三元一次方程组的概念
含有三个未知数的一次方程组，叫作 方程组．
三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的基本思路也是 ．通过消元，把三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程，再逐一解出未知数的值．
消元的基本方法有代入消元法和加减消元法．
三元一次方程组
典例1 [2023春·遵化市期中]下列是三元一次方程组的是( )
A. B.
C. D.
利用三元一次方程组的定义逐项判断即可得到答案．
变式 若(a＋1)x＋5yb＋1＋2z2－|a|＝10是关于x，y，z的三元一次方程，则( )
A．a＝1，b＝0 B．a＝－1，b＝0
C．a＝±1，b＝0 D．a＝0，b＝0
三元一次方程组的解法
典例2 [2024春·闵行区期末]解方程组：
变式 [2024春·徐汇期末]解方程组：
三元一次方程组的应用
典例3 甲地到乙地全程是25 km，一段上坡、一段平路、一段下坡．如果保持上坡每小时行3 km，平路每小时行4 km，下坡每小时行5 km，那么从甲地到乙地需行6 h，从乙地到甲地需行7.2 h．求从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程各是多少千米？
变式 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需20元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需27元；若购买甲、乙、丙各1件，共需要 元．
1．[2024春·梁平区期末]解三元一次方程组如果消掉未知数z，则应对方程组变形为( )
A．①＋③，①×2－②
B．①＋③，③×2＋②
C．②－①，②－③
D．①－②，①×2－③
2．[2024春·仁寿县期中]下列四组数值中，哪一组是方程组的解( )
A. B.
C. D.
3．[2024春·南安市期中]解方程组时，要使解法较为简便，应( )
A．先消去x B．先消去y
C．先消去z D．先消去常数
4．[2024春·日照期末]某校开学典礼需要购买一、二、三等奖奖品若干，若购买一等奖奖品1件，二等奖奖品4件，三等奖奖品4件，共需250元；若购买一等奖奖品2件，二等奖奖品2件，三等奖奖品8件，共需320元．则购买一件二等奖奖品需要的钱数是( )
A．20元 B．30元 C．40元 D．50元
5．[2024春·宝山区期末]解方程组三元一次方程组的概念
含有三个未知数的一次方程组，叫作三元一次方程组．
三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的基本思路也是消元．通过消元，把三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程，再逐一解出未知数的值．
消元的基本方法有代入消元法和加减消元法．
三元一次方程组
典例1 [2023春·遵化市期中]下列是三元一次方程组的是( D )
A. B.
C. D.
利用三元一次方程组的定义逐项判断即可得到答案．
变式 若(a＋1)x＋5yb＋1＋2z2－|a|＝10是关于x，y，z的三元一次方程，则( A )
A．a＝1，b＝0 B．a＝－1，b＝0
C．a＝±1，b＝0 D．a＝0，b＝0
三元一次方程组的解法
典例2 [2024春·闵行区期末]解方程组：
利用消元思想，将三元一次方程组先转化为二元一次方程组，再解二元一次方程组．观察方程组各未知数系数，消y比较简单．
解：①＋②，得x＋z＝2④，②＋③，得5x－8z＝36⑤，④×5－⑤，得13z＝－26，解得z＝－2，把z＝－2代入④，得x＝4，把x＝4，z＝－2代入②，得y＝0.所以原方程组的解是
变式 [2024春·徐汇期末]解方程组：
解：①×2＋③，得6x－3y＝－3④，①×7＋②，得10x－2y＝4⑤，④×2－⑤×3，得－18x＝－18，解得x＝1，把x＝1代入④得y＝3，把x＝1，y＝3代入①得z＝－1，故方程组的解为
三元一次方程组的应用
典例3 甲地到乙地全程是25 km，一段上坡、一段平路、一段下坡．如果保持上坡每小时行3 km，平路每小时行4 km，下坡每小时行5 km，那么从甲地到乙地需行6 h，从乙地到甲地需行7.2 h．求从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程各是多少千米？
设从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程分别是x km，y km，z km.根据路程÷速度＝时间，列出方程组求解即可．
解：设从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程分别是x km，y km，z km.依题意，得
答：从甲地到乙地时，上坡是6 km，平路是4 km，下坡是15 km.
变式 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需20元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需27元；若购买甲、乙、丙各1件，共需要6元．
解析：设购甲、乙、丙三种货物各1件，分别需要x元，y元，z元，根据题意，得，①×3－②×2，得3(3x＋7y＋z)－2(4x＋10y＋z)＝20×3－27×2，整理，得x＋y＋z＝6.
1．[2024春·梁平区期末]解三元一次方程组如果消掉未知数z，则应对方程组变形为( C )
A．①＋③，①×2－②
B．①＋③，③×2＋②
C．②－①，②－③
D．①－②，①×2－③
2．[2024春·仁寿县期中]下列四组数值中，哪一组是方程组的解( B )
A. B.
C. D.
3．[2024春·南安市期中]解方程组时，要使解法较为简便，应( B )
A．先消去x B．先消去y
C．先消去z D．先消去常数
4．[2024春·日照期末]某校开学典礼需要购买一、二、三等奖奖品若干，若购买一等奖奖品1件，二等奖奖品4件，三等奖奖品4件，共需250元；若购买一等奖奖品2件，二等奖奖品2件，三等奖奖品8件，共需320元．则购买一件二等奖奖品需要的钱数是( B )
A．20元 B．30元 C．40元 D．50元
5．[2024春·宝山区期末]解方程组
解：①－③×2，得5y－3z＝－11④，②－③，得y－2z＝－5⑤，联立④，⑤得解得把代入②，得x＋1－2＝0，解得x＝1，故原方程组的解为
