半径为，则的周长为______．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）根据基本作图的步骤，作图如下：则点A，B，C是求作的的圆周三等分点．
（2）连接，设的交点为D，根据垂径定理得到，
∵的半径为，是直径，是等边三角形，
∴，，∴，
∴的周长为，故答案为：．
23．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知及边上一点．
(1)用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，以点为圆心，以为半径的圆交射线于点，用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使点到点的距离与点到射线的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）(3)在（1）、（2）的条件下，若，，求的长．
【答案】(1)作图见详解(2)作图见详解(3)
【详解】（1）解：如图所示，∴；点O即为所求
（2）解：如图所示，连接，以点为圆心，以为半径画弧交于点，以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点，连接并延长交于点，
∵是直径，∴，即，根据作图可得，
∴，即，是点到的距离，
∵，∴，∴，点即为所求点的位置；
（3）解：如图所示，
根据作图可得，，连接，
∴在中，，∴，∴，
∵是直径，∴，∴，设，则，
∴在中，，解得，（负值舍去），∴，
在中，．
1．（2024·广东·模拟预测）如图是由一个长方体和一个三棱柱组成的几何体，则它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：这个几何体的主视图是：故选：B．
2．（2024·广东·模拟预测）如图是一个放置在水平试验台上的锥形瓶，它的主视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：该锥形瓶的主视图的底层是等腰梯形，上层是矩形，故选：A．
3．（2024·河北石家庄·一模）某几何体由若干个大小相同的小正方体组成，其主视图、左视图和俯视图都如图所示．则组成该几何体的小正方体的个数最少为（ ）
A．4个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【详解】解：如图所示： 或 ，
故组成该几何体的小正方体的个数最少为：（个）．故选：B．
4．（2023·广东潮州·一模）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图与俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数最多为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．不能确定
【答案】C
【详解】解：由俯视图易得最底层有3个小正方体，第二层最多有2个小正方体，那么搭成这个几何体的小正方体最多为个，故选：C．
5．（2024·贵州六盘水·统考二模）乌蒙铁塔位于六盘水市人民广场中央，在晴天的日子里，从早到晚这段时间，乌蒙铁塔在太阳下的影长度是如何变化的（ ）
A．保持不变 B．逐渐变长 C．先逐渐变短，后又逐渐变长 D．逐渐变短
【答案】C
【详解】解：从早到晚这段时间，投影线与地面所夹的锐角先变大再变小，
所以乌蒙铁塔在大阳下的影长度先逐渐变短，后又逐渐变长，故选：C．
6．（2024·江苏南京·校考三模）如图是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中a的值为（ ）
A． B．4 C．2 D．
【答案】D
【详解】解：如图，
由主视图和左视图可得：，，，，，，，
连接，则有，为等边三角形，，
，，．故选：D．
7．（2024·福建福州·校考模拟预测）甲、乙、丙三位同学参加学习脱贫干部黄文秀、戍边英雄陈红军、人民科学家南仁东、抗疫英雄张定宇等英雄的先进事迹知识竞赛该竞赛共有十道判断题三位同学的答题情况如下：
题号选手
甲
乙
丙
考试成绩公布后，三个人都答对了道题，由此可知，题的正确答案依次是（ ）
A．、、、、、、、、、 B．、、、、、、、、、
C．、、、、、、、、、 D．、、、、、、、、、
【答案】A
【详解】解：甲与乙、、、题答案相同，、、、，
乙与丙、、、题答案相同，、、、，
甲与丙、、、题答案相同，、、、，
两两都是题答案相同，题答案不同，
因为都对题，所以题相同答案的都答对了，题答案不同的各对了道，所以题答案为：、、、、、、、、、．故选：A．
8．（2022·浙江绍兴·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在x轴上的投影长为（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】D
【详解】解：延长、分别交x轴于点、，作轴于点E，交于点D，如图，
∵，，，∴，，，
∵，∴，，∴，
∴，即，∴，故选：D．
9.（2024·河北沧州·模拟预测）下列选项能正确反映小亮和小美在同一盏路灯的两侧站立时影子情况的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】小亮和小美在同一盏路灯的两侧站立时影子情况应如图所示： 故选D.
10.（2023·福建厦门·统考模拟预测）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米．在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（ ）
A．减少米 B．增加米 C．减少米 D．增加米
【答案】A
【详解】解：如图，点为光源，表示小明的手，表示小狗手影，则，过点作，延长交于，则，∵，∴，则，
∵米，米，则米，∴，设，
∵在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如图，
即，，米，
∴，则，∴米，
∴光源与小明的距离变化为：米，故选：A．
11．（2024·贵州贵阳·统考一模）在课堂上，侯老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．
对这两种画法的描述中错误的是（ ）
A．小赵同学作图判定的依据是
B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
C．小刘同学作图判定的依据是
D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
【答案】D
【详解】解：小赵同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，则判定的依据是，则选项A、B正确；
小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，则判定的依据是，则选项C正确，选项D错误；故选：D．
12．（2024·河北石家庄·统考二模）如图（1），锐角中，，要用尺规作图的方法在边上找一点D，使为等腰三角形，关于图（2）中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙、丙都正确 B．甲、丙正确，乙错误 C．甲、乙正确，丙错误 D．只有甲正确
【答案】A
【详解】解：甲图：以点A为圆心，为半径作弧，交于点D，∴，∴为等腰三角形，乙图：作的垂直平分线，交于点D，∴，∴为等腰三角形，
丙图：∵所作的，∴，∴是等腰三角形，∴甲、乙、丙都正确，故选A．
13.（2023·四川成都·模拟预测）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若，，，则 ．
【答案】5
【详解】解：过作交的延长线于，
则，由作图知，平分，
，，，
∵，，，，．故答案为：5．
14．（2023·山西太原·统考二模）现有颗外观和大小都完全相同的小球，已知颗球的质量相等，另外一颗球的质量略大一些．小颖想用一架托盘天平称出这颗质量较大的球．她思考后发现最少称次就一定能找出这颗球，则的值等于 ．
【答案】2
【详解】解：把颗小球任意分成三份，每份颗．先把其中任意两份分别放在天平的两边．
如果平衡，就把剩下的一份中的任意两颗分别放在天平的两边，若平衡，说明剩下的小球即为质量较大的，若不平衡，哪边重哪边就是那颗质量较大的；
如果不平衡，哪边重哪边那份就有质量较大的小球，从这一份中任取颗分别放在天平的两边，若平衡，没往天平上放的那一颗质量较大，若不平衡，哪边重哪边就是那颗质量较大的．
∴至少要称次，才能保证找出那颗质量较大的小球．故答案为：．
15.（2023·福建厦门·统考三模）如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点处安装了360度旋转摄像头，由于墙体的的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区．（1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？
（2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体上重新设计摄像头安装的位置，画出示意图，并说明理由．
【答案】（1）；（2）见详解
【详解】解：（1）设小正方形的边长为1，∴荣誉室面积=2×2+2×2+2×6=20，盲区面积=2×2-×2×1=3，
∴站在监控盲区的概率=3÷20=；
（2）如图所示：摄像头安装在AB的中点处，监控盲区的面积最小，此时，监控盲区面积=2××1×2=2，
若摄像头不安装在AB的中点处，则监控盲区面积=×(CM+2)×2＞2．
16.（2024·山东淄博·一模）学习了《平行四边形》一章以后，小明根据学习平行四边形的经验，对平行四边形的判定问题进行了再次探究．
以下是小明探究过程，请补充完整：
(1)在四边形中，对角线与相交于点．若，补充下列条件中的一个，能判断四边形是平行四边形的是_________（写出一个你认为正确选项的序号即可）；
（A） （B）
(2)将（1）中的命题用文字语言表述为：①命题1_____________________________________________；
②画出图形，并写出命题1的已知和求证；
(3)小明进一步探究发现：若一个四边形的三个顶点的位置如图所示，且这个四边形满足，，但四边形不是平行四边形，请画出符合题意的四边形（不要求尺规）．进而小明发现：命题2“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是一个假命题．
【答案】(1)B(2)①见解析；②见解析；(3)见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及命题与定理的运用，解决问题的关键是掌握平行四边形的判定方法，解题时注意：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
（1）根据四边形中，对角线与相交于点，，补充条件即可判定四边形是平行四边形；（2）先将符号语言转化为文字语言，再写出已知、求证和证明过程即可；
（3）根据等腰三角形以及轴对称变换即可得到反例．
【详解】（1）解：在四边形中，对角线与相交于点，
若，则当时，四边形是平行四边形；故答案为：B；
（2）解：①文字语言表述为：一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；
故答案为：一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；
②已知：如图，在四边形中，，对角线与相交于点，．
求证：四边形是平行四边形．
．
证明：∵，∴，
∵，∴，∴，
又∵，∴四边形是平行四边形；
（3）解：如图所示，四边形满足，但四边形不是平行四边形．
17.（2024·浙江嘉兴·统考一模）数学课上老师要同学证明命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是正确的．
小红同学先任意画出，再取边的中点O，连结并延长到点D，使，连结，（如图所示），并写出了如下尚不完整的已知和求证．
已知：如图，在四边形中， ． ________． 求证：四边形是________四边形．
(1)补全已知和求证（在方框中填空）．(2)小红同学的思路是利用三角形全等，依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明，请完成证明过程（可以用小红的思路，也可以用其他方法）．
【答案】(1)，平行(2)见解析
【详解】（1）已知：如图，在四边形中，，，
求证：四边形是平行四边形，故答案为：，平行．
（2）证明：在与中，，∴，
∴，∴，∴四边形是平行四边形．
18．（2024·河南·统考一模）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边”．
任务：（1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程；
已知：__________________ 求证：_________________
证明：
（2）如图（2），在中，弦于M，连接分别是上的点，于于H，当M是中点时，直接写出四边形是怎样的特殊四边形：__________．
【答案】（1）见解析；（2）菱形
【详解】（1）已知：如图，在圆内接四边形中，对角线于点M，过点M作的垂线分别交于点． 求证：点E是的中点
证明：，，
，，，
同理可证，，∴点E是的中点
故答案为：已知：如图，在圆内接四边形中，对角线于点M，过点M作的垂线分别交于点． 求证：点E是的中点
（2）四边形是菱形
理由：由布拉美古塔定理可知，分别是的中点，
是中点
∴四边形是菱形 故答案为：四边形是菱形
【点睛】本题考查菱形的判定、根据题意写已知求证、灵活进行角的和差关系的转换是解题的关键
19．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图是由大小相同的8个小立方块搭成的几何体．
(1)请在方格中分别画出从正面、上面看到的该几何体的形状图；
(2)若每个小正方体的棱长均为，这个几何体的体积是 ；
(3)用小立方块搭一个几何体，使得从正面、上面看到的该几何体的形状图与你在方格中所画一致，则搭这样一个几何体最少要 个小立方块，最多要 个小立方块．
【答案】(1)见解析(2)(3)7；9
【详解】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：，故答案为：；
（3）解：搭这样的一个几何体最少需要个小立方块7，第一层5个，第二层2，搭这样的一个几何体最多需要个小立方块9，第一层5个，第二层4，故答案为：7；9．
20．（2024·广东深圳·三模）背景：双目视觉测距是一种通过测量出左、右两个相机视野中，同一物体的成像差异，来计算距离的方法．它在“AI”领域有着广泛的应用．
材料一：基本介绍：如图1，是双目视觉测距的平面图．两个相机的投影中心，的连线叫做基线，距离为t，基线与左、右投影面均平行，到投影面的距离为相机焦距f，两投影面的长均为l（t，f，1是同型号双目相机中，内置的不变参数），两投影中心，分别在左、右投影面的中心垂直线上．根据光的直线传播原理，可以确定目标点P在左、右相机的成像点，分别用点，表示．，分别是左、右成像点到各投影面左端的距离．
材料二：重要定义：①视差——点P在左、右相机的视差定义为．
②盲区——相机固定位置后，在基线上方的某平面区域中，当目标点P位于该区域时，若在左、右投影面上均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，阴影区域是盲区之一）．
③感应区——承上，若在左、右投影面均可形成成像点，则该区域称为感应区．
材料三：公式推导片段
以下是小明学习笔记的一部分：如图3，显然，，，可得，
所以， （依据）…
任务：(1)请在图2中（A，B，C，D是两投影面端点），画出感应区边界，并用阴影标示出感应区．
(2)填空：材料三中的依据是指 ；已知某双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，则位于感应区的目标点P到基线的距离z（mm）与视差d（mm）之间的函数关系式为 ．
(3)如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面CD长为10mm）正对天空连续拍摄时，一物体M正好从相机观测平面的上方从左往右飞过，已知M的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当M刚好进入感应区时，，当M刚好经过点的正上方时，视差，在整个成像过程中，d呈现出大一小一大的变化规律，当d恰好减小到上述的时，开始变大．
①小明以水平基线为x轴，右投影面的中心垂直线为y轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 （友情提示：注意横、纵轴上的单位：）；
②求物体M刚好落入“盲区”时，距离基线的高度．
【答案】(1)见解析(2)等比性质；(3)① ②
【详解】（1）如图所示:
（2）材料三中的依据是指等比性质；设，由双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，可得：，∴；
（3）①解：如图，刚好进入感应区时， 此时
此时，因 , ,可得，所在直线解析式为： 令, 得, 即 .当经过点,的正上方时, 视差，
此时， 即，抛物线与轴交点的坐标为，
当减小到上述的时, ,之后开始变大，开始变小，
即，抛物线顶点的纵坐标为.设抛物线解析式为，将等代入得,
，解得， ，
因为,,对称轴在轴右侧,所以, .故，此时，
所以，抛物线解析式为，
②由, 可得直线的解析式为，
得，解得，(舍)此时， ．
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