北京市第二中学2024-2025年学年高一（下）段考四数学试卷（PDF版，含答案）

2025北京二中高一（下）段考四
数 学
一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的，请．将．答．案．填．在．答．题．纸．上．）
1．已知集合M ={y | y = 2sin x}， N = Z ，则M N 等于
A．{ 2, 1,0,1, 2} B．{ 2, 2} C．{0,1, 2} D．[ 2, 2]
2．已知向量 a = (2,1) ， b = (1, 2)，则 a 3b 的坐标为
A. ( 1, 5) B. ( 1,7) C. (1, 5) D. (1,7)
3．已知向量 a = (1, k) ， b = (2,1) ，若 a // b ，则实数 k 的值为
1 1
A. B. C. 2 D. 2
2 2
4．已知向量 a = ( 1,5)， b = (2, m)，若 a ⊥ b ，则m 的值为
2 2
A. B. C. 10 D. 10
5 5
π π
5．将函数 y＝sin 2x＋ 4 的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 2 倍，再向右平移 个单位长度，4
所得到的图象的解析式是
A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝sin 4x D．y＝cos 4x
2 sin A
6．在 ABC 中，A，B，C 所对的边为 a，b，c，已知 c = 5 ，b = 3， A = ，则 的值为
3 sin C
7 5 3 7
A. B. C. D.
5 7 7 3
7．若实数 a，b 满足 a 0，b 0，则“ a b ”是“ a＋lna b＋lnb ”成立的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
AB AC AB AC 1
8．若非零向量 AB 与 AC 满足 ( + ) BC = 0 ， = ，则 ABC 为
| AB | | AC | | AB | | AC | 2
A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形
C. 等边三角形 D. 底边和腰不相等的等腰三角形
9．在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，S 表示 ABC 的面积，
1
若 a cos B + b cos A = c sin C ， S = (b2 + c2 a2 )，则角 B 等于
4
A．90 B．60 C．45 D．30
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10．已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 PA (PB + PC)的最小值是
3 4
A. 2 B. C. D. 1
2 3
11．若a,b,c 均为单位向量，且 a b = 0 ， (a c) (b c)≤0，则 a + b c 的最大值为
A． 2 1 B．1 C． 2 D． 2
12．在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点 P 从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次
跳跃的长度都是 5 且落在整点处．则点 P 到达点Q (33,33)所跳跃次数的最小值是
A．9 B．10 C．11 D．12
二、填空题（本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分. 请．将．答．案．填．在．答．题．纸．上．）
3
13．已知 AP = AB ，且 PA = k PB，则实数 k 的值为 .
4

14．在 ABC 中， B = ，3sin C = 4sin A ，且 ABC 的面积为3 3 ，则 AC 长为 .
3
3
15．已知函数 f (x) = cos(sin x) ，方程 f (x) = 在[ ， ]内解的个数为________.
2
2 7 3 3
16．已知 ， 均为锐角， cos = ， sin = ，则 cos2 ＝ ， 2 － ＝ .
7 14
17．如图，在同一平面内，OA，OB ，OC 的长分别为1，1， 2 ，OA与OC 的夹

角为 ，且 tan = 7 ，OB 与OC 的夹角为 45 ．若OC = mOA+ nOB ，
则m+n的值为____________.
18．主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的
噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线为
，且经过点 (1,2)，给出以下四个命题：
①函数 是奇函数；
②函数 f (x)在区间 (1,2)上单调递减；
③ n N *，使得 ；
④存在常数 m，对于 x R ，都有 .
其中正确的命题为_________________（请．写．出．所．有．正．确．命．题．的．序．号．）.
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三、解答题（本题共 5小题，共 60分，请．将．答．案．填．在．答．题．纸．上．）
1 1
19. （10 分）已知 | a |=1， a b = ， (a b) (a + b) = ，求：
2 2
(1) | b |；
(2)a b 与 a + b 的夹角的余弦值．
2
20. （12 分）已知函数 f (x) = sin 2 x + 2cos x( 0)的周期为 .
6
(1)求 的值及函数 f (x) 的单调递增区间；
5
(2) 若 x [ , ] ，求 f (x) 的最大值和最小值以及取得最值时相应 x 的值．
3 6
21. （12 分）在 ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边且 (2a c)cos B = bcosC ，
(1)求角 B 的值；
(2) 若 ABC 为锐角三角形，且b =1，求 ABC 的面积的取值范围．
a
22. （13 分）已知函数 f (x) = x + + b，关于 x 的不等式 xf (x) 0 的解集为 (1,3)．
x
(1)求实数 a，b 的值；
(2) 求关于 x 的不等式 xf (x) (m 3)(x 1)(m R)的解集；
(3) 若不等式 f (2x ) k 2 x 2k 0在 R 上恒成立，求实数 k 的取值范围．
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a11 a12 a1n

a21 a22 a2n23.（13 分）给定奇数 n 3 ，设 A 0 = 是 n n的数阵．

an1 an2 ann
1或 1,i j
其中 aij 表示数阵第 i 行第 j 列的数， a a = a (i =1,2, ,n; j =1,2, ,n)ij = 且 ij ji ．
0,i = j
定义变换 t 为“将数阵中第 t 行和第 t 列的数都乘以 1 ”，其中 t {1,2, ,n}．
设T = (t , t , , t ), t {1,2, ,n}, r =1,2, , s(s N 1 2 s r ) ．将 A0 经过 t 变换得到 A ， A 经过 变换得到 A ，1 1 1 t2 2
， As 1 经过 t 变换得到 As ．记数阵 Ar 中 1 的个数为TA (r)． s 0
0 1 1

(1)当 n = 3时，设 A0 = 1 0 1 ，T = (1,3) ，写出 A1, A2 ，并求TA (1),T0 A (2) ； 0

1 1 0


(2) 当 n = 5 ， s 2 时，对给定的数阵 A T (2) T (1)0 ，证明： A0 A 是 4 的倍数； 0
(n 1)2
(3) 证明：对给定的数阵 A0 ，总存在 T，使得TA (s) ． 0 2
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参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A B A B A A C C C B B B
二、填空题
13． 3
14． 13
15． 4
1 π
16． ，
7 3
17． 3
18．①②④
三、解答题
1 1
19.【答案】解： (1) (a b) (a + b) = ， a
2 b 2 = .
2 2
1
又 | a |=1 1
2
， | b |
2= ，
2
2
解得 | b |= .
2
(2) (1) 2 2 2 2由 可得 | a b |= a + b 2a b = 1 + ( )2
1 2
2 = ，
2 2 2
2 2 2 1 10| a + b |= a + b + 2a b = 12 + ( )2 + 2 = .
2 2 2
cos a b ,a + b
1
(a b) (a + b) 2 5= = = .
| a b || a + b | 2 10 5

2 2
5
a b 与 a + b 的夹角的余弦值为 .
5

20.【答案】解： (1) f (x) = sin(2 x ) + 2cos
2 x
6
3 1
= sin 2 x cos2 x + cos2 x +1= sin(2 x + ) +1.
2 2 6
由于函数的最小正周期为 ，
所以 =1，
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故 f (x) = sin(2x + ) +1，
6

令 + 2k 2x + 2k + (k Z ) ，
2 6 2

解得 + k x k + (k Z ) ，
3 6

故函数的单调递增区间为 [ + k ,k + ](k Z ).
3 6
5
(2) 由于 x [ , ] ，
3 6
5 11
所以 2x + [ , ]，
6 6 6
1
所以 sin(2x + ) [ 1, ]，
6 2
5 1 3
所以当 2x + = ，即 x = 时， f (x)max = +1= ； 6 6 3 2 2
3 2
所以当 2x + = ，即 x = 时， f (x)min = 1+1= 0 .
6 2 3
21.【答案】解： (1) 由正弦定理得： 2sin Acos B sin C cos B = sin B cosC ，
即 2sin Acos B = sin C cos B + sin B cosC = sin(B +C) = sin A ，
又 A (0, ) ，可得 sin A 0，
1
cos B = ，由B (0, ),可得B = .
2 3
a b c 2 2 2
(2) 由正弦定理得： = = = ， a = sin A,c = sinC ，
sin A sin B sinC 3 3 3
1 1 2
S = acsin B = sin Asin( A)
2 3 3
1 3 1
= sin A cos A+ sin A
3 2 2


1 3 1
= sin 2A+ sin
2 A
3 4 2


1 3 1 1
= sin 2A cos2A+
3 4 4 4


3 3 1 3
= sin 2A cos2A +
6 2 2

12
3 3
= sin(2A ) + ，
6 6 12
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0 A 2
锐角三角形 ABC， A ，
2 6 20 C = A
3 2
5 3 3 3 3
2A ( , ) ， sin(2A ) + ( , ]
6 6 6 6 6 12 6 4
3 3
S ( , ].
6 4
a
22.【答案】解： (1) f (x) = x + + b，则 xf (x) = x2 + bx + a ，
x
又 xf (x) 0 的解集为 (1,3) ， 方程 x2 + bx + a = 0 的两根为 1 和 3.
x1 + x2 = b = 4, x1x2 = a = 3， b = 4,a = 3；
(2) 由 (1)可得 xf (x) = x2 4x + 3 ，
2
因为 xf (x) (m 3)(x 1)，所以 x 4x + 3 (m 3)(x 1)， (x 1)(x 3) (m 3)(x 1)，
所以 (x 1)(x 3 m + 3) 0，可得 (x 1)(x m) 0，
又在 f (x) 中， x 0 ，
故当m =1时，原不等式的解集为 ；当m 1时，原不等式的解集为 (1,m) ；
当 0 m 1时，原不等式的解集为 (m,1) ；当m 0 时，原不等式的解集为 (m,0) (0,1) ；
3
(3) 由 (1)可得 f (x) = x + 4 ，
x
x 3 k
因为 f (2x ) k 2 x 2k 0，即 (2 + 4) 2k 0x x ， 2 2
可得 (2x )2 (2k + 4) 2x + (3 k) 0 ，
令 2x = t(t 0) ，即 t2 (2k + 4) t + (3 k) 0 在区间 (0,+ )上恒成立，
方法一：设函数 h(t) = t 2 (2k + 4) t + (3 k) ， (t 0) ，
①若 k 2,h(t) 在 (0,k + 2) 上单调递减，在 (k + 2,+ ) 上单调递增，
21 5 21 5 21 5
h(t) 2min = h(k + 2) = (k + 2) (2k + 4)(k + 2) + 3 k 0 ，解得 k ，故此时 2 k .
2 2 2
k 2
②若 k 2,h(t) 在 (0,+ )上单调递增，此时 h(0) 0 ，即 k 2，
k 3
21 5
综上：k 的取值范围是 k .
2
2 t
2 4t + 3
方法二：由 t (2k + 4) t + (3 k) 0 在 (0,+ )上恒成立，即 k 在 (0,+ )上恒成立，
2t +1
m 1
令 2t +1= m(m 1) ，则 t = ，
2
m 1 m 1
( )2 4( ) + 3 1 21
即 2 2 在 (1,+ )上恒成立，即 k (m + 10) 在 (1,+ )上恒成立， k 4 m
m
21 21
m 1,m + 2 m = 2 21, 当且仅当m= 21 时取等号，
m m
1 21 2 21 10 21 5
(m + 10) = ，当且仅当m= 21 时取等号，
4 m 4 2
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21 5
k .
2
0 1 1 0 1 1

23.【答案】解： (1)由题设 A1 = 1 0 1 ， A2 = 1 0 1

1 1 0

1 1 0


所以TA (1) = 4 ，TA (2) = 0. 0 0
(2) 设数阵 A1中第 t2 行和第 t2 列中 1 的个数均为 xt 2 ， 1的个数均为 4 xt . 2
经过 t 变换， A1的第 t2 2 行和第 t2 列均有 xt 2 个 1 变为 1，有 4 xt 2 个 1变为1.
所以TA (2) TA (1) = 2 (4 xt 2 xt 2 ) = 4(2 x0 0 t 2 ).
即TA (2) TA (1) 是 4 的倍数. 0 0
(3) 数阵 Am 经过 t 变换得到数阵 Am+1 ，设 Am 的第 tm+1行和第 t y .m+1 m+1列中 1 的个数均为 t m+1
由 (2) 可知，TA0 (m +1) = TA (m) + 2 [(n 1) 2yt ] =TA (m) + 2n 2 4y . 0 m+1 0 tm+1
设当T =T 时，TA (s)取得最小值T 0 A (s) ，其中T = (t1, t2 , , ts ).
n 1
记 As 每行中 1 的个数为 z1 ， z2 ， ...zn ，则必有 zi (i =1,2, ， n).
2
n 1
否则，若存在 j 使得 z j ，则令T = (t1, t2 , , ts , j)，有
2
T A0 (s +1) = T A0 (s) + 2n 2 4z j T A0 (s) = T A0 (s) ，与T A0 (s)为最小值矛盾.
在 z ， z ， ...1 2 ， zn 中，
n 1 n +1
①若等于 的个数不超过 ，
2 2
n +1 n 1 n +1 n 1 (n 1)2
则T A0 (s) + (n ) ( 1) = .
2 2 2 2 2
n 1 n +1 n 1
②若等于 的个数大于 ，则必存在 i，j 满足 aij = 1，且 zi = z j = .
2 2 2
n 1 n 1 n 1 n 1
否则，不妨设 z1 = ，则共有 n 1 = 个 j 满足 a1j = 1，且 z j ，
2 2 2 2
n 1 n +1 n 1
所以 z1 ， z ，
...
2 ， zn 中至多有 n = 个等于 ，矛盾.
2 2 2
n 1
故存在 i，j 满足 aij = 1，且 zi = z j = .
2
n 1
取T = (t T (s +1) = T (s).1, t2 , , ts , j, i) ，因为 z j = ，所以 A 0 A0
2
n 1 n +1
由 As 变换为 As+1 时，数阵 As+1 第 i 行中 1 的个数为 +1= .
2 2
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T (s + 2) =T
n +1
故 A A (s +1) + 2n 2 4 = T
(s +1) 4 T (s +1) = T (s) = T (s)
0 0 A0 A0 A0 A
，
2 0

这与TA (s)为最小值矛盾. 0
(n 1)2
综上，对给定的数阵 A0 ，总存在 T，使得TA (s) . 0 2
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