三角形的内角和
1．三角形的内角和等于180°.
2．直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形．
三角形的外角
1．定义：由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角．
2．性质：(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；(2)三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．
性质(1)可用来进行角的计算或说明一个角等于几个角的和，性质(2)主要用来说明角的不等关系．
三角形的三边关系
三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
三角形的三边关系是判断三条线段能否组成三角形的依据，只有三条线段的长能同时满足上述两个条件，它们才可以构成一个三角形．
有关三角形角的计算
典例1 如图，在△ABC中，AD为∠CAB的平分线，BE⊥AC，∠C＝70°，∠ABC＝48°，则∠3的度数为( A )
典例1图
A．59° B．60° C．56° D．22°
根据三角形的内角和、垂线、角平分线的定义或性质求解即可．
变式1 [2023秋·黔西南州期末]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝∠BCD，则△BDC是( C )
变式1图
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
变式2 [2024春·烟台期中]在△ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A＋∠B还大30°.试判断△ABC的形状．
解：设∠B＝x°，则∠A＝2x°，∠C＝2x°＋x°＋30°，
所以x°＋2x°＋2x°＋x°＋30°＝180°，
解得x＝25，
所以∠A＝50°，∠B＝25°，∠C＝105°，
故△ABC是钝角三角形．
三角形外角的性质应用
典例2 [2024春·文山州期末]如图，∠BCD是△ABC的外角，∠A＝54°，∠BCD＝122°，则∠B的度数为( D )
典例2图
A．26° B．36° C．64° D．68°
利用外角性质∠BCD＝∠A＋∠B，代入已知值求解即可．
变式 如图，在△ABC中，AN平分∠BAC交BC于点N，∠B＝50°，∠ANC＝80°.求∠C的度数．
变式图
解：因为∠B＝50°，∠ANC＝80°，
所以∠BAN＝∠ANC－∠B＝80°－50°＝30°，
因为AN平分∠BAC，
所以∠BAC＝2∠BAN＝60°，
所以∠C＝180°－∠B－∠BAC＝180°－50°－60°＝70°.
三角形的外角的推论
典例3 [2024春·武汉期中]下列说法正确的是( D )
A．三角形的一个外角等于任意两个内角的和
B．三角形的一个外角小于它的一个内角
C．三角形的一个外角大于它的相邻的内角
D．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
根据三角形的外角与三角形的内角的关系逐一判断即可求解．
变式1 一个三角形的三个外角之比为4∶2∶3，这个三角形一定是( B )
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．等腰三角形
变式2 如图，D是△ABC的边AC上一点，E为BD上一点，则∠A，∠1，∠2之间的关系正确的是( B )
变式2图
A．∠A>∠1>∠2 B．∠2>∠1>∠A
C．∠1>∠2>∠A D．无法确定
三角形的三边关系
典例4 [2023·盐城]下列每组数分别表示3根小木棒的长度(单位cm)，其中能搭成一个三角形的是( D )
A．5，7，12 B．7，7，15
C．6，9，16 D．6，8，12
能否组成三角形的简便方法看较小的两个数的和能否大于第三个数．
变式 已知a，b，c是△ABC的三边，a＝4，b＝6，若三角形的周长是小于16的偶数．判断△ABC的形状．
解：因为a，b，c是△ABC的三边，a＝4，b＝6，
所以2＜c＜10，
因为三角形的周长是小于16的偶数，
所以2＜c＜6，所以c＝4，
当c＝4时，△ABC的形状是等腰三角形．
1．下列说法正确的是( D )
A．三角形的外角大于它的内角
B．三角形的一个外角等于它的两个内角和
C．三角形的外角和是180°
D．三角形的一个内角小于与它不相邻的外角
2．[2024春·永川区期末]在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝40°，∠ACD＝125°，则∠BAC的度数是( D )
A．25° B．35° C．55° D．85°
3．[2024春·烟台期中]一副三角板叠放在一起，则图中∠α的度数是( D )
第3题图
A．30° B．25° C．20° D．15°
4．[2024春·江北区期末]下列长度的三条线段首尾顺次相接，能构成三角形的是( A )
A．1 cm，2 cm，2 cm B．2 cm，2 cm，4 cm
C．3 cm，4 cm，8 cm D．6 cm，8 cm，16 cm
5．三角形的两边长为2和5，且第三边为偶数，则第三边长为4或6．
6．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数为360°．
第6题图
7．[2024春·烟台期末]如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A＝80°，∠B＝40°，则∠ADC的度数是70°．
第7题图三角形的内角和
1．三角形的内角和等于180°.
2．直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形．
三角形的外角
1．定义：由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角．
2．性质：(1)三角形的一个外角等于 ；(2)三角形的一个外角 与它不相邻的任意一个内角．
性质(1)可用来进行角的计算或说明一个角等于几个角的和，性质(2)主要用来说明角的不等关系．
三角形的三边关系
三角形的任意两边之和 第三边，任意两边之差 第三边．
三角形的三边关系是判断三条线段能否组成三角形的依据，只有三条线段的长能同时满足上述两个条件，它们才可以构成一个三角形．
有关三角形角的计算
典例1 如图，在△ABC中，AD为∠CAB的平分线，BE⊥AC，∠C＝70°，∠ABC＝48°，则∠3的度数为( )
典例1图
A．59° B．60° C．56° D．22°
变式1 [2023秋·黔西南州期末]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝∠BCD，则△BDC是( )
变式1图
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
变式2 [2024春·烟台期中]在△ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A＋∠B还大30°.试判断△ABC的形状．
三角形外角的性质应用
典例2 [2024春·文山州期末]如图，∠BCD是△ABC的外角，∠A＝54°，∠BCD＝122°，则∠B的度数为( )
典例2图
A．26° B．36° C．64° D．68°
变式 如图，在△ABC中，AN平分∠BAC交BC于点N，∠B＝50°，∠ANC＝80°.求∠C的度数．
变式图
三角形的外角的推论
典例3 [2024春·武汉期中]下列说法正确的是( )
A．三角形的一个外角等于任意两个内角的和
B．三角形的一个外角小于它的一个内角
C．三角形的一个外角大于它的相邻的内角
D．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
变式1 一个三角形的三个外角之比为4∶2∶3，这个三角形一定是( )
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．等腰三角形
变式2 如图，D是△ABC的边AC上一点，E为BD上一点，则∠A，∠1，∠2之间的关系正确的是( )
变式2图
A．∠A>∠1>∠2 B．∠2>∠1>∠A
C．∠1>∠2>∠A D．无法确定
三角形的三边关系
典例4 [2023·盐城]下列每组数分别表示3根小木棒的长度(单位cm)，其中能搭成一个三角形的是( )
A．5，7，12 B．7，7，15
C．6，9，16 D．6，8，12
1．下列说法正确的是( )
A．三角形的外角大于它的内角
B．三角形的一个外角等于它的两个内角和
C．三角形的外角和是180°
D．三角形的一个内角小于与它不相邻的外角
2．[2024春·永川区期末]在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝40°，∠ACD＝125°，则∠BAC的度数是( )
A．25° B．35° C．55° D．85°
3．[2024春·烟台期中]一副三角板叠放在一起，则图中∠α的度数是( )
第3题图
A．30° B．25° C．20° D．15°
4．[2024春·江北区期末]下列长度的三条线段首尾顺次相接，能构成三角形的是( )
A．1 cm，2 cm，2 cm B．2 cm，2 cm，4 cm
C．3 cm，4 cm，8 cm D．6 cm，8 cm，16 cm
5．三角形的两边长为2和5，且第三边为偶数，则第三边长为 ．
6．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数为 ．
第6题图
7．[2024春·烟台期末]如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A＝80°，∠B＝40°，则∠ADC的度数是 ．
第7题图三角形的有关概念
1．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形．组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角．
2．三角形的表示方法：“三角形”用符号“△”表示，顶点是A，B，C的三角形，点是大写字母，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，三条边分别表示为AB，AC，BC，三个角分别表示为∠A，∠B，∠C.
三角形边的特征：①不在同一条直线上；②三条线段；③首尾顺次连接．
三角形的分类
1．按“角的大小”分类
①锐角三角形：三个角都是锐角的三角形．
②直角三角形：有一个角是直角的三角形．直角三角形表示的符号为“Rt△”．
③钝角三角形：有一个角是钝角的三角形．
2．按“边是否相等”分类
①三边都不相等的三角形．
②有两边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的两边叫作等腰三角形的腰，另一条边叫作底边，底边和腰的夹角叫作底角，两腰的夹角叫作顶角．
③等边三角形是三条边都相等的三角形，是特殊的等腰三角形，又叫正三角形．
三角形的有关概念
典例1 (1)如图所示，图中共有6个三角形，它们分别是△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC；
典例1图
(2)以AD为边的三角形有△ABD，△ADE，△ADC；
(3)∠AED是△ADE和△ABE的内角．
根据三角形的定义进行解答，数三角形时先确定一边．
变式 如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，连接BE，AD交于点F，问：
变式图
(1)图中共有多少个三角形？请把它们表示出来；
(2)△BDF的三个顶点是什么？三条边是什么？
(3)以AB为边的三角形有哪些？
(4)以F为顶点的三角形有哪些？
解：(1)图中共有8个三角形，它们是△ABC，△ABF，△ABE，△ABD，△ACD，△AEF，△BDF，△BEC；
(2)△BDF的三个顶点分别为B，D，F；三条边分别为BD，DF，BF；
(3)以AB为边的三角形为△ABC，△ABF，△ABE，△ABD；
(4)以F为顶点的三角形为△ABF，△AEF，△BDF.
三角形的分类
典例2 [2024春·邢台期末]如图表示三角形的分类，则Q表示的是( A )
典例2图
A．等边三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
三角形按边分为三边都不相等的三角形，等腰三角形，等腰三角形分为两边相等的等腰三角形，三边相等的等边三角形．据此即可求解．
变式 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°.动点P从点C出发，沿边CB，BA向点A运动．在点P运动过程中，△PAC可能成为的特殊三角形依次是( C )
变式图
A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形
B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
1．[2024春·青岛期末]将空调安装到墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的数学原理是( A )
第1题图
A．三角形具有稳定性
B．对顶角相等
C．垂线段最短
D．两点之间线段最短
2． 叫作三角形．( B )
A．连接任意三点组成的图形
B．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形
C．由三条线段组成的图形
D．以上说法均不对
3．[2024春·鞍山期中]在△ABC中，若∠A＝60°，则△ABC是( D )
A．锐角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
4．[2024春·昭通期末]已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，则此三角形是( B )
A．等腰直角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．不能确定
5．如图所示，
(1)图中有几个三角形？
(2)说出△CDE的边和角；
(3)AD是哪些三角形的边？∠C是哪些三角形的角？
第5题图
解：(1)一共有5个三角形，分别为△ABD，△ABC，△ADC，△ADE，△EDC；
(2)△CDE的边：CD，CE，DE，
角：∠C，∠CDE，∠DEC；
(3)AD是△ADB，△ADE，△ADC的边；
∠C是△ABC，△ADC，△DEC的角．三角形的主要线段
1．三角形一个角的角平分线与这个角的对边相交，角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线．三角形的三条角平分线相交于一点，它们都在三角形内部．
2．连接三角形一个顶点与对边中点的线段叫作三角形的中线．一个三角形有三条中线，它们都在三角形内部，并且相交于一点，这个点叫作三角形的重心．
3．三角形的一个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫作三角形的高线，简称三角形的高．三角形的三条高所在的直线相交于一点，高及高的交点不一定在三角形内部．
(1)三角形的角平分线、中线、高都是线段．(2)锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形的两条高与三角形的两直角边重合，一条高在三角形内部；钝角三角形的一条高在三角形内部，两条高在三角形外部．
三角形的角平分线
典例1 [2023秋·崇明区期末]AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，若∠BAC＝100°，则∠ADE＝50°．
由角平分线的定义得到角相等及度数，由平行线得到角相等，根据等量代换可得到答案．
变式图
变式 [2024秋·周口期末]若AD是△ABC的角平分线(如图所示)，则下列结论不正确的是( C )
A．AD平分∠BAC B．∠BAD＝∠CAD
C．BD＝CD D．∠BAC＝2∠BAD
三角形的中线
典例2 [2024春·兰州期末]如图，CM是△ABC的中线，BC＝8 cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大2 cm，则AC的长为( D )
典例2图
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
根据CM是△ABC的中线可知AM＝BM，再由BC＝8 cm，△BCM的周长比△ACM的周长大2 cm转化为BC比AC大2 cm，即可得出结论．
变式图
变式 [2024·拱墅区一模]王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段AD应该是△ABC的( B )
A．角平分线 B．中线
C．高线 D．以上都不是
三角形的高
典例3 [2024春·遂平县期末]如图，在△ABC中，BC边上的高为( A )
典例3图
A．线段AE B．线段BE
C．线段BF D．线段CF
从三角形的一个顶点向底边所在直线作垂线，垂足与顶点之间的线段叫三角形的高．
变式 [2024春·兰州期中]下列说法正确的个数有( A )
①三角形的角平分线、中线和高都在三角形内
②直角三角形只有一条高
③三角形的高至少有一条在三角形内
④三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1．[2023秋·娄底期末]不一定在三角形内部的线段是( C )
A．三角形的角平分线
B．三角形的中线
C．三角形的高
D．三角形的高和中线
2．[2023秋·沧州期末]如图所示，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差为( C )
第2题图
A．14 B．1 C．2 D．7
3．[2023秋·文昌期中]如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则下列说法错误的是( D )
第3题图
A．AE＝AC B．AB＝2BF
C．BD＝DC D．AD＝CF
4．[2023·梁山县二模]如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是( C )
第4题图
A．AB＝2BF
B．∠ACE＝∠ACB
C．AE＝BE
D．CD⊥BE
5．如图，(1)若AE平分∠DAC，则AH是△ 的角平分线，AE是△ 的角平分线；
(2)若AF＝FC，则△ABC的中线是 ；
(3)若AD⊥BC，垂足为点D，则AD是哪些三角形的高？
第5题图
解：(1)AGF，ADC；
(2)BF；
(3)若AD⊥BC，垂足为点D，则AD是△ABE，△ABC，△ABD，△ADE，△ADC，△AEC的高．三角形的主要线段
1．三角形一个角的角平分线与这个角的对边相交，角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的 ．三角形的三条角平分线相交于一点，它们都在三角形内部．
2．连接三角形一个顶点与对边中点的线段叫作三角形的 ．一个三角形有三条中线，它们都在三角形内部，并且相交于一点，这个点叫作三角形的重心．
3．三角形的一个顶点到它的对边所在直线的 叫作三角形的高线，简称三角形的高．三角形的三条高所在的直线相交于一点，高及高的交点不一定在三角形内部．
(1)三角形的角平分线、中线、高都是线段．(2)锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形的两条高与三角形的两直角边重合，一条高在三角形内部；钝角三角形的一条高在三角形内部，两条高在三角形外部．
三角形的角平分线
典例1 [2023秋·崇明区期末]AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，若∠BAC＝100°，则∠ADE＝ ．
由角平分线的定义得到角相等及度数，由平行线得到角相等，根据等量代换可得到答案．
变式图
变式 [2024秋·周口期末]若AD是△ABC的角平分线(如图所示)，则下列结论不正确的是( )
A．AD平分∠BAC B．∠BAD＝∠CAD
C．BD＝CD D．∠BAC＝2∠BAD
三角形的中线
典例2 [2024春·兰州期末]如图，CM是△ABC的中线，BC＝8 cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大2 cm，则AC的长为( )
典例2图
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
变式图
变式 [2024·拱墅区一模]王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段AD应该是△ABC的( )
A．角平分线 B．中线
C．高线 D．以上都不是
三角形的高
典例3 [2024春·遂平县期末]如图，在△ABC中，BC边上的高为( )
典例3图
A．线段AE B．线段BE
C．线段BF D．线段CF
变式 [2024春·兰州期中]下列说法正确的个数有( )
①三角形的角平分线、中线和高都在三角形内
②直角三角形只有一条高
③三角形的高至少有一条在三角形内
④三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1．[2023秋·娄底期末]不一定在三角形内部的线段是( )
A．三角形的角平分线
B．三角形的中线
C．三角形的高
D．三角形的高和中线
2．[2023秋·沧州期末]如图所示，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差为( )
第2题图
A．14 B．1 C．2 D．7
3．[2023秋·文昌期中]如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则下列说法错误的是( )
第3题图
A．AE＝AC B．AB＝2BF
C．BD＝DC D．AD＝CF
4．[2023·梁山县二模]如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是( )
第4题图
A．AB＝2BF
B．∠ACE＝∠ACB
C．AE＝BE
D．CD⊥BE
5．如图，(1)若AE平分∠DAC，则AH是△ 的角平分线，AE是△ 的角平分线；
(2)若AF＝FC，则△ABC的中线是 ；
(3)若AD⊥BC，垂足为点D，则AD是哪些三角形的高？
第5题图三角形的有关概念
1．由不在同一条直线上的三条线段 相接所组成的图形叫作三角形．组成三角形的线段叫作三角形的 ，相邻两边的公共端点叫作三角形的 ，相邻两边所组成的角叫作三角形的 ，简称三角形的角．
2．三角形的表示方法：“三角形”用符号“△”表示，顶点是A，B，C的三角形，点是大写字母，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，三条边分别表示为AB，AC，BC，三个角分别表示为∠A，∠B，∠C.
三角形边的特征：①不在同一条直线上；②三条线段；③首尾顺次连接．
三角形的分类
1．按“角的大小”分类
①锐角三角形：三个角都是 的三角形．
②直角三角形：有一个角是 的三角形．直角三角形表示的符号为“Rt△”．
③钝角三角形：有一个角是 的三角形．
2．按“边是否相等”分类
①三边都不相等的三角形．
②有两边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的两边叫作等腰三角形的 ，另一条边叫作 ， 的夹角叫作底角， 的夹角叫作顶角．
③等边三角形是 都相等的三角形，是特殊的等腰三角形，又叫 三角形．
三角形的有关概念
典例1 (1)如图所示，图中共有 个三角形，它们分别是 ；
典例1图
(2)以AD为边的三角形有 ；
(3)∠AED是 和 的内角．
变式 如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，连接BE，AD交于点F，问：
变式图
(1)图中共有多少个三角形？请把它们表示出来；
(2)△BDF的三个顶点是什么？三条边是什么？
(3)以AB为边的三角形有哪些？
(4)以F为顶点的三角形有哪些？
三角形的分类
典例2 [2024春·邢台期末]如图表示三角形的分类，则Q表示的是( )
典例2图
A．等边三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
变式 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°.动点P从点C出发，沿边CB，BA向点A运动．在点P运动过程中，△PAC可能成为的特殊三角形依次是( )
变式图
A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形
B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
1．[2024春·青岛期末]将空调安装到墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的数学原理是( )
第1题图
A．三角形具有稳定性
B．对顶角相等
C．垂线段最短
D．两点之间线段最短
2． 叫作三角形．( )
A．连接任意三点组成的图形
B．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形
C．由三条线段组成的图形
D．以上说法均不对
3．[2024春·鞍山期中]在△ABC中，若∠A＝60°，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
4．[2024春·昭通期末]已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，则此三角形是( )
A．等腰直角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．不能确定
5．如图所示，
(1)图中有几个三角形？
(2)说出△CDE的边和角；
(3)AD是哪些三角形的边？∠C是哪些三角形的角？
第5题图
