中考数学冲刺满分计划压轴集训测试一
一、选择题
1．（2024九下·辽宁模拟）如图，菱形的边长为，，点在对角线上，点在边上，，点为中点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；轴对称的性质
2．（2024九下·北票模拟）如图，点是菱形边上的一动点，它从点出发沿在路径匀速运动到点，设的面积为，点的运动时间为，则关于的函数图象大致为
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的图象
3．（2024九下·鞍山模拟）如图，已知.
（1）以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点．
（2）分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点．
（3）作射线交于点D．
（4）分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点．
（5）作直线，交分别于点E，F．
依据以上作图，若，，，则的长是（ ）.
A．2 B．1 C． D．4
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
二、填空题
4．（2024·甘井子模拟）如图，在四边形中，，分别是的中点，，，则 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵，是的中点，
∴，，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，即可得到，，，然后推导，即可得到，根据三线合一可得，，再根据勾股定理求出的长，解题即可．
5．（2024九下·抚顺月考）如图，点E是正方形对角线所在直线上一点，点F在的延长线上，连接，过点E作交的延长线于点G，连接并延长交的延长线于点P．若，，当时，则线段的长是 ．
【答案】10或
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；竞赛类试题
6．（2024九下·灯塔模拟）如图，正方形的顶点、在函数的图象上，已知点的坐标为，点的横坐标为，则的值为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质
三、解答题
7．（2024九下·营口模拟）如图，已知是的直径，是弦，，垂足为点，点是弧的中点，连接．
（1）当时，求的度数；
（2）当，时，求的长．
【答案】（1）
（2）
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质
8．（2024九下·大连模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）交轴于、两点（点在点左侧），交轴于点．与时的函数值相等，且与的函数值之差．点为抛物线上一动点，点为抛物线上另一动点，连接、、．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当关于抛物线的对称轴轴对称时，求的值；
（3）设（），若，且，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
9．（2024九下·沈阳模拟）【问题初探】
（1）如图1，动点A在半径为2的上，若，求的最小值．
由于和都是定长，当点A、B，O形成三角形时，霖霖想到了“三角形两边之差小于第三边”，由此可知当点A在上时对应的就是B最小的情形请按照霖霖的思路完成求最小值的解题过程．
【类比分析】
（2）如图2，点E和F分别是边长为4的正方形边和上的两个动点，且，连接和交于点G，连接，求的最小值．
霖霖尝试着绘制了点E在不同位置的几张图，目测始终都是直角，于是联想到了“圆周角所对的弦是直径”，也就是说“点G是正方形内以为直径的圆弧上的点”，进而本题可以类比图1获解，清按照霖霖的思路完成求最小值的解题过程．
【学以致用】
（3）如图3，是两块等腰直角三角板，．当点D和E同时在边和上滑动时，点F也随之移动，若连接，则的最大值是____________．
【答案】（1）1；（2）；（3）
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形
10．（2024九下·振兴模拟）我们约定，在平面直角坐标系中，对于不同的两点，如果满足，那么称两点互为“等差点”．
（1）请判断在点中，有哪些点与点互为“等差点”？
（2）已知点在直线上，点在双曲线（为常数，且）上，且两点互为“等差点”．请求出点的坐标（用含的代数式表示）；
（3）已知抛物线（为常数且）的顶点为点，与轴交于两点，两点分别在抛物线和直线上，如果两点互为“等差点”，且两点的横坐标是一元二次方程的两根，求的值．
【答案】（1）点；
（2）的坐标为或；
（3）
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数与一次函数的交点问题
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一、选择题
1．（2024九下·辽宁模拟）如图，菱形的边长为，，点在对角线上，点在边上，，点为中点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九下·北票模拟）如图，点是菱形边上的一动点，它从点出发沿在路径匀速运动到点，设的面积为，点的运动时间为，则关于的函数图象大致为
A． B．
C． D．
3．（2024九下·鞍山模拟）如图，已知.
（1）以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点．
（2）分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点．
（3）作射线交于点D．
（4）分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点．
（5）作直线，交分别于点E，F．
依据以上作图，若，，，则的长是（ ）.
A．2 B．1 C． D．4
二、填空题
4．（2024·甘井子模拟）如图，在四边形中，，分别是的中点，，，则 ．
5．（2024九下·抚顺月考）如图，点E是正方形对角线所在直线上一点，点F在的延长线上，连接，过点E作交的延长线于点G，连接并延长交的延长线于点P．若，，当时，则线段的长是 ．
6．（2024九下·灯塔模拟）如图，正方形的顶点、在函数的图象上，已知点的坐标为，点的横坐标为，则的值为 ．
三、解答题
7．（2024九下·营口模拟）如图，已知是的直径，是弦，，垂足为点，点是弧的中点，连接．
（1）当时，求的度数；
（2）当，时，求的长．
8．（2024九下·大连模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）交轴于、两点（点在点左侧），交轴于点．与时的函数值相等，且与的函数值之差．点为抛物线上一动点，点为抛物线上另一动点，连接、、．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当关于抛物线的对称轴轴对称时，求的值；
（3）设（），若，且，求的取值范围．
9．（2024九下·沈阳模拟）【问题初探】
（1）如图1，动点A在半径为2的上，若，求的最小值．
由于和都是定长，当点A、B，O形成三角形时，霖霖想到了“三角形两边之差小于第三边”，由此可知当点A在上时对应的就是B最小的情形请按照霖霖的思路完成求最小值的解题过程．
【类比分析】
（2）如图2，点E和F分别是边长为4的正方形边和上的两个动点，且，连接和交于点G，连接，求的最小值．
霖霖尝试着绘制了点E在不同位置的几张图，目测始终都是直角，于是联想到了“圆周角所对的弦是直径”，也就是说“点G是正方形内以为直径的圆弧上的点”，进而本题可以类比图1获解，清按照霖霖的思路完成求最小值的解题过程．
【学以致用】
（3）如图3，是两块等腰直角三角板，．当点D和E同时在边和上滑动时，点F也随之移动，若连接，则的最大值是____________．
10．（2024九下·振兴模拟）我们约定，在平面直角坐标系中，对于不同的两点，如果满足，那么称两点互为“等差点”．
（1）请判断在点中，有哪些点与点互为“等差点”？
（2）已知点在直线上，点在双曲线（为常数，且）上，且两点互为“等差点”．请求出点的坐标（用含的代数式表示）；
（3）已知抛物线（为常数且）的顶点为点，与轴交于两点，两点分别在抛物线和直线上，如果两点互为“等差点”，且两点的横坐标是一元二次方程的两根，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；轴对称的性质
2．【答案】B
【知识点】一次函数的图象
3．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
4．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵，是的中点，
∴，，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，即可得到，，，然后推导，即可得到，根据三线合一可得，，再根据勾股定理求出的长，解题即可．
5．【答案】10或
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；竞赛类试题
6．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质
7．【答案】（1）
（2）
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质
8．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
9．【答案】（1）1；（2）；（3）
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形
10．【答案】（1）点；
（2）的坐标为或；
（3）
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数与一次函数的交点问题
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