多项式乘多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 分别乘另一个多项式的 ，再把所得的积相加．例如(a＋b)(m＋n)＝ ．两个多项式相乘的结果若有同类项，应 ，使结果化为最简形式．
(1)多项式乘多项式的法则是将原式转化为单项式乘多项式，再利用单项式与多项式相乘的法则求出，因此两个多项式相乘只要把其中一个多项式看作单项式即可；(2)在计算时，要防止结果“漏项”．在没有合并同类项之前，积的项数应该是这两个多项式项数的积；(3)一定要注意确定积中各项的符号，多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号．
多项式乘多项式
典例1 [2024春·济南期末]计算：(3x－1)(x＋2)．
根据多项式乘以多项式的运算法则进行计算即可求解．
变式 计算：(1)(2a－3b)(2a＋3b＋4)；
(2)(3a－1)(a＋1)＋(2a＋3)(2a－7)．
整式的化简求值
典例2 [2023春·聊城期中]先化简，再求值：2(x＋1)(x－2)－2(2＋a)(3－a)，其中，a＝－3，x＝1.
变式 (1)先化简，再求值：(x＋2y)(2x＋y)－(3x－y)(x＋2y)，其中x＝9，y＝；
(2)[2024春·海淀区期中]已知x2＋x－4＝0，求(x＋2)(3x－1)－2x(x＋2)的值．
含有参数的多项式乘法
典例3 [2024春·菏泽期中]已知(x2＋mx－3)(2x－n)的展开式中不含x2项，常数项是6.若a3＝m，b3＝n，求(a＋b)(a2－ab＋b2)的值．
根据多项式乘以多项式法则计算(x2＋mx－3)(2x－n)，然后令x的二次项的系数为0，常数项为6，即可求解m，n的值，然后再对所求代数式进行化简求值即可．
变式 [2024·罗江区模拟]如果计算(2－nx＋3x2＋mx3)(－x2＋2x)的结果不含x3项，那么n的值为( )
A．3 B．0 C．－6 D.
1．[2024春·临沂期末]若(x－3)(x－5)＝x2＋mx＋15，则m的值为( )
A．－8 B．－5 C．－2 D．2
2．[2024春·烟台期中]若a2－3a－1＝0，则(a＋2)(a－5)的值为( )
A．－11 B．9 C．－9 D．不确定
3．[2024春·运城期末]学校计划在一块长a米，宽b米的矩形荒地上建造一个花园，要求留出两条通道．现有两个设计图，通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是( )
第3题图
A．a(b－x)＝ab－ax
B．b(a－x)＝ab－bx
C．(a－x)(b－x)＝ab－ax－bx－x2
D．(a－x)(b－x)＝ab－ax－bx＋x2
4．[2024春·崇左期中]如图，甲、乙、丙、丁四名同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①(2a＋b)(m＋n) ②m(2a＋b)＋n(2a＋b) ③2a(m＋n)＋b(m＋n) ④2am＋2an＋bm＋bn.你认为正确的有( )
第4题图
A．①② B．①③
C．①②③ D．①②③④
5．[2024·长沙一模]求代数式x(2x－1)－2(x－2)(x＋1)的值，其中x＝2 021.单项式与单项式相乘的法则
单项式与单项式相乘，把它们的 、相同字母的幂分别 ．其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．
在进行单项式的乘法运算时，应注意以下几点：
(1)确定积的系数：积的系数等于各项系数的积；
(2)确定相同字母：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
(3)确定单独字母：只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；
(4)单项式与单项式相乘结果仍是单项式．
单项式与多项式相乘的法则
单项式与多项式相乘，先将单项式分别乘 ，再把所得的积 ．
单项式与多项式的乘法法则是将单项式与多项式的乘法转化成了单项式的乘法，这种化未知为已知、化新问题为老问题、化不熟悉的问题为熟悉的问题的思想，我们称为化归思想．
另外，由法则可知
(1)单项式与多项式相乘的结果是多项式；
(2)结果的项数与原多项式的项数相等；
(3)每一项都是单项式与多项式中相应的项的积．
因此，在进行单项式与多项式的乘法运算时，首先要分清多项式的项，注意其每一项都包括它前面的符号．
单项式乘单项式
典例1 [2023·陕西]计算6xy2·(－x3y3)＝( )
A．3x4y5 B．－3x4y5
C．3x3y6 D．－3x3y6
根据单项式乘单项式法则进行计算，先确定积的系数，再确定相同字母，最后确定单独字母．
变式1 [2024·合肥一模]计算(－a2b)3·(－b)2的结果是( )
A．a6b6 B．－a6b6 C．a6b5 D．－a6b5
变式2 计算：
(1)(－2ab2)2·(－a2c)·(－3abn)；
(2)(a－b)2·6xy·(b－a)3·xy2.
单项式乘多项式
典例2 [2024·西安模拟]计算(－3x)·(2x2－5x－1)的结果是( )
A．－6x3－15x2－3x B．－6x3＋15x2＋3x
C．－6x3＋15x2 D．－6x3＋15x2－1
变式 [2024春·永州期末]先化简，再求值：2x(x2－x＋1)－x(2x2＋2x－3)，其中x＝1.
1．[2024·兰州]计算2a(a－1)－2a2＝( )
A．a B．－a
C．2a D．－2a
2．[2024春·济宁期末]计算3x2·2x2的结果是( )
A．5x3 B．5x4
C．6x3 D．6x4
3．计算(－3x)2·2x正确的是( )
A．6x3 B．12x3
C．18x3 D．－12x3
4．下列计算错误的是( )
A．3x2·2x3＝6x5
B．－ac2·(－7ab2)＝7ab2c2
C．5x2y·(－2xy5)＝－10x3y6
D．34ax·2by＝68abxy
5．计算：
(1)－8a2b·(－a3b2)·b2；
(2)(2×103)×(3×104)×(－13×105)；
(3)(－2ab)(3a2－2ab－b2)；
(4)3xy[6xy－3(xy－x2y)]．单项式与单项式相乘的法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘．其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．
在进行单项式的乘法运算时，应注意以下几点：
(1)确定积的系数：积的系数等于各项系数的积；
(2)确定相同字母：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
(3)确定单独字母：只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；
(4)单项式与单项式相乘结果仍是单项式．
单项式与多项式相乘的法则
单项式与多项式相乘，先将单项式分别乘多项式的各项，再把所得的积相加．
单项式与多项式的乘法法则是将单项式与多项式的乘法转化成了单项式的乘法，这种化未知为已知、化新问题为老问题、化不熟悉的问题为熟悉的问题的思想，我们称为化归思想．
另外，由法则可知
(1)单项式与多项式相乘的结果是多项式；
(2)结果的项数与原多项式的项数相等；
(3)每一项都是单项式与多项式中相应的项的积．
因此，在进行单项式与多项式的乘法运算时，首先要分清多项式的项，注意其每一项都包括它前面的符号．
单项式乘单项式
典例1 [2023·陕西]计算6xy2·(－x3y3)＝( B )
A．3x4y5 B．－3x4y5
C．3x3y6 D．－3x3y6
根据单项式乘单项式法则进行计算，先确定积的系数，再确定相同字母，最后确定单独字母．
变式1 [2024·合肥一模]计算(－a2b)3·(－b)2的结果是( D )
A．a6b6 B．－a6b6 C．a6b5 D．－a6b5
变式2 计算：
(1)(－2ab2)2·(－a2c)·(－3abn)；
(2)(a－b)2·6xy·(b－a)3·xy2.
解：(1)原式＝4a2b4·(－a2c)·(－3abn)
＝[4×(－1)×(－3)]·(a2·a2·a)·(b4·bn)·c
＝12a5b4＋nc；
(2)原式＝[(b－a)2·(b－a)3]·(6xy·xy2)
＝(b－a)5x2y3.
单项式乘多项式
典例2 [2024·西安模拟]计算(－3x)·(2x2－5x－1)的结果是( B )
A．－6x3－15x2－3x B．－6x3＋15x2＋3x
C．－6x3＋15x2 D．－6x3＋15x2－1
根据单项式乘以多项式的法则求解作答即可．
计算时一要注意符号问题，二要注意不要漏乘．
变式 [2024春·永州期末]先化简，再求值：2x(x2－x＋1)－x(2x2＋2x－3)，其中x＝1.
解：2x(x2－x＋1)－x(2x2＋2x－3)
＝2x3－2x2＋2x－2x3－2x2＋3x
＝－4x2＋5x，
当x＝1时，原式＝－4＋5＝1.
1．[2024·兰州]计算2a(a－1)－2a2＝( D )
A．a B．－a
C．2a D．－2a
2．[2024春·济宁期末]计算3x2·2x2的结果是( D )
A．5x3 B．5x4
C．6x3 D．6x4
3．计算(－3x)2·2x正确的是( C )
A．6x3 B．12x3
C．18x3 D．－12x3
4．下列计算错误的是( B )
A．3x2·2x3＝6x5
B．－ac2·(－7ab2)＝7ab2c2
C．5x2y·(－2xy5)＝－10x3y6
D．34ax·2by＝68abxy
5．计算：
(1)－8a2b·(－a3b2)·b2；
(2)(2×103)×(3×104)×(－13×105)；
(3)(－2ab)(3a2－2ab－b2)；
(4)3xy[6xy－3(xy－x2y)]．
解：(1)原式＝－8×(－1)×·(a2·a3)·(b·b2·b2)＝2a5b5；
(2)原式＝－78×1012＝－7.8×1013；
(3)原式＝－6a3b＋4a2b2＋2ab3；
(4)原式＝9x2y2＋x3y2.多项式乘多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．例如(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn．两个多项式相乘的结果若有同类项，应合并同类项，使结果化为最简形式．
(1)多项式乘多项式的法则是将原式转化为单项式乘多项式，再利用单项式与多项式相乘的法则求出，因此两个多项式相乘只要把其中一个多项式看作单项式即可；(2)在计算时，要防止结果“漏项”．在没有合并同类项之前，积的项数应该是这两个多项式项数的积；(3)一定要注意确定积中各项的符号，多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号．
多项式乘多项式
典例1 [2024春·济南期末]计算：(3x－1)(x＋2)．
根据多项式乘以多项式的运算法则进行计算即可求解．
解：原式＝3x2－x＋6x－2＝3x2＋5x－2.
变式 计算：(1)(2a－3b)(2a＋3b＋4)；
(2)(3a－1)(a＋1)＋(2a＋3)(2a－7)．
解：(1)原式＝4a2＋6ab＋8a－6ab－9b2－12b
＝4a2＋8a－12b－9b2；
(2)原式＝3a2＋3a－a－1＋4a2－14a＋6a－21
＝7a2－6a－22.
整式的化简求值
典例2 [2023春·聊城期中]先化简，再求值：2(x＋1)(x－2)－2(2＋a)(3－a)，其中，a＝－3，x＝1.
先化简再代入求值．
解：2(x＋1)(x－2)－2(2＋a)(3－a)
＝2(x2－x－2)－2(6＋a－a2)
＝2x2－2x－4－12－2a＋2a2
＝2x2－2x－16－2a＋2a2，当a＝－3，x＝1时，
原式＝2×12－2×1－16－2×(－3)＋2×(－3)2
＝2－2－16＋6＋18＝8.
变式 (1)先化简，再求值：(x＋2y)(2x＋y)－(3x－y)(x＋2y)，其中x＝9，y＝；
(2)[2024春·海淀区期中]已知x2＋x－4＝0，求(x＋2)(3x－1)－2x(x＋2)的值．
解：(1)(x＋2y)(2x＋y)－(3x－y)(x＋2y)
＝2x2＋4xy＋xy＋2y2－(3x2－xy＋6xy－2y2)
＝2x2＋4xy＋xy＋2y2－3x2＋xy－6xy＋2y2
＝－x2＋4y2，
当x＝9，y＝时，原式＝－92＋4×()2＝－81＋4×＝－81＋1＝－80，
(2)因为x2＋x－4＝0，所以x2＋x＝4，
(x＋2)(3x－1)－2x(x＋2)
＝3x2－x＋6x－2－2x2－4x
＝x2＋x－2
＝4－2＝2.
含有参数的多项式乘法
典例3 [2024春·菏泽期中]已知(x2＋mx－3)(2x－n)的展开式中不含x2项，常数项是6.若a3＝m，b3＝n，求(a＋b)(a2－ab＋b2)的值．
根据多项式乘以多项式法则计算(x2＋mx－3)(2x－n)，然后令x的二次项的系数为0，常数项为6，即可求解m，n的值，然后再对所求代数式进行化简求值即可．
解：(x2＋mx－3)(2x－n)
＝2x3＋2mx2－6x－nx2－mnx＋3n
＝2x3＋(2m－n)x2－(mn＋6)x＋3n，
由于展开式中不含x2项，常数项是6，
则2m－n＝0且3n＝6，解得m＝1，n＝2；
所以(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3＝a3＋b3，
因为a3＝m＝1，b3＝n＝2，所以原式＝1＋2＝3.
变式 [2024·罗江区模拟]如果计算(2－nx＋3x2＋mx3)(－x2＋2x)的结果不含x3项，那么n的值为( C )
A．3 B．0 C．－6 D.
1．[2024春·临沂期末]若(x－3)(x－5)＝x2＋mx＋15，则m的值为( A )
A．－8 B．－5 C．－2 D．2
2．[2024春·烟台期中]若a2－3a－1＝0，则(a＋2)(a－5)的值为( C )
A．－11 B．9 C．－9 D．不确定
3．[2024春·运城期末]学校计划在一块长a米，宽b米的矩形荒地上建造一个花园，要求留出两条通道．现有两个设计图，通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是( D )
第3题图
A．a(b－x)＝ab－ax
B．b(a－x)＝ab－bx
C．(a－x)(b－x)＝ab－ax－bx－x2
D．(a－x)(b－x)＝ab－ax－bx＋x2
4．[2024春·崇左期中]如图，甲、乙、丙、丁四名同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①(2a＋b)(m＋n) ②m(2a＋b)＋n(2a＋b) ③2a(m＋n)＋b(m＋n) ④2am＋2an＋bm＋bn.你认为正确的有( D )
第4题图
A．①② B．①③
C．①②③ D．①②③④
5．[2024·长沙一模]求代数式x(2x－1)－2(x－2)(x＋1)的值，其中x＝2 021.
解：x(2x－1)－2(x－2)(x＋1)
＝2x2－x－2(x2＋x－2x－2)
＝2x2－x－2x2＋2x＋4
＝x＋4.
当x＝2 021时，原式＝2 021＋4＝2 025.
