平行线的概念
当直线AB与CD不相交时，它们没有公共点，也就是直线AB与CD平行，记作“AB∥CD”或“CD∥AB”，读作“AB平行于CD”或“CD平行于AB”．
(1)必须在同一平面内；(2)必须是不相交的直线．
平行线的画法
画平行线的工具是 ．
具体方法：一“放”；二“靠”；三“推”；四“画”．
平行线基本事实Ⅰ和平行线的传递性
基本事实Ⅰ：过直线外一点有且只有 条直线与这条直线平行．
平行线的传递性：平行于同一条直线的两条直线 ．
在平行线的基本性质中，已知条件中的点必须在已知直线外，而垂直的性质中，已知条件中的点可在直线外，也可在直线上．
同位角和平行线的基本事实Ⅱ
1．同位角
如图1所示，直线AB，CD与EF相交．
∠1和∠2分别在直线AB，CD ，并且都在直线EF的 ，具有这种位置关系的一对角叫做同位角．图中的∠4与 ， 与∠8，∠7与 ，也是同位角．
图1 图2
2．平行线基本事实Ⅱ
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．如图2所示，因为 ，所以a∥c.
平行线的画法
典例1 过点P画AB的平行线，三角尺的放法正确的是( )
过直线外一点画平行线的方法：一“放”；二“靠”；三“推”；四“画”．
变式 如图所示，在∠AOB内有一点P.
变式图
(1)过P画l1∥OA；
(2)过P画l2∥OB；
(3)用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？
平行线基本事实Ⅰ与传递性
典例2 若P，Q是直线AB外不重合的两点，则下列说法不正确的是( )
A．直线PQ可能与直线AB垂直
B．直线PQ可能与直线AB平行
C．过点P的直线一定能与直线AB相交
D．过点Q只能画出一条直线与直线AB平行
根据平行线的基本性质判断即可．
变式 如果a∥b，b∥c，那么a∥c，这个推理的依据是( )
A．等量代换
B．平行线的定义
C．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
D．平行于同一直线的两直线平行
同位角
典例3 [2024春·宁波期中]如图，与∠1构成同位角的是( )
典例3图
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
根据同位角的定义判断即可．
变式 [2024春·宜昌期末]下列图形中，∠1与∠2是同位角的是( )
平行线基本事实Ⅱ
典例4 [2024春·榆林期末]如图，点D，F分别在△ABC的边AB，AC上，过点D作DE⊥BC于点E，过点F作FG⊥BC于点G，点H在BD上，连接HE，∠1＝∠2，试说明HE∥AC.
典例4图
变式 [2023秋·沧州期末]如图，下列推理中，正确的是( )
变式图
A．因为∠2＝∠4，所以AE∥CF
B．因为∠1＝∠3，所以AE∥CF
C．因为∠2＝∠4，所以AB∥CD
D．因为∠1＝∠3，所以AB∥CD
1．[2023秋·达州期中]如图中与∠1是同位角的有( )
第1题图
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．[2024秋·聊城期中]若直线a，b，c，d有下列关系，则推理正确的是( )
A．因为a∥b，b∥c，所以c∥d
B．因为a∥c，b∥d，所以c∥d
C．因为a∥b，a∥c，所以b∥c
D．因为a∥b，c∥d，所以a∥c
3．[2023春·双牌县期末]下列说法正确的有 (填序号)．
①同位角相等
②一条直线有无数条平行线
③在同一平面内，两条不相交的线段是平行线
④在同一平面内，如果a∥b，b∥c，则a∥c
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行
4．作图题
在如图所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺作图．
第4题图
(1)经过点P，画线段PQ平行于AB所在直线；
(2)过点C，画线段CN垂直于CB所在直线．
5．如图，已知∠2＝∠3，求证：AB∥CD.
第5题图
证明：
因为∠2＝∠3(已知)，
又因为∠1＝∠3( )，
所以 (等量代换)，
所以AB∥CD( )．内错角、同旁内角
如图所示，直线AB，CD与EF相交．
1．∠2和∠8都在直线AB，CD之间，并且分别在直线EF的两旁，具有这种位置关系的一对角叫作内错角．
2．∠2和∠7都在直线AB，CD之间，并且都在直线EF的同旁(或右侧)，具有这种位置关系的一对角叫作同旁内角．
同位角、内错角、同旁内角习惯上称为“三线八角”，它们是以角的位置来命名的，是指一个交点中的一个角与另一个交点中的一个角之间的关系，是没有公共顶点的两个角．
平行线判定定理
1．两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行．如图所示，因为∠2＝∠4，所以a∥c.
2．两条直线被第三条直线所截，如果同旁边内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行．如图所示，因为∠4＋∠1＝180°，所以a∥c.
平行线的识别方法有六种：(1)平行线的定义；(2)同位角相等，两直线平行；(3)内错角相等，两直线平行；(4)同旁内角互补，两直线平行；(5)垂直于同一条直线的两条直线互相平行；(6)平行于同一条直线的两条直线互相平行．
内错角、同旁内角的认识
典例1 [2024秋·菏泽期中]如图，∠ABC的一边和∠DEF的一边相交于一点，下列说法错误的是( A )
典例1图
A．∠3和∠E是同位角
B．∠B和∠1是同旁内角
C．∠B和∠4是同位角
D．∠E和∠3是内错角
可直接从截线入手，根据同位角，同旁内角以及内错角的定义进行判断．
正确识图“三线八角”
变式1 [2023春·普陀区期中]如图所示的5个角中，内错角有2对，同旁内角有3对．
变式1图
变式2 如图，根据图形，完成填空．
变式2图
(1)∠3与∠4是同位角，它们是直线_BE与AC被直线BD所截形成的；
(2)∠4与∠8(答案不唯一)是同旁内角，它们是直线AC与DE被直线BD所截形成的；
(3)∠6与∠9是内错角，它们是直线AC与DE被直线BE所截形成的；
(4)在标有数字的九个角中，大小一定相等的角有∠2＝∠6∠5＝∠7．
平行线的判定定理
典例2 数学课上，老师在投影屏上展示了一个如图所示的图形，并鼓励同学们积极思考，添加一个条件，使得DE∥AC.同学们回答完毕之后，老师在投影屏上展示了四位同学的条件，并说明其中一位同学的条件是不符合要求的，则这位同学是( C )
典例2图
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
根据平行线的判定即可．
变式 [2024春·宁波期末]如图，下列说法正确的是( C )
变式图
A．若∠1＝∠2，则DE∥BC
B．若∠2＝∠4，则DE∥BC
C．若∠1＋∠2＝180°，则DE∥BC
D．若∠1＋∠3＝180°，则DE∥BC
1．[2024春·宁波期末]如图所示，与∠1是内错角的是( B )
第1题图
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
2．(多选)[2024春·连州期末]如图，直线a，b被直线c所截，下列说法错误的是( ABD )
第2题图
A．∠1与∠2是内错角
B．∠3与∠4是对顶角
C．∠2与∠3是同旁内角
D．∠1与∠4是同位角
3．[2024春·泰州期中]如图，下列条件中，能判定AB∥CD的是( B )
第3题图
A．∠B＝∠D B．∠1＝∠2
C．∠3＝∠4 D．∠D＋∠BCD＝180°
4．(多选)[2024春·潍坊期中]如图，下列选项中能推出AD∥BC的条件是( ACD )
第4题图
A．∠3＝∠4
B．∠1＝∠2
C．∠4＋∠BCD＝180°，且∠D＝∠4
D．∠3＋∠5＝180°内错角、同旁内角
如图所示，直线AB，CD与EF相交．
1．∠2和∠8都在直线AB，CD ，并且分别在直线EF的 ，具有这种位置关系的一对角叫作 ．
2．∠2和∠7都在直线AB，CD ，并且都在直线EF的 ，具有这种位置关系的一对角叫作 ．
同位角、内错角、同旁内角习惯上称为“三线八角”，它们是以角的位置来命名的，是指一个交点中的一个角与另一个交点中的一个角之间的关系，是没有公共顶点的两个角．
平行线判定定理
1．两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行．如图所示，因为 ，所以a∥c.
2．两条直线被第三条直线所截，如果同旁边内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行．如图所示，因为 ，所以a∥c.
平行线的识别方法有六种：(1)平行线的定义；(2)同位角相等，两直线平行；(3)内错角相等，两直线平行；(4)同旁内角互补，两直线平行；(5)垂直于同一条直线的两条直线互相平行；(6)平行于同一条直线的两条直线互相平行．
内错角、同旁内角的认识
典例1 [2024秋·菏泽期中]如图，∠ABC的一边和∠DEF的一边相交于一点，下列说法错误的是( )
典例1图
A．∠3和∠E是同位角
B．∠B和∠1是同旁内角
C．∠B和∠4是同位角
D．∠E和∠3是内错角
可直接从截线入手，根据同位角，同旁内角以及内错角的定义进行判断．
正确识图“三线八角”
变式1 [2023春·普陀区期中]如图所示的5个角中，内错角有 对，同旁内角有 对．
变式1图
变式2 如图，根据图形，完成填空．
变式2图
(1)∠3与∠4是同位角，它们是直线_ 与 被直线 所截形成的；
(2)∠4与 是同旁内角，它们是直线 与 被直线 所截形成的；
(3)∠6与∠9是 角，它们是直线 与 被直线 所截形成的；
(4)在标有数字的九个角中，大小一定相等的角有 ．
平行线的判定定理
典例2 数学课上，老师在投影屏上展示了一个如图所示的图形，并鼓励同学们积极思考，添加一个条件，使得DE∥AC.同学们回答完毕之后，老师在投影屏上展示了四位同学的条件，并说明其中一位同学的条件是不符合要求的，则这位同学是( )
典例2图
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
根据平行线的判定即可．
变式 [2024春·宁波期末]如图，下列说法正确的是( )
变式图
A．若∠1＝∠2，则DE∥BC
B．若∠2＝∠4，则DE∥BC
C．若∠1＋∠2＝180°，则DE∥BC
D．若∠1＋∠3＝180°，则DE∥BC
1．[2024春·宁波期末]如图所示，与∠1是内错角的是( )
第1题图
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
2．(多选)[2024春·连州期末]如图，直线a，b被直线c所截，下列说法错误的是( )
第2题图
A．∠1与∠2是内错角
B．∠3与∠4是对顶角
C．∠2与∠3是同旁内角
D．∠1与∠4是同位角
3．[2024春·泰州期中]如图，下列条件中，能判定AB∥CD的是( )
第3题图
A．∠B＝∠D B．∠1＝∠2
C．∠3＝∠4 D．∠D＋∠BCD＝180°
4．(多选)[2024春·潍坊期中]如图，下列选项中能推出AD∥BC的条件是( )
第4题图
A．∠3＝∠4
B．∠1＝∠2
C．∠4＋∠BCD＝180°，且∠D＝∠4
D．∠3＋∠5＝180°平行线的概念
当直线AB与CD不相交时，它们没有公共点，也就是直线AB与CD平行，记作“AB∥CD”或“CD∥AB”，读作“AB平行于CD”或“CD平行于AB”．
(1)必须在同一平面内；(2)必须是不相交的直线．
平行线的画法
画平行线的工具是直尺、三角板．
具体方法：一“放”；二“靠”；三“推”；四“画”．
平行线基本事实Ⅰ和平行线的传递性
基本事实Ⅰ：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
平行线的传递性：平行于同一条直线的两条直线平行．
在平行线的基本性质中，已知条件中的点必须在已知直线外，而垂直的性质中，已知条件中的点可在直线外，也可在直线上．
同位角和平行线的基本事实Ⅱ
1．同位角
如图1所示，直线AB，CD与EF相交．
∠1和∠2分别在直线AB，CD同侧(或上方)，并且都在直线EF的同旁(或右侧)，具有这种位置关系的一对角叫做同位角．图中的∠4与∠5，∠3与∠8，∠7与∠6，也是同位角．
图1 图2
2．平行线基本事实Ⅱ
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．如图2所示，因为∠1＝∠3，所以a∥c.
平行线的画法
典例1 过点P画AB的平行线，三角尺的放法正确的是( D )
过直线外一点画平行线的方法：一“放”；二“靠”；三“推”；四“画”．
变式 如图所示，在∠AOB内有一点P.
变式图
(1)过P画l1∥OA；
(2)过P画l2∥OB；
(3)用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？
解：(1)(2)如图所示，
(3)l1与l2夹角有两个∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2＋∠O＝180°，所以l1和l2的夹角与∠O相等或互补．
变式图
平行线基本事实Ⅰ与传递性
典例2 若P，Q是直线AB外不重合的两点，则下列说法不正确的是( C )
A．直线PQ可能与直线AB垂直
B．直线PQ可能与直线AB平行
C．过点P的直线一定能与直线AB相交
D．过点Q只能画出一条直线与直线AB平行
解析：在同一平面内，两直线的位置关系为平行或相交，垂直为相交的一种特殊情况，故A，B正确．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故C错误，D正确．
根据平行线的基本性质判断即可．
变式 如果a∥b，b∥c，那么a∥c，这个推理的依据是( D )
A．等量代换
B．平行线的定义
C．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
D．平行于同一直线的两直线平行
同位角
典例3 [2024春·宁波期中]如图，与∠1构成同位角的是( B )
典例3图
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
根据同位角的定义判断即可．
变式 [2024春·宜昌期末]下列图形中，∠1与∠2是同位角的是( A )
平行线基本事实Ⅱ
典例4 [2024春·榆林期末]如图，点D，F分别在△ABC的边AB，AC上，过点D作DE⊥BC于点E，过点F作FG⊥BC于点G，点H在BD上，连接HE，∠1＝∠2，试说明HE∥AC.
典例4图
根据DE⊥BC，FG⊥BC，证出∠BEH＝∠C，即可求解；
解：因为DE⊥BC，FG⊥BC，
所以∠DEB＝∠CGF＝90°，
所以∠1＋∠BEH＝∠2＋∠C＝90°.
因为∠1＝∠2，
所以∠BEH＝∠C，
所以HE∥AC.
变式 [2023秋·沧州期末]如图，下列推理中，正确的是( A )
变式图
A．因为∠2＝∠4，所以AE∥CF
B．因为∠1＝∠3，所以AE∥CF
C．因为∠2＝∠4，所以AB∥CD
D．因为∠1＝∠3，所以AB∥CD
1．[2023秋·达州期中]如图中与∠1是同位角的有( C )
第1题图
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．[2024秋·聊城期中]若直线a，b，c，d有下列关系，则推理正确的是( C )
A．因为a∥b，b∥c，所以c∥d
B．因为a∥c，b∥d，所以c∥d
C．因为a∥b，a∥c，所以b∥c
D．因为a∥b，c∥d，所以a∥c
3．[2023春·双牌县期末]下列说法正确的有②④(填序号)．
①同位角相等
②一条直线有无数条平行线
③在同一平面内，两条不相交的线段是平行线
④在同一平面内，如果a∥b，b∥c，则a∥c
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行
4．作图题
在如图所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺作图．
第4题图
(1)经过点P，画线段PQ平行于AB所在直线；
(2)过点C，画线段CN垂直于CB所在直线．
解：(1)如图，线段PQ即为所求(答案不唯一)；
(2)如图，线段CN即为所求．
第4题图
5．如图，已知∠2＝∠3，求证：AB∥CD.
第5题图
证明：
因为∠2＝∠3(已知)，
又因为∠1＝∠3(对顶角相等)，
所以∠2＝∠1(等量代换)，
所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
