中考数学冲刺满分计划压轴集训测试二
一、选择题
1．（2024·济南）如图，在正方形ABCD中，分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线EF，再以点A为圆心，以AD的长为半径作弧交直线EF于点G（点G在正方形ABCD内部），连接DG并延长交BC于点K．若BK＝2，则正方形ABCD的边长为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AG，设EF交AB于点H，交CD于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC，AB∥CD，∠DAB=∠B=∠C=∠ADC=90°，
由作图过程可得EF是AB的垂直平分线，
∴AH=BH，∠AHM=∠BHM=90°，
∴四边形AHMD与四边形BHMC都是矩形，
∴AD∥HM∥BC，BH=CM=AH=DM，HM=BC，
∴点G是DK的中点
∴GM是△DCK的中位线，
设GM=x，则CK=2x，
∴AB=BC=AD=2+2x，
∴AH=BH=x+1，
由作图知AG=AD=2x+2，
∴，
∴
∴，
解得x=，
∴，即该正方形的边长为.
故答案为：D.
【分析】连接AG，设EF交AB于点H，交CD于点M，由正方形的性质得AB=AD=BC，AB∥CD，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，由作图过程可得EF是AB的垂直平分线，则可根据三个角是直角的四边形是矩形得出四边形AHMD与四边形BHMC都是矩形，由矩形的性质得AD∥HM∥BC，BH=CM=AH=DM，HM=BC，由平行线等分线段定理得点G是DK的中点，由三角形中位线定理设GM=x，则CK=2x，推出AB=BC=AD=2+2x，AH=BH=x+1，由作图知AG=AD=x+1，由勾股定理表示出GH，进而再由线段和差表示出MH，最后根据MH=BC建立方程求出x的值，从而可求出正方形的边长.
2．（2024·大庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N'，则△MBN'周长的最小值为（ ）
A．15 B．5+5 C．10+5 D．18
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点N作EF∥AB，交AD、BC于E、 F，过点M作MG⊥EF于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴АВ∥СD，
∴AB∥EF∥CD，
∴四边形AMGE和BMGF都是矩形，
∴ ∠A=∠MGN=90°，
由旋转的性质得∠NMN'=90°，MN=MN'，
∴ ∠AMN=90°-∠NMG=∠GMN'，
∴△AMN≌△GMN'（AAS），
∴MG=AM，
∴点N在平行于AB，且与AB的距离为5的直线上运动，
作点M关于直线EF的对称点M'，连接M'B交直线E F于点N'，此时△MBN'周长取得最小值， 最小值为BM+BM'，
∵ВМ=АВ=5， MM'=5 +5=10，
∴ВМ + ВМ' .
故答案为：B.
【分析】 因为BM=5是定值，要求△MBN'周长最小，实际是求BN'+MN'最小，转化成“将军饮马”模型，先找出N运动轨迹，由线段旋转90°，可得三垂直全等，进而推出点N'在平行于AB，且与AB的距离为5的直线上运动，再作对称求解即可.
3．（2024·齐齐哈尔）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝12，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接EF，以EF为边向下做正方形EFGH，设点E运动的路程为x(0A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：当正方形EFGH和等腰重合部分的面积全部在等腰内部时，可知y为正方形EFGH的面积，
∴随着E、F的运动，正方形EFGH的边长在增大，可知这一部分图像是开口向上的二次函数，CD不符合题意，
当正方形EFGH和等腰重合部分的面积全部在正方形EFGH内部时，可知y为正方形EFGH面积的一部分，
∴随着E、F的运动，这一部分的长在增大，宽在减小，可知这一部分图像是开口向下的二次函数，B不符合题意.
故答案为：A.
【分析】先分类讨论：y为正方形EFGH的面积或y为正方形EFGH面积的一部分，再根据面积公式得y与x之间的函数关系.
二、填空题
4．（2024·南通）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5．正方形DEFG的边长为，它的顶点D，E，G分别在△ABC的边上，则BG的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点G作GH⊥AC于点H，
∴∠DHG=∠AHG=90°，
∴∠HDG+∠DGH=90°，
∵正方形DEFG的边长为，
∴，∠EDG=90°，
∴∠HDG+∠CDE=90°，
∴∠HDG+∠DGH=∠HDG+∠CDE，
∴∠DGH=∠CDE，
∵∠DCE=90°，
∴∠DCE=∠DHG，
在和中，
，
∴，
∴GH=CD，DH=CE，
∵AC=BC=5，∠ACB=90°，
∴是等腰直角三角形，
∴∠A=45°，，
又∵∠AHG=90°，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴GH=CD=AH，
设GH=CD=AH=x，DH=CE=y，
∴，
∴y=5-2x，
∴，
整理得，
解得，
∴AH=2，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】过点G作GH⊥AC于点H，利用正方形的性质，由“一线三垂直“全等模型证出，得GH=CD，DH=CE，然后再证出、是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得、、，进而有GH=CD=AH，设GH=CD=AH=x，DH=CE=y，利用勾股定理、线段和差关系得，从而有关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，得，最后计算BG=AB-AG的值即可.
5．（2024·宿迁）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线yx上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线OA交于点B，当点C在x轴上移动时，线段AB的最小值为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，作的外接圆，D为圆心，连接CD，过点A作AE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
∵∠ACB=90°，
∴AB是的直径，设AB=2AD=2BD=2r，
∴线段AB最小时，的半径r最小，
∵CD≥DF，
∴当CD⊥x轴时，CD最小，此时C、F重合，与x轴相切，
∵点A在直线上，且点A的横坐标为4，
∴A(4，3)，
∴AE=3，OE=4，
根据勾股定理，得OA=5，
∴OD=5-r，
∵AE⊥x轴，DF⊥x轴，
∴∠DFO=∠AEO=90°，
∴DF∥AE，
∴，
∴，即，
解得：，
∴线段AB的最小值为，
故答案为：.
【分析】作的外接圆，连接CD，过点A作AE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”得AB是的直径，设AB=2AD=2BD=2r，然后由“CD≥DF”可知当CD⊥x轴时，CD最小，此时C、F重合，与x轴相切，接下来求出点A的坐标，利用勾股定理得OA=5，从而有OD=5-r，易证，根据相似三角形对应边成比例得，解方程求出r的值，即可求出AB=2r的最小值.
6．（2024·牡丹江）如图，在正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，AE分别交BD、CD于点F、M，过点F作NP⊥AE，分别交AD、BC于点N、P，连接MP．下列四个结论：①AM＝PN；②DM+DN＝DF；③若P是BC中点，AB＝3，则EM＝2；④BF NF＝AF BP；⑤若PM∥BD，则CE＝BC．其中正确的结论是 ．
【答案】①②③⑤
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：如图，过点P作PG⊥AD，则ABPG为矩形，∠PGD=90°，
∴AB=PG，∠GNP+∠GPN=90°，
在正方形ABCD中，∠ADM=90°，AD=AB，
∴PG=AD，
∵NP⊥AE，
∴∠ANF+∠NAF=90°，
∴∠NAF=∠GPN，
∴△PGN≌△ADM，
∴AM=PN，故①正确；
如图，过点F作FH⊥BD，连接CF，
在正方形ABCD中，∠ADF=∠ABF=∠CBF=45°，FH⊥BD，AB=BC，
∴△HFD为等腰直角三角形，
∴DH=DF，FD=FH，
∵BF=BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS）
∴AF=CF，∠BAF=∠BCF，
在四边形ABPF中，∠ABP=∠AFP=90°，
∴∠BAF+∠BPF=90°，
∵∠FPC+∠BPF=90°，
∴∠BAF=∠FPC=∠BCF，
∴PF=CF=AF，
由①知：AM=PN，即AM-AF=PN-PF，
∴FN=FM，
∵∠HFD=∠NFM=90°，
∴∠NFH=∠DFM
∴△NFH≌△MFD（SAS）
∴NH=DM，
∴DM+DN=NH+DN=DH=DF，故②正确；
连接AP，如图，由P是BC中点 ，则BP=PC=1.5，
∴AP==，
由②知：AP=PF，
∴PF=AP=，
设CE=x，则PE=1.5+x，BE=3+x，
∴AE=，
sinE=，即，
解得x=6或-4（舍）
∴CE=6，AE=，BE=9，
∵cosE=，
∴，
∴ME=，故③正确；
由题意知：∠AFN=90°，∠BPF＞90°，
∴△AFE与△APF不相似，则BF NF≠AF BP，故④错误；
∵PM∥BD，
∴∠MPC=∠DBC=45°=∠CMP=∠CDB=45°，
∴PC=CM，
可设PC=CM=a，BCCD=AD=AB=b，CE=c，
则PM=a，DM=b-a，BE=b+c，PE=a+c，
∵AF=PF，∠AFN=∠PFM=90°，FN=FM，
∴△AFN≌△PFM（SAS），
∴AN=PM=a，
∵AD∥CE，
∴△ADM∽△ECM，
∴，即，解得a=
∵AN∥PE，
∴△AFN∽△EFP，
∴，即，
∵AB∥DM ，
∴△DMF ∽△BAF，
∴，即，
∴
把a=代入中，并整理得b+c=2b+c，
解得，
∴CE=BC，故⑤正确；
故答案为：①②③⑤.
【分析】过点P作PG⊥AD，证明△PGN≌△ADM，可得AM=PN，故①正确；如图，过点F作FH⊥BD，连接CF，易得△HFD为等腰直角三角形，可得DH=DF，FD=FH，证明△ABF≌△CBF（SAS），可得AF=CF，∠BAF=∠BCF，利用四边形内角和及补角的性质可推∠BAF=∠FPC=∠BCF，可得PF=CF=AF，再证△NFH≌△MFD（SAS），可得NH=DM，从而得出
DM+DN=NH+DN=DH=DF，故②正确；连接AP，由勾股定理求出AP，利用AP=PF可求出PF，设CE=x，则PE=1.5+x，BE=3+x，由勾股定理求出AE的长，利用sinE=建立关于x方程并解之，可得CE=6，AE=，BE=9，再利用cosE=，可求出CM，即可判断③；由题意知：∠AFN=90°，∠BPF＞90°，则△AFE与△APF不相似，故BF NF≠AF BP，故④错误；
可设PC=CM=a，BCCD=AD=AB=b，CE=c，则PM=a，DM=b-a，BE=b+c，PE=a+c，证明
△AFN≌△PFM（SAS），可得AN=PM=a，证明△ADM∽△ECM可得，据此求出a=，同理可证△AFN∽△EFP，△DMF ∽△BAF，分别得出，，即得，把a=代入中，并整理得b+c=2b+c，则CE=BC，故⑤正确.
三、解答题
7．（2024·湖北）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B，交y轴于C．
（1）求b的值．
（2）M为函数图象上一点，满足∠MAB＝∠ACO，求M点的横坐标．
（3）将二次函数沿水平方向平移，新的图象记为L，L与y轴交于点D，记DC＝d，记L顶点横坐标为n．
①求d与n的函数解析式．
②记L与x轴围成的图象为U，U与△ABC重合部分（不计边界）记为W，若d随n增加而增加，且W内恰有2个横坐标与纵坐标均为整数的点，直接写出n的取值范围．
【答案】（1）解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+3与x轴交于（﹣1，0），
∴0＝﹣1﹣b＝3，解得b＝2．
（2）解：∵b＝2，
∴二次函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
令y＝0，解得x＝﹣1或3，
令x＝0得y＝3，
∴A（﹣1.0），B（3，0），C（0，3），作MN⊥x轴于点N，
设M（m，﹣m2+2m+3），
当点M在x轴上方时，如图1，
∵∠MAB＝∠ACO，
∴tan∠MAB＝tan∠ACO，即，
∴，
解得或﹣1（舍去），
当点M在x轴下方时，如图2，
∵∠MAB＝∠ACO，
∴tan∠MAB＝tan∠ACO，即，
解得或﹣1（舍去），
综上：或．
（3）解：①∵将二次函数沿水平方向平移，
∴纵坐标不变是4，
∴图象L的解析式为y＝﹣（x﹣n）2+4＝﹣x2+2nx﹣n2+4，
∴D（0，﹣n2+4），
∴CD＝d＝|﹣n2+4﹣3|＝|﹣n2+1|，
∴d＝
②n的取值范围为﹣1≤n≤1﹣或．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；正切的概念；二次函数与分段函数的综合应用；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】解：（3）②由①得d＝则函数图象如图，
∵d随着n增加而增加，
∴﹣1≤n≤0或n≥1，△ABC中含（0，1），（0，2），（1，1）三个整点（不含边界），
当W内恰有2个整数点（0，1），（0，2）时，
当x＝0时，yL＞2，当x＝1时，yL≤1，
∴
∴﹣＜n＜，n≥1+或n≤1﹣，
∴﹣＜n＜1﹣，
∵﹣1≤n＜0或n≥1，
∴﹣1≤n≤1﹣；
∴
∴﹣＜n≤﹣或≤n＜，1﹣＜n＜1+，
∴，
∵﹣1≤n＜0或n≥1，
∴；
当W内恰有2个整数点（0，2），（1，1）时，此种情况不存在，舍去．
综上，n的取值范围为﹣1≤n≤1﹣或．
【分析】（1）根据二次函数与坐标轴的交点问题结合题意代入点的坐标即可求解；
（2）先根据题意将二次函数的解析式化为顶点式，进而结合题意即可得到A（﹣1.0），B（3，0），C（0，3），作MN⊥x轴于点N，设M（m，﹣m2+2m+3），从而分类讨论：当点M在x轴上方时，当点M在x轴下方时，再根据题意结合锐角三角函数的定义即可求解；
（3）①根据二次函数图象的几何变换得到图象L的解析式为y＝﹣（x﹣n）2+4＝﹣x2+2nx﹣n2+4，进而得到D（0，﹣n2+4），从而根据得到CD即可求解；
②根据①的函数画出图像，进而根据图像得到﹣1≤n≤0或n≥1，△ABC中含（0，1），（0，2），（1，1）三个整点（不含边界），再分类讨论：当W内恰有2个整数点（0，1），（0，2）时，当x＝0时，yL＞2，当x＝1时，yL≤1；当W内恰有2个整数点（0，1），（1，1）时，当x＝0时，1＜yL≤2，当x＝1时，yL＞1，从而解不等式组即可求解。
8．（2024·湖北）如图，矩形ABCD中，E，F在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使E的对称点P落在CD上，F的对称点为G，PG交BC于H．
（1）求证：△EDP∽△PCH．
（2）若P为CD中点，且AB＝2，BC＝3，求GH长．
（3）连接BG，若P为CD中点，H为BC中点，探究BG与AB大小关系并说明理由．
【答案】（1）证明：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在DC上，
∴∠EPH＝∠A＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠3＝∠2，
∴△EDP∽△PCH；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∵P为CD中点，
∴，
设EP＝AP＝x，
∴ED＝AD﹣x＝3﹣x，
在Rt△EDP中，EP2＝ED2+DP2，
即x2＝（3﹣x）2+1，
解得，
∴，
∴，
∵△EDP∽△PCH，
∴，
∴，
解得，
∵PG＝AB＝2，
∴；
（3）解：如图，延长AB，PG交于一点M，连接AP，
∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上，
∴AP⊥EF，BG⊥直线EF，
∴BG∥AP，
∵AE＝EP，
∴∠EAP＝∠EPA，
∴∠BAP＝∠GPA，
∴△MAP是等腰三角形，
∴MA＝MP，
∵P为CD中点，
∴设DP＝CP＝y，
∴AB＝PG＝CD＝2y，
∵H为BC中点，
∴BH＝CH，
∵∠BHM＝∠CHP，∠CBM＝∠PCH，
∴△MBH≌△PCH（ASA），
∴BM＝CP＝y，HM＝HP，
∴MP＝MA＝MB+AB＝3y，
在Rt△PCH中，，
∴，
∴，
在Rt△APD中，，
∵BG∥AP，
∴△BMG∽△MAP，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质得到∠A＝∠D＝∠C＝90°，进而得到∠1+∠3＝90°，再根据折叠的性质得到∠EPH＝∠A＝90°，从而结合题意即可得到∠3＝∠2，再根据相似三角形的判定证明△EDP∽△PCH即可求解；
（2）先根据矩形的性质得到CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠A＝∠D＝∠C＝90°，进而根据中点得到，设EP＝AP＝x，则ED＝AD﹣x＝3﹣x，再运用勾股定理即可求出x，从而即可得到ED，再根据相似三角形的性质结合题意求出PH，从而根据GH=PG-PH即可求解；
（3）延长AB，PG交于一点M，连接AP，先根据折叠得到AP⊥EF，BG⊥直线EF，进而根据平行线的判定与性质结合等腰三角形的性质得到∠BAP＝∠GPA，从而得到MA＝MP，设DP＝CP＝y，结合题意运用三角形全等的判定与性质证明△MBH≌△PCH（ASA）即可得到BM＝CP＝y，HM＝HP，从而得到MP＝MA＝MB+AB＝3y，再结合题意根据勾股定理表示出，，，，根据相似三角形的判定与性质证明△BMG∽△MAP得到，最后得到即可求解.
四、实践探究题
9．（2024·武汉）
（1）问题背景如图（1），在矩形中，点E，F分别是，的中点，连接，，求证：．
（2）问题探究 如图（2），在四边形中，，，点E是的中点，点F在边上，，与交于点G，求证：．
（3）问题拓展 如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值．
【答案】（1）证明：∵在矩形ABCD中，AB=CD，∠C=∠EBF=90°，
∵，分别是，的中点
∴，
即，
∴；
（2）证明：取DB的中点H，连接EH和HC，如图所示：
∵是的中点，是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴
∴四边形EFCH是平行四边形，
∴
∴
又∵，H是DB的中点，
∴
∴
∴，
∴；
（3）解：。
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（3）过点F作FM⊥AD于点M，连接AF，如图所示，
∵∠C=∠ADC=90°，FM⊥AD，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
∵，由（2）
∴，
又∵是的中点，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴，，
在中，
∴
设，则
∴，
又∵
∴
∴
又∵
∴
∴
【分析】问题背景：根据矩形的性质，结合三角形的中位线定理，即可得证；
问题探究：取DB的中点H，连接EH和HC，得EH是的中位线，根据中位线定理，证明EFCH是平行四边形，利用平行四边形的性质，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出HB=HC，进而可得，等角对等边，即可得证；
问题拓展：过点F作FM⊥AD于点M，连接AF，证四边形CDMF是矩形，设AD=2a，根据勾股定理得出AF的长；根据（2）的结论，证明EF垂直平分AB，进而得出FA=FB，证明，进而证明， 进而根据相似三角形的性质，即可求解．
五、阅读理解题
10．（2022·永州）已知关于的函数.
（1）若，函数的图象经过点和点，求该函数的表达式和最小值；
（2）若，，时，函数的图象与轴有交点，求的取值范围.
（3）阅读下面材料：
设，函数图象与轴有两个不同的交点，，若，两点均在原点左侧，探究系数，，应满足的条件，根据函数图象，思考以下三个方面：
①因为函数的图象与轴有两个不同的交点，所以；
②因为，两点在原点左侧，所以对应图象上的点在轴上方，即；
③上述两个条件还不能确保，两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需.
综上所述，系数，，应满足的条件可归纳为：
请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：
若函数的图象在直线的右侧与轴有且只有一个交点，求的取值范围.
【答案】（1）解：根据题意，得
解之，得，所以
函数的表达式或，当时，的最小值是0
（2）解：根据题意，得而函数的图象与轴有交点，所以所以
（3）解：函数的图象
图1：
即
所以，的值不存在.
图2：
即的值.
图3：
即
所以的值不存在
图4：
即
所以的值不存在.
图5：
即
所以的值为
图6：函数与轴的交点为
所以的值为0成立.
综上所述，的取值范围是或.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）将a的值及点（1，-4），（2，1）代入函数解析式，可得到关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值，可得到函数解析式.
（2）将a，b，c代入函数解析式，由y=0，可得到关于x的一元二次方程，根据函数图象与x轴有交点，可得到b2-4ac≥0，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集.
（3）抓住已知条件：函数y=ax2-2x+3的图象在直线x=1的右侧，与x轴有且只有一个交点，分别画出函数图象，分情况讨论，可得到关于a的不等式组，分别求出不等式组的解集，可确定出a的取值范围.
1 / 1中考数学冲刺满分计划压轴集训测试二
一、选择题
1．（2024·济南）如图，在正方形ABCD中，分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线EF，再以点A为圆心，以AD的长为半径作弧交直线EF于点G（点G在正方形ABCD内部），连接DG并延长交BC于点K．若BK＝2，则正方形ABCD的边长为 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·大庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N'，则△MBN'周长的最小值为（ ）
A．15 B．5+5 C．10+5 D．18
3．（2024·齐齐哈尔）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝12，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接EF，以EF为边向下做正方形EFGH，设点E运动的路程为x(0A． B．
C． D．
二、填空题
4．（2024·南通）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5．正方形DEFG的边长为，它的顶点D，E，G分别在△ABC的边上，则BG的长为 ．
5．（2024·宿迁）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线yx上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线OA交于点B，当点C在x轴上移动时，线段AB的最小值为 ．
6．（2024·牡丹江）如图，在正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，AE分别交BD、CD于点F、M，过点F作NP⊥AE，分别交AD、BC于点N、P，连接MP．下列四个结论：①AM＝PN；②DM+DN＝DF；③若P是BC中点，AB＝3，则EM＝2；④BF NF＝AF BP；⑤若PM∥BD，则CE＝BC．其中正确的结论是 ．
三、解答题
7．（2024·湖北）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B，交y轴于C．
（1）求b的值．
（2）M为函数图象上一点，满足∠MAB＝∠ACO，求M点的横坐标．
（3）将二次函数沿水平方向平移，新的图象记为L，L与y轴交于点D，记DC＝d，记L顶点横坐标为n．
①求d与n的函数解析式．
②记L与x轴围成的图象为U，U与△ABC重合部分（不计边界）记为W，若d随n增加而增加，且W内恰有2个横坐标与纵坐标均为整数的点，直接写出n的取值范围．
8．（2024·湖北）如图，矩形ABCD中，E，F在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使E的对称点P落在CD上，F的对称点为G，PG交BC于H．
（1）求证：△EDP∽△PCH．
（2）若P为CD中点，且AB＝2，BC＝3，求GH长．
（3）连接BG，若P为CD中点，H为BC中点，探究BG与AB大小关系并说明理由．
四、实践探究题
9．（2024·武汉）
（1）问题背景如图（1），在矩形中，点E，F分别是，的中点，连接，，求证：．
（2）问题探究 如图（2），在四边形中，，，点E是的中点，点F在边上，，与交于点G，求证：．
（3）问题拓展 如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值．
五、阅读理解题
10．（2022·永州）已知关于的函数.
（1）若，函数的图象经过点和点，求该函数的表达式和最小值；
（2）若，，时，函数的图象与轴有交点，求的取值范围.
（3）阅读下面材料：
设，函数图象与轴有两个不同的交点，，若，两点均在原点左侧，探究系数，，应满足的条件，根据函数图象，思考以下三个方面：
①因为函数的图象与轴有两个不同的交点，所以；
②因为，两点在原点左侧，所以对应图象上的点在轴上方，即；
③上述两个条件还不能确保，两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需.
综上所述，系数，，应满足的条件可归纳为：
请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：
若函数的图象在直线的右侧与轴有且只有一个交点，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】正方形的性质；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AG，设EF交AB于点H，交CD于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC，AB∥CD，∠DAB=∠B=∠C=∠ADC=90°，
由作图过程可得EF是AB的垂直平分线，
∴AH=BH，∠AHM=∠BHM=90°，
∴四边形AHMD与四边形BHMC都是矩形，
∴AD∥HM∥BC，BH=CM=AH=DM，HM=BC，
∴点G是DK的中点
∴GM是△DCK的中位线，
设GM=x，则CK=2x，
∴AB=BC=AD=2+2x，
∴AH=BH=x+1，
由作图知AG=AD=2x+2，
∴，
∴
∴，
解得x=，
∴，即该正方形的边长为.
故答案为：D.
【分析】连接AG，设EF交AB于点H，交CD于点M，由正方形的性质得AB=AD=BC，AB∥CD，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，由作图过程可得EF是AB的垂直平分线，则可根据三个角是直角的四边形是矩形得出四边形AHMD与四边形BHMC都是矩形，由矩形的性质得AD∥HM∥BC，BH=CM=AH=DM，HM=BC，由平行线等分线段定理得点G是DK的中点，由三角形中位线定理设GM=x，则CK=2x，推出AB=BC=AD=2+2x，AH=BH=x+1，由作图知AG=AD=x+1，由勾股定理表示出GH，进而再由线段和差表示出MH，最后根据MH=BC建立方程求出x的值，从而可求出正方形的边长.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点N作EF∥AB，交AD、BC于E、 F，过点M作MG⊥EF于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴АВ∥СD，
∴AB∥EF∥CD，
∴四边形AMGE和BMGF都是矩形，
∴ ∠A=∠MGN=90°，
由旋转的性质得∠NMN'=90°，MN=MN'，
∴ ∠AMN=90°-∠NMG=∠GMN'，
∴△AMN≌△GMN'（AAS），
∴MG=AM，
∴点N在平行于AB，且与AB的距离为5的直线上运动，
作点M关于直线EF的对称点M'，连接M'B交直线E F于点N'，此时△MBN'周长取得最小值， 最小值为BM+BM'，
∵ВМ=АВ=5， MM'=5 +5=10，
∴ВМ + ВМ' .
故答案为：B.
【分析】 因为BM=5是定值，要求△MBN'周长最小，实际是求BN'+MN'最小，转化成“将军饮马”模型，先找出N运动轨迹，由线段旋转90°，可得三垂直全等，进而推出点N'在平行于AB，且与AB的距离为5的直线上运动，再作对称求解即可.
3．【答案】A
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：当正方形EFGH和等腰重合部分的面积全部在等腰内部时，可知y为正方形EFGH的面积，
∴随着E、F的运动，正方形EFGH的边长在增大，可知这一部分图像是开口向上的二次函数，CD不符合题意，
当正方形EFGH和等腰重合部分的面积全部在正方形EFGH内部时，可知y为正方形EFGH面积的一部分，
∴随着E、F的运动，这一部分的长在增大，宽在减小，可知这一部分图像是开口向下的二次函数，B不符合题意.
故答案为：A.
【分析】先分类讨论：y为正方形EFGH的面积或y为正方形EFGH面积的一部分，再根据面积公式得y与x之间的函数关系.
4．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点G作GH⊥AC于点H，
∴∠DHG=∠AHG=90°，
∴∠HDG+∠DGH=90°，
∵正方形DEFG的边长为，
∴，∠EDG=90°，
∴∠HDG+∠CDE=90°，
∴∠HDG+∠DGH=∠HDG+∠CDE，
∴∠DGH=∠CDE，
∵∠DCE=90°，
∴∠DCE=∠DHG，
在和中，
，
∴，
∴GH=CD，DH=CE，
∵AC=BC=5，∠ACB=90°，
∴是等腰直角三角形，
∴∠A=45°，，
又∵∠AHG=90°，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴GH=CD=AH，
设GH=CD=AH=x，DH=CE=y，
∴，
∴y=5-2x，
∴，
整理得，
解得，
∴AH=2，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】过点G作GH⊥AC于点H，利用正方形的性质，由“一线三垂直“全等模型证出，得GH=CD，DH=CE，然后再证出、是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得、、，进而有GH=CD=AH，设GH=CD=AH=x，DH=CE=y，利用勾股定理、线段和差关系得，从而有关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，得，最后计算BG=AB-AG的值即可.
5．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，作的外接圆，D为圆心，连接CD，过点A作AE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
∵∠ACB=90°，
∴AB是的直径，设AB=2AD=2BD=2r，
∴线段AB最小时，的半径r最小，
∵CD≥DF，
∴当CD⊥x轴时，CD最小，此时C、F重合，与x轴相切，
∵点A在直线上，且点A的横坐标为4，
∴A(4，3)，
∴AE=3，OE=4，
根据勾股定理，得OA=5，
∴OD=5-r，
∵AE⊥x轴，DF⊥x轴，
∴∠DFO=∠AEO=90°，
∴DF∥AE，
∴，
∴，即，
解得：，
∴线段AB的最小值为，
故答案为：.
【分析】作的外接圆，连接CD，过点A作AE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”得AB是的直径，设AB=2AD=2BD=2r，然后由“CD≥DF”可知当CD⊥x轴时，CD最小，此时C、F重合，与x轴相切，接下来求出点A的坐标，利用勾股定理得OA=5，从而有OD=5-r，易证，根据相似三角形对应边成比例得，解方程求出r的值，即可求出AB=2r的最小值.
6．【答案】①②③⑤
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：如图，过点P作PG⊥AD，则ABPG为矩形，∠PGD=90°，
∴AB=PG，∠GNP+∠GPN=90°，
在正方形ABCD中，∠ADM=90°，AD=AB，
∴PG=AD，
∵NP⊥AE，
∴∠ANF+∠NAF=90°，
∴∠NAF=∠GPN，
∴△PGN≌△ADM，
∴AM=PN，故①正确；
如图，过点F作FH⊥BD，连接CF，
在正方形ABCD中，∠ADF=∠ABF=∠CBF=45°，FH⊥BD，AB=BC，
∴△HFD为等腰直角三角形，
∴DH=DF，FD=FH，
∵BF=BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS）
∴AF=CF，∠BAF=∠BCF，
在四边形ABPF中，∠ABP=∠AFP=90°，
∴∠BAF+∠BPF=90°，
∵∠FPC+∠BPF=90°，
∴∠BAF=∠FPC=∠BCF，
∴PF=CF=AF，
由①知：AM=PN，即AM-AF=PN-PF，
∴FN=FM，
∵∠HFD=∠NFM=90°，
∴∠NFH=∠DFM
∴△NFH≌△MFD（SAS）
∴NH=DM，
∴DM+DN=NH+DN=DH=DF，故②正确；
连接AP，如图，由P是BC中点 ，则BP=PC=1.5，
∴AP==，
由②知：AP=PF，
∴PF=AP=，
设CE=x，则PE=1.5+x，BE=3+x，
∴AE=，
sinE=，即，
解得x=6或-4（舍）
∴CE=6，AE=，BE=9，
∵cosE=，
∴，
∴ME=，故③正确；
由题意知：∠AFN=90°，∠BPF＞90°，
∴△AFE与△APF不相似，则BF NF≠AF BP，故④错误；
∵PM∥BD，
∴∠MPC=∠DBC=45°=∠CMP=∠CDB=45°，
∴PC=CM，
可设PC=CM=a，BCCD=AD=AB=b，CE=c，
则PM=a，DM=b-a，BE=b+c，PE=a+c，
∵AF=PF，∠AFN=∠PFM=90°，FN=FM，
∴△AFN≌△PFM（SAS），
∴AN=PM=a，
∵AD∥CE，
∴△ADM∽△ECM，
∴，即，解得a=
∵AN∥PE，
∴△AFN∽△EFP，
∴，即，
∵AB∥DM ，
∴△DMF ∽△BAF，
∴，即，
∴
把a=代入中，并整理得b+c=2b+c，
解得，
∴CE=BC，故⑤正确；
故答案为：①②③⑤.
【分析】过点P作PG⊥AD，证明△PGN≌△ADM，可得AM=PN，故①正确；如图，过点F作FH⊥BD，连接CF，易得△HFD为等腰直角三角形，可得DH=DF，FD=FH，证明△ABF≌△CBF（SAS），可得AF=CF，∠BAF=∠BCF，利用四边形内角和及补角的性质可推∠BAF=∠FPC=∠BCF，可得PF=CF=AF，再证△NFH≌△MFD（SAS），可得NH=DM，从而得出
DM+DN=NH+DN=DH=DF，故②正确；连接AP，由勾股定理求出AP，利用AP=PF可求出PF，设CE=x，则PE=1.5+x，BE=3+x，由勾股定理求出AE的长，利用sinE=建立关于x方程并解之，可得CE=6，AE=，BE=9，再利用cosE=，可求出CM，即可判断③；由题意知：∠AFN=90°，∠BPF＞90°，则△AFE与△APF不相似，故BF NF≠AF BP，故④错误；
可设PC=CM=a，BCCD=AD=AB=b，CE=c，则PM=a，DM=b-a，BE=b+c，PE=a+c，证明
△AFN≌△PFM（SAS），可得AN=PM=a，证明△ADM∽△ECM可得，据此求出a=，同理可证△AFN∽△EFP，△DMF ∽△BAF，分别得出，，即得，把a=代入中，并整理得b+c=2b+c，则CE=BC，故⑤正确.
7．【答案】（1）解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+3与x轴交于（﹣1，0），
∴0＝﹣1﹣b＝3，解得b＝2．
（2）解：∵b＝2，
∴二次函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
令y＝0，解得x＝﹣1或3，
令x＝0得y＝3，
∴A（﹣1.0），B（3，0），C（0，3），作MN⊥x轴于点N，
设M（m，﹣m2+2m+3），
当点M在x轴上方时，如图1，
∵∠MAB＝∠ACO，
∴tan∠MAB＝tan∠ACO，即，
∴，
解得或﹣1（舍去），
当点M在x轴下方时，如图2，
∵∠MAB＝∠ACO，
∴tan∠MAB＝tan∠ACO，即，
解得或﹣1（舍去），
综上：或．
（3）解：①∵将二次函数沿水平方向平移，
∴纵坐标不变是4，
∴图象L的解析式为y＝﹣（x﹣n）2+4＝﹣x2+2nx﹣n2+4，
∴D（0，﹣n2+4），
∴CD＝d＝|﹣n2+4﹣3|＝|﹣n2+1|，
∴d＝
②n的取值范围为﹣1≤n≤1﹣或．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；正切的概念；二次函数与分段函数的综合应用；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】解：（3）②由①得d＝则函数图象如图，
∵d随着n增加而增加，
∴﹣1≤n≤0或n≥1，△ABC中含（0，1），（0，2），（1，1）三个整点（不含边界），
当W内恰有2个整数点（0，1），（0，2）时，
当x＝0时，yL＞2，当x＝1时，yL≤1，
∴
∴﹣＜n＜，n≥1+或n≤1﹣，
∴﹣＜n＜1﹣，
∵﹣1≤n＜0或n≥1，
∴﹣1≤n≤1﹣；
∴
∴﹣＜n≤﹣或≤n＜，1﹣＜n＜1+，
∴，
∵﹣1≤n＜0或n≥1，
∴；
当W内恰有2个整数点（0，2），（1，1）时，此种情况不存在，舍去．
综上，n的取值范围为﹣1≤n≤1﹣或．
【分析】（1）根据二次函数与坐标轴的交点问题结合题意代入点的坐标即可求解；
（2）先根据题意将二次函数的解析式化为顶点式，进而结合题意即可得到A（﹣1.0），B（3，0），C（0，3），作MN⊥x轴于点N，设M（m，﹣m2+2m+3），从而分类讨论：当点M在x轴上方时，当点M在x轴下方时，再根据题意结合锐角三角函数的定义即可求解；
（3）①根据二次函数图象的几何变换得到图象L的解析式为y＝﹣（x﹣n）2+4＝﹣x2+2nx﹣n2+4，进而得到D（0，﹣n2+4），从而根据得到CD即可求解；
②根据①的函数画出图像，进而根据图像得到﹣1≤n≤0或n≥1，△ABC中含（0，1），（0，2），（1，1）三个整点（不含边界），再分类讨论：当W内恰有2个整数点（0，1），（0，2）时，当x＝0时，yL＞2，当x＝1时，yL≤1；当W内恰有2个整数点（0，1），（1，1）时，当x＝0时，1＜yL≤2，当x＝1时，yL＞1，从而解不等式组即可求解。
8．【答案】（1）证明：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在DC上，
∴∠EPH＝∠A＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠3＝∠2，
∴△EDP∽△PCH；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∵P为CD中点，
∴，
设EP＝AP＝x，
∴ED＝AD﹣x＝3﹣x，
在Rt△EDP中，EP2＝ED2+DP2，
即x2＝（3﹣x）2+1，
解得，
∴，
∴，
∵△EDP∽△PCH，
∴，
∴，
解得，
∵PG＝AB＝2，
∴；
（3）解：如图，延长AB，PG交于一点M，连接AP，
∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上，
∴AP⊥EF，BG⊥直线EF，
∴BG∥AP，
∵AE＝EP，
∴∠EAP＝∠EPA，
∴∠BAP＝∠GPA，
∴△MAP是等腰三角形，
∴MA＝MP，
∵P为CD中点，
∴设DP＝CP＝y，
∴AB＝PG＝CD＝2y，
∵H为BC中点，
∴BH＝CH，
∵∠BHM＝∠CHP，∠CBM＝∠PCH，
∴△MBH≌△PCH（ASA），
∴BM＝CP＝y，HM＝HP，
∴MP＝MA＝MB+AB＝3y，
在Rt△PCH中，，
∴，
∴，
在Rt△APD中，，
∵BG∥AP，
∴△BMG∽△MAP，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质得到∠A＝∠D＝∠C＝90°，进而得到∠1+∠3＝90°，再根据折叠的性质得到∠EPH＝∠A＝90°，从而结合题意即可得到∠3＝∠2，再根据相似三角形的判定证明△EDP∽△PCH即可求解；
（2）先根据矩形的性质得到CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠A＝∠D＝∠C＝90°，进而根据中点得到，设EP＝AP＝x，则ED＝AD﹣x＝3﹣x，再运用勾股定理即可求出x，从而即可得到ED，再根据相似三角形的性质结合题意求出PH，从而根据GH=PG-PH即可求解；
（3）延长AB，PG交于一点M，连接AP，先根据折叠得到AP⊥EF，BG⊥直线EF，进而根据平行线的判定与性质结合等腰三角形的性质得到∠BAP＝∠GPA，从而得到MA＝MP，设DP＝CP＝y，结合题意运用三角形全等的判定与性质证明△MBH≌△PCH（ASA）即可得到BM＝CP＝y，HM＝HP，从而得到MP＝MA＝MB+AB＝3y，再结合题意根据勾股定理表示出，，，，根据相似三角形的判定与性质证明△BMG∽△MAP得到，最后得到即可求解.
9．【答案】（1）证明：∵在矩形ABCD中，AB=CD，∠C=∠EBF=90°，
∵，分别是，的中点
∴，
即，
∴；
（2）证明：取DB的中点H，连接EH和HC，如图所示：
∵是的中点，是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴
∴四边形EFCH是平行四边形，
∴
∴
又∵，H是DB的中点，
∴
∴
∴，
∴；
（3）解：。
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（3）过点F作FM⊥AD于点M，连接AF，如图所示，
∵∠C=∠ADC=90°，FM⊥AD，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
∵，由（2）
∴，
又∵是的中点，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴，，
在中，
∴
设，则
∴，
又∵
∴
∴
又∵
∴
∴
【分析】问题背景：根据矩形的性质，结合三角形的中位线定理，即可得证；
问题探究：取DB的中点H，连接EH和HC，得EH是的中位线，根据中位线定理，证明EFCH是平行四边形，利用平行四边形的性质，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出HB=HC，进而可得，等角对等边，即可得证；
问题拓展：过点F作FM⊥AD于点M，连接AF，证四边形CDMF是矩形，设AD=2a，根据勾股定理得出AF的长；根据（2）的结论，证明EF垂直平分AB，进而得出FA=FB，证明，进而证明， 进而根据相似三角形的性质，即可求解．
10．【答案】（1）解：根据题意，得
解之，得，所以
函数的表达式或，当时，的最小值是0
（2）解：根据题意，得而函数的图象与轴有交点，所以所以
（3）解：函数的图象
图1：
即
所以，的值不存在.
图2：
即的值.
图3：
即
所以的值不存在
图4：
即
所以的值不存在.
图5：
即
所以的值为
图6：函数与轴的交点为
所以的值为0成立.
综上所述，的取值范围是或.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）将a的值及点（1，-4），（2，1）代入函数解析式，可得到关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值，可得到函数解析式.
（2）将a，b，c代入函数解析式，由y=0，可得到关于x的一元二次方程，根据函数图象与x轴有交点，可得到b2-4ac≥0，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集.
（3）抓住已知条件：函数y=ax2-2x+3的图象在直线x=1的右侧，与x轴有且只有一个交点，分别画出函数图象，分情况讨论，可得到关于a的不等式组，分别求出不等式组的解集，可确定出a的取值范围.
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