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5.2 圆锥曲线选填题压轴题型全归纳
考点分布 考查频率 命题趋势
圆锥曲线的定义 2024年I卷第11题，6分 2024年II卷第10题，6分 2023年北京卷第6题，4分 2022年I卷第11题，5分 预测2025年高考，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立．具体估计为： （1）以选择题或填空题形式出现，考查数学抽象、数学建模、逻辑推理与数学运算四大核心素养． （2）热点是圆锥曲线的三定义与性质.
圆问题 2023年I卷第6题，5分 2023年乙卷第12题，5分 2023年乙卷第11题，5分
焦点三角形 2024年天津卷第8题，5分 2023年甲卷第12题，5分 2023年甲卷第7题，5分
圆锥曲线的定义、方程与几何性质是每年高考必考的内容．一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题；三是抛物线的性质及应用问题．多以选择、填空题的形式考查，难度中等．
1．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·高考真题）（多选题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（ ）
A． B．点在C上
C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点在C上时，
3．（多选题）（2024·全国·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时，
C．当时， D．满足的点有且仅有2个
4．（2024·天津·高考真题）圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为 ．
5．（2023·全国·高考真题）（多选题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形
6．（2023·全国·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·全国·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．
10．（2023·全国·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．
A． B． C． D．
11．（2022·全国·高考真题）（多选题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为 B． C． D．
12．（2022·全国·高考真题）（多选题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切C． D．
13．（2022·全国·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ．
14．（2022·全国·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ．
15．（2021·全国·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ．
高频考点一 阿波罗尼斯圆与蒙日圆
核心知识：（1）椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为。
（2）在平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆。
典例1：（2024·重庆·高三专题练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点与两定点，的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为．下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆上的动点和定点，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
典例2：（2024·四川·成都市校考期中）19世纪法国著名数学家加斯帕尔 蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则b的值为（ ）
A． B． C． D．
变式训练
1.（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知平面上两定点A，B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知动点P在棱长为6的正方体的一个侧面上运动，且满足，则点P的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
高频考点2 阿基米德三角形
核心知识：阿基米德三角形是由圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形。对于抛物线，该三角形的顶点轨迹具有特殊性质（如位于准线上）。
典例1：（多选题）（2024·山东·模拟预测）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.设抛物线，弦过焦点为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（ ）
A．存在点，使得 B．
C．对于任意的点，必有向量与向量共线 D．面积的最小值为
变式训练：
1.（多选题）（2024·湖南长沙·高三周南中学校考阶段练习）为抛物线的弦，，分别过作的抛物线的切线交于点，称为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边.若弦过焦点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．底边的直线方程为；
C．是直角三角形； D．面积的最小值为.
2.（多选题）（2024·湖南长沙·长沙市实验中学校考）过抛物线C：（）的焦点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，以A，B为切点作抛物线C的两条切线，，设，的交点为M，称△AMB为阿基米德三角形.则关于阿基米德三角形AMB，下列说法正确的有（ ）
A．△AMB是直角三角形 B．顶点M的轨迹是抛物线C的准线
C．MF是△AMB的高线 D．△AMB面积的最小值为
高频考点3 圆锥曲线第二、三定义
核心知识：椭圆的方程为（a＞b＞0）：
过原点的直线交椭圆于两点，P点是椭圆上异于两点的任一点，则有。
双曲线的方程为（a＞0，b＞0）：
过原点的直线交双曲线于两点，P点是双曲线上异于两点的任一点，则有。
典例1：（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考）已知椭圆：的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，，分别是的左、右焦点，且的面积为，点为上的任意一点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
典例2：（2024·安徽六安·高三六安一中阶段练习）已知为双曲线上不同三点，且满足（为坐标原点），直线的斜率记为，则的最小值为
A．8 B．4 C．2 D．1
变式训练：
1.（2024·广东广州·统考）已知F为抛物线C：的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，且，则
A．6 B．8 C．10 D．12
2.（2024·重庆·高三专题练习）椭圆的左、右顶点分别为、，点在上，且直线的斜率为，则直线斜率为（ ）
A． B．3 C． D．
高频考点4 焦半径问题
核心知识：圆锥曲线上任意一点到焦点的距离称为 焦半径 ，其表达式因曲线类型而异。
典例1：（2024·浙江·高三专题练习）已知双曲线的右支上的点，满足，分别是双曲线的左右焦点），则为双曲线的半焦距）的取值范围是（ ）
A．， B．， C．， D．，
变式训练：
1.（2024·广东·高三专题练习）已知点是双曲线上的动点，，为该双曲线的左右焦点，为坐标原点，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
2.（2024·江苏·高二专题练习）已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则当取得最小值时，四边形的面积为（ ）
A．32 B．16 C．24 D．8
高频考点5 定比点差法与点差法
核心知识：点差法是解析几何中处理圆锥曲线与直线相交问题的常用方法，尤其适用于涉及 弦的中点 的问题。其核心是通过两点坐标作差，消元后得到中点坐标与斜率的关系，实现“设而不求”。
定比点差法是点差法的推广，适用于线段被分为 定比 （非中点）的情况。设点 P 分线段AB 满足 AP=λPB，通过引入比例参数 λ，联立方程消元求解。
典例1：（2024·浙江·校联考）过点的直线与椭圆交于点和，且.点满足，若为坐标原点，则的最小值为 ．
变式训练：
1.已知点P(0，1)，椭圆 (m>1)上两点A，B满足，则当m= 时，点B横坐标的绝对值最大．
2.（2024·山东·高三校联考阶段练习）已知椭圆，点为椭圆外一点，斜率为的直线与椭圆交于，两点，过点作直线，分别交椭圆于，两点．当直线的斜率为时，此椭圆的离心率为 ．
高频考点6 切线问题
核心知识：
1）若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.
2）若在椭圆外 ，则过作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.
3）若在双曲线上，则过的双曲线的切线方程是.
4）若在双曲线外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.
5）以A为切点的切线斜率为 ，切线方程为 。
典例1：（2024·湖南·高三专题练习）设抛物线，M为直线上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B，记A，B，M的横坐标分别为，则下列关系：①；②；③.其中正确的是 (填序号)．
变式训练：
1.（2024·山东济南·高三校考阶段练习）已知椭圆，过C中心的直线交C于M，N两点，点P在x轴上其横坐标是点M横坐标的3倍，直线NP交C于点Q，若直线QM恰好是以MN为直径的圆的切线，则C的离心率为 ．
2.（2024·浙江台州·统考）抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．过抛物线：上的点（不为原点）作的切线，过坐标原点作，垂足为，直线（为抛物线的焦点）与直线交于点，点，则的取值范围是 ．
高频考点7 焦点三角形问题
核心知识：设点是椭圆上异于长轴端点的任一点,为其焦点，记，则
（1）、；（2）、焦点三角形的面积： ；
设P点是双曲线上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则
(1)、.(2)、焦点三角形的面积 .
典例1：（2024·云南·高三校考期末）已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积为，则（ ）
A．9 B．3 C．4 D．8
变式训练：
1.（2024·广东·高三专题练习）已知、是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，若，且的面积为，则
A．2 B．3 C．6 D．9
2.（2024·江西赣州·高三校联考期末）已知椭圆上一动点P到两个焦点F1，F2的距离之积为q，则q取最大值时，的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．
高频考点8 焦点弦问题
核心知识：过椭圆：
左焦点的焦点弦；过右焦点的弦.
设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，
典例1：（2024·四川遂宁·统考）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点（，的横坐标不相等），弦的垂直平分线交轴于点，若，则（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
变式训练：
1.（2024·安徽安庆·高三校联考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若为边长为4的等边三角形，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
2.（2024·广东高三课时练习）已知双曲线的右焦点为，是双曲线的左支上一点，，则的周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
高频考点9 圆锥曲线与角平分线问题
核心知识：
焦点三角形内角平分线 ：椭圆上一点 PP 与两焦点 F1,F2F1 ,F2 形成的三角形中，角平分线过准线对应侧的特定点，且满足比例关系。
外角平分线性质 ：双曲线焦点三角形中，外角平分线与准线垂直，且平分线方向与渐近线方向关联。
焦点弦的角平分线 ：过焦点的弦两端点处切线交点的轨迹为准线，焦点到准线的角平分线垂直于抛物线对称轴。
典例1：（2024·江苏苏州·校联考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上异于顶点的一点，为坐标原点，为线段的中点，的平分线与直线交于点，当四边形的面积为时， ．
变式训练：
1.（2024·河北·石家庄一中校联考模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，其右支上有一点满足，过点向的平分线引垂线交于点，若，则双曲线的离心率 .
2.（2024·福建龙岩·统考）已知抛物线，直线过点且与相交于，两点，若的平分线过点，则直线的斜率为 ．
高频考点10 圆锥曲线的光学性质问题
典例1：（2024·湖南长沙·高三校考阶段练习）椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上．已知椭圆C：，为其左、右焦点．M是C上的动点，点，若的最大值为6.动直线l为此椭圆C的切线，右焦点关于直线l的对称点，，则椭圆C的离心率为 ；S的取值范围为 ．
变式训练：
1.（2024·河南郑州·高三校考阶段练习）双曲线的光学性质为：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．如图：为双曲线的左，右焦点，若从右焦点发出的光线在上的点处反射后射出（共线），且，则的离心率为 .
2.（2024·广西玉林·高三校联考开学考试）双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点. 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为，为其左右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点A和点反射后，满足，，则该双曲线的离心率为 .
高频考点11 圆锥曲线与四心问题
典例1：（2024·四川成都·模拟预测）已知、分别为双曲线的左、右焦点，且，点为双曲线右支上一点，为内心，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
变式训练：
1.（2024·广西·统考）已知点A，B在抛物线上，O为坐标原点，若，且的垂心恰好是此抛物线的焦点F，则直线AB的方程是（ ）
A． B． C． D．
2.（2024·浙江台州·高三校考开学考试）已知是双曲线的左 右焦点，过点且垂直于实轴的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于A，B两点，则坐标原点O可能为的（ ）
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
1.（2024·福建·统考）希腊著名数学家阿波罗尼斯发现“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，点，，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为抛物线上的动点，在直线上的射影为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2.（2024·陕西·统考模拟预测）阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则面积的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．4
3.（2024·广西·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，其蒙日圆方程为，M为蒙日圆上的一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为36，则椭圆的长轴长为（ ）
A． B． C． D．
4.（2024·贵州毕节·校考模拟预测）加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（ ）
A．椭圆的离心率为 B．椭圆的蒙日圆方程为
C．若为正方形，则的边长为 D．长方形的面积的最大值为18
5.（2024·福建漳州·高二福建省华安县第一中学校考阶段练习）过椭圆的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A、B两点，则（ ）
A． B． C． D．
6.（2024,江苏高三期中）椭圆：的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7.（2024·湖南·高三校联考期末）设是椭圆的两个焦点，若上存在点满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8.（2024·河北衡水·河北衡水中学校考）已知，为椭圆：的两个焦点，若上存在点满足，则实数取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9.“四二一广场”是重庆第一中学校的文化地标（如图1），广场中心的建筑形似火炬宛若花开，三朵“花瓣”都是拓扑学中的莫比乌斯带（如图2）.将莫比乌斯带投影到平面上，会得到无穷大符号“∞”.在平面直角坐标系中，设线段AB长度为2a（），坐标原点O为AB中点且点A，B均在x轴上，若动点P满足，那么点P的轨迹称为双纽线，其形状也是无穷大符号“∞”（如图3）.若，点P在第一象限且，则（ ）
A． B． C． D．2
10.（2024·内蒙古赤峰·一模）2022年卡塔尔世界杯中的数字元素——会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线.定义：在平面直角坐标系中，把到定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知是双纽线上的一点，下列说法错误的是（ ）
A．双纽线关于原点成中心对称 B．
C．双曲线上满足的点有两个 D．的最大值为
11.（2024·河南濮阳·模拟预测）在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于3，化简得曲线C：，下列结论不正确的是（ ）
A．曲线C关于y轴对称 B．的最小值为
C．面积的最大值为 D．的取值范围为
12．（2024·山东·模拟预测）已知双曲线的上焦点为，圆的圆心位于轴上，半径为，且与的上支交于两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
13．（2024·黑龙江·二模）双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点.若，且，则直线与的斜率之积为（ ）
A． B． C． D．
14．（2024·广西·模拟预测）已知双曲线的虚轴长为4，C的一条渐近线与曲线在处的切线垂直，M，N为C上不同两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O，则（ ）
A． B．4 C． D．2
15．（2024·山西运城·三模）已知抛物线的焦点为，动点在上，点与点关于直线对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
16．（2024·福建泉州·模拟预测）（多选题）已知直线与圆相交于两点，下列说法正确的是（ ）
A．若圆关于直线对称，则 B．的最小值为
C．当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点
D．若（为坐标原点）四点共圆，则
17．（2024·河北·三模）（多选题）已知F为抛物线的焦点，，为抛物线上不同的两动点，分别过M，N作抛物线C的切线，两切线交于点P，则（ ）
A．若，则直线MN的倾斜角为 B．直线PM的方程为
C．若线段MN的中点为Q，则直线PQ平行于y轴 D．若点P在抛物线C的准线上，则
18.（多选题）黄金分割比例具有严格的比例性、艺术性，和谐性，蕴含着丰富的美学价值．这一比值能够引起人们的美感，是建筑和艺术中最理想的比例．我们把离心率的椭圆称为“黄金椭圆”，则以下说法正确的是（ ）
A．椭圆是“黄金椭圆”
B．若椭圆的右焦点为，且满足，则该椭圆为“黄金椭圆”
C．设椭圆的左焦点为F，上顶点为B，右顶点为A，若，则该椭圆为“黄金椭圆”
D．设椭圆的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是，，若，则该椭圆为“黄金椭圆”
19．（2024·山西运城·三模）已知动圆经过点及原点，点是圆与圆的一个公共点，则当最大时，圆的半径为 .
20.（2024·湖南常德·统考）定义：点为曲线外的一点，为上的两个动点，则取最大值时，叫点对曲线的张角.已知点为抛物线上的动点，设对圆的张角为，则的最小值为 .
21.（2024·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）过抛物线的焦点的直线与交于两点，且，的准线与轴交于，的面积为，则的通径长为 .
22.（2024·黑龙江哈尔滨·高三校考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为过的通径（过焦点垂直于长轴的弦叫做通径），则的内切圆方程为 .
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5.2 圆锥曲线选填题压轴题型全归纳
考点分布 考查频率 命题趋势
圆锥曲线的定义 2024年I卷第11题，6分 2024年II卷第10题，6分 2023年北京卷第6题，4分 2022年I卷第11题，5分 预测2025年高考，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立．具体估计为： （1）以选择题或填空题形式出现，考查数学抽象、数学建模、逻辑推理与数学运算四大核心素养． （2）热点是圆锥曲线的三定义与性质.
圆问题 2023年I卷第6题，5分 2023年乙卷第12题，5分 2023年乙卷第11题，5分
焦点三角形 2024年天津卷第8题，5分 2023年甲卷第12题，5分 2023年甲卷第7题，5分
圆锥曲线的定义、方程与几何性质是每年高考必考的内容．一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题；三是抛物线的性质及应用问题．多以选择、填空题的形式考查，难度中等．
1．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设，
，由，求得，
因为，所以，求得，即，
，由正弦定理可得：，
则由得，由得，
则，
由双曲线第一定义可得：，，
所以双曲线的方程为.故选：C
2．（2024·全国·高考真题）（多选题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（ ）
A． B．点在C上
C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点在C上时，
【答案】ABD
【详解】对于A：设曲线上的动点，则且，
因为曲线过坐标原点，故，解得，故A正确.
对于B：又曲线方程为，而，故.
当时，，故在曲线上，故B正确.
对于C：由曲线的方程可得，取，
则，而，故此时，
故在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误.
对于D：当点在曲线上时，由C的分析可得，
故，故D正确.故选：ABD.
3．（多选题）（2024·全国·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时，
C．当时， D．满足的点有且仅有2个
【答案】ABD
【详解】A选项，抛物线的准线为，
的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径，故准线和相切，A选项正确；
B选项，三点共线时，即，则的纵坐标，由，得到，故，
此时切线长，B选项正确；
C选项，当时，，此时，故或，
当时，，，，不满足；
当时，，，，不满足；
于是不成立，C选项错误；D选项，方法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义，，这里，
于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题，
，中点，中垂线的斜率为，
于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得，
，即的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个点，使得，D选项正确.
方法二：（设点直接求解） 设，由可得，又，又，
根据两点间的距离公式，，整理得，
，则关于的方程有两个解，即存在两个这样的点，D选项正确.故选：ABD
4．（2024·天津·高考真题）圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为 ．
【答案】/
【详解】圆的圆心为，故即，
由可得，故或（舍），
故，故直线即或，
故原点到直线的距离为，故答案为：
5．（2023·全国·高考真题）（多选题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形
【答案】AC
【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，
所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.
B选项：设，由消去并化简得，
解得，所以，B选项错误.
C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，
因为，
即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.
D选项：直线，即，到直线的距离为，
所以三角形的面积为，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.故选：AC.
6．（2023·全国·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】方法一：设，所以，
由，解得：，
由椭圆方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．故选：B．
方法二：因为①，，
即②，联立①②，解得：，
而，所以，
即．故选：B．
方法三：因为①，，
即②，联立①②，解得：，
由中线定理可知，，易知，解得：．选：B．
7．（2023·全国·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.
【详解】设，则的中点，可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，所以.
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；故选：D.
8．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，
因为，不妨设渐近线方程为，即，所以，所以.
设,则，所以，所以.
因为,所以，所以，所以，所以，
因为，所以，
所以，解得，所以双曲线的方程为故选：D
9．（2023·全国·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，因为，则，
可得，
则，
，
即为钝角，所以；
法二：圆的圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，且为锐角，所以；
方法三：圆的圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为，即，
则，整理得，且
设两切线斜率分别为，则，可得，
所以，即，可得，则，
且，则，解得.故选：B.
10．（2023·全国·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】将直线与椭圆联立，消去可得，
因为直线与椭圆相交于点，则，解得，
设到的距离到距离，易知，则，，
，解得或（舍去），故选：C.
11．（2022·全国·高考真题）（多选题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为 B． C． D．
【答案】ACD
【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.故选：ACD.
12．（2022·全国·高考真题）（多选题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切C． D．
【答案】BCD
【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；
，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确.故选：BCD
13．（2022·全国·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ．
【答案】
【分析】令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解；
【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法
令的中点为，设，，利用点差法得到，
设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解；
解：令的中点为，因为，所以，
设，，则，，
所以，即
所以，即，设直线，，，
令得，令得，即，，所以，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直线，即；
故答案为：
[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法
解：由题意知，点既为线段的中点又是线段MN的中点，
设，，设直线，，，
则，，，因为，所以
联立直线AB与椭圆方程得消掉y得
其中，
∴AB中点E的横坐标,又，∴
∵，，∴,又，解得m=2
所以直线，即
14．（2022·全国·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ．
【答案】13
【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.故答案为：13.
15．（2021·全国·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ．
【答案】
【分析】结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解.
【详解】由题意，，则，
所以点和点，,所以，
所以，所以，
同理,所以.故答案为：
高频考点一 阿波罗尼斯圆与蒙日圆
核心知识：（1）椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为。
（2）在平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆。
典例1：（2024·重庆·高三专题练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点与两定点，的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为．下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆上的动点和定点，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，点M在圆上，取点，连接，有，
当点不共线时，，又，因此∽，
则有，当点共线时，有，则，
因此，当且仅当点M是线段BN与圆O的交点时取等号，所以的最小值为.故选：C
典例2：（2024·四川·成都市校考期中）19世纪法国著名数学家加斯帕尔 蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则b的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，椭圆的蒙日圆的半径，
所以椭圆的蒙日圆的方程为：，
因为圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，
可得两圆外切，所以，解得.故选：B.
变式训练
1.（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知平面上两定点A，B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知动点P在棱长为6的正方体的一个侧面上运动，且满足，则点P的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在图1中，以B为原点建立平面直角坐标系，如图2所示，
设阿氏圆圆心为，半径为r.因为，所以，所以.
设圆O与AB交于点M.由阿氏圆性质，知.
又，所以.又，
所以，解得，所以，所以点P在空间内的轨迹为以O为球心，半径为4的球.
当点P在侧面内部时，如图2所示，截面圆与，分别交于点M，R，
所以点P在侧面内的轨迹为.因为在中，，，所以，
所以，所以点P在侧面内部的轨迹长为.故选：B.
高频考点2 阿基米德三角形
核心知识：阿基米德三角形是由圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形。对于抛物线，该三角形的顶点轨迹具有特殊性质（如位于准线上）。
典例1：（多选题）（2024·山东·模拟预测）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.设抛物线，弦过焦点为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（ ）
A．存在点，使得 B．
C．对于任意的点，必有向量与向量共线 D．面积的最小值为
【答案】BCD
【解析】设，，设直线，
联立，化为，而，
所以.设过点的切线为，
联立，整理可得，
由，可得.同理可得过点的切线斜率为.
对于A，，，，故A错；
对于B，可得点A ，B处的切线方程分别为：，
可得,又因为直线AB的斜率为，，
又由A选项可知，所以，所以，
，故B正确；对于C，设AB的中点为，则由轴，
而向量，向量与向量共线，故C正确；
对于D，如图，设准线与轴的交点为，
面积的，可知当最短时（最短为），也最短，
最短为，所以面积的最小值为，故D正确.故选：BCD.
变式训练：
1.（多选题）（2024·湖南长沙·高三周南中学校考阶段练习）为抛物线的弦，，分别过作的抛物线的切线交于点，称为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边.若弦过焦点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．底边的直线方程为；
C．是直角三角形； D．面积的最小值为.
【答案】ABC
【解析】依题意设，，由方程，可得，则，
由导数的几何意义知，直线的斜率为，同理直线的斜率为，
可得A处的切线方程为：，即，
化简可得，所以直线的方程为，
同理可得：直线BM的方程为，所以，则，
因为，解得，即，所以A正确；
因点在直线上，可得，，
即在上，在上，
所以底边的直线方程为，所以B正确；
设直线，联立方程组，整理得，
则且，，
因为，所以，所以是直角三角形，所以C正确；
取的中点，连接，根据抛物线的定义，可得平行轴，
所以
因为，，所以，
，
代入可得，
当时，，所以D不正确.故选：ABC.
2.（多选题）（2024·湖南长沙·长沙市实验中学校考）过抛物线C：（）的焦点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，以A，B为切点作抛物线C的两条切线，，设，的交点为M，称△AMB为阿基米德三角形.则关于阿基米德三角形AMB，下列说法正确的有（ ）
A．△AMB是直角三角形 B．顶点M的轨迹是抛物线C的准线
C．MF是△AMB的高线 D．△AMB面积的最小值为
【答案】ABC
【解析】设，，，，由可得：，，
由导数的几何意义知，直线的斜率为，同理直线的斜率为，
设直线，联立，化为，得到，．
对于A，，，所以△AMB是直角三角形，故A正确；
对于B，由导数的几何意义可得处的切线方程为：，
则，化简可得：，所以直线的方程为：，
同理可得：直线的方程为：，所以，则，
因为，解得：，所以，
所以，因为抛物线C：的准线为，
所以顶点M的轨迹是抛物线C的准线，且取的中点，连接，平行轴，故B正确；
对于C，，，所以
所以MF是△AMB的高线，故C正确；对于D，因为平行轴，所以
因为，．所以，
，
代入可得：，
当时，，故D不正确. 故选：ABC.
高频考点3 圆锥曲线第二、三定义
核心知识：椭圆的方程为（a＞b＞0）：
过原点的直线交椭圆于两点，P点是椭圆上异于两点的任一点，则有。
双曲线的方程为（a＞0，b＞0）：
过原点的直线交双曲线于两点，P点是双曲线上异于两点的任一点，则有。
典例1：（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考）已知椭圆：的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，，分别是的左、右焦点，且的面积为，点为上的任意一点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知的，故.∵的面积为，
∴，∴.又∵，
∴，，∴，
又，∴，
∴.∴的取值范围为.故选：D.
典例2：（2024·安徽六安·高三六安一中阶段练习）已知为双曲线上不同三点，且满足（为坐标原点），直线的斜率记为，则的最小值为
A．8 B．4 C．2 D．1
【答案】B
【解析】由 有点 为线段 的中点,设 ,则 ,所以 ,故 ,由于点A,B,P在双曲线上,所以 ,代入上式中,有 ,所以 ,
故最小值为4.选B.
变式训练：
1.（2024·广东广州·统考）已知F为抛物线C：的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，且，则
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【解析】抛物线的焦点坐标为，准线方程为 设，，则
，，，，，，
．故选B．
2.（2024·重庆·高三专题练习）椭圆的左、右顶点分别为、，点在上，且直线的斜率为，则直线斜率为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【解析】椭圆的左、右顶点分别为、，点坐标为，点坐标为，
又直线的斜率为，直线的方程为：，
代入椭圆方程可得：，
设点坐标为，则，解得，，故直线斜率，故选:B．
高频考点4 焦半径问题
核心知识：圆锥曲线上任意一点到焦点的距离称为 焦半径 ，其表达式因曲线类型而异。
典例1：（2024·浙江·高三专题练习）已知双曲线的右支上的点，满足，分别是双曲线的左右焦点），则为双曲线的半焦距）的取值范围是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【解析】由双曲线的第二定义可知，，
右支上的点，满足，由，解得，
在右支上，可得，可得，即，则，
令，，可得
而在，单调递减，，，，故选：B
变式训练：
1.（2024·广东·高三专题练习）已知点是双曲线上的动点，，为该双曲线的左右焦点，为坐标原点，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】由双曲线的对称性，假设在右支上，即，
由到的距离为，而，
所以，
综上，，同理，则，
对于双曲线，有且，
所以，而，即.故选：D
2.（2024·江苏·高二专题练习）已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则当取得最小值时，四边形的面积为（ ）
A．32 B．16 C．24 D．8
【答案】A
【解析】因为，要使最小，而，
由抛物线的对称性可得与，与关于轴对称，所以可得直线的斜率为1，又过抛物线的焦点，所以直线的方程为：，，整理可得，，，
所以可得，所以．选：．
高频考点5 定比点差法与点差法
核心知识：点差法是解析几何中处理圆锥曲线与直线相交问题的常用方法，尤其适用于涉及 弦的中点 的问题。其核心是通过两点坐标作差，消元后得到中点坐标与斜率的关系，实现“设而不求”。
定比点差法是点差法的推广，适用于线段被分为 定比 （非中点）的情况。设点 P 分线段AB 满足 AP=λPB，通过引入比例参数 λ，联立方程消元求解。
典例1：（2024·浙江·校联考）过点的直线与椭圆交于点和，且.点满足，若为坐标原点，则的最小值为 ．
【答案】.
【解析】设， ， 则
于是，同理，
于是我们可以得到 .
即，所以Q点的轨迹是直线， 即为原点到直线的距离，所以
变式训练：
1.已知点P(0，1)，椭圆 (m>1)上两点A，B满足，则当m= 时，点B横坐标的绝对值最大．
【答案】5
【解析】［方法一］：点差法＋二次函数性质
设，由得
因为A,B在椭圆上,所以 ，即，与相减得：，所以，，
当且仅当时取最等号，即时，点B横坐标的绝对值最大. 故答案为：5．
［方法二］：【通性通法】设线＋韦达定理
由条件知直线的斜率存在，设，直线的方程为，联立得，根据韦达定理得，由知，代入上式解得，所以．此时，又，解得．
［方法三］：直线的参数方程+基本不等式
设直线的参数方程为其中t为参数，为直线的倾斜角，将其代入椭圆方程中化简得，设点A，B对应的参数分别为，则．由韦达定理知，解得，所以，此时，即，代入，解得．
［方法四］：直接硬算求解+二次函数性质
设，因为，所以．即 ①， ②，
又因为，所以．
不妨设，因此，代入②式可得．化简整理得．由此可知，当时，上式有最大值16，即点B横坐标的绝对值有最大值2．所以．
［方法五］：【最优解】仿射变换
如图1，作如下仿射变换，则为一个圆．
根据仿射变换的性质，点B的横坐标的绝对值最大，等价于点的横坐标的绝对值最大，则
．
当时等号成立，根据易得，此时．
［方法六］：中点弦性质的应用
设，由可知，则中点．因为，所以，整理得，由于，则时，，所以．
2.（2024·山东·高三校联考阶段练习）已知椭圆，点为椭圆外一点，斜率为的直线与椭圆交于，两点，过点作直线，分别交椭圆于，两点．当直线的斜率为时，此椭圆的离心率为 ．
【答案】
【解析】如图所示：
设直线AB过原点O，由题意得 ，设，CD的中点为，则，
因为C，D在椭圆上，所以，两式相减得，
所以，因为O，M，P三点共线，所以，即，解得，
所以，故答案为：
高频考点6 切线问题
核心知识：
1）若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.
2）若在椭圆外 ，则过作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.
3）若在双曲线上，则过的双曲线的切线方程是.
4）若在双曲线外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.
5）以A为切点的切线斜率为 ，切线方程为 。
典例1：（2024·湖南·高三专题练习）设抛物线，M为直线上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B，记A，B，M的横坐标分别为，则下列关系：①；②；③.其中正确的是 (填序号)．
【答案】①
【解析】由，得，求导得，则切线的斜率分别为，而，
于是直线的方程为，直线的方程为，
因此，则，而，从而，①正确；
，即，②错误；
当时，③无意义，
当时，，③错误，
所以正确命题的序号是①. 故答案为：①
变式训练：
1.（2024·山东济南·高三校考阶段练习）已知椭圆，过C中心的直线交C于M，N两点，点P在x轴上其横坐标是点M横坐标的3倍，直线NP交C于点Q，若直线QM恰好是以MN为直径的圆的切线，则C的离心率为 ．
【答案】
【解析】设，，则，，
设、、，分别为直线、、的斜率，则，，，
因直线是以为直径的圆的切线所以，，所以，
又在直线上，所以，因、在上，所以，，
两式相减得，整理得，
故，即，，故.故答案为：
2.（2024·浙江台州·统考）抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．过抛物线：上的点（不为原点）作的切线，过坐标原点作，垂足为，直线（为抛物线的焦点）与直线交于点，点，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为点为抛物线：上的点（不为原点），所以可设点，且
当切线的斜率不存在时，切点为原点不合题意；当切线的斜率存在时，可设为，
联立，消去可得，化简可得，
令，可得，化简可得，即，
又，所以的斜率，所以的方程，因为点，
所以的斜率为，则的方程为，
联立，解得，即，
当时，的方程为， 的方程 则或，满足
由两式相除可得，即由，可得
再代入，可得，化简可得，可得，
可知点轨迹为半径为的圆，圆心为,
结合图形可知，又，，
则.故答案为：
高频考点7 焦点三角形问题
核心知识：设点是椭圆上异于长轴端点的任一点,为其焦点，记，则
（1）、；（2）、焦点三角形的面积： ；
设P点是双曲线上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则
(1)、.(2)、焦点三角形的面积 .
典例1：（2024·云南·高三校考期末）已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积为，则（ ）
A．9 B．3 C．4 D．8
【答案】B
【解析】法一：设，，则，，∴．
又，∴，解得．
法二：由焦点三角形面积公式得故选：B
变式训练：
1.（2024·广东·高三专题练习）已知、是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，若，且的面积为，则
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】B
【解析】设，，则由椭圆的定义可得：①
在△中，所以②，
由①②得即所以，．故选： B．
2.（2024·江西赣州·高三校联考期末）已知椭圆上一动点P到两个焦点F1，F2的距离之积为q，则q取最大值时，的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】根据椭圆定义，，则，当且仅当时取“=”，
此时三角形是等腰三角形，易知，所以的面积为故选：B.
高频考点8 焦点弦问题
核心知识：过椭圆：
左焦点的焦点弦；过右焦点的弦.
设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，
典例1：（2024·四川遂宁·统考）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点（，的横坐标不相等），弦的垂直平分线交轴于点，若，则（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】D
【解析】设，，弦的中点为，，
则，所以，所以，则，
所以弦的垂直平分线为．令，则，所以．
又，所以．故选：D．
变式训练：
1.（2024·安徽安庆·高三校联考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若为边长为4的等边三角形，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，∴，∵，∴，
因为，所以，，∴.故选：A
2.（2024·广东高三课时练习）已知双曲线的右焦点为，是双曲线的左支上一点，，则的周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设双曲线的左焦点为，则．由题可知，，
∴，，，
∴，的周长为．
∵当，，三点共线时，最小，最小值为，
∴的周长的最小值为．故选：A
高频考点9 圆锥曲线与角平分线问题
核心知识：
焦点三角形内角平分线 ：椭圆上一点 PP 与两焦点 F1,F2F1 ,F2 形成的三角形中，角平分线过准线对应侧的特定点，且满足比例关系。
外角平分线性质 ：双曲线焦点三角形中，外角平分线与准线垂直，且平分线方向与渐近线方向关联。
焦点弦的角平分线 ：过焦点的弦两端点处切线交点的轨迹为准线，焦点到准线的角平分线垂直于抛物线对称轴。
典例1：（2024·江苏苏州·校联考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上异于顶点的一点，为坐标原点，为线段的中点，的平分线与直线交于点，当四边形的面积为时， ．
【答案】
【解析】由题可知，．因为平分，所以到，的距离相等，
设为，则．易知是的中位线，延长，交于点，则为的中点，过作于，易得，则，从而．故答案为：
变式训练：
1.（2024·河北·石家庄一中校联考模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，其右支上有一点满足，过点向的平分线引垂线交于点，若，则双曲线的离心率 .
【答案】
【解析】延长交于点，因为，则，
因为，所以，则，，
在中，由余弦定理得，又因为，所以，
所以，即，所以.故答案为：
2.（2024·福建龙岩·统考）已知抛物线，直线过点且与相交于，两点，若的平分线过点，则直线的斜率为 ．
【答案】
【解析】设直线的方程为，即，
设直线，的方程分别为，，即，，
设，，的平分线过点，，
整理得：，，
，则，即，由，得，，．
又，，解得：或（舍去）.故答案为：.
高频考点10 圆锥曲线的光学性质问题
典例1：（2024·湖南长沙·高三校考阶段练习）椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上．已知椭圆C：，为其左、右焦点．M是C上的动点，点，若的最大值为6.动直线l为此椭圆C的切线，右焦点关于直线l的对称点，，则椭圆C的离心率为 ；S的取值范围为 ．
【答案】
【解析】根据椭圆定义得：，所以，
因为的最大值为6，，所以，即，解得，所以离心率为；
右焦点关于直线l的对称点，设切点为A，由椭圆的光学性质可得：三点共线，
所以，即点的轨迹是以为圆心，半径为4的圆，
圆心到直线的距离为，
则圆上的点到直线3x＋4y－24＝0的距离最小值为，最大值为，
所以点到直线的距离为，
所以表示点到直线的距离的5倍，
则，即.故答案为：①#；②.
变式训练：
1.（2024·河南郑州·高三校考阶段练习）双曲线的光学性质为：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．如图：为双曲线的左，右焦点，若从右焦点发出的光线在上的点处反射后射出（共线），且，则的离心率为 .
【答案】
【解析】由题意可知在双曲线的右支上，因为，则关于x轴对称，
所以轴，又，所以，，
由双曲线定义可得，即，故，故答案为：
2.（2024·广西玉林·高三校联考开学考试）双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点. 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为，为其左右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点A和点反射后，满足，，则该双曲线的离心率为 .
【答案】
【解析】由题可知共线，共线，如图，设，则，
因为，所以，又，所以，
所以，所以，又因为，，所以，
所以，得，则，
又，且，所以，
化简得，所以.故答案为：.
高频考点11 圆锥曲线与四心问题
典例1：（2024·四川成都·模拟预测）已知、分别为双曲线的左、右焦点，且，点为双曲线右支上一点，为内心，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示：由题意为内心，设，，，内切圆半径为，
所以，又因为，即，
化简得，由双曲线定义可知，因此有；
注意到，且以及，联立并化简得，即 ，
解得或（舍去，因为）故选：C
变式训练：
1.（2024·广西·统考）已知点A，B在抛物线上，O为坐标原点，若，且的垂心恰好是此抛物线的焦点F，则直线AB的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，为的垂心，为焦点，
，垂直平分线段，直线垂直于轴．
设，，其中，为垂心，，，
即，解得，直线的方程为，即．故选：D．
2.（2024·浙江台州·高三校考开学考试）已知是双曲线的左 右焦点，过点且垂直于实轴的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于A，B两点，则坐标原点O可能为的（ ）
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
【答案】A
【解析】根据三角形四种心的性质，即可得答案；对B，若O为的内心，则到直线的距离等于，显然不可能，到直线的距离恒小于，故B错误；
对C，若O为的外心，则，，和已知矛盾，故B错误；
对D，若O为的重心，则，这也显然错误，故C错误；
根据排除法，O可能为的垂心，故选：A.
1.（2024·福建·统考）希腊著名数学家阿波罗尼斯发现“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，点，，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为抛物线上的动点，在直线上的射影为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则，化简整理得，
所以点的轨迹为以为圆心1为半径的圆，抛物线的焦点，准线方程为，
则，
当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号，
所以的最小值为.故选：B.
2.（2024·陕西·统考模拟预测）阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则面积的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【解析】设经过点A，B的直线为x轴，的方向为x轴正方向，线段AB的垂直平分线为y轴，线段AB的中点O为原点，建立平面直角坐标系.则，．
设，∵，∴，两边平方并整理得，即．
要使的面积最大，只需点P到AB（x轴）的距离最大时，此时面积为．故选：C.
3.（2024·广西·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，其蒙日圆方程为，M为蒙日圆上的一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为36，则椭圆的长轴长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令椭圆的半焦距为c，
由椭圆的离心率，得，，
因此椭圆的蒙日圆方程为，由蒙日圆的性质得，
于是线段PQ是圆的直径，即，
则面积的最大值为，即，，所以椭圆的长轴长为.故选：B
4.（2024·贵州毕节·校考模拟预测）加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（ ）
A．椭圆的离心率为 B．椭圆的蒙日圆方程为
C．若为正方形，则的边长为 D．长方形的面积的最大值为18
【答案】D
【解析】由椭圆方程知，，则，离心率为，A正确；
当长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为和4，其对角线长为，因此蒙日圆半径为，圆方程为，B正确；
设矩形的边长分别为，因此，即，当且仅当时取等号，所以长方形的面积的最大值是20，此时该长方形为正方形，边长为，C正确，D错误．故选：D．
5.（2024·福建漳州·高二福建省华安县第一中学校考阶段练习）过椭圆的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A、B两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，，，左焦点为．
则过左焦点F，倾斜角为60°直线l的方程为．代入，得，
设，，则，，又，
根据弦长公式得：，
且，
∴，故选：A．
6.（2024,江苏高三期中）椭圆：的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，椭圆：的左、右顶点分别为，
设，则，又由，可得，
因为，即，可得，所以直线斜率的取值范围.故选：A.
7.（2024·湖南·高三校联考期末）设是椭圆的两个焦点，若上存在点满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】①时，上存在点满足，设为椭圆短轴端点，
当位于短轴的端点时，取最大值，要使椭圆上存在点满足则，，，解得；
②当椭圆的焦点在轴上时，，同理可得；的取值范围是.故选：A.
8.（2024·河北衡水·河北衡水中学校考）已知，为椭圆：的两个焦点，若上存在点满足，则实数取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当焦点在轴上时，，，，当为上下顶点时，最大，
因为坐标，，，所以，
即，解得；当焦点在轴上时，，，，
当为左右顶点时，最大，因为，，，
所以，即，解得，故选：C.
9.“四二一广场”是重庆第一中学校的文化地标（如图1），广场中心的建筑形似火炬宛若花开，三朵“花瓣”都是拓扑学中的莫比乌斯带（如图2）.将莫比乌斯带投影到平面上，会得到无穷大符号“∞”.在平面直角坐标系中，设线段AB长度为2a（），坐标原点O为AB中点且点A，B均在x轴上，若动点P满足，那么点P的轨迹称为双纽线，其形状也是无穷大符号“∞”（如图3）.若，点P在第一象限且，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】，设，由双纽线的定义得，
即，化简得，
显然，设，则，
代入方程，得，
所以，
由余弦定理得，
所以，所以.故选：C.
10.（2024·内蒙古赤峰·一模）2022年卡塔尔世界杯中的数字元素——会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线.定义：在平面直角坐标系中，把到定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知是双纽线上的一点，下列说法错误的是（ ）
A．双纽线关于原点成中心对称 B．
C．双曲线上满足的点有两个 D．的最大值为
【答案】C
【解析】由到定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，
得，
将 替换方程中的 ，方程不变，故双纽线关于原点成中心对称，故A正确；
由等面积法得，则 ，所以故B正确；
令 ，得 ，得 ，即双曲线上满足的点有一个，故C错误；
因为 ，所以 ，
由余弦定理得 ，
所以 ，
所以 的最大值为，故D正确，故选：C.
11.（2024·河南濮阳·模拟预测）在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于3，化简得曲线C：，下列结论不正确的是（ ）
A．曲线C关于y轴对称 B．的最小值为
C．面积的最大值为 D．的取值范围为
【答案】C
【解析】对A：因为用代替，方程不变，所以曲线关于轴对称，故A正确；
对B：，当点在轴上取得等号，故B正确；对C：因为，
因为，所以.所以.故C错误；
对D：因为
； 所以.
所以，所以，故D正确.故选：C
12．（2024·山东·模拟预测）已知双曲线的上焦点为，圆的圆心位于轴上，半径为，且与的上支交于两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题可知．设圆，，.
联立，得，则，
因此，故.
因为，所以，同理可得.
故.
又，且，故，，从而.
所以
.当时，有，，
此时．所以的最小值是.故选：B.
13．（2024·黑龙江·二模）双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点.若，且，则直线与的斜率之积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设，则，由双曲线定义得，，
在中，由余弦定理得，
解得，则，，
在中，由余弦定理得，
解得，则，，设，则，
将代入得，则直线与的斜率之积为.
故选：D
14．（2024·广西·模拟预测）已知双曲线的虚轴长为4，C的一条渐近线与曲线在处的切线垂直，M，N为C上不同两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O，则（ ）
A． B．4 C． D．2
【答案】A
【详解】由题意可知：，即．又因为，则，可得，
即曲线在处切线的斜率，由题意可知：双曲线C的一条渐近线为，
即，解得，所以双曲线C的方程为．
以MN为直径的圆经过坐标原点O，连接OM，ON，可知，
设直线OM的方程为，可知，则直线ON的方程为，
联立方程，消去y整理得，即，故，则，同理可得：，所以.故选：A．
15．（2024·山西运城·三模）已知抛物线的焦点为，动点在上，点与点关于直线对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】依题意，，，设，则，解得，
即，点为的准线与轴的交点，
由抛物线的对称性，不妨设点M位于第一象限，作垂直于的准线于点，
设，由抛物线的定义得，于是，
当直线与相切时，最大，最小，取得最小值，此时直线的斜率为正，
设切线的方程为，由消去x得，
则，得，直线的斜率为，倾斜角为，
于是，，所以的最小值为.故选：A
16．（2024·福建泉州·模拟预测）（多选题）已知直线与圆相交于两点，下列说法正确的是（ ）
A．若圆关于直线对称，则 B．的最小值为
C．当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点
D．若（为坐标原点）四点共圆，则
【答案】BCD
【详解】A.若圆关于直线对称，则直线过圆的圆心，即，得，故A错误；
B. ，整理为，不管为何值，直线始终过点，当是线段的中点时，此时弦长最短，圆，圆心是，半径，
圆心和点的距离是，所以最短弦长，故B正确；
C. 当时，直线，
曲线，即，
所以曲线为过直线与圆交点的曲线方程，故C正确；
D.若四点共圆，设此圆为圆，圆的圆心，
的中点为，所以的垂直平分线方程为，所以，
圆的方程为，整理为，
直线是圆与圆的交线，圆与圆的方程相减得
所以直线的方程是，
将直线所过的定点坐标代入上式得，得，
所以直线，即直线的斜率为，即，则，故D正确.故选：BCD
17．（2024·河北·三模）（多选题）已知F为抛物线的焦点，，为抛物线上不同的两动点，分别过M，N作抛物线C的切线，两切线交于点P，则（ ）
A．若，则直线MN的倾斜角为 B．直线PM的方程为
C．若线段MN的中点为Q，则直线PQ平行于y轴 D．若点P在抛物线C的准线上，则
【答案】BD
【详解】对于A中，由点，为抛物线上，
可得，两式相减得，
因为，可得，即的斜率为，
所以直线的倾斜角为，所以A不正确；
对于B中，由，可得，则，所以，
即过点的切线的斜率为，所以切线的方程为，即，又因为，所以切线方程为，所以B正确；
对于C中，同理可得，切线方程为，
联立方程组，解得，
所以点的横坐标为，又因为为的中点，可得，所以，
当时，可得轴，；但当时，可得直线与轴重合，所以C不正确；
对于D中，由抛物线，可得焦点，准线方程为，
若点在抛物线的准线上，可得点，所以，
又由A项，可得，即直线的斜率为
因为，所以，所以，所以D正确.故选：BD.
18.（多选题）黄金分割比例具有严格的比例性、艺术性，和谐性，蕴含着丰富的美学价值．这一比值能够引起人们的美感，是建筑和艺术中最理想的比例．我们把离心率的椭圆称为“黄金椭圆”，则以下说法正确的是（ ）
A．椭圆是“黄金椭圆”
B．若椭圆的右焦点为，且满足，则该椭圆为“黄金椭圆”
C．设椭圆的左焦点为F，上顶点为B，右顶点为A，若，则该椭圆为“黄金椭圆”
D．设椭圆的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是，，若，则该椭圆为“黄金椭圆”
【答案】ABC
【解析】对于A：由题意得，，
故，故椭圆是“黄金椭圆”，故A正确；
对于B：，即，故，
解得或（舍去），故该椭圆是“黄金椭圆”， 故B正确；
对于C：由得，化简可知，
解得或（舍去），故该椭圆是“黄金椭圆”， 故C正确；
对于D：由，得，
则（负值舍去），故该椭圆不是“黄金椭圆”， 故D错误．故选：ABC
19．（2024·山西运城·三模）已知动圆经过点及原点，点是圆与圆的一个公共点，则当最大时，圆的半径为 .
【答案】
【详解】因为动圆经过点及原点，记的中点为，则圆心在上，如图：
记圆半径为，，则，，所以，
当最大时，最小，此时两圆外切. 由已知设动圆的圆心为，
又圆的圆心，半径，所以，
即，解得，所以，即圆的半径为，
此时圆为，圆心，.故答案为：.
20.（2024·湖南常德·统考）定义：点为曲线外的一点，为上的两个动点，则取最大值时，叫点对曲线的张角.已知点为抛物线上的动点，设对圆的张角为，则的最小值为 .
【答案】
【解析】如图，，
要使最小，则最大，即需最小.
设，则，
∴当，即时，，，
此时或，.故答案为：.
21.（2024·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）过抛物线的焦点的直线与交于两点，且，的准线与轴交于，的面积为，则的通径长为 .
【答案】
【解析】设直线方程为，与抛物线方程联立，根据，即，结合韦达定理求得，再根据的面积为，由求解.设过抛物线的焦点的直线方程为，与抛物线方程联立得：，
设，由根与系数的关系得：，
又因为，所以，解得，
所以，即，解得，
所以，所以的通径长为8故答案为：8
22.（2024·黑龙江哈尔滨·高三校考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为过的通径（过焦点垂直于长轴的弦叫做通径），则的内切圆方程为 .
【答案】
【解析】先求出，，，求出，，进而可以求出的周长和面积，设的内切圆半径为，由即可求出，利用坐标和半径即可以求出圆心坐标，从而得出圆的方程.
设的内切圆半径为，由椭圆的方程知：，，
则，因为垂直于轴，所以 ，，
解得：，，的周长为，
其面积为：，由内切圆的性质得：，
即，解得：，圆心横坐标为：，所以圆心坐标为，
所以所求圆的方程为：，故答案为：
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