第五章 四边形
5.1 多边形与平行四边形
考点 1 多边形（冷考点）
1．[2020 广东，4，3分]若一个多边形的内角和是540 ，则该多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
考点 2 平行四边形（常考点）
2．[2022 广东，8，3分]如图，在 中，一定正确的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
3．[2024 广州，13，3 分]如图， 中， = 2,点 在 的延长线上， = 3,若 平分
∠ ,则 =______.
第 3题图 第 4题图
4．[2021 深圳，15，3 分]如图，在△ 中， = 4 3， 、 分别为线段 、 上一点， = 10，
将△ 沿 折叠，使点 落在点 处，∠ = 90 .若 // ，则 =____________.
5.2 特殊的平行四边形
考点 1 矩形（常考点）
1．[2020 广州，10，3 分]如图，矩形 的对角线 ， 交于点 ， = 6， = 8，过
点 作 ⊥ ，交 于点 ，过点 作 ⊥ ，垂足为 ，则 + 的值为（ ）
A 48． B 32． C 24 D 12． ．
5 5 5 5
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第五章 四边形
2．[2020 深圳，12，3 分]如图，矩形纸片 中， = 6， = 12.将纸片折叠，使点
落在边 的延长线上的点 处，折痕为 ，点 、 分别在边 和边 上.连接 ，交 于点
, 交 于点 .给出以下结论：
① ⊥ ；② = ；③△ 和△ 的面积相等；④当点 与点 重合时，
∠ = 75 .其中正确的结论共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点 2 菱形（常考点）
3．[2023 深圳，5,3 分]如图，在平行四边形 中， = 4, = 6,将线段 水平向右平
移 个单位长度得到线段 ,当四边形 为菱形时， 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．[2022 广东，13，3 分]菱形的边长为 5，则它的周长为
5．[2024 广东，15，3 分]如图，菱形 的面积为 24，点 是 的中点，点 是 上的动点.
若△ 的面积为 4，则图中阴影部分的面积为
考点 3 正方形（常考点）
6．[2024 广东，7，3分]完全相同的 4个正方形面积之和是 100，则正方形的边长是（ ）
A．2 B．5
C．10 D．20
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第五章 四边形
7．[2022 广州，9，3分]如图,正方形 的面积为 3,点 在边 上，且 = 1,∠ 的平分
线交 于点 ,点 , 分别是 ， 的中点，则 的长为（ ）
6 3 6 2
A． B． C．2 3 D．
2 2 2
8．[2020 广东，9，3分]如图，在正方形 中， = 3，点 ， 分别在边 ， 上，
∠ = 60 .若将四边形 沿 折叠，点 恰好落在 边上，则 的长度为（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
9．[2021 广东，23，8 分]如图,边长为 1的正方形 中，点 为 的中点.连接 ，将△
沿 折叠得到△ , 交 于点 ，求 的长.
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第五章 四边形
10．[2023 广东，23，12 分]综合运用
如图 1，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点 在 轴的正半轴上.如图 2，将正方形
绕点 逆时针旋转，旋转角为 (0 < < 45 )， 交直线 = 于点 ， 交 轴于点 .
（1） 当旋转角∠ 为多少度时， = ？（直接写出结果，不要求写解答过程）
（2） 若点 (4,3)，求 的长.
（3） 如图 3，对角线 交 轴于点 ，交直线 = 于点 ，连接 .将△ 与△ 的面
积分别记为 1与 2.设 = 1 2， = ，求 关于 的函数表达式.
11．[2023 广州，25，12 分]如图，在正方形 中， 是边 上一动点（不与点 ， 重合），
边 关于 对称的线段为 ，连接 .
（1） 若∠ = 15 ,求证：△ 是等边三角形.
（2） 延长 ，交射线 于点 .
①△ 能否为等腰三角形？如果能，求此时∠ 的度数；如果不能，请说明理由.
② 若 = 3 + 6，求△ 面积的最大值，并求此时 的长.
34/52第五章 四边形
5.1 多边形与平行四边形
考点 1 多边形（冷考点）
1．[2020 广东，4，3分]若一个多边形的内角和是540 ，则该多边形的边数为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】设这个多边形的边数为 ,根据多边形内角和公式得，( 2) × 180 = 540 ，解得 =
5.
考点 2 平行四边形（常考点）
2．[2022 广东，8，3分]如图，在 中，一定正确的是（ ）
A. = B. = C. = D. =
【答案】C
3．[2024 广州，13，3 分]如图， 中， = 2,点 在 的延长线上， = 3,若 平分
∠ ,则 =______.
【答案】5
【解析】在 中， = 2，
∴ // ， = = 2，
∴ ∠ = ∠ ,
∵ 平分∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ = = 3，
∴ = + = 2 + 3 = 5.
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第五章 四边形
4．[2021 深圳，15，3 分]如图，在△ 中， = 4 3， 、 分别为线段 、 上一点， = 10，
将△ 沿 折叠，使点 落在点 处，∠ = 90 .若 // ，则 =____________.
【答案】10 4 3
【解析】如图，延长 ，交 于点 .延长 ， ，交于点 .
由折叠可知 ⊥ .
∵ ⊥ ，∴ // .
又∵ // ，
∴ 四边形 为平行四边形，
∴ = = = 10.
又易证∠ = ∠ ，∴ = .
∵ = = 10 4 3，
∴ = 10 4 3.
5.2 特殊的平行四边形
考点 1 矩形（常考点）
1．[2020 广州，10，3 分]如图，矩形 的对角线 ， 交于点 ， = 6， = 8，过
点 作 ⊥ ，交 于点 ，过点 作 ⊥ ，垂足为 ，则 + 的值为（ ）
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第五章 四边形
A. 48 B. 32 C. 24 D. 12
5 5 5 5
【答案】C
【解析】∵ 四边形 为矩形，
∴ ∠ = 90 , // , = ,
∴ = 2 + 2 = 62 + 82 = 10，
∴ sin∠ = = 6 = 3.
10 5
∵ // , = ,
∴ ∠ = ∠ = ∠ .
∴ sin∠ = sin∠ = sin∠ = 3.在 Rt △ 和 Rt △ 中，
5
= sin∠ = 3 ，
5
= sin∠ = 3 ，
5
∴ + = 3 + 3 = 3 ( + ) = 3 = 3 × 8 = 24.
5 5 5 5 5 5
2．[2020 深圳，12，3 分]如图，矩形纸片 中， = 6， = 12.将纸片折叠，使点
落在边 的延长线上的点 处，折痕为 ，点 、 分别在边 和边 上.连接 ，交 于点
, 交 于点 .给出以下结论：
① ⊥ ；② = ；③△ 和△ 的面积相等；④当点 与点 重合时，
∠ = 75 .其中正确的结论共有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】由折叠可知，点 是点 B关于折痕 的对称点.设 交 于点 ，根据对称点的连线
被对称轴垂直平分，可知 ⊥ ， = ，故①正确.∵ 四边形 是矩形，∴ // ，
∴ ∠ = ∠ .又∵ = ，∠ = ∠ = 90 ，∴△ ≌△ ，∴ = .又由
折叠可知 = ，∴ = ，故②正确.过点 作 ⊥ 于 ，∵ ∠ = ∠ ， = ，
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第五章 四边形
∴ ∠ = ∠ = ∠ ，即 是∠ 的平分线.又∵ ⊥ ， ⊥ ，∴ = .在
Rt △ 中， > ，∴△ 的面积大于△ 的面积，故③错误.当点 与点 C重合时，
在Rt △ 中， = = 6， = = 12，∴ ∠ = 30 .由②知 = ，∴ 四边形
为平行四边形.又∵ = ，∴ 四边形 为菱形，∴ ∠ = 180 ∠ = 150 .根据菱
1 1
形的每条对角线平分一组对角，可知∠ = ∠ = × 150 = 75 ，故④正确.正确的结
2 2
论有①②④，共 3个.
考点 2 菱形（常考点）
3．[2023 深圳，5,3 分]如图，在平行四边形 中， = 4, = 6,将线段 水平向右平
移 个单位长度得到线段 ,当四边形 为菱形时， 的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】∵ 将线段 水平向右平移 个单位长度得到线段 ,
∴ = = 4, = ,
∵ 四边形 是菱形，
∴ = = 4,
∴ = = 6 4 = 2,
∴ = 2.
4．[2022 广东，13，3 分]菱形的边长为 5，则它的周长为__.
【答案】20
5．[2024 广东，15，3 分]如图，菱形 的面积为 24，点 是 的中点，点 是 上的动点.
若△ 的面积为 4，则图中阴影部分的面积为__.
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第五章 四边形
【答案】10
【解析】连接 ，
∵ 是 的中点，
∴ = 1 = 1 1△ 2 △ 4 菱形 = × 24 = 6.4
连接 ，
同理可得 △ = △ = 6，
∵ 2△ = 4，∴ △ = ，3 △
∴ = 1 ，
3
∴ 1 1 1△ = 3 △ = = × 24 = 4.6 菱形 6
∴ 阴影 = 菱形 △ △ △ = 24 6 4 4 = 10.
考点 3 正方形（常考点）
6．[2024 广东，7，3分]完全相同的 4个正方形面积之和是 100，则正方形的边长是（ ）
A. 2 B. 5 C. 10 D. 20
【答案】B
7．[2022 广州，9，3分]如图,正方形 的面积为 3,点 在边 上，且 = 1,∠ 的平分
线交 于点 ,点 , 分别是 ， 的中点，则 的长为（ ）
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第五章 四边形
A. 6 B. 3 C. 2 3 D. 6 2
2 2 2
【答案】D
【解析】如图，连接 ，过点 作 ⊥ 于点 ，
∵ 正方形的面积为 3，
∴ 正方形的边长为 3，
∵ = 1，∴ 在 Rt △ 中， = 2 + 2 = 2，
∵ 平分∠ , ⊥ ， ⊥ ，
∴ = .易证△ ≌△ ，
∴ = = 3，
∴ = = 2 3，
∵ = 3，∴ = 3 1.
设 = = ,则 = 3 ，
在 Rt △ 和 Rt △ 中， 2 + 2 = 2 + 2 = 2，
∴ ( 3 )2 + ( 3 1)2 = 2 + (2 3)2，解得 = 1,
∴ = = 1，
∴ = 2 + 2 = 12 + (2 3)2 =
8 4 3 = 6 2.
∵ 点 ， 分别为 ， 的中点，
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第五章 四边形
∴ 为△ 的中位线，
∴ = = 6 2.
2 2
8．[2020 广东，9，3分]如图，在正方形 中， = 3，点 ， 分别在边 ， 上，
∠ = 60 .若将四边形 沿 折叠，点 恰好落在 边上，则 的长度为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
【答案】D
【解析】∵ 四边形 是正方形，
∴ // ，∴ ∠ = ∠ = 60 .
由折叠的性质可知∠ = ∠ ' = 60 ，∴ ∠ ' = 180 ∠ ∠ ' = 60 ，
∴ ∠ ' = 30 ，∴ ' = 2 .
设 = ,则 = ' = 2 ，
∴ = + = 3 = 3，∴ = 1，
∴ = 2 = 2.
9．[2021 广东，23，8 分]如图,边长为 1的正方形 中，点 为 的中点.连接 ，将△
沿 折叠得到△ , 交 于点 ，求 的长.
【解析】延长 交 于点 ，连接 .
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第五章 四边形
在正方形 中， // ，∠ = ∠ = ∠ = 90 , = = = = 1, = 2.
由题意可知 = ， = ，∠ = ∠ = 90 . ∴ ∠ = 90 .
∵ 是 的中点，∴ = ，
∴ = .又 = ，
∴ Rt △ ≌ Rt △ ，∴ = .
设 = = ( > 0)，则 = 1 ， = 1 + .
在 Rt △ 中， 2 + 2 = 2,
即12 + (1 )2 = (1 + )2, = 1.∴ = = 1 1 = 3解得 .
4 4 4
∵ // ，
∴△ △ .
∴ = = 3，
4
= 3即 ，
4
∴ = 3 2.
7
10．[2023 广东，23，12 分]综合运用
如图 1，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点 在 轴的正半轴上.如图 2，将正方形
绕点 逆时针旋转，旋转角为 (0 < < 45 )， 交直线 = 于点 ， 交 轴于点 .
（1） 当旋转角∠ 为多少度时， = ？（直接写出结果，不要求写解答过程）
（2） 若点 (4,3)，求 的长.
（3） 如图 3，对角线 交 轴于点 ，交直线 = 于点 ，连接 .将△ 与△ 的面
积分别记为 1与 2.设 = 1 2， = ，求 关于 的函数表达式.
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第五章 四边形
【解析】
（1） 22.5 .详解：当 = 时，易证△ ≌△ ，∴ ∠ = ∠ = 22.5 .
（2） 延长 交 轴于点 ，过点 作 ⊥ 轴，垂足为 . 在正方形 中，
= ，∠ = ∠ = ∠ = 90 ,由旋转性质得
∠ = ∠ .∴△ ≌△ .∴ = .∵ ∠ + ∠ = 90 ，
∠ + ∠ = 90 ,∴ ∠ = ∠ .∵ ∠ = ∠ = 90 ,∴△ △ .∴ = .
∵ (4,3),∴ = 4， = 3，∴ = 9.由勾股定理得 = 2 + 2 = 32 + ( 9 )2 = 15，
4 4 4
∴ = 15.
4
（3）延长 交 轴于点 ，连接 ，如图， ∵ ∠ = ∠ = 45 ，∠ =
∠ ，∴△ △ .∴ = ，即 = .又
∠ = ∠ ,∴△ △ ,∴ ∠ = ∠ = 45 ，又∠ = 45 ，
∴ ∠ = 90 ,易知△ ≌△ ,①∴ = ,又∠ = ∠ = 45 ,∴△ ≌△
.②∴ ∠ = ∠ = 90 .又∠ = 45 ,∴ = .∵ ∠ = ∠ = ∠ =
90 ,∴ ∠ = ∠ .∴△ ≌△ .③∴ = .过 作 ⊥ ，垂足为 ,过 作
⊥ ，垂足为 ,∵ ∠ = ∠ = 45 ,∴ = .∴ Rt △ ≌ Rt △ .④ =
△ △ = △ △ （由①，②得）= △ △ = △ △
= 1 1 1四边形 （由③得）=
2 2
正方形 （由④得）= = .即 =
2.
2 2 2
一题多解（3）过点 作直线 ⊥ 于点 ，交 于点 ， ∵ 四边形
是正方形，∴ ∠ = ∠ = 45 ， // ，又∠ = 45 ，∴ ∠ = ∠ = 45 ，
∴ 、 、 、 四点共圆，∴ ∠ = ∠ = 45 ，∴ ∠ = ∠ = 45 ，∴△ 是等
腰直角三角形，∴ = ，∠ = 90 ，∴ ∠ + ∠ = 90 ，又∵ ∠ + ∠ =
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第五章 四边形
90 ，∴ ∠ = ∠ ，∴△ ≌△ (AAS)，∴ = ， = ，易得四边形
是矩形，∴ = ， = ，∴ 1 =
1 2 1 2
△ = = ( + 2) =
1 2 + 1 2，
2 2 2 2 2
=
1 1△ = = ( ) ( + ) =
1 ( ) ( + ) = 1 2 1 2，
2 2 2 2 2
∴ = 2 2 21 2 = ，易得△ 为等腰直角三角形， ∴ = = ，∴ = 2 =2 2
( 2 )2 = 1 2 ∴ 1， 关于 的函数表达式为 = 2.
2 2 2
11．[2023 广州，25，12 分]如图，在正方形 中， 是边 上一动点（不与点 ， 重合），
边 关于 对称的线段为 ，连接 .
（1） 若∠ = 15 ,求证：△ 是等边三角形.
（2） 延长 ，交射线 于点 .
①△ 能否为等腰三角形？如果能，求此时∠ 的度数；如果不能，请说明理由.
② 若 = 3 + 6，求△ 面积的最大值，并求此时 的长.
【解析】
（1） 证明：由对称得∠ = ∠ = 90 15 = 75 ,∴ ∠ = 75 15 = 60 ,又
∵ = = ,∴△ 是等边三角形.
（2） ① 能.如图，设∠ = ,则∠ = ∠ = 90 , ∴ ∠ =
90 2 .∵ = = ,∴ ∠ = ∠ = 45 + ,∴ ∠ = ∠ ∠ = 45 .当
= 时，∠ = ∠ ,∴ 45 = 45 + , 不存在.当 = 时，∠ = ∠ ,∴ 45 + =
90 ,解得 = 22.5 .当 = 时，∠ = ∠ ,∴ 45 = 90 ,解得 = 45 ，此时
、 重合，不符合题意，舍去.综上，若△ 为等腰三角形，则∠ 的度数为22.5 .
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第五章 四边形
② 连接 ，易得△ ≌△ ，∴ △ = △ ，由①得∠ = ∠ = 45 ,∴ ∠ =
90 = ∠ .连接 ， 交于 ， 易知 、 、 、 四点共圆，圆心为 .过
作 ⊥ 于 ，当 过点 时， 的长度最大.此时 = 1 ， = = 2 ，∴ =
2 2
( 1 + 2 ) .∴ 1△ 的最大值= =
1+ 2 2 = 1+ 2 2 = 21+15 2.∵ ⊥ ， ⊥
2 2 2 4 4 4
，∴ // ，∴ ∠ = ∠ ，又∠ = ∠ = 90 ,∴△ △ ∴ = ， ，
1
∴ = = 2 = 1 = 3. △ 21+15 2
(1 2
综上， 面积的最大值为 ，此时
+ ) 1+ 2 42 2
的长为 3.
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