两条直线的位置关系
1．在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种．
2．如果两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线，这个公共点叫作它们的交点．如图1，直线a与直线b相交，交点为点O.
3．在同一平面内，没有公共点的两条直线叫作平行线．如图2，直线a与直线b平行．
邻补角与对顶角
1．邻补角：一般地，有一条公共边，并且另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为邻补角．如图1，∠1与∠2，∠2与∠3，∠1与∠4，∠4与∠3互为邻补角．
邻补角是以两个角的特殊位置来定义的，注意与补角区分开．
2．对顶角
(1)定义：一般地，两条直线相交形成两对对顶角．形成对顶角的两个角有公共的顶点，其中一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线．如图1，∠1与∠3，∠2与∠4互为对顶角．
(2)性质：对顶角相等．
(1)对顶角描述的是两个角的位置关系，对顶角相等，但相等的两个角不一定是对顶角．
(2)判定两个角是对顶角的方法：①有公共顶点；②一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线．
两直线的位置关系
典例1 在下列4个判断中：
①在同一平面内，不相交也不重合的两条线段一定平行 ②在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行 ③在同一平面内，不平行也不重合的两条线段一定相交
④在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交．正确的个数是( C )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
根据平面内两条直线的三种位置关系平行或相交或重合进行判断．
(1)两条线段平行或两条射线平行，是指它们所在的直线平行；
(2)两直线平行是同一平面内两条直线的一种位置关系，同一平面内的两直线的位置关系只有两种：相交与平行．
变式 如图所示，能相交的是③，平行的是⑤．(填序号)
变式图
邻补角与对顶角的识别
典例2 [2024春·南川区期中]下列图中∠1与∠2是对顶角的是( D )
有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角，由此即可判断．
变式1 [2024春·亳州期末]下列各图中，∠1与∠2互为邻补角的是( D )
变式2 下列说法正确的是( C )
A．有公共顶点的两个角是对顶角
B．有公共顶点并且相等的两个角是对顶角
C．两条直线相交所得的四个角中的任意两个角，不是邻补角，就是对顶角
D．相等的两个角一定是对顶角
对顶角的性质
典例3 [2024春·长沙期中]如图，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOC＝75°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE∶∠EOD＝3∶2，则∠EOD＝30°．
典例3图
根据对顶角相等得出∠BOD的度数，再根据∠BOE∶∠EOD＝3∶2，即可求出∠EOD的度数．
解析：因为∠AOC＝75°，
所以∠BOD＝∠AOC＝75°，
因为∠BOE∶∠EOD＝3∶2，
所以∠BOE＝45°，∠EOD＝30°.
变式 [2024秋·新乡期中]如图，直线AB，CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分．
(1)直接写出图中∠AOD的对顶角的为 ，∠BOE的邻补角为 ；
(2)若OE平分∠BOD，∠DOE∶∠AOD＝1∶4.求∠EOC的度数．
变式图
解：(1)依题意，∠AOD的对顶角为∠BOC，∠BOE的邻补角为∠AOE；
(2)设∠DOE＝x，
则∠AOD＝4x，
因为OE平分∠BOD，
所以∠BOE＝∠DOE＝x，
所以x＋x＋4x＝180°，
解得x＝30°，
所以∠BOE＝30°，∠AOD＝4x＝120°，
所以∠BOC＝∠AOD＝120°，
所以∠EOC＝∠BOE＋∠BOC＝150°.
1．[2024春·徐闻县期中]下列工具中，有对顶角的是( C )
2．下列说法正确的是( C )
A．同一个平面内，不相交的两条线段是平行线
B．同一个平面内，两条直线不相交就重合
C．同一个平面内，没有公共点的两条直线是平行线
D．不相交的两条直线是平行线
3．[2023·河南]如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝80°，∠2＝30°，则∠AOE的度数为( B )
第3题图
A．30° B．50°
C．60° D．80°
4．[2024·长春二模]泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．论证“对顶角相等”使用的依据是( D )
A．等角的补角相等 B．同角的余角相等
C．等角的余角相等 D．同角的补角相等
5．[2024春·喀什期中]如图，直线AB与CD相交于点O，OE为射线．
(1)写出∠AOC与∠COE的邻补角；
(2)若∠AOC＝38°，∠BOE＝108°，求∠DOE和∠AOE的度数．
第5题图
解：(1)依题意，结合图形，∠AOC的邻补角是∠BOC和∠AOD，
∠COE的邻补角是∠DOE；
(2)因为∠AOC＝38°，
所以∠BOD＝∠AOC＝38°，
因为∠BOE＝108°，
所以∠DOE＝∠BOD＋∠BOE＝38°＋108°＝146°，
所以∠COE＝180°－∠DOE＝180°－146°＝34°，
所以∠AOE＝∠AOC＋∠COE＝38°＋34°＝72°.两条直线的位置关系
1．在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种．
2．如果两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为 ，这个公共点叫作它们的 ．如图1，直线a与直线b相交，交点为点O.
3．在同一平面内， 的两条直线叫作平行线．如图2，直线a与直线b平行．
邻补角与对顶角
1．邻补角：一般地，有一条 ，并且另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为邻补角．如图1，∠1与∠2，∠2与∠3，∠1与∠4，∠4与∠3互为邻补角．
邻补角是以两个角的特殊位置来定义的，注意与补角区分开．
2．对顶角
(1)定义：一般地，两条直线相交形成两对对顶角．形成对顶角的两个角有 ，其中一个角的两边分别是另一个角两边的 ．如图1，∠1与∠3，∠2与∠4互为对顶角．
(2)性质：对顶角 ．
(1)对顶角描述的是两个角的位置关系，对顶角相等，但相等的两个角不一定是对顶角．
(2)判定两个角是对顶角的方法：①有公共顶点；②一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线．
两直线的位置关系
典例1 在下列4个判断中：
①在同一平面内，不相交也不重合的两条线段一定平行 ②在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行 ③在同一平面内，不平行也不重合的两条线段一定相交
④在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交．正确的个数是( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
根据平面内两条直线的三种位置关系平行或相交或重合进行判断．
(1)两条线段平行或两条射线平行，是指它们所在的直线平行；
(2)两直线平行是同一平面内两条直线的一种位置关系，同一平面内的两直线的位置关系只有两种：相交与平行．
变式 如图所示，能相交的是 ，平行的是 ．(填序号)
变式图
邻补角与对顶角的识别
典例2 [2024春·南川区期中]下列图中∠1与∠2是对顶角的是( )
有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角，由此即可判断．
变式1 [2024春·亳州期末]下列各图中，∠1与∠2互为邻补角的是( )
变式2 下列说法正确的是( )
A．有公共顶点的两个角是对顶角
B．有公共顶点并且相等的两个角是对顶角
C．两条直线相交所得的四个角中的任意两个角，不是邻补角，就是对顶角
D．相等的两个角一定是对顶角
对顶角的性质
典例3 [2024春·长沙期中]如图，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOC＝75°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE∶∠EOD＝3∶2，则∠EOD＝ ．
典例3图
根据对顶角相等得出∠BOD的度数，再根据∠BOE∶∠EOD＝3∶2，即可求出∠EOD的度数．
因为∠AOC＝75°，
所以∠BOD＝∠AOC＝75°，
因为∠BOE∶∠EOD＝3∶2，
所以∠BOE＝45°，∠EOD＝30°.
变式 [2024秋·新乡期中]如图，直线AB，CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分．
(1)直接写出图中∠AOD的对顶角的为 ，∠BOE的邻补角为 ；
(2)若OE平分∠BOD，∠DOE∶∠AOD＝1∶4.求∠EOC的度数．
变式图
1．[2024春·徐闻县期中]下列工具中，有对顶角的是( )
2．下列说法正确的是( )
A．同一个平面内，不相交的两条线段是平行线
B．同一个平面内，两条直线不相交就重合
C．同一个平面内，没有公共点的两条直线是平行线
D．不相交的两条直线是平行线
3．[2023·河南]如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝80°，∠2＝30°，则∠AOE的度数为( )
第3题图
A．30° B．50°
C．60° D．80°
4．[2024·长春二模]泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．论证“对顶角相等”使用的依据是( )
A．等角的补角相等 B．同角的余角相等
C．等角的余角相等 D．同角的补角相等
5．[2024春·喀什期中]如图，直线AB与CD相交于点O，OE为射线．
(1)写出∠AOC与∠COE的邻补角；
(2)若∠AOC＝38°，∠BOE＝108°，求∠DOE和∠AOE的度数．
第5题图垂直的定义及表示
两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线互相 ，其中一条直线叫作另一条直线的 ，交点叫作 ．表示方法直线AB与直线CD垂直，记作 ；如果用l，m表示这两条直线，那么直线l与直线m垂直，记作 ．
垂线的画法
(1)三角板
经过一点(已知直线上或直线外)，画已知直线的垂线，步骤如下：
(2)量角器
让0°射线贴住已知直线，让90°射线紧靠已知点，即可画出已知直线的垂线．
垂线的性质与点到直线的距离
1．垂线的性质
同一平面内，过一点 一条直线与已知直线垂直．
2．点到直线的距离
(1)过直线外一点作一条直线的垂线，这个点与垂足之间的线段叫作 ．
(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称 ．
(3)过直线外一点到这条直线的 的长度，叫作这个点到这条直线的距离． 叫做点A到直线l的距离．
点到直线的距离是垂线段的长度，垂线段是一个数量，不能说垂线段是距离．
垂直的定义及表示
典例1 下面四种判断两条直线垂直的方法中正确的有( )
①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直
②两条直线相交，有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直
③两条直线相交，所成的四个角相等，则这两条直线互相垂直
④两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
根据垂直的定义判断．
变式 [2024春·西安期中改编]如图，直线AB，CD交于点O，已知OF⊥CD，∠COE＝2∠AOC.
(1)若∠BOD＝28°，求∠EOF的度数；
(2)若∠BOF＝60°，判断OE与AB的位置关系，并说明理由．
变式图
垂线的画法
典例2 如图所示，用三角板经过点P分别画出直线AB与CD的垂线．
典例2图
利用三角板作图(一落二移三画)．
变式 如图，用三角板或量角器经过点P分别画出直线AB与CD的垂线．
变式图
垂线的性质与点到直线的距离
典例3 [2024春·平山县期末]如图，点P是直线a外的一点，点A，B，C在直线a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，则下列语句不正确的是( )
典例3图
A．线段PC的长是点C到直线PA的距离
B．线段AC的长是点A到直线PC的距离
C．PA，PB，PC三条线段中，PB最短
D．线段PB的长是点P到直线a的距离
本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，掌握直线外一点到直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离是解题的关键．
变式1 [2024·恩施模拟]下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是( )
变式2 [2023春·深圳期中]如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处，他们的做法是过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处，这样做最节省水管长度，其数学道理是( )
变式2图
A．三角形的稳定性
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．垂线段最短
1．[2024春·固始县期末]点O是直线l外一点，点A，B，C为直线l上三点，且OA＝2 cm，OB＝5 cm，OC＝3 cm，则点O到直线l的距离( )
A．小于2 cm
B．等于2 cm
C．不大于2 cm
D．等于3 cm
2．[2024春·芜湖期中]如图，在同一平面内，OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，则OA与OB重合的理由是( )
第2题图
A．两点确定一条直线
B．垂线段最短
C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．已知直线的垂线只有一条
3．(多选)[2024春·天河区期中]如图所示，OA⊥OC，OB⊥OD，下面结论中，说法正确的是( )
第3题图
A．∠AOB＋∠COD＝90°
B．∠AOB＝∠COD
C．∠BOC＋∠AOD＝180°
D．∠AOC－∠COD＝∠BOC
4．[2024春·郾城区期末]如图，直线AB与CD相交于点O，OM⊥AB.
第4题图
(1)若∠1＝∠2，求证：ON⊥CD；
(2)若∠1＝∠BOD，求∠BOC的度数．垂直的定义及表示
两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，交点叫作垂足．表示方法直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD；如果用l，m表示这两条直线，那么直线l与直线m垂直，记作l⊥m．
垂线的画法
(1)三角板
经过一点(已知直线上或直线外)，画已知直线的垂线，步骤如下：
(2)量角器
让0°射线贴住已知直线，让90°射线紧靠已知点，即可画出已知直线的垂线．
垂线的性质与点到直线的距离
1．垂线的性质
同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
2．点到直线的距离
(1)过直线外一点作一条直线的垂线，这个点与垂足之间的线段叫作垂线段．
(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短．
(3)过直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作这个点到这条直线的距离．线段AB的长度叫做点A到直线l的距离．
点到直线的距离是垂线段的长度，垂线段是一个数量，不能说垂线段是距离．
垂直的定义及表示
典例1 下面四种判断两条直线垂直的方法中正确的有( A )
①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直
②两条直线相交，有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直
③两条直线相交，所成的四个角相等，则这两条直线互相垂直
④两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
根据垂直的定义判断．
变式 [2024春·西安期中改编]如图，直线AB，CD交于点O，已知OF⊥CD，∠COE＝2∠AOC.
(1)若∠BOD＝28°，求∠EOF的度数；
(2)若∠BOF＝60°，判断OE与AB的位置关系，并说明理由．
变式图
解：(1)因为∠AOC＝∠BOD，∠BOD＝28°，
所以∠AOC＝28°，
因为∠COE＝2∠AOC，
所以∠COE＝2×28°＝56°.
因为OF⊥CD，
所以∠COF＝90°.
所以∠EOF＝∠COF－∠COE＝90°－56°＝34°；
(2)OE⊥AB，理由：
因为OF⊥CD，
所以∠DOF＝90°.
因为∠BOF＝60°，
所以∠BOD＝30°，
所以∠COE＝2∠AOC＝2∠BOD＝60°，
所以∠AOE＝∠AOC＋∠COE＝30°＋60°＝90°，即OE⊥AB.
垂线的画法
典例2 如图所示，用三角板经过点P分别画出直线AB与CD的垂线．
典例2图
利用三角板作图(一落二移三画)．
解：EF，GH即为所画垂线．
典例2图
变式 如图，用三角板或量角器经过点P分别画出直线AB与CD的垂线．
变式图
解：过点P垂直AB，CD的直线如图所示．
变式图
垂线的性质与点到直线的距离
典例3 [2024春·平山县期末]如图，点P是直线a外的一点，点A，B，C在直线a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，则下列语句不正确的是( B )
典例3图
A．线段PC的长是点C到直线PA的距离
B．线段AC的长是点A到直线PC的距离
C．PA，PB，PC三条线段中，PB最短
D．线段PB的长是点P到直线a的距离
本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，掌握直线外一点到直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离是解题的关键．
变式1 [2024·恩施模拟]下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是( D )
变式2 [2023春·深圳期中]如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处，他们的做法是过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处，这样做最节省水管长度，其数学道理是( D )
变式2图
A．三角形的稳定性
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．垂线段最短
1．[2024春·固始县期末]点O是直线l外一点，点A，B，C为直线l上三点，且OA＝2 cm，OB＝5 cm，OC＝3 cm，则点O到直线l的距离( C )
A．小于2 cm
B．等于2 cm
C．不大于2 cm
D．等于3 cm
2．[2024春·芜湖期中]如图，在同一平面内，OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，则OA与OB重合的理由是( C )
第2题图
A．两点确定一条直线
B．垂线段最短
C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．已知直线的垂线只有一条
3．(多选)[2024春·天河区期中]如图所示，OA⊥OC，OB⊥OD，下面结论中，说法正确的是( BCD )
第3题图
A．∠AOB＋∠COD＝90°
B．∠AOB＝∠COD
C．∠BOC＋∠AOD＝180°
D．∠AOC－∠COD＝∠BOC
4．[2024春·郾城区期末]如图，直线AB与CD相交于点O，OM⊥AB.
第4题图
(1)若∠1＝∠2，求证：ON⊥CD；
(2)若∠1＝∠BOD，求∠BOC的度数．
解：(1)证明：因为OM⊥AB，
所以∠AOM＝90°，
即∠1＋∠AOC＝90°，
因为∠1＝∠2，
所以∠2＋∠AOC＝90°，
即∠CON＝90°，
所以ON⊥CD；
(2)因为OM⊥AB，
所以∠BOM＝90°，
所以∠1＋∠BOD＝180°－∠BOM＝90°，
因为∠1＝∠BOD.
所以∠1＝30°，
所以∠BOC＝∠1＋∠BOM＝120°.
