公因式
在一个多项式中，各项都含有的相同同式叫作这个多项式中各项的公因式．
例如，多项式2a2b＋ab2的公因式是ab．
多项式的系数都是整数时，公因式的系数是各项系数的最大公约数，公因式的字母取各项中相同字母的最低次幂．
提公因式法因式分解
一般地，如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式化成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法．
(1)提公因式法的依据是乘法分配律；(2)用提公因式法进行因式分解，要把各项的公因式一次性提出．若有一项被全部提出，则括号内该项为1，不能漏掉；(3)提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要改变符号．
公因式
典例1 [2023春·威海期末]多项式3x2y3－12x2y4－6x2y2的公因式是( C )
A．x2y3 B．3x2y3 C．3x2y2 D．3xy
确定各项均含有的相同因式即可．
变式 [2024春·济宁期末]下列各组中的两个代数式，没有公因式的一组是( B )
A．5xy和xy5 B．5x－y和x＋5y
C．5x－5y和6x－6y D．5x和15y
用提公因式法进行因式分解
典例2 [2024春·酒泉期中]把下列各式分解因式．
(1)－14abc－7ab＋49ab2c；
(2)x(x－y)2－y(y－x)．
(1)提取公因式－7ab分解因式即可；
(2)提取公因式(x－y)分解因式即可．
解：(1)原式＝－7ab(2c＋1－7bc)；
(2)原式＝(x－y)[x(x－y)＋y]
＝(x－y)(x2－xy＋y)．
变式 因式分解：
(1)2y＋3xy；(2)2(a＋2)＋3b(a＋2)；
(3)3x2－6x＋12xy；(4)(x－y)3＋4x(x－y)2.
解：(1)原式＝y(2＋3x)；
(2)原式＝(a＋2)(2＋3b)；
(3)原式＝3x(x－2＋4y)；
(4)原式＝(x－y)2(x－y＋4x)＝(x－y)2(5x－y)．
1．[2024春·威海期末]在多项式8a3b2－4a3bc中，各项的公因式是( A )
A．4a3b B．a3b C．4a3 D．－a3
2．[2024春·济南期末]利用因式分解计算2 023×2 024－2 0232( B )
A．1 B．2 023 C．2 024 D．2 0232
3．[2024·徐州]若mn＝2，m－n＝1，则代数式m2n－mn2的值是2．
4．把下列各式分解因式：
(1)－5a2b3＋20ab2－5ab；
(2)(x＋y)(x－y)－(x＋y)2；
(3)8a(x－y)2－4(y－x)3；
(4)x(x2－xy)－(4x2－4xy)．
解：(1)－5a2b3＋20ab2－5ab
＝－5ab(ab2－4b＋1)；
(2)(x＋y)(x－y)－(x＋y)2
＝(x＋y)(x－y－x－y)
＝－2y(x＋y)；
(3)8a(x－y)2－4(y－x)3
＝8a(x－y)2＋4(x－y)3
＝4(x－y)2(2a＋x－y)；
(4)x(x2－xy)－(4x2－4xy)
＝x2(x－y)－4x(x－y)
＝x(x－y)(x－4)．公因式
在一个多项式中，各项都含有的相同同式叫作这个多项式中各项的公因式．
例如，多项式2a2b＋ab2的公因式是 ．
多项式的系数都是整数时，公因式的系数是各项系数的最大公约数，公因式的字母取各项中相同字母的最低次幂．
提公因式法因式分解
一般地，如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式化成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法．
(1)提公因式法的依据是乘法分配律；(2)用提公因式法进行因式分解，要把各项的公因式一次性提出．若有一项被全部提出，则括号内该项为1，不能漏掉；(3)提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要改变符号．
公因式
典例1 [2023春·威海期末]多项式3x2y3－12x2y4－6x2y2的公因式是( )
A．x2y3 B．3x2y3 C．3x2y2 D．3xy
变式 [2024春·济宁期末]下列各组中的两个代数式，没有公因式的一组是( )
A．5xy和xy5 B．5x－y和x＋5y
C．5x－5y和6x－6y D．5x和15y
用提公因式法进行因式分解
典例2 [2024春·酒泉期中]把下列各式分解因式．
(1)－14abc－7ab＋49ab2c；
(2)x(x－y)2－y(y－x)．
变式 因式分解：
(1)2y＋3xy；(2)2(a＋2)＋3b(a＋2)；
(3)3x2－6x＋12xy；(4)(x－y)3＋4x(x－y)2.
1．[2024春·威海期末]在多项式8a3b2－4a3bc中，各项的公因式是( )
A．4a3b B．a3b C．4a3 D．－a3
2．[2024春·济南期末]利用因式分解计算2 023×2 024－2 0232( )
A．1 B．2 023 C．2 024 D．2 0232
3．[2024·徐州]若mn＝2，m－n＝1，则代数式m2n－mn2的值是 ．
4．把下列各式分解因式：
(1)－5a2b3＋20ab2－5ab；
(2)(x＋y)(x－y)－(x＋y)2；
(3)8a(x－y)2－4(y－x)3；
(4)x(x2－xy)－(4x2－4xy)．
